Электрические свойства полупроводников

Пусть в кристалле единичного объема в интервале энергий от W до W+dW имеется с(w) разрешенных энергетических уровней.

Чтобы определить число частиц dn , энергия которых лежит в определенном интервале dW, необходимо знать функцию распределения плотности энергетических уровней с(w) и вероятность нахождения частиц на этих энергетических уровнях ?_n(w):

dn= с(w)? ?_n(w)?dW. (5)

Из теории твердого тела известно, что если имеется набор энергетических уровней, то вероятность того, что электрон находится на энергетическом уровне с энергией W при данной температуре

описывается статистической функцией Ферми-Дирака:

?_n(w)=, (6)

где k - постоянная Больцмана, равная 1,38 10^-23 Дж /К; Т - абсолютная температура; kТ - средняя тепловая энергия электрона; W_F - параметр системы, называемый уровнем Ферми.

Это распределение Ферми-Дирака справедливо в условиях теплового равновесия.

Рассмотрим вид функции распределения Ферми-Дирака при различных температурах в металле.

Из формулы для ?_n(w) следует, что при Т=0 в интервале энергий 0?W<W_F имеем ?_n(w)= 1 и ?_n(w)= 0 для W>W_F. Это означает, что все энергетические уровни с энергией, меньшей энергии Ферми, заняты электронами, а уровни, лежащие выше уровня Ферми, полностью свободны, не заняты электронами. Между заполненными и свободными уровнями резкая граница электронного распределения. Уровень Ферми (энергия Ферми) в этом случае определяет максимально возможную энергию электронов в металле при температуре абсолютного нуля.

а б

Рис. 13. Энергетическая диаграмма (а) и функции распределения Ферми-Дирака для металла (б)

При Т > 0 часть электронов в результате теплового движения перейдет на уровни с энергией, большей энергии Ферми. Поэтому часть уровней, находящихся ниже уровня Ферми, окажется свободной. Число частиц, перешедших на более высокие энергетические уровни, равно количеству образовавшихся свободных состояний в области W<W_F. При Т>0 граница электронного распределения не будет резкой, появляется размытая зона распределения электронов, в пределах которой уровни могут быть заняты и не заняты. Ниже интервала размытия все уровни заняты, вероятность их занятия электронами равна 1 (для температуры Т' они располагаются ниже уровня W₂ на рис.13,а). Выше интервала размытия все уровни свободны, вероятность их занятия электронами равна 0 (все уровни выше W₁ при температуре Т' на рис. 13,а). В пределах размытой зоны электронного распределения функция Ферми-Дирака принимает значения от 0 до 1 (кривая 1, рис. 13,б). Причем кривая ?_n(w) располагается симметрично относительно уровня Ферми, который в этом случае соответствует среднему значению размытой зоны электронного распределения. Если W= W_F, то ?_n(w_F)=, т.е. уровень Ферми - энергетический уровень, вероятность заполнения которого при температуре, отличной от абсолютного нуля, равна 0,5. При увеличении температуры (Т">Т?) интервал размытой зоны электронного распределения растет (W₃ -W₄ на рис. 13,а против W₁ -W₂ для температуры Т' ), так как при более высокой температуре T" электроны смогут переходить на более высокие энергетические уровни и с более низких энергетических уровней, чем при температуре Т?. Функция Ферми-Дирака представлена на рис.13,б кривой 2. Уровень Ферми по-прежнему соответствует среднему значению размытой зоны электронного распределения.

Можно провести аналогию с механической моделью - сосудом с жидкостью. Встряхивание сосуда приводит к размытию той резкой границы распределения "жидкость-воздух", которая имеется в состоянии покоя. Действие температуры на распределение электронов в твердом теле эквивалентно действию силы на встряхиваемый сосуд.

Произведем оценку области изменения функции распределения ?_n(w) для Т>0. Для энергий, отличающихся от W_F на ± kT, значение ?_n(w) составляет 0,27 и 0,73. При W-W_F= ±2kT значения ?_n(w) равны 0,118 и 0,882, а при W-W_F=±3kT - 0,047 и 0,953. Из этих данных следует, что вероятность заполнения состояний заметно отличается от единицы или нуля вблизи значения W=W_F лишь в пределах (2-3) кТ.

Рассмотрим функции и энергии Ферми для полупроводников.

На рис.14 показаны энергетическая диаграмма собственного полупроводника и графики зависимости ?_n(w) и распределения подвижных носителей зарядов по энергиям при различных температурах.

При Т = 0 валентная зона полностью заполнена, т.е. ?_n(w)=1, а зона проводимости пуста, т.е. ?_n(w)=0.При повышении температуры начинается термогенерация электронов и дырок, появляется размытая зона электронного распределения, в пределах которой функция ?_n(w) изменяется от 0 до 1. На кривых распределения Ферми-Дирака есть участки, где функция Ферми не имеет физического смысла, так как в запрещенной зоне (от Wв до Wпр на рис.14а) энергетические уровни не разрешены для электронов собственного полупроводника.

а б

Рис.14. Энергетическая диаграмма (а) и функция Ферми (б) для собственного полупроводника

Так как функция Ферми располагается симметрично относительно уровня Ферми W_F, то вероятность нахождения электронов на уровне W₁, расположенном выше уровня Ферми W_F на величину ДW, равна вероятности освобождения от электронов в валентной зоне уровня W₂, лежащего ниже W_F на ту же величину ДW. Другими словами, функция Ферми равна вероятности нахождения дырок на этом уровне. Функция распределения Ферми для дырок

?_p(w)=1-?_n(w)=. (7)

По оси абсцисс на рис.14,б отложены значения функции Ферми не только для электронов ?_n(w) , но и для дырок - ?_p(w). Концентрации электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне пропорциональны зачерченным площадкам на рис. 14,б.

Уровень Ферми W_F соответствует "центру масс" электронов проводимости и дырок, "взвешенных" по энергиям. Так как в собственном полупроводнике количество электронов в зоне проводимости равно количеству дырок в валентной зоне, то уровень Ферми W_F должен находиться вблизи середины запрещенной зоны. На зонных диаграммах полупроводников энергия электронов возрастает вверх от дна зоны проводимости, а энергия дырок увеличивается вниз от потолка валентной зоны, так как валентный электрон, переходящий в зону проводимости с более низкого уровня в валентной зоне, обладает большим значением энергии и, разрывая ковалентную связь, оставляет дырку также с большей энергией. Кривая 2 на рис.14,б соответствует функции Ферми при более высокой температуре (Т?>Т?).

а б

Рис.15. Энергетическая диаграмма (а) и функция Ферми (б) для полупроводника n-типа

В полупроводнике n-типа вероятность появления электронов в зоне проводимости возрастает по сравнению с собственным полупроводником, так как примесный уровень располагается вблизи зоны проводимости. При комнатной температуре почти все электроны с примесного уровня переходят в зону проводимости. В связи с этим кривая распределения Ферми-Дирака, а также уровень Ферми WFn смещаются вверх относительно середины запрещенной зоны (рис.15).

В полупроводнике р-типа по сравнению с собственным полупроводником возрастает вероятность появления дырок в валентной зоне, так как примесный уровень находится вблизи валентной зоны и электроны валентной зоны легко переходят на него ("захватываются" трехвалентными атомами примеси), оставляя в валентной зоне большое число дырок. Кривая распределения Ферми-Дирака и уровень Ферми WFp в этом случае смещаются вниз от середины запрещенной зоны (рис.16).

а б

Рис.16. Энергетическая диаграмма (а) и функция Ферми (б) для р -полупроводника

Положение уровня Ферми W_F в примесных полупроводниках зависит от температуры и концентрации вводимой примеси.

В электронном невырожденном полупроводнике при повышении температуры уровень Ферми W_F слегка сдвигается вверх от первоначального положения (рис.17,а). Это объясняется тем, что при относительно низких температурах, когда тепловой генерацией носителей можно пренебречь, концентрация основных носителей заряда - электронов проводимости - определяется концентрацией примесных атомов и с повышением температуры растет (участок I на рис.9). В диапазоне температур, близких к комнатным, концентрация электронов и дырок незначительно зависит от температуры, так как примесные уровни истощены (атомы примеси ионизируются при очень низкой температуре), а ионизацией атомов основного вещества можно пренебречь. Следовательно, уровень Ферми изменяется незначительно. При дальнейшем увеличении температуры большую роль начинает играть собственная электропроводность, связанная с термогенерацией носителей заряда (участок III на рис.9), поэтому уровень Ферми стремится к середине запрещенной зоны.

а б

Рис.17. Изменение положения уровня Ферми с температурой для n-полупроводника (а) и p-полупроводника (б)

Аналогично поведение полупроводника с акцепторными примесями (рис .17,6).

Увеличение концентрации примесей вызывает в n-полупроводнике повышение уровня Ферми, W_F приближается все ближе к дну зоны проводимости, затем перемещается в зону проводимости, а в р-полупроводнике W_F приближается к валентной зоне и далее смещается в валентную зону.

Уравнение, определяющее функцию Ферми (6), можно упростить при выполнении следующего условия:

¦W-W_F¦? 3 kT. (8)

Если (W-W_F)>0 и выполняется условия (8), то единицей в знаменателе (6) можно пренебречь по сравнению с экспоненциальным членом, т.е.

?_n(w)=

=, (9)

где - постоянная величина для заданного материала при заданной температуре Т.

Если (W-W_F) < 0 и выполняется условие (8), то

?_n(w) = 1- ?_p(w) , (10)

?_p(w) =1- ?_n(w) = . (11)

Итак, получили закон распределения Максвелла - Больцмана (9) и (10), графическое решение этих уравнений показано пунктирными линиями на рис. 18.

Рис.18 Вероятностные функции распределения Ферми-Дирака и Максвелла-Больцмана

Если выполняется условие (8), т.е. электроны и дырки находятся на уровнях, отстоящих от W_F достаточно далеко, то процессы в полупроводнике можно оценивать с помощью статистики Максвелла-Больцмана. Такие полупроводники называются невырожденными. Полупроводники, свойства которых описываются статистикой Ферми-Дирака, называются вырожденными.

Сравним для некоторой температуры Т кривые распределения Максвелла и Ферми (рис. 18): сплошной линией показано распределение Ферми-Дирака, пунктирной - максвелловское распределение. Эти кривые расходятся только для тех значений энергии W , которые близки к W_F, а при W , отличающихся от W_F на 3 кТ и более, кривые сливаются.

Состояние полупроводника зависит от концентрации примеси и температуры. В невырожденных полупроводниках концентрация примеси находится в пределах 10¹² - 10¹⁸ 1/см³, а в вырожденных - 10¹⁹- 10²¹ 1/см³. Уровень Ферми в невырожденных полупроводниках располагается внутри запрещенной зоны.

Концентрацию электронов, при которой в n-полупроводнике уровень Ферми W_F совпадает с дном зоны проводимости, принято называть критической n_кр. Критическая концентрация дырок p_кр в p -полупроводнике соответствует случаю, когда уровень Ферми в нем совпадает с потолком валентной зоны. Совпадение уровня Ферми W_F с дном зоны проводимости в n-полупроводнике и с потолком валентной зоны в p -полупроводнике определяет границу между невырожденным и вырожденным состоянием полупроводника. Такое критическое положение уровня Ферми соответствует обращенным диодам. Подсчитано, что при Т=300 К германий можно полагать невырожденным, если n< n_кр = 2?10¹⁹ 1/см³. Для кремния n_кр = 6?10¹⁹ 1/см³. При n> n_кр уровень Ферми в n- полупроводнике перемещается в зону проводимости, а в р- полупроводнике - в валентную зону. При большой концентрации примеси примесный уровень расщепляется в примесную зону, частично заходящую в зону проводимости n- полупроводника, или в валентную зону р- полупроводника.

В большинстве случаев применяют невырожденные полупроводники. Вырожденные полупроводники используются в туннельных, обращенных диодах и некоторых других приборах. В таких приборах рабочий диапазон температур выше, чем у приборов на основе невырожденных полупроводников, потому что собственная проводимость для полупроводников с большей концентрацией примеси начинает сказываться при более высоких температурах.

Для определения количества электронов, находящихся в единице объема и занимающих разрешенные уровни в интервале энергий dW, необходимо знать не только вероятность заполнения энергетических уровней, но и число разрешенных уровней в данном интервале энергий, т.е. функцию распределения плотности энергетических уровней (рис.19).

Рис.19. Функция распределения плотности энергетических уровней

Плотность энергетических уровней в зоне проводимости

с(w)=C₁ , (12)

где С₁ -коэффициент пропорциональности; Wпр - энергия, соответствующая дну зоны проводимости.

Плотность энергетических уровней в валентной зоне

с(w)=C₂ , (13)

где Wв - энергия, соответствующая потолку валентной зоны; С₂ -коэффициент пропорциональности.

Плотность энергетических уровней равна нулю у дна зоны проводимости (или потолка валентной зоны). По мере продвижения от дна зоны проводимости (или потолка валентной зоны) вглубь зоны она изменяется в соответствии с параболическим законом.

Зная функцию распределения плотности энергетических уровней и функцию распределения Ферми-Дирака, определяющую вероятность нахождения электронов на уровнях в интервале энергий dW, можно определить функцию распределения плотности энергетических состояний (рис.20) по формуле

?_n(w) . (14)

Рис.20. Схема электронных состояний в собственном полупроводнике

Кривые с(w) и ?_n(w) на рис.20 показаны менее жирными линиями, более жирной линией показана функция для зоны проводимости собственного полупроводника.

Интегрируя (14) по всем значениям энергий зоны проводимости, можно определить концентрацию электронов в зоне проводимости.

Аналогичные рассуждения можно провести для определения концентрации дырок в валентной зоне.

ЛИТЕРАТУРА

Электронные приборы: Учебник для вузов / Под ред. Г.Г. Шишина.-М.: Эенргоатомиздат, 1989.-496 с.

Батушев В.А. Электронные приборы: Учебник для вузов. - М.: Высш. шк., I980.-383 с.

Пасынков В.В., Чиркин Л.К. Полупроводниковые приборы: Учебник для вузов. - М.: Высш. шк., 2002.-480 с.

Степаненко И.П. Основы микроэлектроники: Учебник для вузов. - М.: Сов. Радио, 2001.-488 с.

Шалимова К.В. Физика полупроводников: Учебник для вузов. - М.: Энергоатомиздат, 1985.-392 с.

Морозова И. Г. Физика электронных приборов: Учебник для вузов. - М.: Атомиздат, 1980.-392 с.

Федотов Я.А. Основы физики полупроводниковых приборов: Учебное пособие для вузов. - М.: Советское радио, 1969.-592 с.

Размещено на Allbest.ru