Згладжування функцій і характеристики згладжувальних фільтрів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Згладжування функцій і характеристики згладжувальних фільтрів

1. Основні визначення

Під час аналізу більшості фізичних систем, що використовують різні принципи передачі, приймання та оброблення електричних сигналів, не враховуються ефекти, зв'язані з дискретною природою електричних зарядів. У таких системах поняття струм, заряд, напруга, опір і ін. відносяться до сукупності елементарних зарядів, якій можна приписати певне значення не тільки в даний момент часу, а і на визначеному проміжку часу, аж до того, що вважати деяку величину сталою. Така можливість викликана тим, що внесок окремого елементарного заряду у величину струму настільки незначний, що їм можна зневажити з будь-яким технічно виправданим ступенем точності. У загальному випадку це обумовлено проявом загального термодинамічного принципу, властивого так званим макроскопічним системам, а саме: окремі малі флуктуації процесу як би нівелюються, згладжуються, даючи в середньому деяку оцінку явища.

Згладжування це ефект усереднення вхідного впливу, властивий будь-якій макроскопічній фізичній системі. При відносно грубому „макроскопічному” розгляданні явищ можливо ігнорування деталями, що викликані окремими флуктуаціями досліджуваного процесу.

Принциповий наслідок згладжування з позицій математики полягає в тому, що вхідні впливи, площі яких (тобто інтенсивності) рівні, а значення малі або дорівнюють нулю за межами досить короткого інтервалу, викликають, як правило, однаковий ефект. Приклад таких впливів приведений на рис. Якщо розглядати, наприклад, електричний струм, то не важливо, яку форму мають зображені імпульси струму - сумарний заряд в усіх випадках буде приблизно однаковим, Так саме і у разі теплового ефекту: кількість тепла, що виділяється в навантаженні імпульсами струму, які показані на рис. 1, будуть приблизно рівними.

У випадку неперервного процесу розглянемо вимірювання сталого струму. Згідно із законом Ома, величина струму що вимірюється приладом у будь-який момент часу, є усередненим значенням заряду, обумовленого випадковим числом електронів, які проходять скрізь перетин провідника в одиницю часу (рис.1б).

У загальному випадку згладжування припускає фільтрацію високочастотної частини спектра сигналу. Крайнім випадком такої обробки в радіотехнічних пристроях є придушення пульсацій на виході спрямлювачів змінного струму з метою виділення винятково сталої складової і максимально можливого придушення всіх гармонійних складових спектра сигналу. Таке перетворення здійснюється з застосуванням ФНЧ, верхня гранична частота яких повинна лежати нижче, ніж перша гармоніка спектра (як правило 50 Гц, 115 Гц та 400 Гц - частоти змінного струму в промисловій або іншій технічній установках, а також 20 - 100 кГц у перетворювачах напруги). Крім того, фільтри повинні мати мінімальне загасання в смузі пропускання для забезпечення найбільшого КПД.

Іншим прикладом більш тонкої обробки сигналу є згладжування випадкового процесу за допомогою фільтра Калмана, метою якого є одержання мінімальної дисперсії процесу на виході на основі результатів вимірів сигналу в поточний момент і оцінки в попередній момент часу. Така обробка здійснюється за допомогою обчислювального пристрою, що реалізує алгоритм Калмана-Бьюси.

Дуже часто задачі згладжування зовсім різних процесів вирішуються за допомогою однакових пристроїв. До таких пристроїв можна віднести RC-фільтри різних порядків. У цьому випадку важливо установити чітку залежність між характерними параметрами процесів, що згладжуються, і параметрами фільтра (у першу чергу, сталої часу RC).



а)

б)

Рисунок 1 - Впливи рівної площі (а) та результат вимірювання струму (б)

Під час розробки і побудови системи, у якій здійснюється згладжування якої-небудь часової залежності або даних вимірів і обчислень, необхідно оцінити якість отриманих оцінок. В імпульсних системах, приміром, при наявності завад зміни параметрів імпульсів випадкові, тому найкраща оцінка вимірюваного параметра вимагає вибору певного критерію якості оцінки. У залежності від умов задачі критерії якості оцінок можуть бути різними, а оцінка, найкраща з погляду одного критерію, не завжди виявляється настільки ж гарною при інших критеріях. У будь-якому випадку процес формування оцінки складається в усередненні випадкових змін оцінюваної величини за визначений проміжок часу, а перетворення, що забезпечує одержання усередненої оцінки, називається згладжуванням випадкового процесу.

2. Згладжування за допомогою оператора поточного середнього

Найбільш просте згладжування амплітуд випадкового процесу здійснюється усередненням значень випадкової амплітуди на заданому інтервалі часу, що змінює своє місце розташування на осі часу, так називане ковзне згладжування, що реалізується лінійним оператором поточного середнього

, (1)

якщо інтервал згладжування розташований симетрично щодо поточного моменту , і

, (2)

якщо інтервал згладжування розташований несиметрично щодо поточного моменту .

Структуру лінійної системи, що реалізує поточне усереднення, можна визначити, якщо (2) переписати у виді формули

, (3)

яка показує, що операція поточного усереднення полягає в алгебраїчному підсумовуванні значень процесу в моменти часу і з наступним інтегруванням отриманої різниці. Тут проміжок часу якби „ковзає” по реалізації загладжуваного процесу, звідки і випливає назва операції обробки.

У результаті структурну схему згладжувальної системи (згладжувального фільтра) отримуємо у вигляді рис. 2.

Рисунок 2 - Структурна схема лінійної системи, що реалізує операцію поточного усереднення

Розрахуємо імпульсну характеристику системи, для чого підставимо в (2) вплив у вигляді . У результаті простих перетворень отримуємо наступний вираз

, (4)

відповідно з яким імпульсна характеристика лінійної системи, що реалізує оператор поточного середнього, має форму прямокутного імпульсу (рис. 3)

(5)

Передатна функція згладжувальної системи знаходиться за допомогою прямого перетворення Лапласа функції :

, (6)

а вираз для частотної характеристики виходить у результаті заміни у формулі (6)

. (7)

Площа квадрата модуля частотної характеристики такої системи дорівнює

.

Отже, якщо на вході такої системи діє білий шум з рівномірною спектральною щільністю, то величина потужності вихідного шуму буде така ж, як і у випадку ідеального ФНЧ із граничною частотою .

У загальному випадку згладжування припускає нерівнозначне урахування попередніх і наступних величин сигналу при обчисленні значення в поточний момент часу, тобто має місце „зважування” величин. Як видно з виразу (2) при поточному усередненні значення функції на інтервалі інтегрування входять у формулу з однаковими вагами. Однак у ряді моделей згладжування при усередненні значення функції входять у формулу для усереднення з тим меншою вагою, наскільки далі знаходиться момент часу від поточного моменту часу . При цьому вагові функції можуть бути різними: важливо, щоб при зростанні величини функція монотонно прагнула до 0, чим забезпечується стійкість процесу згладжування. Як вагові функції найчастіше використовуються експонента і функція Гауса, що буде розглянуто далі. Крім того, умова фізичної реалізованості вимагає, щоб у розрахунках поточного значення процесу використовувалися виключно попередні точки, тобто вихід системи не може випереджати вхідне діяння (принцип каузальності).

Рисунок 3 - Формування імпульсної характеристики згладжувального фільтра оператора поточного середнього

3. Оцінка якості згладжування

Якість згладжування звичайно оцінюється по величині відносини усереднених квадратів оцінюваного параметра після і до застосування оператора згладжування

= , (8)

де і - відповідно дисперсії відхилень оцінюваного параметра до і після згладжування.

Якщо врахувати, що при згладжуванні випадковий процес піддається лінійному перетворенню, то на підставі формули (2) дисперсію процесу на виході згладжувальної системи можна записати як

, (9)

де - автокореляційна функція процесу на вході.

Формула (9) показує, що дисперсія згладженого процесу, а так саме і ефективність згладжування, є функціями інтервалу згладжування .

Розглянемо ефекти згладжування на прикладі імпульсних випадкових процесів. Так, нехай згладжувальний процес є пуасонівським потоком імпульсів довільної форми і випадкової тривалості, який характеризується автокореляційною функцією експонентного виду

. (10)

Підставляючи (10) у (9) і інтегруючи, отримаємо після перетворень

. (11)

При цьому коефіцієнт згладжування (8) буде виражений за формулою

 . (12)

Вибравши інтервал згладжування з умови , отримуємо наближене вираз для дисперсії (11)

, (13)

і коефіцієнта згладжування

. (14)

Як видно з (8), (12) і (14), згладжування буде тим більше ефективним, чим меншою буде дисперсія процесу після згладжування, у порівнянні з дисперсією до згладжування, тобто . Звідси одержуємо , що дає в нашому прикладі (14) умову .

Величина характеризує інтервал кореляції випадкового процесу з кореляційною функцією (10). Таким чином, дійдемо висновку: згладжування буде тим ефективніше, чим більшим буде час згладжування в порівнянні з інтервалом кореляції згладжувального процесу.

З рис. 2 випливає, що в схемі, яка виконує операцію поточного усереднення, необхідно мати віднімаючий пристрій, лінію затримки і інтегратор. Виключення з формули (6) доданка дозволяє позбутися у схемі від лінії затримки. Для цього можна скористатися розкладанням експоненти в ряд або у ланцюжну дріб. Так, уявимо

 . (15)

Підставляючи (15) у вираз для передатної функції (6) і обмежуючи довільно число ланок дробу, отримаємо вираз

, (16)

де , .

Поліноми й обчислюються за допомогою рекурентних співвідношень

, (17)

. (18)

Перші два значення поліномів дорівнюють відповідно

, , (19)

. (20)

Отримані вирази дозволяють знайти апроксимацію передатної функції для різних у наступному вигляді:

1
2
3

За допомогою зворотного перетворення Лапласа знайдемо апроксимацію імпульсної характеристики згладжувального фільтра, (для поліномів і обчислення виконані в програмі MathCAD за допомогою оператора символьних обчислень Symbolics) (див. MathCAD сторінку 1).

Для функції за допомогою пакету MathCAD визначимо полюси. В результаті отримуємо формулу

.

При оцінці результатів розрахунку полюсів необхідно врахувати умови теореми Безу, відповідно до якої корені полінома ступеня з дійсними коефіцієнтами можуть бути як дійсними числами, так і комплексно сполученими парами чисел.

Результати побудови графіків імпульсних характеристик, апроксимованих поліномами різних порядків, наведено на рис. 4. Видно, що підвищення порядку моделі супроводжується укрученням заднього фронту характеристики і виникненню коливань вершини. Втім, із зростанням форма характеристики наближається до прямокутника, подібного на рис. 3.

Рисунок 4 - Апроксимації імпульсних характеристик фільтра поточного середнього для різних порядків полінома



4. Експонентне згладжування

Співвідношення для оператора експонентного згладжування записується у формі

, (21)

де - інтервал згладжування, зміст якого аналогічний уведеному раніше у формулах (1) і (2).

Передатна функція оператора експонентного згладжування має вигляд

= . (22)

Основною гідністю оператора експонентного згладжування є простота його практичної реалізації, оскільки передатна функція виду (22) відповідає звичайному RC колу. Будемо використовувати цей факт у подальших дослідженнях.

У формулі (21) функція

називається ядром і фактично визначає модель, згідно з якою відбувається згладжування.

При використанні як ядро функції

отримуємо формулу згладжування з гаусівським ядром виду

. (23)

Важливою особливістю гаусівської характеристики (а також сигналу з гаусівською спектральною густиною) є мінімальне значення добутку довжина імпульсної характеристикисмуга пропускання (або добутку тривалість сигналуширина спектру).

Наочною моделлю вагового згладжування є важіль, що урівноважується вагами, кожна з яких відповідає значенню загладжуваної функції у відповідний момент часу, точкою опори є поточний момент часу, а вектор важеля спрямований до значення функції у наступний момент часу (рис. 5). У такій моделі для оператора поточного середнього кожне вага покладається на чашу відповідно безпосередньому значенню функції. Під час згладжування із нерівномірною вагою на чашу кладеться значення тим менше, наскільки далі відстає момент часу від поточного моменту.

Рисунок 5 - До моделі згладжування із ваговою функцією

На рисунку показано вагові функції : прямокутна () і експонентна (,,...,) якими здійснюється згладжування процесу . При нерівномірній ваговій функції так би мовити створюється можливість отримати малі „ваги”, за якими оцінюється внесок значень, що відстають від поточного моменту на певний відрізок часу. Наявність таких малих „ваг” дозволяє отримати високу точність оцінки.

5. Пропорційно-інтегруючий згладжувальний фільтр

Схему пропорційно-інтегруючого фільтра наведено на рис. 5а. Передатна функція представлена виразом

, (24)

де , .

З (24) підстановкою отримуємо комплексний коефіцієнт передачі, а потім формули для АЧХ і ФЧХ фільтра як його модуль та аргумент:

, (25)

. (26)

Гранична частота фільтра на рівна 0,7 визначається виразом

 . (27)

Як видно, АЧХ фільтра змінюється від максимального значення 1 при до значення при , ФЧХ фільтра немонотонна і характеризується екстремумом на частоті

,

що є важливою особливістю такого фільтра (для визначення частоти необхідно розв'язати рівняння 0). Відповідні графіки наведено на рис. 5б.

Рисунок 5 - Схема пропорційно-інтегруючого фільтра (а) і його частотні характеристики (б). АЧХ - суцільна, ФЧХ - пунктир

У випадку пропорційно-інтегруючого фільтра вираз для дисперсії вихідного процесу при дії га вході процесу з авто кореляційною функцією (10) отримуємо у вигляді

 , (28)

а ефективність згладжування

. (29)

Розрахунок дано на MathCAD сторінці 3. За умови задачі функція csgn(•)=

За умови чисельник повинний бути позитивним, тобто , що виконується при , значення якого лежить у межах, розрахунок яких показаний на MathCAD сторінці 4. Якщо , повинна виконуватися зворотна умова.



6. Порівняння ефективності згладжування RC-фільтрів і оператора поточного середнього

Порівняємо ефективність згладжування оператора поточного середнього (2) і RC-фільтра I порядку з передатною характеристикою виду (22) і комплексним коефіцієнтом передачі

= . (30)

Дисперсія процесу на виході RC-фільтра при дії на його вході процесу з автокореляційною функцією (10) знаходиться таким чином:

згладжування фільтр поточний середній

, (31)

де внутрішній інтеграл визначає енергетичний спектр процесу на вході відповідно до теореми Вінера-Хінчина. Підставивши в (31) формулу (10) і вираз для квадрата модуля коефіцієнта передачі RC-фільтра, отримаємо після перетворювань вираз для дисперсії процесу на виході згладжувального фільтра:

, (32)

відкіля коефіцієнт згладжування виходить рівним

. (33)

За виконання умови отримуємо

, (34)

тобто для процесу з заданою величиною параметра ефективність згладжування буде тим більшою, чим більше стала часу фільтра . Порівняння виразів (14) і (34) показує, що при зростанні інерційності систем (тобто при ) ефективності згладжування стають приблизно рівними.

Далі розглянемо, як впливає порядок фільтра на якісні характеристики ефекту згладжування. Побудуємо дволанковий RC-фільтр за схемою рис. 6 і розрахуємо величину коефіцієнта згладжування.



Рисунок 6 - Схема RC-фільтра II порядку

Комплексний коефіцієнт передачі фільтра визначається формулою

, (35)

звідки АЧХ і ФАХ фільтра відповідно записуються наступними формулами (при цьому згадаємо, що модуль добутку дорівнює добутку модулів, а аргумент добутку дорівнює сумі аргументів):

,

,

а дисперсія вихідного процесу знаходиться за методикою, яка використовувалась вище [формули (30) - (32)], що дає в результаті:

. (36)

Розклавши підінтегральний вираз (36) на складові, отримаємо після інтегрування

 . (37)

Припустимо Тоді ефективність згладжування дорівнюватиме

. (38)

Для фільтра, складеного з ідентичних ланок, сталі часу , що дає в результаті

, (39)

Ефективність згладжування при цьому виходить рівною

. (40)

Розглянемо ще один приклад використання пасивного RC-фільтра II порядку, складеного з ідентичних ланок (рис. 7). Такий фільтр відрізняється від схеми рис. 6 простотою практичної реалізації.

Рисунок 7 - Схема пасивного RC-фільтра II порядку на основі ідентичних ланок

Коефіцієнт передачі такого фільтра описується формулою

, (41)

АЧХ та ФЧХ відповідно

,

.

Для порівняння на рис. 8 наведено АЧХ RC-фільтрів I і II порядків, побудовані на основі виразів (30), (35) і (41). Видно, як зростає крутість АЧХ із зростанням порядку фільтра. Крім того, фільтр, побудований за схемою рис.6, характеризується значно крутішим спаданням АЧХ.

Рисунок 8 - Частотні характеристики RC-фільтрів I і II порядків

Вираз для дисперсії вихідного процесу дволанкового фільтра рис. 7 має вигляд

 , (42)

що дозволяє визначити ефективність згладжування

. (43)

На рис. 9 наведено графіки за результатами розрахунку коефіцієнта згладжування оператора поточного середнього і RC-фільтрів I і II порядків, побудовані за виразами (12), (33) і (38). Тут прийнято, що інтервал згладжування RC-фільтра еквівалентний його сталій часу: . Видно, що оператор поточного середнього має істотно більшу ефективність, особливо при малих значеннях інтервалу згладжування. Підвищення порядку фільтра приводить до резонансної залежності коефіцієнта згладжування з розривом у точці . При великих значеннях ефективності різних систем стають близькими, як відзначалося вище.

MathCAD сторінка 5 ілюструє послідовність розрахунків та побудови графіку коефіцієнта згладжування RC-фільтра II порядку за формулою (43) за допомогою додатку символічних обчислень Symbolics (Оскільки , функція csgn()=1). Для розрахунку інтеграла підінтегральну функцію в (43) розкладено на складові, після чого виконане символічне інтегрування. З побудованого графіку видно, що коефіцієнт згладжування швидко убуває із сталою часу порядку 2 мкс.



Дослідження ефекту підвищення порядку фільтра можна здійснити самостійно, для чого треба вивести вираз для комплексного коефіцієнту передачі і скористатись у подальшому пакетом MathCAD для розрахунку АЧХ, ФЧХ, імпульсної характеристики і побудови відповідних графіків.



Рисунок 9 - Ефективність згладжування оператора поточного середнього (1) і RC-фільтрів I порядку (2) та II порядку (3)

7. Згладжування випадкового процесу за допомогою фільтра Калмана

Застосування методу калманівської фільтрації як первинної обробки випадкового процесу забезпечує ефективне очищення від шуму. Ідея синтезу фільтра Калмана (ФК) складається в знаходженні рекурентного алгоритму у виді різницевого рівняння (у випадку системи з дискретним часом) або диференційного рівняння (у випадку системи з безперервним часом). Кожна наступна оцінка процесу отримується на основі виміру і попередньої оцінки за умови мінімуму дисперсії помилки, тобто використовується гіпотеза про відношення процесу до класу марківських.

Фізична інтерпретація калманівської фільтрації може бути такою. Нехай процес на вході характеризується автокореляційною функцією, близької до -функції. Тоді використання попередніх значень при обчисленнях оцінок у наступні моменти часу може привести до помилкових результатів, оскільки статистичний зв'язок попередніх і поточних значень процесу практично відсутній. В іншому крайньому випадку, коли процес близький до детермінованого, урахування великого числа попередніх значень недоцільно, оскільки поточна оцінка може бути отримана досить точно на підставі тільки лише попереднього значення.

Розглянемо, наприклад, випадок дискретного часу. Рівняння спостереження має вигляд:

. (44)

У свою чергу рівняння повідомлення представляється в такий спосіб:

, , (45)

де - задані функції часу;

- дискретні білі гаусові шуми з нульовими математичними очікуваннями і дисперсіями і відповідно;

- нормально розподілена випадкова величина.

Система рівнянь ФК має вид:

Ця система розв'язується чисельно за допомогою алгоритму, що дозволяє знайти часову залежність процесу за умови мінімуму вихідної дисперсії.



Рисунок 10 - Реалізація випадкового процесу до (точки) і після (суцільна) згладжування за допомогою фільтра Калмана

Застосуємо калманівську фільтрацію до реалізації випадкового процесу (рис. 10). Вибираємо фільтр другого порядку і, відповідно, , і , де - крок дискретизації. Одержимо реалізацію і її згладжений варіант. На рисунку частота дискретизації становить 256 Гц.

8. Згладжування за допомогою стандартних команд пакета MathCAD

Програмний пакет MathCAD містить вбудовані команди згладжування даних (Меню Insert Function, розділ Regression and Smoothing, команди ksmooth, medsmooth, supsmooth), в основі яких лежать різні математичні методи.

Приклад використання команди medsmooth (vx,n) (згладжування медіанним методом з ковзним вікном шириною =7), supsmooth (vx,n) для згладжування суміші гармонійного сигналу із шумом, значення якого розподілені рівномірно в інтервалі [-2,2], з нульовим математичним очікуванням показано на MathCAD сторінці 6. Тут обрано 100. Далі розглянуто згладжування гармонійної функції із випадковими флуктуаціями фази.



Слід відзначити наявність перехідного процесу в початкових і кінцевих точках згладжувальної функції при використанні програми medsmooth, обумовленого шириною вікна , тобто фактично кількістю попередніх значень функції, що враховуються при розрахунку поточного значення. Число таких точок за умови програми дорівнює . Це вимагає обережності при завданні ширини вікна, яка вибирається емпірично за умови , де - загальне число значень функції, що згладжується. Перехідний процес, як видно, полягає в тому, що значення вихідного і загладжуваного процесів співпадають.

Команди ksmooth (vx,vy,b), supsmooth (vx,vy,b) повертають відповідно вектори vy згладжених значень з гаусівським ядром і методом найменших квадратів. При цьому в програмі ksmooth за замовчуванням задається величина 0,37. У наведеному прикладі обрано значення ширини вікна згладжування відповідно 5, 15 та 3 Як видно, перехідний процес у згладжувальному фільтрі закінчується у момент часу .

Размещено на Allbest.ru