Размещено на http://www.allbest.ru/

2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

"Институт Нефти и Газа"

Кафедра "Теоретическая и прикладная механика"

КУРСОВАЯ РАБОТА № 1 (2)

(Статика, кинематика, динамика)

Выполнил: студент группы УИТС-04-01

Ибрагимов Ильнур

Проверил: преподаватель кафедры ТПМ

Гольцов В.С.

ТЮМЕНЬ 2005

Содержание

• 1. Определение реакций опор твердого тела
• 2. Определение реакций опор составной конструкции (система двух тел)
• 3. Равновесие сил с учетом сцепления (трения покоя)
• 4. Приведение системы сил к простейшему виду
• 5. Определение положения центра тяжести тела
• 6. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения
• 7. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях
• 8. Кинематический анализ плоского механизма
• 9. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки
• 10. Кинематический анализ движения твердого тела, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности и имеющего неподвижную точку
• 11. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил
• 12. Применение теоремы об изменении количества движения к определению скорости материальной точки
• 13. Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки
• 13. Динамика механической системы. Основы теоремы динамики механической системы
• 14. Исследование поступательного и вращательного движений твердого тела

1. Определение реакций опор твердого тела

Дано: схема закрепления бруса (рис. 1.1); P = 10 кН, M = 5 кН•м, q = 2 кН/м

Определить момент реакции опор для того способа закрепления, при котором момент М_А имеет наименьшее числовое значение.

Решение. Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к конструкции. Действие связей на конструкцию заменяем их реакциями. В схеме а - Х_А, Y_A, M_A, в схеме б - Y_A, M_A, в схеме в - Y_A, M_A, R_C.

Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменяем равнодействующей

Q = q • 2 = 4 кН

Рис. 1.1 Схема а.

Рис. 1.2 Схема б.

Рис. 1.3 Схема в.

Чтобы выяснить в каком случае реакция заделки Y_A является наименьшей, найдем ее для всех трех схем, не определяя пока остальных реакций и моментов.

Для схемы а

? F_ky1 = 0;

Y_A - Q + P•sin45° = 0

Y_A = - 3,07 кН

Для схемы б

? F_ky = 0;

Q• cos45° - P - Y_A• cos45° = 0

Y_A = - 10,144 кН

Для схемы в

? F_ky2 = 0;

Y_A• cos45° - Q• cos45°= 0

Y_A = 4 кН

Таким образом, наименьшая реакция в заделке получается при закреплении бруса по схеме а.

Определим остальные опорные реакции и момент в заделке:

? F_kx = 0; P•cos45° - Х_А = 0, откуда Х_А = 7,07 кН;

? M_A= 0; M + P•sin45°•4 - P•cos45°•2 - Q•3 - M_A = 0, откуда M_А = 7,14 кН•м.

Результаты расчета приведены в табл. 1.1

Таблица 1.1

Схема	MА, кН•м	ХА, кН	YA, кН
а	7,14	7,07	-3,07
б	-	-	-10,144
в	-	-	4

2. Определение реакций опор составной конструкции (система двух тел)

Дано: схема конструкции (рис. 2.1), Р₁ = 12 кН, Р₂ = 4 кН, М = 16 кН•м, q = 3 кН/м. Определить реакции опор, а также соединения B для того способа сочленения, при котором модуль опоры B наименьший.

Решение.

1. Определение реакций опоры B при шарнирном соединении в точке С (рис 2.1).

статика динамика кинематика тело

Рис. 2.1

Для нахождения реакции R_B нужно знать X_B и Y_B, т.к.

(1)

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных ко всей конструкции (рис. 2.1). Составим уравнения моментов сил относительно точки С и А.

? M_С= 0; P₂•1 + M - R_D•3 = 0, откуда R_D = 6,667 кН

? M_А= 0;

Заменим силу с равномерной интенсивностью q на равнодействующую силу

Q = 4•q = 12 кН

Q•2 + M + P₁• sin60°•2 - P₁• cos60°•4 - P₂•2 - R_D•7 - Y_B•4 = 0,откуда Y_B = - 4,47 кН

Составим уравнение равновесия:

? F_kx = 0; Q - P₁•cos60° - Х_B - P₂ = 0, откуда Х_B = 2 кН;

Подставляя найденные значения Х_B и Y_B в уравнение (1), найдем:

Определение реакций опоры B при соединении частей конструкци в точке С скользящей заделкой (схема показана на рис. 2.2)

Рис. 2.2

Для определния реакций разделим конструкцию на 2 тела. Система сил для тела CD показана на рис. 2.3:

Рис. 2.3

Составим уравнение равновесия для тела CD:

? F_kx = 0, отсюда R_D = 0

Для всей конструкции:

? F_kx = 0;

Q - P₁•cos60° - X_B - P₂ = 0, откуда

X_B = 2 кН

Составим уравнение моментов сил относительно точки А:

? M_А= 0

Q•2 + M + P₁•sin60°•2 - P₁•cos60°•4 - P₂•2 - R_D•7 - Y_B•4 = 0, откуда

Y_B = 7, 196 кН

Подставляя найденные значения Х_B и Y_B в уравнение (1), найдем:

Итак, при шарнирном соединении в точке С модуль реакции B меньше, чем при соединении скользящей заделкой. Найдем остальные неизвестные реакции в конструкции с шарнирным соединением.

Составим уравнение моментов сил относительно точки B

? M_B = 0

Q•2 + R_A•4 - P₁sin60°•2 - P₁•cos60°•4 - P₂•2 + M - R_D•3 = 0,

отсюда находим, что

R_A = 8, 196 кН

Рассмотрим отдельно часть CD конструкции и найдем реакции в точке С (рис 2.4).

Рис. 2.4

Составим уравнения равновесия:

? F_kx = 0, X_C - P₂ = 0, отсюда X_C = 4 кН

? F_ky = 0, Y_C - R_D = 0, отсюда Y_C = 6,667 кН

3. Равновесие сил с учетом сцепления (трения покоя)

Дано: G = 2 кН, Q = 25 кН, a = 0,1 м, b = 0,25 м, f = 0,15 (рис. 3.1). Определить минимальное значение силы P и реакции опор О, А, В.

рис. 3.1

Решение. Рассмотрим сначала систему уравновешивающихся сил, приложенных к блоку (рис. 3.2)

Рис. 3.2

Составим уравнение моментов сил в точке С.

? M_С= 0;

T•R₁ - Q•R₁ = 0, отсюда T = Q

Составим уравнение равновесия для данного блока.

? F_ky = 0,N₁ - G - T - Q = 0

N₁ = 52 кН

Теперь рассмотрим систему сил, уравновешивающих лебедку (рис 3.3)

рис. 3.3

В состоянии предельного равновесия сила P минимальна, а сила сцепления (трения покоя) между тормозной колодкой и барабаном определяется равенством:

F_сц = f•N, отсюда

N = F_сц / f (1)

Запишем уравнение моментов сил в точке О.

? M_О = 0;

N₁ - F_сц•1,4•R = 0

F_сц = N₁/1,4 = 37,143 кН

Подставляя F_сц в уравнение (1) получим:

N = 247,619 кН

Запишем уравнения равновесия для лебедки:

? F_X= 0; X₀ - N•cos30° - F_сц•cos60° = 0, отсюда X₀ = 233,01 кН

? F_Y= 0; Y₀ - 2•G - N₁ - F_сц• cos30° + N• sin30° = 0, отсюда Y₀ = 35,642 кН

Зная X₀ и Y₀, определим реакцию R₀:

Рассмотрим систему сил, приложенных к тормозной колодке (рис. 3.4).

Рис. 3.4

Составим уравнения моментов сил относительно точек А и В.

? M_В = 0; F_сц (a+b) - R_A•b = 0, отсюда R_A = 52 кН

? M_А = 0; Fсц•a - R_В•b = 0, отсюда R_В = 14,86 кН

Для определения минимального значения силы P cоставим уравнение равновесия:

? F_X= 0; N - P_min = 0; N = P_minP_min = 247,619 кН

Все результаты расчетов занесены в табл. 5.1

Таблица 3.1

RO, кН	RА, кН	RВ, кН	Pmin, кН
235,72	52	14,86	247,619

4. Приведение системы сил к простейшему виду

Дана система сил ; модули точек приложения и направления этих сил указаны в табл. 4.1

Таблица 4.1

Размеры прямоуголного параллелипипеда, см

Силы системы

a

b

c

Модуль, Н

Точка приложения

направление

Модуль, Н

Точка приложения

направление

Модуль, Н

Точка приложения

направление

Модуль, Н

Точка приложения

направление

4

8

6

6

A

AE

20

F

FA

10

C

CK

8

D

DK

1. Определение главного вектора заданной системы сил. Заданная система сил показана на рис 4.1

Рис. 4.1

Предварительно определяем

,

Проекции главного вектора на оси координат:

X = 0 Н;

Y = P₄ - P₂•cos б = - 8 Н;

Z = P₁ + P₃ - P₂•sin б =4 Н;

Модуль главного вектора:

;

Направляющие косинусы:

Главный вектор показан на рис. 4.1.

2. Определение главного момента заданной системы сил относительно центра О.

Главные моменты заданной системы сил относительно координатных осей:

M_X = P₃•b - P₂• sin б•6 - P₄•c = 32 Н•см

M_Y = (P₂• sin б - P₁) •a = 24 Н•см

M_Z = - P₂• cos б = - 64 Н•см

Модуль главного момента:

Направляющие косинусы:

3. Вычисление наименьшего главного момента заданной системы сил.

M* = (M_X*X + M_Y*Y + M_Z*Z) /R^* = - 50,337 Н*см

4. Т.к. и , то система приводится к динаме. Составим уравнение главной оси:

Из этих трех уравнений независимыми являются только два. Подставляя в два из этих уравнений найденные числовые значения величин, находим:

Значения координат точек пересечения центральной осью координатных плоскостей, определенных этими уравнениями, помещены в табл. 4.2

Таблица 4.2

Точки	Координаты, см
	x	y	z
A1	0	-	-
A2	5,312	0	4
A3	5,312	8	0

Центральная ось системы сил показана на рис. 4.1.

5. Определение положения центра тяжести тела

Определить координаты центра тяжести фигуры, показанной на рис. C 5.1.

Рис. 5.1

Решение.

Координаты центра тяжести плоской фигуры определяем по формулам:

x = S_y*F; y = S_X/F, где (1), S_y = ? F_i*x_i; S_x = ? F_i*y_i

Чтобы воспользоваться формулами (1), поделим плоскую фигуру на простые части, для которых легко находятся площади F_i и координаты центров тяжести x_i и y_i.

I фигура - прямоугольник (рис. 5.1 - центр тяжести - С₁)

S₁ = 2*16 = 32 (см²)

x₁ = 8 см

y₁ = 1 см

II фигура - прямоугольник (рис. 5.1 - центр тяжести - С₂)

S₂ = 2*14 = 28 (см²)

x₂= 10 см

y₂= 9 см

III фигура - полукруг (рис. 5.1 - центр тяжести - С₃)

S₃ = 0,5*рR² = 6,283 (см²)

x₁ = 10 см

y₁ = 16 + 4R/3р = 16,849 см

Таким образом, подставляя найденные значения площадей и координат центров тяжести простых фигур в формулы (1), найдем координаты центра тяжести плоской фигуры:

Центр тяжести площади указан на рис. 5.1.

6. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t₁ (c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Исходные данные: x = 5sin² (рt/6); y = - 5cos² (рt/6) - 3; t₁ = 1 (x и y - в см, t и t₁ - в с).

Решение.

Определение траектории движения точки М.

Уравнения движения точки можно рассматривать как параметрические, поэтому перейдем к их координатной форме, используя формулу sin²б + cos²б = 1.

sin² (рt/6) = x/5; cos² (рt/6) = - (y+3) /5; (1)

x - y - 3 = 5;

y = x - 8 (прямая, рис 6.1)

рис. 6.1

Определение положения точки М в момент времени t₁ =1с.

Подставляя значения t₁ =1с в формулы (1), надем координаты точки в данный момент времени:

x₁ = 1,25 см,y₁ = - 6,75 см

Определение скорости точки М в момент времени t₁ =1с.

При t₁ = 1c:

Определение полного, касательного и нормального ускорения точки М в момент времени t₁ =1с.

,

При t₁ = 1c:

Полное ускорение:

Касательное ускорение:

Нормальное ускорение:

Определение радиуса кривизны:

Результаты всех расчетов занесены в табл. 6.1

Таблица 6.1

Координаты	Скорость, см/с	Ускорение, см/с2	Радиус кривизны, см
x	y	vx	vy	v	ax	ay	a	aф	an	с
1,25	-6,75	2,267	2,267	3, 206	1,3707	1,3707	1,938	1,938	0	?

7. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях

Движение груза 1 должно описываться уравнением:

,

где t - время, c, c₀, c₁, c₂, - некоторые постоянные.

В начальный момент времени (t = 0) положение груза определяется координатой x₀, и он имеет скорость v₀. Учесть, что в момент времени t = t₂ координата груза равна x₂.

Определить коэффициенты c₀, c₁, c₂, при которых осуществляется требуемое движение груза 1. Определить также в момент времени t = t₁ скорость и ускорение груза и точки М одного из колес механизма.

Схема механизма показана на рис. 7.1.

рис. 7.1

Дано: R₂ = 20 см, r₂ = 15 см, R₃ = 10 см, x₀ = 5 см, v₀ = 10 см/c, x₂ = 179 см, t₂ = 3c, t₁ = 2c.

Решение. Уравнение движения груза:

Уравнение скорости груза:

Определение коэффициентов c₀, c₁, c₂:

При t₀ = 0, x₀ = 5 см => c₀ = 5 см; .

При t₂ = 3с, x₂ = 179 см/c² => c₂ = 16 см/с²;

При t₁ = 2с, v₁ = 74 см/c, a = 32 см/с²

Таким образом уравнение движения груза будет:

x = 16t² + 10t + 5

Уравнение скорости груза:

v = 72t + 5

Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза v и угловые скорости колес щ₂ и щ₃.

В соответствие со схемой механизма:

Определение ускорений.

Угловое ускорение колеса:

Определение полного, нормального и касательного ускорений точки М.

Результаты вычислений для момента времени t₁ = 2c приведены в табл. 7.1

Таблица 7.1

v, см/с	a, см/с2	щ3,рад/ с	е3,рад/ с2	vM, см/с	aMn, см/с2	aMф, см/с2	aM, см/с2
74	32	5,55	2,4	55,5	308,025	24	308,958

8. Кинематический анализ плоского механизма

Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат.

Размеры, см	щOA, рад/с	щI, рад/с	еOA, рад/с2	нA, см/с	aA, см/с
ОА	r	AB	AC
-	-	30	20	-	-	-	20	20

Решение.

Расчет скоростей.

AB совершает плоское движение, мгновенный центр скоростей находится в точке В, т.к.

Расчет ускорений.

(1)

Проецируем (1) на оси

Проецируем a_c на оси

9. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

Точка М движется относительно тела D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для момента времени t = t₁ абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Решение.

1) Относительное движение - криволинейное. Определим положение точки при t₁ = 2с.

При t₁ = 2:

2) Переносное движение - вращение.

При t₁ = 2:

3) Кориолисово ускорение

4) Абсолютная скорость

10. Кинематический анализ движения твердого тела, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности и имеющего неподвижную точку

Тело А катится без скольжения по поверхности неподвижного тела B, имея неподвижную точку О. Ось тела А вращается вокруг неподвижной оси Oz и имеет при заданном положении тела А угловую скорость и угловое ускорение . Определить угловую скорость и угловое ускорение точки М в указанном положении тела А. Дано: ОМ₀ = 40 см.

Решение.

1) Определение угловой скорости тела.

Выберем направления координатных осей так, чтобы ось находилась в плоскости x0z.

Угловая скорость тела A равна геометрической сумме угловых скоростей и :

Нам неизвестно , поэтому найдем его из соотношения:

Угловую скорость найдем по теореме косинусов:

2) Определение углового ускорения тела.

Геометрически угловое ускорение - скорость конца вектора , вращающемуся относительно оси 0z с угловой скоростью :

3) Определение скорости точки тела.

Скорость точки М определяем как вращательную относительно мгновенной оси:

4) Определение ускорения точки тела.

Ускорение точки М находим как геометрическую сумму осестремительного и вращательного ускорений:

11. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил

Найти уравнения движения тела М массой m, принимаемого за материальную точку и находящегося под действием переменной силы P, при заданных начальных условиях.

Дано:

рис. 11.1

Решение.

На материальную точку действует сила P и сила тяжести G=mg.

Дифференциальное уравнение движения точки без учета G.

Решаем дифференциальное уравнение подстановкой:

Определим произвольную постоянную С при t₀ = 0

Определим искомую функцию z (t):

Определим произвольную постоянную С₂ при t₀ = 0

- закон движения материальной точки.

12. Применение теоремы об изменении количества движения к определению скорости материальной точки

Телу массой m сообщена начальная скорость v₀, направленная вверх по наклонной плоскости, составляющей угол б с горизонтом (рис. 12.1). На тело действует сила P, направленная в ту же сторону. Зная закон изменения силы P = P (t) и коэффициент f, определить скорость тела в моменты времени t₁, t₂, t₃. Проверить полученный результат для момента времени t₁ с помощью дифференциального уравнения движения.

рис. 12.1

Рис. 12.2 График изменения силы P

Дано: m=12кг, v₀=3м/с, t₁=3с, t₂=8с, t₃=14с, P₀=60Н, P₁=180Н, P₂=120Н, P₃=120Н, б=42⁰, f =0,15

Решение.

По данным значениям силы P построим график ее изменения (рис. Д5.2).

1) Интервал от 0 до t₁

Теорема об изменении количества движения:

Проверим, что скорость не изменила своего направления:

Уравнение не имеет корней, значит, скорость не изменила своего направления в этом интервале времени.

2) Интервал от t₁ до t₂

Теорема об изменении количества движения:

Проверим, что скорость не изменила своего направления (ф - время от начала второго интервала):

ф*> (t₂-t₁), значит, скорость не изменила своего направления в этом интервале времени.

3) Интервал от t₂ до t₃

Теорема об изменении количества движения:

Проверим значение v₁ в момент времени t₁:

Составим дифференциальное уравнение движения материальной точки:

Определим произвольную постоянную С:

Таким образом:

13. Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки

Шарик, принимаемый за материальную точку, движется из положения А внутри трубки, ось которой расположена в вертикальной плоскости. Найти скорость шарика в положениях В и С и давление шарика на стенку трубки в положении С. Трением на криволинейных участках траектории пренебречь. Шарик пройдя путь h0, отделяется от пружины.

Рис. 12.1

Дано: m = 0,4 кг, ф = 0,4 с, R = 2 м, f = 0,2, б = 30°, в = 60°, v_a=5 м/с

Найти: v_D

Решение.

Участок AC. Теорема об изменении кинетической энергии:

Определение давления в точках С по принципу Даламбера. Приложим силы инерции:

Спроецируем силы на нормаль:

Участок BC. Теорема об изменении количества кинетической энергии:

Участок BD. Теорема об изменении количества движения в проекции на ВД:

13. Динамика механической системы. Основы теоремы динамики механической системы

Тела 1 и 2 движутся по отношению к телу 3 с помощью механизмов, установленных на этом теле (силы, приводящие и движение механизмы, являются внутренними силами данной механической системы). Тело 3 находится на горизонтальной плоскости.

14. Исследование поступательного и вращательного движений твердого тела

Механическая система состоит из механизма (колёс 1 и 2) и груза 3. К колесу 1 приложена движущая сила Р = P (t). Время t отсчитывается от некоторого момента (t = 0), когда угловая скорость колеса 1 равна щ₀. Момент сил сопротивления ведомого колеса 2 равен М_с. Другие силы сопротивления движению системы не учитывать. Массы колёс 1 и 2 равны т₁ и т₂, а масса груза - m₃. Радиусы больших и малых окружностей колёс R_1,r₁, R₂, r₂. Относительно неподвижных осей колёс 1 и 2 заданы их радиусы инерции i_x1, i_x2.

Найти уравнение ц₁ = f (t) движения колеса 1 системы. Определить также натяжение нити Т в заданный момент времени t₁. Найти, кроме того, окружное усилие S колёс 1 и 2 в точке их касания.

Дано: m₁ = 100кг, m₂ = 200кг, m₃ = 600кг, R₁ = 0.30м, r₁ = 0.20м, R₂ = 0.60м,

i_x1 = 0.20м, i_x2 = 0.60м, Р = 5700 + 50t (H), М_с = 1500Нм, g = 9.81м/с², щ₁₀ = 2рад/с, t₁ = 2с.

Найти: ц₁ = f (t), T, S.

Рис. 14.1

Решение

В данной механической системе колеса 1 и 2 механизма вращаются вокруг неподвижных осей, а поднимаемый груз 3 совершает поступательное движение.

Напишем дифференциальные уравнения движения каждого из этих трех тел, для чего отделим одно от другого, разрезав нить, удерживающую груз 3, и разъединив колеса 1 и 2 в точках соприкасания зубцов (рис. Д11.1).

К колесу 1 механизма приложены сила тяжести движущая сила, составляющие реакции подшипника , , окружное усилие и нормальная реакция колеса 2.

К колесу 2 механизма приложены сила тяжести , момент сил сопротивления М_с, составляющие реакции подшипника , , натяжения нити, к которой подвешен груз 3, окружное усилие и нормальная реакция колеса 1.

К грузу 3 приложены сила тяжести , и натяжение нити .

Очевидно, . Составим дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 1 вокруг оси x₁:

,

здесь - главный момент внешних сил, приложенных к колесу 1, относительно оси вращения x₁:

.

(Момент от силы Р приводит в движение колесо 1 и поэтому принят положительным, а момент, создаваемый окружным усилием препятствует вращению колеса 1 и, следовательно, отрицателен.)

Дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 1 примет вид

(1)

Составим дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 2 вокруг оси x_2:

здесь - главный момент внешних сил, приложенных к колесу 1, относительно оси вращения x₁: .

(Момент, создаваемый окружным усилием приводит в движение, колесо 2 и поэтому принят положительным, а момент силы натяжения нити и момент сил сопротивления М_с препятствуют движению колеса 2 и, следовательно, отрицательны.)

Дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 2 имеет вид

(2)

Составим дифференциальное уравнение поступательного движения груза 3:

Здесь - проекция главного вектора внешних сил, приложенных к грузу 3, на ось у, направленную в сторону движения груза, т.е. вверх: .

Дифференциальное уравнение поступательного движения груза 3

(3)

В уравнениях (1), (2), (3) неизвестными являются силы Т' = Т и S₁ = S₂ = S, а также функции , и - угловые ускорения колес 1, 2 и ускорение груза 3 соответственно.

Но указанные функции связаны между собой соотношениями

(4) (5)

так, что в трех уравнениях - три неизвестные: Т, S, .

Выразим из (4): и подставим в (1):

(6)

Исключим из дифференциального уравнения (2) силу Т, для чего выразим Т (Т' = Т) из (3): . Учитывая (5), напишем .

Тогда (2) приобретает вид

(7)

Исключим S (S = S₁ = S₂) из (6) и (7), для чего умножим (6) на R₂, a (7) - на r₁:

Сложив соответствующие части полученных уравнений, имеем

(8)

Выражение (8) определяет в общем виде угловое ускорение колеса 2 механизма. Учитывая соотношение (4), из (8) получим выражение в общем виде для углового ускорения колеса 1:

(9)

Здесь G₃ = m₃g, g - ускорение свободного падения. Моменты инерции колес 1 и 2 относительно осей x₁ и x₂

(10)

Произведём вычисления по формулам (10) и (9), учитывая исходные данные:

(11)

Интегрируем это уравнение дважды, используя следующие начальные условия задачи: t = 0, , .

Первый интеграл

Второй интеграл

Напишем полученные уравнения для t = 0: , , откуда

.

Уравнение угловой скорости звена 1 имеет вид

(12)

Искомое уравнение вращательного движения колеса 2 имеет вид:

(13)

Натяжение нити T найдем, как было показано, из уравнения (3):

или

(14)

При t = 2 с, учитывая (11) и исходные данные, имеем

(15)

Окружное усилие определяем из уравнения (1):

, при t = 2 с, учитывая (11), имеем

Размещено на Allbest.ru