Квазистационарные электромагнитные поля

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кафедра прикладной математики

Курсовая работа

По дисциплине «Моделирование систем и процессов»

На тему: «Квазистационарные электромагнитные поля»

2011

Содержание

1. Введение

2. Основы МКЭ

3. Понятие о методе конечных элементов

4. Дифференциальные уравнения в частных производных

5. Квазистационарное электромагнитное поле в неидеальных материалах. Основные уравнения и граничные условия

6. Выбор пакета прикладных программ

7. Краткое описание пакета и его возможностей

8. Формирование задачи в соответствии с требованиями выбранного пакета.

8.1 Выбор размерности модели, физического раздела, тип анализа электромагнитного поля.

8.2 Определение рабочей области и задание геометрии.

8.3 Указание электромагнитных свойств и начальных условий.

8.4 Указание граничных условий.

8.5 Задание параметров и построение сетки.

8.6 Определение параметров решающего устройства и запуск расчета.

8.7 Настройка режима отображения.

8.8 Получение результатов.

9. Результаты решения задачи. Основные выводы

10. Заключение

11. Список литературы

1. Введение

На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается или это очень сложно, поскольку, обычно искомое решение выражается в привычных для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому, важное значение приобретают численные методы.

Среди численных методов решения задач в различных областях, получивших наибольшее распространение, ведущее положение занимает метод конечных элементов (МКЭ). Его отличает широкая область применения, инвариантность по отношению к геометрии конструкции и физическим характеристикам материалов, относительная простота учета взаимодействия конструкций с окружающей средой, высокая степень приспособляемости к автоматизации всех этапов расчета.

Результатом курсовой работы должен быть расчет изменения квазистационарного электромагнитного поля. Главным в курсовой работе можно считать выбор моделирующего устройства или пакета прикладных программ, описывающего данный расчет. Выбор пал на среду моделирования Comsol Multiphysics 3.5a, так как данная система, разработанная на базе комплекса программных средств MathCAD, имеет огромный математический функционал, что позволяет, не просто находить решения различных задач, но и делать это оптимальным способом. Так же, к преимуществам данной системы можно отнести простой и удобный интерфейс программы, который в совокупности с широким набором инструментов, позволяет достаточно быстро, удобно и эффективно решать задачи различного профиля.

2. Основы МКЭ

В науке и технике постоянно приходится сталкиваться с проблемой расчета систем, имеющих сложную геометрическую конфигурацию и нерегулярную физическую структуру. Компьютеры позволяют выполнять такие расчеты при помощи приближенных численных методов. Метод конечных элементов (МКЭ) является одним из них. В последние десятилетия он занял ведущее положение и получил широкое применение. На простых примерах мы рассмотрим сущность метода конечных элементов и отметим его основные достоинства. Предположим, что состояние системы описывается некоторой функцией. Пусть эта функция является единственным решением математической задачи, сформулированной на основе физических законов. Решение состоит в отыскании из бесконечного множества функций такой, которая удовлетворяет уравнениям задачи. Если задача достаточно сложная, то ее точное решение невозможно. Вместо того чтобы искать требуемую функцию среди бесконечного множества разнообразных функций, задача упрощается. Рассматривается некоторое семейство функций, определяемых конечным числом параметров. Как правило, среди таких функций нет точного решения задачи. Однако соответствующим подбором параметров можно попытаться приближенно удовлетворить уравнениям задачи и тем самым построить ее приближенное решение. Такой общий подход характерен для многих приближенных методов. Специфическим в методе конечных элементов является построение семейства функций, определяемых конечным числом параметров. Отметим несколько важных достоинств метода конечных элементов.

1. Метод конечных элементов позволяет построить удобную схему формирования системы алгебраических уравнений относительно узловых значений искомой функции. Приближенная аппроксимация решения при помощи простых полиномиальных функций и все необходимые операции выполняются на отдельном типовом элементе. Затем производится объединение элементов, что приводит к требуемой системе алгебраических уравнений. Такой алгоритм перехода от отдельного элемента к их полному набору особенно удобен для геометрически и физически сложных систем.

2. Каждое отдельное алгебраическое уравнение, полученное на основе метода конечных элементов, содержит незначительную часть узловых неизвестных от общего их числа. Другими словами, многие коэффициенты в уравнениях алгебраической системы равны нулю, что значительно облегчает ее решение.

3. Задачи, решение которых описывается функциями, удовлетворяющими функциональным уравнениям, носят название континуальных. В отличие от них решение так называемых дискретных задач точно определяется конечным числом параметров, удовлетворяющих соответствующей системе алгебраических уравнений. Метод конечных элементов, так же как и другие численные методы, по существу приближенно заменяет континуальную задачу на дискретную конечных элементов - один из наиболее эффективных численных методов решения математических задач, описывающих состояние физических систем сложной структуры.

3. Понятие о методе конечных элементов

МКЭ представляет собой эффективный численный метод решения инженерных и физических задач. Область его применения простирается от анализа напряжений в конструкциях самолётов или автомобилей до расчёта таких сложных систем, как атомная электростанция. С его помощью рассматривается движение жидкости по трубам, через плотины, в пористых средах, исследуется течение сжимаемого газа, решаются задачи электростатики и смазки, анализируются колебания систем.

МКЭ является численным методом решения дифференциальных уравнений, встречающихся в физике и технике.

Возникновение этого метода связано с решением космических задач (1950 г.). Область применения МКЭ существенно расширилась, когда было показано, что уравнения, описывающие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла и гидромеханики, аналогичны. МКЭ из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений. Основная идея МКЭ состоит в том, что любую непрерывную величину, такую как температура, давление и перемещение, можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций.

В общем случае непрерывная величина заранее известна, и нужно определить значение этой величины в некоторых внутренних точках области. Дискретную модель очень легко построить, если сначала предположить, что числовые значения этой величины в каждой внутренней области известны. После этого можно перейти к общему случаю. Итак, при построении дискретной модели непрерывной величины поступают следующим образом:

1. В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или узлами.

2. Значение непрерывной величины в каждой точке считается переменой, которая должна быть определена.

3. Область определения непрерывной величины разбивается на конечное число областей, называемых элементами. Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.

4. Непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой величины. Для каждого элемента определяется свой полином, но полиномы подбираются таким образом, чтобы сохранилась непрерывность величины вдоль границ элемента (его называют функцией элемента). Выбор формы элемента и функций для конкретных задач зависит от изобретательности и мастерства инженера, и совершенно ясно, что этим определяется точность приближённого решения.

4. Дифференциальные уравнения в частных производных

В COMSOL Multiphysics существует приложение дифференциальных уравнений в частных производных (PDE modes) для моделирования на основе уравнения. Оно поддерживает три типа задания таких систем:

* Коэффициентная форма (Coefficient form), предназначенная для линейных и близких к линейным моделей

* Генеральная форма (General form), для нелинейных моделей

* Слабая форма (Weak form), для моделей с PDE на границах, ребрах или для моделей использующих условия со смешанными и производными по времени.

Рассмотрим коэффициентную форму уравнений.

Единственная зависимая переменная u - неизвестная функция в решаемой области. COMSOL Multiphysics вычисляет ее решая PDE, которые вы определили. В коэффициентной форме PDE выглядит следующим образом:

где

* ? - решаемая область - объединение всех подобластей

* - граница области

* - единичный нормальный вектор направленный наружу от границы области.

Первое уравнение в списке - PDE, которое должно быть удовлетворено в решаемой области. Второе и третье уравнения это граничные условия, которые должны фиксироваться на границах. Второе уравнение это обобщенное граничное условие Ньюмана (generalized Neumann boundary condition), тогда как третье уравнение это граничное условие Дирихле (Dirichlet boundary condition). Эта номенклатура и второе уравнение, описанное выше, немного отклоняются от традиционного использования в теории потенциала, где условие Ньюмана обычно относиться к случаю когда q = 0. Обобщенное граничное условие Ньюмана, также называют смешанным граничным условием (mixed boundary condition) или граничным условием Робина (Robin boundary condition). В терминологии метода конечных элементов граничные условия Ньюмана называются естественными граничными условиями (natural boundary conditions), потому что они не встречаються явно в слабой форме PDE. Условия Дирихле также называются неотъемлемыми граничными условиями (essential boundary conditions), так как они ограничивают решаемую область. Граничные условия Дирихле часто представляют ограничивающими условиями.

5. Квазистационарное электромагнитное поле в неидеальных материалах. Основные уравнения и граничные условия

Квазистационарное приближение соответствует пренебрежению:

1) эффектом опоздания полей по отношению к изменениям плотности зарядов и токов, которые являются источником этих полей (эффект излучения); 2) пренебрежению производной (пренебрежение током смещения в сравнении с током проводимости). Эффект опоздания становится неважным, если линейные размеры системы намного меньше длины волн, которые распространяются в системе. Квазистационарное поле не является потенциальным полем () и электрическое и магнитное поля взаимно связаны между собой. Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля имеют вид:

(1.1)

тут учтено возможность перемещения проводника с током в магнитном поле. Плотность тока удовлетворяет уравнение непрерывности .

Квазистационарное приближение можно сформулировать в понятии напряженности полей, или в понятиях скалярного и векторного потенциалов электромагнитного поля. Из первого уравнения системы (1.1) можно выразить вектор напряженности электрического поля

(1.2)

Используя выражение (1.2) и обобщенное материальное уравнение , из второго уравнения системы (1.1) получаем

(1.3)

Если электромагнитное поле изменяется со временем по гармоническому закону, то уравнение (1.3) упрощается:

(1.4)

где - циклическая частота; - условная единица.

Квазистационарное приближение в понятиях потенциалов можно сформулировать, если использовать определение скалярного и векторного потенциалов

(1.5)

Подставляя значения (1.5) в первое уравнение системы (1.1), получаем

(1.6)

Используя выражение для плотности полного тока

 (1.7)

уравнение непрерывности можно записать:

(1.8)

Для случая квазистационарного электромагнитного поля, которое изменяется по гармоническому закону, на основании уравнений (1.7) и (1.8) получаем уравнения

(1.9)

в которых потенциалы и токи зависят только от пространственных переменных. В уравнениях (1.9) не учитывается ток смещения.

Если в первом уравнении (1.1) пренебрегать производной, то вместо уравнений (1.9) для гармонических полей получаем следующие уравнения:

(1.10)

В уравнениях (1.10) учитываются неидеальность среды (неидеальный проводник и неидеальный диэлектрик). Обычно неидеальность среды учитывается с помощью комплексной проводимости

 (1.11)

и комплексной диэлектрической проницаемости

(1.12)

Из формул (1.11) и (1.12) видно, что .

Неидеальные среды условно можно разделить на неидеальные проводники и неидеальные диэлектрики. Для идеального проводника характерным является движение свободных зарядов под действием поля и полное отсутствие поляризации, а характеристикой идеального проводника является удельная проводимость . В идеальном диэлектрике наблюдается явление поляризации и отсутствие свободных зарядов, а его характеристикой является диэлектрическая проницаемость . В неидеальных проводниках и неидеальных диэлектриках существуют свободные заряды, способные двигаться под действием полей, и существует явление поляризации. Количественной характеристикой, при помощи которой можно характеризовать неидеальные среды, является отношение плотности тока проводимости и плотности тока смещения. Для гармонических полей это отношение можно записать:

(1.13)

Для неидеальных проводников в переменных полях ток проводимости больше тока смещения и выполняется неравенство . Неидеальный проводник характеризуется комплексной удельной проводимостью . Для неидеальных диэлектриков ток смещения больше тока проводимости и выполняется неравенство . Неидеальный диэлектрик характеризуется комплексной диэлектрической проницаемостью . Разделение неидеальных сред на неидеальные проводники и неидеальные диэлектрики является условным. Одна и та же среда при низких частотах может проявлять себя как неидеальный проводник, а на высоких частотах как неидеальный диэлектрик. В неидеальных средах всегда существуют потери электромагнитной энергии.

При решении граничных задач, кроме уравнений (1.9), или (1.10), необходимы граничные условия на границах раздела сред. При этом следует выделять граничные условия как для магнитных переменных полей, та и для электрических переменных. Для магнитных переменных могут использоваться следующие граничные условия:

1) Условие магнитной изоляции:, где - единичный вектор нормали к границе.

2) На границе задано поверхностный ток:, где - плотность поверхностного тока.

3) Электрическая изоляция:.

4) Магнитный потенциал:.

5) Магнитная изоляция:.

Для электрических переменных могут использоваться следующие граничные условия:

1) Заземление: .

2) На границе задано компоненты вектора плотности тока .

3) На границе задано нормальную компоненту плотности тока .

4) Параметры тонкого проводимого слоя: - толщина слоя, - значение опорного потенциала.

5) Задано потенциал границы .

6) Электрическая изоляция границы (отсутствие тока).

Материальные параметры для неидеальных сред могут быть как скалярными (для изотропных сред), так и тензорными (для анизотропных сред). Такими параметрами являются: - проводимость, - относительная магнитная проницаемость и - относительная диэлектрическая проницаемость.

В качестве начальных условий при описании квазистационарных полей при помощи потенциалов следует выбрать начальные значения скалярного и векторного потенциалов .

6. Выбор пакета прикладных программ

При реализации методом конечных элементов поставленной задачи (расчет изменения квазистационарного электромагнитного поля) использован пакет моделирования различных стационарных и нестационарных процессов в различных средах - Comsol Multiphysics 3.5a.

Но нас в данном случае больше всего интересует трехмерное моделирование электромагнитного поля (гармонического во времени) квазистационарного анализа медных проводников под напряжением в цилиндре. Пакет Comsol Multiphysics соответствует нашим требованиям.

7. Краткое описание пакета и его возможностей

Программа основана на системе дифференциальных уравнений в частных производных. Существует три математических способа задания таких систем:

* Коэффициентная форма (Coefficient form), предназначенная для линейных и близких к линейным моделей

* Генеральная форма (General form), для нелинейных моделей

* Слабая форма (Weak form), для моделей с PDE на границах, ребрах или для моделей использующих условия со смешанными и производными по времени.

Используя эти способы, можно изменять типы анализа, включая:

* Стационарный и переходный анализ

* Линейный и нелинейный анализ

* Модальный анализ и анализ собственных частот

Для решения PDE, COMSOL Multiphysics использует метод конечных элементов (Finite Element Method - FEM). Программное обеспечение запускает конечно-элементный анализ вместе с сеткой учитывающей геометрическую конфигурацию тел и контролем ошибок с использованием разнообразных численных решателей. Так как многие физические законы выражаются в форме PDE, становится возможным моделировать широкий спектр научных и инженерных явлений из многих областей физики таких как: акустика, химические реакции, диффузия, электромагнетизм, гидродинамика, фильтрование, тепломассоперенос, оптика, квантовая механика, полупроводниковые устройства, сопромат и многих других.

Кроме вышеперечисленного, программа позволяет с помощью переменных связи (coupling variables) соединять модели в разных геометриях и связывать между собой модели разных размерностей.

Пакет COMSOL Multiphysics обладает огромными возможностями в области моделирования процессов различной природы. Его интерфейс достаточно прост и понятен. Кроме этого COMSOL Multiphysics, по сути, является инструментом (Toolbox) пакета MATLAB и работает под его управлением. Это означает, что все возможности программирования, доступные в MATLAB, могут быть использованы и в COMSOL Multiphysics (например, при обработке результатов расчета). К сожалению, для COMSOL Multiphysics в настоящий момент отсутствует документация на русском языке, что значительно сдерживает его применение.

8. Формирование задачи в соответствии с требованиями выбранного пакета

Рассмотрим цилиндр, в котором расположены пять медных цилиндрических проводников с круглым поперечным разрезом, по которым протекают гармонические токи одинаковой плотности и одинакового направления. Необходимо смоделировать процесс изменения электромагнитного поля.

Для проведения моделирования электромагнитного поля в выбранном пакете необходимо составить алгоритм работы в нем.

1. Выбираем размерность модели, определяем физический раздел в Model Navigator [Навигаторе моделей] (каждому разделу соответствует определенное дифференциальное уравнение) и определяем стационарный или нестационарный анализ электромагнитного поля.

2. Определяем рабочую область и задаем геометрию

3. Указываем электромагнитные свойства и начальные условия

4. Указываем граничные условия

5. Задаём параметры и строим сетку

6. Определяем параметры решающего устройства и запускаем расчет.

7. Настраиваем режим отображения

8. Получаем результаты

8.1 Выбираем размерность модели, определяем физический раздел

Размерность модели выбирается в Model Navigator [Навигаторе моделей] на первой вкладке New в Space Dimension [размерность пространства], кроме 1D , 2D и 3D там есть Axial Symmetry (1D) и (2D) для осесимметричных моделей.

Выбираем 3D-модель, физический раздел - AC/DC Module, подраздел - Quasi-Statics, Electromagnetic, при гармоническом во времени анализе (в процессе моделирования анализ можно изменять).

Рисунок 1. Навигатор модели



Рисунок 2. Рабочая плоскость

8.2 Определяем рабочую область и задаем геометрию

Теперь Comsol Multiphysics готов к прорисовке геометрии. Если она у нас заранее не создана во внешней CAD программе или не задана в MATLAB (в этих случаях она просто импортируется через File > Import ), то придется ее задавать внутренними средствами. Прорисовывать геометрию можно, выполняя команды группы Draw главного меню или с помощью вертикально расположенной инструментальной панели, расположенной в левой части фигуры Comsol Multiphysics.

Нам необходимо нарисовать двухмерную модель цилиндра с проводниками. Цилиндр с диаметром стремящемся к еденице и пятью проводниками, равномерно расположенными в нем. Результат построения представлен на рисунке 4.

8.3 Указываем электромагнитные свойства и начальные условия

Когда геометрия задана и все константы определены, можно приступить к заданию электромагнитных свойств. Для начала открываем меню Physics > Subdomain Settings или F8: откроется окно ввода коэффициентов соответствующих дифференциальных уравнений (рис. 3).

Рисунок 3. Задание материальных свойств элемента

Во вкладке Physics надо задать свойства материала, в данном случае электромагнитные, для распространенных материалов можно воспользоваться встроенной библиотекой. В режиме задания материальных свойств в поле subdomain selection геометрия расчётной области изображается в виде объединения неперекрывающихся подобластей, которые называются зонами. Чтобы номера зон было видно, нужно выполнить команду Options/ Labels/ Show Subdomain Labels. В данной задаче расчётная область состоит из шести зон - магнитного диэлектрического цилиндра и пяти медных проводников в нем.

Рисунок 4. Цилиндр в двухмерном виде

8.4 Указываем граничные условия

Чтобы задать граничные условия нужно перевести Comsol Multiphysics в режим ввода граничных условий (Boundary Mode). Переход этот осуществляется командой Physics/Selection Mode/Boundary Mode. В этом режиме отображаются внутренние и внешние граничные сегменты (по умолчанию в виде стрелок, указывающих положительные направления сегментов). Общий вид модели в этом режиме показан на рисунке 5. Если поставить флажок в полях «Interior boundaries» и «Select by group» - появится возможность выделять внутренние границы, а так же выделять границы группами.

Рисунок 5. Показ границ в режиме Boundary Mode

Граничные условия задаются через Physics > Boundary Settings или F7. В этом окне надо выбрать необходимые границы в поле Boundary selection.



Рисунок 6. Задание граничных условий

На рисунках 6 показано граничные условия: условие электрической изоляции на внешних границах и условие непрерывности на внутренних. В этом диалоговом окне есть также панель выделения сегментов. Так что, не обязательно их выделять непосредственно в поле boundary selection. Если нажать кнопку OK или Apply, то введённые граничные условия будут приняты. На этом в данной задаче ввод граничных условий можно считать законченным.

8.5 Задаём параметры и строим сетку

После задания всех свойств и граничных условий наступает очередь построения сетки. Для простейших моделей, на первом этапе оценочного расчета можно задать сетку по умолчанию Mesh > Initialize Mesh (или кнопка с изображением треугольника) и несколько раз нажать Mesh > Refine mesh и получив достаточно мелкую сетку приступить к решению. Для моделей чистой кондукции, не связанных с потоком массы, можно этим и ограничиться: для более мелких элементов сетки система автоматически произведет сгущение.

Рисунок 7. Free Mesh Parameters

По умолчанию, Comsol строит в двумерном режиме треугольную, а в трехмерном тетраэдрическую сетку. Для задания параметров сетки надо выбрать Mesh > Mesh parameters или нажать F9 . Откроется окно настроек, на вкладке Global можно выбрать один из предустановленных режимов. В списке Predefined mash sizes девять режимов от Extremely fine [Чрезвычайно точный] до Extremely coarse [ Чрезвычайно грубый] , остальные расположены между этими крайними режимами. В полях можно задать собственные значения параметров сетки.

Рисунок 8. Первично-сгенерированная конечно-элементная сетка

Maximum element size задает максимальный размер элемента. По умолчанию равен 1/15 максимальной стороны, задавать его необязательно. Maximum element size scaling factor если ничего не задавать в предыдущее поле, то значение этого поля будет определять размер элемента (если задать 0.5 , то размер элемента будет равнятся 1/30 максимальной стороны, если 0.1 то 1/150). Element growth rate [Темп роста элемента] отвечает за степень сгущения, принимает значения от единицы до бесконечности, чем ближе значение к единице тем более равномерная сетка. Mesh curvature factor и Mesh curvature cut off чем меньше эти значения, тем более точно задана криволинейность границы: при больших значениях этих параметров вместо кривой будет считаться ломанная линия. Resolution of narrow regions задает минимальное количество элементов по самой короткой границе, для точных вычислений рекомендуется устанавливать значения этого параметра не меньше десяти.

Рисунок 9. Переопределенная конечно-элементная сетка

8.6 Определяем параметры решающего устройства и запускаем расчет

Выбор решающего устройства и его параметров очень важен, так как в основном от него зависит достоверность вычислений. Неправильная настройка может привести к грубым ошибкам решения, которые очень трудно выявить. Так же очень важно правильно оптимизировать решение.

Кнопка Solve или пункт меню Solve > Solve problem запускает решающее устройство с текущими настройками. Кнопка Restart или пункт меню Solve > Restart перезапускает решающее устройство используя текущие значения (поле температур или скоростей как начальные.

Для изменения параметров нажмем F11 Solve > Solver parameters … или соответствующую кнопку. Откроется окно:

Рисунок 10. Окно параметров решающего устройства

После задания свойств нажимаем кнопку Solve или команду Solve > Solve Problem .

8.7 Настраиваем режим отображения

После завершения решения автоматически включается режим Postprocessing mode [Режим постобработки] в котором можно наблюдать результаты вычисления. Вручную этот режим можно включить соответствующей кнопкой или командой Postprocessing > Postprocessing mode. По умолчанию, в расчетах теплопереноса выводится поле температур

Рисунок 11. Изображение с автоматическими настройками визуализатора

дифференциальный уравнение квазистационарный электромагнитный

Очень часто бывает нужно изменить в модели некоторые параметры (геометрические размеры, граничные условия, материалы). Можно многократно изменять параметры модели и повторно выполнять решение.

Изменим параметры режима визуализации, воспользовавшись командой Plot/ Parameters. На вкладке Surface в подменю Range... изменим минимальное и максимальное значения электропотенциала на -0.0075 и 0.0035 соответственно.



Рисунок 12. После настройки визуализации и решателя

Мы видим, что Comsol очень наглядно показывает каким образом происходит изменение магнитного поля. Изменяя параметры визуализации мы можем добиться интересующей нас картинки, наиболее полно раскрывающей весь процесс.

9. Результаты решения задачи. Основные выводы

Как видно из проделанной работы, результат во многом зависит от человеческого фактора. А именно, конечный продукт напрямую связан с целями и задачами поставленными перед разработчиком. Пакет Comsol оснащен мощным набором функций, при изменении которых можно добиться максимальной наглядности изображения и реальности моделирования.

COMSOL Multiphysics - это мощная интерактивная среда для моделирования и расчетов большинства научных и инженерных задач основанных на дифференциальных уравнениях в частных производных (PDE) методом конечных элементов. С этим программным пакетом мы можем расширять стандартные модели использующие одно дифференциальное уравнение (прикладной режим) в мультифизические модели для расчета связанных между собой физических явлений. Расчет не требует глубокого знания математической физики и метода конечных элементов. Это возможно благодаря встроенным физическим режимам, где коэффициенты PDE задаются в виде понятных физических свойств и условий, таких как: теплопроводность, теплоемкость, коэффициент теплоотдачи, объемная мощность и т.п. в зависимости от выбранного физического раздела. Преобразование этих параметров в коэффициенты математических уравнений происходит автоматически. Взаимодействие с программой возможно стандартным способом - через графический интерфейс пользователя (GUI), либо программированием с помощью скриптов на языке COMSOL Script или языке MATLAB.

10. Заключение

В ходе выполнения данного курсового проекта была проведена научная работа по сбору и обработке информации, на основе её анализа были выполнены действия по реализации задания проекта.

Были рассмотрены теоретические вопросы метода конечных элементов. Также был изучен сам метод конечных элементов, как наиболее уместный для расчета электромагнитного поля в нашем случае.

Практическая часть работы была выполнена в среде моделирования Comsol Multiphysics 3.5a. Был проведен расчет электромагнитного поля для двух- и трехмерного случая. Все подкреплено описаниями работы и скриншотами результатов.

11. Список литературы

1. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. - М.: Наука, 1970. - 512 с.

2. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. - М.: Мир, 1977. - 352 с.

3. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. - М.: Мир, 1988. - 352 с.

4. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1988. - 128 с.

5. Системы автоматизированного проектирования: Учеб. пособие для втузов: В 9 кн./ И.П.Норенков. Кн.1. Принципы построения и структура.- М.: Высшая школа, 1986.- 127 с.

6. Харчистов Б.Ф., Методы оптимизации: Учеб. пособие. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004. -140с.

7. Каим С.Д., Физико-техническое моделирование. Метод конечных элементов: Научно-методическое пособие - Одесса: Изд-во Негоциант, 2005. - 68 с.

8. Галанин М.П., Попов Ю.П. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах: Математическое моделирование.

9. Татур Т.А. Основы теории электромагнитного поля: Справочное пособие для электротехн. Спец. Вузов.

Размещено на Allbest.ru