Размещено на http://www.allbest.ru/

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРеделимвх СИСТЕМ ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ

Конструкции, в которых внутренние усилия (внутренние силовые факторы) не могут быть определимы только на основе уравнений равновесия, называются статически неопределимыми.

Внутренние усилия в частях конструкций могут вызываться различными причинами:

а) действием внешне приложенных сил;

б) изменением температуры системы;

в) неточностью изготовления элементов конструкции.

При расчете статически неопределимых систем по допускаемым напряжениям в качестве критерия прочности принимают величину наибольшего напряжения, которое сопоставляется с так называемым допускаемым напряжением .

Если выполняется условие , конструкция считается прочной. При установлении допускаемого напряжения вводится коэффициент запаса прочности , величина которого зависит как от качества и механических свойств материала, так и от условий эксплуатации конструкций:

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ

Если стержень имеет возможность свободно изменять свои размеры, то при изменении температуры в нем не возникает напряжений. Иначе обстоит дело, если стержень лишен этой возможности; напряжения, вызванные изменением температуры, могут иногда достичь значительной величины в зависимости от разности начальной и конечной температур и упругих свойств материала.

В стержне постоянного поперечного сечения, закрепленном обоими концами, изменение температуры на величину вызовет продольное усилие

, которое определится по формуле

соответствующее напряжение

где:

- температурный коэффициент линейного расширения материала;

- площадь поперечного сечения стержня.

При охлаждении продольная сила будет растягивающей, при нагревании сжимающей.

НАЧАЛЬНЫЕ ИЛИ МОНТАЖНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

Неточность изготовления отдельных элементов статически неопределимой конструкции (системы) вызывает при сборке напряжения, которые называются начальными или монтажными.

Для определения неизвестных в статически неопределимых системах приходится составлять дополнительные уравнения перемещений. Раскрытие статической неопределимости систем нужно выполнять в следующей последовательности:

1. Определить степень статической неопределимости системы как разность между количеством неизвестных и числом уравнений статики

2. Рассмотреть статическую сторону задачи, составив уравнения равновесия.

3. Рассмотреть геометрическую сторону задачи, составив уравнение перемещений.

4. Установить физическую сторону задачи, выразив перемещение через усилия по закону Гука.

5. Полученную систему уравнений решить относительно неизвестных величин.

ПРИМЕР: Абсолютно жесткий брус АС,рис.5, нагруженный силой кН, шарнирно закреплен в точке А и подвешен на двух стальных стержнях, изготовленных из уголков.

1. Подобрать безопасные размеры сечения стержней и уголков.

2. Определить напряжения в стержнях, допустив, что один изготовлен на 0,06 см короче расчетной длины.

3. Определить напряжения в стержнях, если их температура увеличилась на

4. Определить допускаемую нагрузку стержней , если Мпа

Отбросим мысленно опорные шарниры и заменим их действие связями

1. Определим степень статической неопределимости системы

2. Рассмотрим статическую сторону задачи, составив уравнение равновесия бруса:

(в три уравнения равновесия входят четыре неизвестные силы) .

3.Рассмотрим геометрическую сторону задачи. Под действием силы происходит удлинение стержней (брус АС абсолютно жесткий).



Из подобия треугольников (рис.7) ? находим:

,где:

и

,

тогда (дополнительное уравнение)

4. Физическая сторона задачи

,

и, следовательно

, но

м; м; ;

Подставляя .значения имеем

откуда ,

5. Подставим найденное значение , в последнее из уравнений равновесия:

,

,

откуда кН,

кН

6. Находим допускаемое напряжение

МПа.

7. Находим площадь стержней из условия

м²

м²; см²

По таблицам ГОСТ 8510-5 выбираем уголок 75х75х6,

у которого см²

Напряжения в стержнях от силы

МПа.

МПа.

Находим допускаемую нагрузку , приняв

, т.к.

откуда кН.

Иногда в задачах требуется найти предельную грузоподъемность. При предельном состоянии системы, соответствующий исчерпанию ее грузоподъемности, нормальные напряжения в поперечных сечениях обоих стержней равны (пределу текучести). находится по таблицам и зависит от материала.

В нашем случае МПа

Следовательно:

кН;

кН;

Из условия равновесия

Находим предельную нагрузку

кН

II. Определим напряжения в стержнях, допустив, что 1 стержень изготовлен на см короче расчетной длины.



Считаем, что площади сечений предыдущего расчета равны

см² и см²

Очевидно, чтобы подсоединить 1 стержень к системе, необходимо его удлинить, а 2 стержень - укоротить. В результате чего система окажется в напряженном состоянии. Изобразим систему в собранном состоянии.

1. Определим степень статической неопределимости системы

Система I раз статически неопределима

2. Рассмотрим статическую сторону задачи, составив уравнение равновесия бруса:

откуда

3. Геометрическая сторона задачи дает возможность составить недостающее четвертое уравнение.

Рассмотрев совместно деформации стержней получаем:

, , где

,

4. Физическая сторона задачи:

;

5. Решив совместно уравнение статики и деформационное уравнение получим:

кН.

кН. т.к. ГПа

6. Определим монтажные напряжения в стержнях.

МПа

МПа

1 стержень работает на растяжение

2 стержень работает на сжатие

III. Определение напряжений в стержнях при увеличении температуры на

Считаем, что коэффициент линейного расширения

р/град.

см²,см²

Вследствие изменения температуры системы и невозможности свободного изменения длины ее стержней, т.к. концы их присоединения к жесткой балке АД, в стержнях возникнуть усилия , и , (направления их выбираем произвольно).

1. Определяем степень статической неопределимости системы

Система один раз статически неопределима.

2. Статическая сторона задачи



откуда

3. Геометрическая сторона задачи.

Изобразим схему в деформированном состоянии, т.е. после нагрева ее на при этом длина каждого стержня будет изменяться под действием двух факторов: под действием температуры на величину и под действием усилия на величину .

Положение системы после деформации дает возможность получить недостающее 4 уравнение

(*)

4. Физическая сторона задачи

Окончательно подставив в (*) получим

5. Выполнив подстановку численных значений в соотношение полученное из уравнения статики, найдем

кН

Знак минус указывает, что 2 стержень работает не на сжатие, как было принято ранее, а на растяжение

кН

Тогда 1 стержень будет работать на сжатие.

6. Определим температурные напряжения в стержнях

МПа

МПа

IX. Если учесть факторы, вызывающие напряжения в стержнях, то

МПа

Мпа

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2

статическая неопределимая система

Деформация кручения, построение эпюр крутящих моментов.

При работе стержня на кручение в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент (иногда обозначаемый также )

С помощью метода сечений величина выражается через внешние силы (скручивающие моменты):

крутящий момент в произвольном поперечном сечении численно равен алгебраической сумме скручивающих (внешних) моментов, приложенных к оставленной части:

Для расчета на прочность и определения перемещений поперечных сечений стержня (вала) надо знать закон изменения крутящих моментов по его длине (т.е. построить эпюру крутящих моментов).

При построении эпюр крутящих моментов принимаем следующее правило знаков.

Считаем крутящий момент положительным, если со стороны проведенного сечения он направлен по часовой стрелке.

/Можно применять и прямо противоположные правило знаков. Знак крутящего момента не имеет физического смысла/.

При расчете валов, как правило, бывают заданы: передаваемая мощность в кВт или л.с., угловая скорость в рад/с или частота вращения в об/мин. Внешний (скручивающий) момент, передаваемый шкивом (зубчатым колесом и т.п.), вычисляется по формуле:

- в кВт; - в Нм; - в рад/с

Последовательность построения эпюр крутящих моментов:

1. изобразить расчетную схему вала и приложить к нему заданные внешние моменты.

2. Вал разбить на участки согласно сечениям, в которых приложены внешние моменты.

3. Определить методом сечений величину крутящего момента или каждого участка по величине и знаку.

4. Найденные величины крутящих моментов отложить в масштабе в виде ординат, перпендикулярных к оси вала. Через концы ординат провести линии, параллельные оси вала, нанести знаки крутящих моментов и заштриховать опору винтовой линией»

При нагружении вала сосредоточенными моментами опара всегда ограничена прямыми, параллельными оси вала; в местах приложения внешних (скручивающих) моментов получается скачки на величину этих моментов.

ПРИМЕЧАНИЕ: При построении эпюры крутящего момента потери в подшипниках не учитываются, поэтому сумма снимаемых с вала мощностей равна подводимой к нему мощности.

При расчете на прочность вала круглого (сплошного или кольцевого) поперечного сечения касательное напряжение в произвольной точке сечения вычисляется по формуле.

- крутящий момент, в рассматриваемом сечении;

- полярный момент инерции поперечного сечения;

- расстояние от центра сечения до рассматриваемой точки.

Для круга:

Для кольца:

где - отношение внутреннее диаметра к наружному.

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках внешнего контура (на поверхности вала поперечного сечения и определяется по формуле:

где: - полярный момент сопротивления

Для круга:

Для кольца:

Условие прочности

При чистом кручении

Условие жесткости записывается по углу поворота поперечного сечения

или через относительный угол закручивания (т.е. угол закручивания из единиц длины).



- модуль сдвига (модуль упругости второго рода) для стали:

ГПа

Если величину крутящего момента нельзя определить с помощью только уравнений равновесия, то система считается статически неопределимой. При решении таких задач необходимые дополнительные уравнения перемещений могут быть получены из рассмотрения деформаций заданной конструкции. Метод решения статически неопределимых задач на кручение в принципе не отличается от решения таких задач на растяжение (сжатие).

ПРИМЕР: Стальной вал заделан концами и скручивается согласно схемы (рис. I) моментами:

Нм

Нм

Нм

м

МПа

Необходимо:

1. Построить эпюру крутящих моментов.

2. Из условия прочности определить безопасный диаметр вала,

3. Построить эпюру углов закручивания по длине вала. Определить максимальный относительный угол закручивания.

4. Из условия равно прочности сравнить веса валов круглого, кольцевого и прямоугольного поперечных сечений.



РЕШЕНИЕ:

Т.к. заделка, концевых сечений А и В препятствуют их повороту, то в этих сечениях появятся реактивные крутящие моменты И .

Направление их вращения выбираем произвольно, например, в сторону вращения момента . Если теперь раскрепить вал и отброшенные связи (опоры) заменить соответствующими реактивными моментами, то рассматриваемый вал будет находиться под действием скручивающих моментов .

1. Определяем степень статической неопределимости вала. Для рассматриваемой системы можно составить только одно уравнение статики, а неизвестных два.

Следовательно, система 1 раз статически неопределима.

2. Статическая сторона задачи

3. Геометрическая сторона задачи. Для получения второго уравнения рассмотрим деформацию системы. Вал содержит 4 участка, длины, которых равны по м.

Под действием скручивающих моментов сечение повернется относительно сечения на некоторый угол . Угол поворота сечения от обозначим через , угол поворота сечения относительно сечения , и наконец, сечение относительно сечения . Направления углов поворота пока неизвестны, но т.к. сечения и неподвижны, то сумма всех углов закручивания равна нулю, т.е.

(*)

4. Физическая сторона задачи.

Используя закон Гука при определении деформации, свяжем углы поворота сечений с внутренними силами (крутящими моментами).

,

, тогда (*)

(**)

5. Чтобы определить крутящие моменты применим метод сечений (см.рис.3).

Тогда: ;

;

Итак, уравнение (**) примет вид:

, т.к.

, следовательно

Нм

Нм

Из уравнения статики найдем:

Нм

Знак минус указывает, что направление реактивных моментов надо изменить в противоположную сторону.

6. Строим эпюру крутящих моментов (см.рис.4),из которой видно, что наибольший крутящий момент Нм действует в сечениях 4-го участка. Здесь и возникнут наибольшие касательные напряжения.

7. Исходя из условия прочности найдем диаметр вала

см.

8. Определим углы закручивания по участкам и построим эпюру углов закручивания (см.рис.5).

м⁴

ГПа

радиан.



, т.к. ,

рад.

рад.

9. Определим наибольший относительный угол закручивания:



Размещено на Allbest.ru