Цепи однофазного синусоидального тока
Электромагнитные процессы и цепи однофазного синусоидального тока. Среднее и действующее значение периодической функции. Условно положительные направления тока. Закон электромагнитной индукции и резонансный режим. Реактивное сопротивление цепи.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.10.2011 |
| Размер файла | 596,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Цепи однофазного синусоидального тока
Введение
Наибольшее практическое распространение получили источники, а, следовательно, и цепи, электромагнитные процессы, в которых подчиняются периодическому закону.
Частным случаем таких цепей являются цепи однофазного синусоидального тока.
1. Цепи однофазного синусоидального тока
Мгновенное значение любой синусоидальной функции: напряжения, тока, ЭДС и т.д. может быть представлено выражением вида:
u(t) = Um sin(t+), 10(1)
где Um - амплитуда - наибольшее значение функции за период Т (рис.1), аргумент синуса - (t+) - фаза колебания; - круговая (циклическая) частота колебания; - начальная фаза, которая показывает смещение синусоиды относительно начала координат вправо или влево,
T = 1/ = 1/T, [Гц]; 11(2)
= 2 = 2/Т, [рад/с]. 12(3)
Рис.1. Примеры изображения периодических функций
Среднее и действующее значение периодической функции
Fср=, 13(.4)
где f(t) - периодическая функция, T - период периодической функции.
Ввиду симметричности синусоиды получаем, что среднее значение за период равно нулю, поэтому вводят понятие среднего значения за половину периода.
Fср= = Fm;
Fср == Fm. 14 15(5)
Значительно большее значение имеет понятие действующего значения. Для его осмысления оценим тепловое действие переменного и постоянного тока.
Переменный ток:
W =;
Постоянный ток:
W = I2RT;
Приравняв правые части и произведя простые операции, получим:
I = IД =, 16(6)
где
= ;
Подставим полученный результат под корень и получим:
I =, 17(7)
где (7) - среднеквадратичное, эффективное или действующее значение синусоидального тока. Аналогично,
.
Рис.2. Графическое изображение действующего значения
Элементы R,L,C в цепях синусоидального тока
Сопротивление (R)
Пусть по сопротивлению протекает синусоидальный ток с начальной фазой равной нулю.
i = Imsint. 18(8)
Рис.3. Условно положительные направления тока и напряжения на сопротивлении
Определим падение напряжения, действующее на зажимах сопротивления на основании закона Ома:
u = iR = ImRsint = Umsint. 19(9)
Полученный результат показывает, что напряжение изменяется в фазе с током.
Определим функцию мгновенной мощности, потребляемую R.
;
p = UI(1 - cos2t), 20(2.10)
где U, I - действующие значения.
Рис.4. Графики мгновенных значений напряжения, тока
и мощности на сопротивлении
Из графика мгновенной мощности следует, что она неотрицательна и меняется с удвоенной частотой.
Для оценки потребляемой приемником мощности вводят понятие средней мощности за период:
, [Вт]. 21(11)
Индуктивность (L)
Пусть через индуктивность протекает синусоидальный ток:
i = Imsint;
Рис.5. Условно положительные направления тока, напряжения и ЭДС самоиндукции
Определим падение напряжения на индуктивности uL. На основании закона электромагнитной индукции:
L = - L = - LImcost = LImsin(t-/2) = XLImsin(t-/2),
где - индуктивное (реактивное) сопротивление.
uL = eL = Umsin(t + /2). 22(12)
Напряжение на индуктивности опережает ток на 900.
Мгновенная мощность на индуктивности:
p = ui = (UmImsin2t)/2=UIsin2t. 23(13)
Среднее значение мощности за период:
. 24(14)
Для оценки занесенной в индуктивности энергии магнитного поля вводят понятие реактивной (индуктивной) мощности:
,[вар] 25(15)
цепь однофазный ток индукция
Рис.6. Графики мгновенных значений напряжения, тока и мощности на индуктивности
Из графика мгновенной мощности следует, что положительная полуволна мощности соответствует потреблению энергии из сети, а отрицательная - ее возврату в сеть.
Энергия, потребляемая индуктивностью, работы не совершает.
Ёмкость (С)
Рис7. Условно положительные направления тока и напряжения на емкости
Пусть через емкость протекает синусоидальный ток i = Imsint. По определению , где q - заряд.
Для емкости:
q = CU. 26(16)
Для линейного конденсатора C = const, поэтому
i =, 27(17)
откуда
где XC = .
Ток в ёмкости опережает приложенное напряжение на угол 900, также можно считать, что напряжение отстаёт от тока на 900.
Определим мгновенную мощность:
p = ui = UIsin2t. 28(18)
Среднее значение мощности за период:
. 29(19)
Таким образом, идеальная емкость не потребляет из сети мощность. Для оценки запасенной в емкости энергии электрического поля вводят понятие реактивной мощности, равной:
, [вар]. 30(20)
График функции мгновенной мощности представлен на рис.8. Здесь, где p > 0, энергия идёт на создание электрического поля, где p < 0, происходит возврат энергии.
Рис.8. Графики мгновенных значений тока, напряжения и мощности на емкости
Изображение синусоидальных функций времени (напряжение, сила тока, мощности) векторами на комплексной плоскости
Расчет сложной разветвленной цепи может быть существенно упрощен, если заменить синусоидальные токи и напряжения векторами, расположенными на комплексной плоскости. Такой метод получил название метода комплексных амплитуд.
В основе данного метода лежит формула Эйлера:
, 31(21)
где j =.
Умножив обе части на А, получим:
A = A1+A2,
где A = модуль комплексного числа;
аргумент комплексного числа.
Рис.9. Изображение вектора на комплексной плоскости( угловая частота вращения вектора )
Поскольку в формуле Эйлера может быть любым, мы сделаем его линейной функцией времени:
= t + . 32(22)
Тогда:
. 33(23)
Полученный результат (24) показывает, что синусоидальная функция времени есть мнимая часть некоторого комплексного числа:
а = Asin(t +) = ImAej(t+); 34(24)
при условии, что t = 0 получим:
= A 35(25)
Векторная диаграмма диаграмма векторов на комплексной плоскости, построенная с учетом их взаимной ориентации по фазе.
Если вектора вращаются на плоскости с одинаковыми частотами , то их взаимное положение не меняется, это свойство позволяет исключить из рассмотрения сам факт их вращения, то есть принимать t = 0.
В качестве примера на рис.10 изображена операция умножения некоторого вектора на оператор поворота j.
Пусть модуль = 10А. Его положение на комплексной плоскости зависит от значения аргумента. Значениям = 0, 900, 900 соответствуют комплексные числа :
; ; .
По формуле Эйлера:
;
;
;
;
Рис.10. Умножение вектора на +j и -j
Основы символического или комплексного расчета цепей синусоидального тока
Этот метод позволяет перейти от дифференциальных уравнений, составленных для мгновенных токов, напряжений и т.д., к алгебраическим уравнениям, составленных для соответствующих им комплексных изображений.
Последовательное соединение
Рис.11. Последовательное соединение R, L, C
На основании второго закона Кирхгофа:
u = uR + uL + uC;
u = iR +L+. 36(26)
Перейдем к комплексным изображениям:
i = Imsin(t+i) . 37(27)
Используя полученный комплекс тока, определим комплексы падения напряжения на участках цепи:
Для сопротивления:
, (28)
где . 38
Для индуктивности:
. 39(29)
Для емкости:
. 40(30)
Найденные комплексы UR,UC,UL, подставим в исходное уравнение:
, 41(31)
. 42(32)
закон Ома в комплексной форме.
Выражение в знаменателе представляет собой комплексное сопротивление исходной цепи, которое имеет вещественную и мнимую составляющую.
, 43(33)
где ; .
Для комплексных амплитуд закон Ома запишется в следующем виде:
, 44(34)
где Um= Imz амплитуда напряжения;
Рис.12. Изображение сопротивления на комплексной плоскости
цU = + i; = U - i; 45(35)
u(t) = Umsin(t + U). 46(36)
Построим векторную диаграмму цепи.
Рис.13. Векторная диаграмма для последовательного колебательного контура
i(t) = Imsin(t + i); i > 0.
Построение векторной диаграммы начинают с вектора тока, т.к. он одинаков на всех участках цепи. Из построенной на комплексной плоскости векторной диаграммы можно выделить векторный треугольник напряжений, представленный на рис.14.
Рис.14. Векторный треугольник напряжений
Ниже приведен треугольник сопротивлений.
Рис.15. Скалярный треугольник сопротивлений
Угол сдвига фаз между током и напряжением можно определить из любого треугольника.
. 47(37)
2 Резонанс напряжений
Резонансом в цепях переменного тока, содержащих индуктивные и емкостные элементы, называется явление совпадения по фазе векторов тока и напряжения на входе цепи или на участке цепи, при этом cos = 1, = 0.
Резонанс напряжений наблюдается в последовательном колебательном контуре. На рис.16 построена векторная диаграмма для этого режима.
Рис.16. Векторная диаграмма для резонанса напряжений
При резонансе
XCp = XLp или ,
, 48(38)
где 0 - циклическая частота последовательного колебательного контура.
Резонанс достигается путем изменения одного из параметров , L, C при двух других фиксированных.
Определим индуктивное и емкостное сопротивления цепи при резонансе:
49(39)
50(40)
Величина , называется волновым сопротивление контура.
Введем еще один важный параметр, характеризующий резонанс - добротность контура:
. 51(41)
Добротность (коэффициент резонанса) - это отношение напряжения на индуктивности или напряжения на емкости к входному напряжению цепи.
Рассмотрим энергетические соотношения в цепи при резонансе напряжений. Определим суммарную энергию, потребляемую реактивными элементами из сети.
= M+Э ;
;
;
. 52(42)
Суммарная энергия электрического и магнитного полей при резонансе остается величиной постоянной.
Рассмотрим частотные характеристики цепи при резонансе. В случае, когда на последовательную цепь воздействует источник синусоидального напряжения с частотой , меняющейся от 0 до , параметры цепи, а именно ее реактивное и полное сопротивления меняются, что вызовет соответствующие изменения тока и падений напряжения на отдельных участках цепи.
Построим функции названных выше сопротивлений в одних координатных осях (рис.17).
Исходя из построений (рис.17), можно заключить, что в дорезонансной области частот - [0; o) преобладает емкостной характер нагрузки, а после резонансной области (o; ) индуктивный, и в точке резонанса (о) реактивное сопротивление равно нулю, характер нагрузки активный. На рис.18 представлены зависимости падений напряжения, тока и фазы последовательного колебательного контура от частоты.
Рис.17. Зависимости сопротивлений цепи от частоты
Рис.18. Кривые изменений напряжений, тока и фазы
последовательного колебательного контура от частоты
На нулевой частоте (для источника постоянного ЭДС) индуктивность заменяется короткозамкнутым проводником, а емкость обрывом; на бесконечной частоте свойства указанных элементов меняются местами, то есть индуктивность становится обрывом, а емкость - короткозамкнутым проводником.
Значения функции () не существуют при = 0 и = .
Оценим влияние параметров цепи на форму резонансной кривой тока. Решение этого вопроса начнем с уже известной нам функции , с которой сделаем следующие преобразования:
.
Используя полученное выражение для входного сопротивления z, определим ток:
53(43)
где Io - максимальное значение тока в цепи при резонансе.
Рис.19. Резонансные кривые: Q3 > Q2 > Q1
Для удобства построение будем вести в относительных единицах (график зависимости см. на рис.19):
;
3. Параллельное соединение элементов R, L, C
Рассмотрим параллельное соединение разнородных элементов R, L, C.
Рис.20. Схема параллельного соединения элементов R, L, C
Пусть на вход цепи подано напряжение u = Umsin(t+u), тогда по первому закону Кирхгофа:
Комплексное изображение входного напряжения:
.
Для определения комплекса общего тока найдем его составляющие:
тогда комплекс общего тока:
. 54(44)
Построим векторную диаграмму для параллельного соединения (рис.21).
Пусть цu < 0, цu цI = > 0, опережающий, характер нагрузки активно-индуктивный.
Выражение в круглых скобках (44) имеет размерность 1/Ом или См (симменс) и носит название комплексной проводимости цепи:
, 55(45)
где y - модуль комплексной проводимости, а - угол сдвига фаз между током и напряжением.
Рис. 21. Векторная диаграмма для параллельного соединения разнородных элементов
Комплексная амплитуда общего тока:
. 56(46)
Её модуль:
.
Её фаза:
;
.
Мгновенное значение общего тока:
i = Imsin(t + цu - ).
Проводимости
Под комплексной проводимостью любой цепи понимается величина обратная ее полному комплексному сопротивлению:
, 57(47)
где g - активная проводимость данной цепи;
b - результирующая реактивная проводимость.
, 58(48)
где bL и bC - индуктивная и емкостная проводимости соответственно.
Понятие проводимости приобретает особый смысл в том случае, если ветвь содержит активные и реактивные элементы. На ветви, изображенной на рис.22, определим ее активную и реактивную проводимости:
Рис.22. Участок цепи с активно-индуктивным сопротивлением
. 59(49)
Из векторной диаграммы (рис.21) можно выделить треугольник токов:
Рис.23. Векторный треугольник токов
Разделив стороны векторного треугольника токов на вектор напряжения, получим скалярный треугольник проводимостей.
Рис24. Скалярный треугольник проводимостей
Резонанс токов
Резонансный режим, возникающий при параллельном соединении R, L, C, называется резонансом токов. В отличие от рассмотренного ранее режима резонанса напряжений, данный режим не столь однозначен.
Рис.25. Цепь с параллельным соединением разнородных приемников
В цепи (рис.25) режим резонанса токов возникает при условии равенства нулю результирующей реактивной проводимости этой цепи:
b = b1+ b2 = 0. 60(50)
Реактивные проводимости ветвей:
.
Подставим выражения b1 и b2 в (50):
и после преобразования получим резонансную частоту:
. 61(51)
Структура полученного уравнения показывает, что существует четыре варианта частоты :
Если R1 = R2 , то = 0
Если R1 = R2 = , то = 0 - с физической точки зрения это означает, что входное сопротивление данного контура равно ее волновому, которое не зависит от частоты, значит, резонанс будет иметь место при любой частоте. Для доказательства этого положения определим входное сопротивление цепи:
1. Если под корнем получилось отрицательное число, значит, резонансной частоты не существует для данных параметров R1, R2, , L, C.
2. Если под корнем положительное число, то получаем - единственную резонансную частоту.
1. Частотные характеристики параллельного колебательного контура
Для простоты рассмотрим идеальный контур, то есть контур без активных сопротивлений в ветвях (рис.26):
Рис.26. Параллельный колебательный контур
На рис.27 построены частотные характеристики реактивных проводимостей bL и bC, а также суммарной проводимости цепи
b = = bL + bC.
; ; . 62(52)
Рис.27. Частотные характеристики параллельного колебательного контура
Ток в неразветвленной части цепи:
. 63(53)
Рис.28. График зависимости тока в неразветвленной части цепи от частоты
Полученный график говорит о том, что в момент резонанса общий ток, потребляемый цепью, равен нулю, несмотря на наличие токов в ветвях, что в свою очередь подтверждается векторной диаграммой (рис.29).
Рис.29. Векторная диаграмма для резонансного режима идеального параллельного контура
При учете сколь угодно малого активного сопротивления цепи ток при резонансе не равен нулю. Пунктирная кривая изображает реальный ток в цепи.
Мощности
Рассчитаем мощность произвольного приемника, представленного на рисунке рис.30 в виде пассивного двухполюсника.
Рис.30. Пассивный двухполюсник
Пусть u = Umsint - подводимое напряжение; цu - цI = .
При цu=0 имеем
i = Imsin(t - ).
Тогда:
.64(54)
Построим график полученной функции p(t):
Рис.31. Зависимость мгновенных значений тока, напряжения и мощности произвольного двухполюсника в функции фазы щt
Полученный график говорит о том, что функция мгновенной мощности знакопеременна. Это значит, что двухполюсник имеет активно-реактивный характер. Если бы двухполюсник не содержал реактивных элементов, то график полностью бы лежал над осью t. Найдем среднее значение мгновенной мощности:
. 65(55)
Эта мощность называется активной мощностью. Единица измерения активной мощности - [Вт].
Наряду с активной вводится понятие полной мощности:
S = UI. 66(56)
Единица измерения полной мощности - [ВА].
P/S = cos - коэффициент мощности.
Разность полной и активной мощности, обусловленная наличием реактивных (индуктивных и емкостных) элементов называется реактивной мощностью:
Q = QL - QC = UIsin 67(57)
Единица измерения реактивной мощности - [вар]. Мощности связаны между собой соотношением:
68(58)
Треугольник мощностей (3a) можно получить из векторной диаграммы напряжений (рис.14), умножив стороны прямоугольного треугольника на вектор :
В этом треугольнике:
сторона ab - P = URI = I2R = UIcos;
сторона bc - Q = QL - QC = (UL - UC)I = I2(XL - XC) = UIsin;
сторона ac - .
Рис.32. Треугольники мощностей на основе векторной диаграммы напряжений (а) и векторной диаграммы токов (b)
Аналогичный треугольник мощностей можно получить из векторной диаграммы токов, умножив все стороны треугольника токов на вектор . В этом треугольнике (3b):
cторона ab - P = IRU = I2g = UIcos;
сторона bc - Q = QL - QC = (IL - IC)U = U2b = UIsin;
сторона ac - ;
Выражение мощности в комплексной форме
Пусть на входе некоторого двухполюсника известны комплексные изображения напряжения и тока:
; .
Мощность в комплексной форме выражается в виде произведения:
, 69(2.59)
где - сопряженный комплекс тока.
. 70(60)
4. Передача энергии от активного двухполюсника к пассивному
При работе любой электрической цепи должен иметь место баланс мощностей, т.е. алгебраические суммы активных и реактивных мощностей, развиваемых генераторами, должны равняться алгебраическим суммам активных и реактивных мощностей, поступающих во все пассивные элементы цепи, включая и внутренние сопротивление генераторов.
Полная мощность, развиваемая генератором:
.
Полная мощность, поступающая в любой приемник:
Тогда уравнение баланса мощностей:
71 , блн (61)
где rгk и xгk - соответственно внутренние активные и реактивные сопротивления генераторов.
Пусть в электрической цепи работает один источник энергии. Оценим условия, при которых в нагрузке будет выделяться максимальная мощность. Ток в цепи:
Реактивное сопротивление цепи должно равняться нулю
xг + xн = 0,
т.е. цепь должна работать в резонансном режиме, следовательно xг и xн должны быть равными по величине и противоположными по характеру (индуктивное и емкостное сопротивления). В итоге:
Найдем соотношение между rг и rн. Определим мощность приемника:
и полагая, что сопротивление нагрузки rн переменно, исследуем функцию Pн на экстремум:
откуда
72(62)
Следовательно, для получения максимальной мощности в нагрузке необходимо, чтобы:
. 73(63)
Режим работы цепи при этом условии называется согласованным режимом. КПД источника при этом условии:
.
При таком низком КПД согласованный режим работы используется только в слаботочных цепях, таких как телефонные линии, линии автоматики и телемеханики, где важна величина полезного сигнала по сравнению с помехами.
Коэффициент мощности
Наибольшие действующие значения напряжения и тока, допускаемые для генераторов и трансформаторов, производящих и, соответственно, преобразующих электрическую энергию, зависят от их конструкции, а наибольшая мощность, которую они могут развивать, не подвергаясь опасности быть поврежденными, определяется произведением этих значений. Поэтому рациональное использование электрических машин и трансформаторов может быть достигнуто лишь в том случае, когда приемники электрической энергии обладают высоким коэффициентом мощности cosц.
Обычно реактивный ток потребителей энергии носит индуктивный характер, т.е. ц > 0, т.к. наиболее широко используемые асинхронные двигатели потребляют из сети реактивный (индуктивный) ток для создания магнитного поля в машине.
Для улучшения (увеличения) cosц группы приемников параллельно им включают конденсаторы.
Покажем, как рассчитать емкость, необходимую для повышения cosц.
Пусть суммарная активная мощность приемников:
При увеличении cosц и неизменном напряжении сети:
Следовательно, I2 < I1.
Проиллюстрируем расчет необходимой величины емкости для повышения коэффициента мощности до значения cosц1 с помощью векторной диаграммы.
Рис.33. Векторная диаграмма, иллюстрирующая повышение коэффициента мощности
Рассчитаем необходимый емкостной ток.
, отсюда:
. 74(64)
Такую же роль, как конденсаторы, могут играть синхронные двигатели, работающие в «перевозбужденном» режиме. Они при этом потребляют из сети ток, реактивная составляющая которого носит емкостной характер.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Сила тока в резисторе. Действующее значение силы переменного тока в цепи. График зависимости мгновенной мощности тока от времени. Действующее значение силы переменного гармонического тока и напряжения. Сопротивление элементов электрической цепи.
презентация [718,6 K], добавлен 21.04.2013Исследование основных особенностей электромагнитных процессов в цепях переменного тока. Характеристика электрических однофазных цепей синусоидального тока. Расчет сложной электрической цепи постоянного тока. Составление полной системы уравнений Кирхгофа.
реферат [122,8 K], добавлен 27.07.2013Переменные электрические величины, их значения в любой момент времени. Изменение синусоидов тока во времени. Элементы R, L и C в цепи синусоидального тока и фазовые соотношения между их напряжением и током. Диаграмма изменения мгновенных значений тока.
курсовая работа [403,1 K], добавлен 07.12.2011Основные законы и методы анализа линейных цепей постоянного тока. Линейные электрические цепи синусоидального тока. Установившийся режим линейной электрической цепи, питаемой от источников синусоидальных ЭДС и токов. Трехфазная система с нагрузкой.
курсовая работа [777,7 K], добавлен 15.04.2010Расчет разветвленной цепи постоянного тока с одним или несколькими источниками энергии и разветвленной цепи синусоидального переменного тока. Построение векторной диаграммы по значениям токов и напряжений. Расчет трехфазной цепи переменного тока.
контрольная работа [287,5 K], добавлен 14.11.2010Расчет токов во всех ветвях электрической цепи методом применения правил Кирхгофа и методом узловых потенциалов. Составление уравнения баланса мощностей. Расчет электрической цепи переменного синусоидального тока. Действующее значение напряжения.
контрольная работа [783,5 K], добавлен 05.07.2014Порядок расчета неразветвленной электрической цепи синусоидального тока комплексным методом. Построение векторной диаграммы тока и напряжений. Анализ разветвленных электрических цепей, определение ее проводимости согласно закону Ома. Расчет мощности.
презентация [796,9 K], добавлен 25.07.2013Решение задач: линейные электрические цепи постоянного и синусоидального тока и трехфазные электрические цепи синусоидального тока. Метод контурных токов и узловых потенциалов. Условия задач, схемы электрических цепей, поэтапное решение и проверка.
курсовая работа [86,5 K], добавлен 23.10.2008Задачи на расчет электрической цепи синусоидального тока с последовательным и смешанным соединением приемников. Определение токов в линейных и нейтральных проводах; полная, активная и реактивная мощность каждой фазы и всей цепи. Векторная диаграмма.
контрольная работа [152,2 K], добавлен 22.12.2010Влияние величины индуктивности катушки на электрические параметры цепи однофазного синусоидального напряжения, содержащей последовательно соединенные катушки индуктивности и конденсатор. Опытное определение условий возникновения резонанса напряжений.
лабораторная работа [105,2 K], добавлен 22.11.2010
