Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Содержание

Введение

Глава I. Симметрия в физике

Глава II: Законы сохранения как следствие симметрии в физике

1. Теорема Нетер

2. Динамические законы сохранения

2.1 Сохранение энергии

2.2 Сохранение импульса

2.3 Сохранение момента импульса

2.4 Сохранение электрического заряда

Заключение

Литература

Введение

симметрия физика сохранение теорема нетер

Законы сохранения являются фундаментальными законами природы и играют в физике особую роль. Общность и универсальность законов сохранения определяют их большое научное и философское значение. Они являются основой важнейших расчетов физики и ее технических приложений, позволяют в ряде случаев предсказывать эффекты и явления при исследовании разнообразных физико-химических систем и процессов. С законами сохранения связано введение в современную физику идей, имеющих принципиальное значение. Открытие и обобщение законов сохранения происходило вместе с развитием всей физики, от первых робких догадок античных натурфилософов через классическую механику и электродинамику до теории относительности, квантовой механики и физики элементарных частиц. Поэтому принципиально знать причину появления в физике этих законов.

Все физические явления протекают в пространстве и во времени. Использование преобразований пространственно временной симметрии приводит к фундаментальным физическим выводам, к установлению следующей связи:

Симметрия - инвариантность - закон сохранения.

Существует фундаментальная теорема, доказанная Эмми Нетер, которая устанавливает общую связь между свойствами инвариантности соотношений физической теории относительно соответствующих групп непрерывных преобразований симметрии и математической формулировкой законов сохранения физических величин.

Цель работы - проследить данную связь на примере законов сохранения энергии, импульса, момента импульса, заряда.

Глава I. Симметрия в физике

На протяжении тысячелетий в ходе общественной практики и познания законов объективной действительности человечество накопило многочисленные данные, свидетельствующие о наличии в окружающем мире двух тенденций: с одной стороны, к строгой упорядоченности, гармонии, а с другой - к их нарушению. Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, цветов, пчелиных сот и других естественных объектов и воспроизводили эту пропорциональность в произведениях искусства, в создаваемых ими предметах, ввели понятие симметрия.

Слово "симметрия" имеет два значения. В одном смысле симметричное означает нечто пропорциональное, сбалансированное; симметрия показывает тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое.
Второй смысл этого слова - равновесие. Еще Аристотель говорил о симметрии как о таком состоянии, которое характеризуется соотношением крайностей.

Научное определение симметрии принадлежит крупному немецкому математику Герману Вейлю (1885-1955), который в своей замечательной книге «Симметрия» проанализировал также переход от простого чувственного восприятия симметрии к ее научному пониманию. Согласно Вейлю, под симметрией следует понимать неизменность (инвариантность) какого-либо объекта при определенного рода преобразованиях. Можно сказать, что симметрия есть совокупность инвариантных свойств объекта. Например, кристалл может совмещаться с самим собой при определенных поворотах, отражениях, смещениях. Многие животные обладают приближенной зеркальной симметрией при отражении левой половины тела в правую и наоборот. Однако подчиняться законам симметрии может не только материальный, но и, к примеру, математический объект. Можно говорить об инвариантности функции, уравнения, оператора при тех или иных преобразованиях системы координат. Это в свою очередь позволяет применять категорию симметрии к законам физики. Так симметрия входит в математику и физику, где она также служит источником красоты и изящества.

Постепенно физика открывает все новые виды симметрии: если вначале рассматривались лишь пространственно-временные (геометрические) виды симметрии, то в дальнейшем были открыты ее негеометрические виды (перестановочная, калибровочная, унитарная и др.).

В физике общепринято выделять две формы симметрии: геометрическую и динамическую.

Симметрии, выражающие свойство пространства и времени, относят к геометрической форме симметрии. Примерами геометрических симметрий являются: однородность пространства и времени, изотропность пространства, пространственная чётность, эквивалентность инерциальных систем отсчёта.

Симметрии, непосредственно не связанные со свойствами пространства и времени выражающие свойства определённых физических взаимодействий, относят к динамической форме симметрии. Примерами динамических симметрий являются симметрии электрического заряда.

Вообще говоря, к динамическим симметриям относят симметрии внутренних свойств объектов и процессов. Так что геометрические и динамические симметрии можно рассматривать как внешние и внутренние симметрии.

Рассмотрим геометрические принципы инвариантности. Истинный смысл и значение этих принципов инвариантности стал ясен лишь после появления специальной теории относительности Эйнштейна. Геометрические принципы инвариантности содержат сдвиги в пространстве и времени. Это означает, что корреляция между событиями всегда и всюду одинаковы и что законы природы не зависят от того, где и когда они установлены:

Пространство однородно. Любая точка пространства может быть взята за начало отсчета инерциальной системы координат, и течение физического процесса в ней от этого не изменится.

Координатные системы на плоскости всегда могут быть полностью совмещены друг с другом. Пусть совмещены абсциссы. Тогда возможны два случая: либо ординаты тоже совмещены, либо они направлены в противоположные стороны. В первом случае нечего больше доказывать, а во втором случае надо повернуть одну из систем вокруг абсциссы на 180, выведя ординату из плоскости. В пространстве. Две оси легко совместить только что описанным способом. После этого третьи оси могут иметь либо одинаковое, либо противоположное направление. В последнем случае их невозможно совместить никаким поворотом. Ведь если повернуть систему вокруг оси абсцисс, то ординаты тоже повернутся вместе с третьей осью. Следовательно, если две из трех осей совпадают, а третьи направлены противоположно, то такие координатные системы невозможно совместить. По аналогии с руками координатные системы называются правой и левой. Отличать их следует так. Обычный «правый» винт направляют (мысленно) по оси Z. Тогда, если вращать головку винта от оси Х к оси Y по часовой стрелке, то сам винт будет перемещаться по оси Z. Правый винт, отраженный в зеркале, становится левым. Законы механики совершенно тождественно формулируются в обеих системах координат.

Время однородно. Течение физических процессов не зависит от выбора начального момента времени. Любой физический процесс имеет определенную длительность, начало и конец. Однородность времени означает, что «абсолютные положения» начального и конечного моментов не существенны для протекания процесса.

Законы симметрии применимы к корреляции между событиями, а не к самим событиям. Т.е. при переходе от точки к точке события могут меняться, но если кто-нибудь заметит положения брошенного камня в три различных момента времени и установит соотношения, то оно окажется одинаковым для всех точек Земли.

Есть еще одно преобразование симметрии, связанное с временем. Если изменить (мысленно) направление времени на обратное, то все материальные частицы переменят знак скорости. Но «попятное» движение будет совершаться строго по тем же траекториям, по каким происходило движение вперед. Законы механики полностью симметричны относительно прошедшего и будущего. Например, затмения Солнца так же хорошо определяются в прошлом, как и в отдаленном будущем.

Таким образом, по отношению к определенному классу явлений - механическим движениям - время допускает замену прошедшего на будущее. Можно сделать и более общее определение: все законы физики в таком виде, как мы знаем их до сих пор, симметричны относительно изменения знака времени.

Помимо сдвигов данная группа содержит еще одну разновидность симметрии:

Пространство изотропно. В пространстве нет никаких преимущественных, избранных направлений. При перемещении из любой точки пространства в любом направлении тело ни в одном из них не получит каких-либо преимуществ ни в скорости перемещения, ни в энергии, ни в чем-либо другом. Вокруг любой прямой можно повернуть координатную систему на любой угол, и повернутая система будет во всех отношениях равноценна первоначальной.

До сих пор мы говорили о самой простой, геометрической симметрии. Однако в природе существуют и другие неизмеримо более сложные её виды. Пространство и время, из свойств симметрии, которых следуют основные законы сохранения, заполнены материей и «пропитаны», силами, посредством которых разные части этой материи взаимодействуют друг с другом. Согласно современным представлениям, в природе существуют четыре основных типа сил, или, иными словами, четыре типа взаимодействий: сильные, электромагнитные, слабые, гравитационные. Природа их выглядит совершенно различной, но за каждой стоит какая-то симметрия.

Наиболее интересные различия типов взаимодействий связано с симметрией. Все взаимодействия элементарных частиц, контролируются абсолютными законами сохранения. Однако существуют законы сохранения, справедливые для одних взаимодействий и не справедливые для других. Так, законы сохранения пространственной и зарядовой чётности выполняются в электромагнитных и сильных взаимодействиях, но не выполняются в слабых взаимодействиях. Существует правило: чем сильнее взаимодействие, тем оно симметричнее. Иначе говоря, чем слабее взаимодействие, тем в меньшей мере оно контролируется законами сохранения. Так сильное взаимодействие наиболее симметрично. В обусловленных им процессах сохраняются все квантовые числа, справедливы законы сохранения странности и изоспина.

Электромагнитное взаимодействие является чуть менее симметричным, чем сильное. В процессах, им обусловленных, изоспин не сохраняется, но все прочие законы сохранения, в том числе и для проекции изоспина остаются справедливыми.

Слабое взаимодействие наименее симметрично. В процессах, им обусловленных, выполняются только универсальные законы сохранения.

Покажем, что с каждым свойством симметрии связан закон сохранения на следующих примерах.

Закон сохранения энергии - однородность времени, закон сохранения импульса - однородность пространства, закон сохранения момента количества движения - изотропность пространства, закон сохранения количества электричества - симметрия электромагнитного взаимодействия.

Глава II. Законы сохранения как следствие симметрии в физике

1. Теорема Нётер

Эмми Нётер в 1918 году доказала теорему, которая устанавливает связь между свойствами симметрии физической системы и законами сохранения.

Теорема Нётер утверждает, что для системы дифференциальных уравнений, которые могут быть получены как уравнения Эйлера из некоторого вариационного принципа, из инвариантности вариационного функционала относительно однопараметрической непрерывной группы преобразований следует существование одного закона сохранения. Если группа содержит один параметр, то из инвариантности функционала будет следовать существование одного закона сохранения.

Теорема Нетер заключается в том, что существует физическая величина, которая называется действие

где - функция Лагранжа, с помощью которой описывается некоторая система. Действие S имеет экстремум вблизи истинной траектории, вариация действия S вдоль истинной траектории остается неизменной, т.е. S=0. Вариация действия зависит от вариации начала отсчета времени t и вариации начала координат q таким образом

Можно показать из того, что S=0 следует

Величина

сохраняется во времени. Это и есть точное утверждение теоремы Нетер.

В упрощенной формулировке теорема Нётер гласит, что если свойства системы не меняются от какого-либо преобразования переменных, то этому соответствует некоторый закон сохранения. Теорема Нётер - самое простое и универсальное средство, позволяющее находить законы сохранения физике. Так, например, инвариантность действия для системы по отношению к сдвигам времени (что отвечает физическому представлению об однородности времени) влечёт за собой, по теореме Нётер, закон сохранения энергии. Из однородности пространства (инвариантности действия по отношению к пространственным сдвигам) вытекает закон сохранения импульса. Подобным же образом из изотропности пространства (т.е. равноценности всех пространственных направлений и связанной с этим инвариантности действия относительно вращения системы координат в пространстве) следует закон сохранения момента.

Таким образом, из физического представления об однородности и изотропности пространства-времени следует, что для всякой замкнутой системы должны существовать семь фундаментальных сохраняющихся величин: энергия, компоненты импульса (три величины) и моментов (три величины).

При наличии в системе симметрий другого рода (не связанных с пространством-временем) теорема Нётер позволяет построить и другие сохраняющиеся величины (например, электрический заряд).

2. Динамические законы сохранения

2.1 Закон сохранения энергии

Рассмотрим сдвига во времени. Для получения данного преобразования считаем за независимый и постоянный параметр преобразования, .

Уравнение (3) будет иметь следующий вид:

Оно означает, что как следствие инвариантности действия относительно временного сдвига сохраняется динамическая величина

Эта величина называется энергией системы.

Если функцию Лагранжа можно представить в виде разности (Т_U) кинетической и потенциальной энергий

то для энергии получится

Полная энергия представится в виде кинетической и потенциальной энергии.

Применив теорему Нетер, получили закон сохранения энергии, который вытекает из такого свойства симметрии как однородность времени.

2.2 Закон сохранения импульса

Получим закон сохранения импульса, выбрав в качестве преобразования пространственный сдвиг. Прежде всего (если пользоваться инерциальной системой отсчёта) такое преобразование не затрачивает времени, следовательно, первые члена (3), (4) пропадут, т.е. будем считать .

Поэтому уравнение (3) примет в этом случае вид:

Величина

называется импульсом a_той материальной точки. Поэтому из (4) получаем, что вектор

называемый импульсом системы материальных точек, который сохраняет во время движения постоянное значение.

Получили закон сохранения импульса, который вытекает из такого свойства симметрии как однородность пространства.

2.3 Закон сохранения момента импульса

Найдем аддитивную величину, сохраняющуюся в силу изотропности пространства. Совершим бесконечно малый поворот, преобразование в этом случае имеет вид

Теорема Нётер тогда утверждает, что

Векторную величину

называют моментам импульса материальной точки. Таким образом, из теоремы Нётер получаем, что из инвариантности относительно пространственных поворотов следует сохранение вектора

называемого моментом системы

Момент импульса сохраняется, что подтверждает теорема Нетер.

2.4 Закон сохранения электрического заряда

Во всех процессах, происходящих в мире элементарных частиц, выполняется закон сохранения электрического заряда.

Принцип симметрии, лежащий в основе этого закона сохранения, оказывается более тонким, нежели обсуждавшаяся выше симметрия физических законов относительно пространственно-временных перемещений, выражающихся в виде законов сохранения энергии, импульса, момента импульса. Закон сохранения электрического заряда является следствием калибровочной инвариантности - это преобразование потенциалов вида:

Заметим, что калибровочная инвариантность есть один из важнейших принципов теории поля.

Можно показать, что если записать действие S для системы заряд-поле и провести калибровочное преобразование, то совершенно очевидно, что действие остается неизменным.

Инвариантность действия при преобразовании калибровки будет иметь место при условии сохранения заряда. В этом выводе мы использовали постоянство заряда, т.е. e=const, то вариация действия равна нулю.

Заключение

В данной работе рассмотрены различные виды симметрии, а также их роль в законах сохранения. Было установлено, что симметрия играет огромную роль в существовании законов сохранения.

С помощью теоремы Нетер получены законы сохранения энергии, импульса и момента импульса.

Показано, что симметрия калибровочного преобразования полей напрямую связано с законом сохранения заряда.

Литература

Гельфер Я.М., Законы сохранения, М., «Наука», 1967.-263с.

Вейель Т., Симметрия./Пер. с англ., М., «Наука», 1968.-191с.

Вигнер Ю., Этюды о симметрии./Пер. с англ., М., «Мир», 1971.-318с.

Блохинцев Д.И., Основы квантовой механики, М., «Наука», 1976.-664с.

Гельфер Я.М., Законы сохранения, М., «Наука», 1967.-263с.

Готт В.С., Философские вопросы современной физики, М.

Компанеец А.С., Симметрия в макро- и микро-мире, М., «Наука», 1978.-203с.

Компанеец А.С., Курс теоретической физики, Т1 Элементарные законы, М., «Просвещение», 1972.-512с.

Жирнов Н.И., Классическая механика, М., «Просвещение», 1980.-303с.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т1 Механика, М., «Наука», 1973.-208с.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т2 Теория поля, М., «Наука», 1973.

Медведев Б.В., Начала теоретической физики, М., «Наука», 1977.-496с.

Физический энциклопедический словарь, М., Советская энциклопедия, 1983.-928с.

Шмутцер Э., Симметрии и законы сохранения в физике/Пер. с нем., М., «Мир», 1974-159с.

Размещено на Allbest.ru