Направляемые электромагнитные волны

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

“Направляемые электромагнитные волны”



Содержание

Задание

Введение

1. Анализ ЭМП над идеально проводящей плоскостью при паралелльной и перпендикулярной поляризации

2. Структура силовых линий

3. Решение задачи на нахождение:

- поперечного волнового числа

- продольного волнового числа

- фазовой скорости

- длин волн поперечной и продольной волны

Заключение

Список используемой литературы



Задание

1.Проанализировать ЭМП над идеально проводящей плоскостью при падении параллельно и перпендикулярно поляризованных волн;

2.Начертить структуру силовых линий Т-,Е-,Н-волн

3.Найти:

-продольное волновое число

-поперечное волновое число

-фазовую скорость

-длины волн поперечной и продольной волн

Для частоты f=10Ггц,f=15Ггц и угла падения =40°, параллельная поляризация, граница вакуум-идеальный проводник



Введение

Важными компонентами радиотехнических систем сверхвысоких частот являются волноводы -- устройства для передачи энергии электромагнитных колебаний от генератора к нагрузке. Любой волновод независимо от особенностей конструкции должен обеспечить локализацию области, в которой распространяются электромагнитные волны. Простейшей идеализированной структурой, которая дает возможность ограничить пространственную область существования поля, является бесконечная металлическая плоскость. С ее помощью можно отделить (экранировать) одно полупространство от другого. В данной работе рассмотрены явления при наклонном падении однородной плоской электромагнитной волны на идеально проводящую плоскость. Анализируется интерференция падающей и отраженной волн с учетом векторного характера электромагнитного поля. Показывается, что суммарное электромагнитное поле представляет собой неоднородную плоскую волну, которая распространяется вдоль направляющей плоскости.



1. Анализ ЭМП над идеально проводящей плоскостью при параллельной и перпендикулярной поляризации

Падение плоской волны с параллельной поляризацией

Пусть на идеально проводящую плоскость под некоторым углом падает однородная плоская электромагнитная волна(рис.1) , электрический вектор которой лежит в плоскости XOZ, при этом наблюдается параллельная поляризация падающей волны. Считается, что полупространство х>0 имеет электродинамические параметры о, µo (вакуум). Предполагается также, что падающая волна гармонически изменяется с частотой ; коэффициент фазы этой волны .Введем волновой вектор падающей волны Кпад, который имеет модуль и совпадает по направлению с вектором Пойнтинга падающей волны . Из (рис.1) видно, что данный волновой вектор образует угол с осью х, с осью z и 90°- с осью у (имеются в виду положительные направления осей). Так как cos () =--cos, cos (90°--) = sin, то волновой вектор падающей волны имеет следующее координатное представление: 

(1)

Тогда комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля падающей волны

(2)

где векторный амплитудный коэффициент связан с физической амплитудой электрического вектора Еm следующим образом:

(3)

Заметим, что начальная фаза в выражении (2) может выбираться произвольно и поэтому допустимо считать, что вектор имеет чисто действительные проекции, что удобно для последующего анализа. При падении плоской электромагнитной волны на идеально проводящую плоскость возникает однородная плоская отраженная волна с волновым вектором электромагнитный поле силовой линия

(4)

который в соответствии с законами отражения направлен под углом к положительному направлению оси х.Комплексная амплитуда электрического вектора отраженной волны

(5)

должна иметь такой векторный амплитудный коэффициент , чтобы суммарное электромагнитное поле на границе раздела при х=0 удовлетворяло граничному условию: z-я проекция вектора напряженности электрического поля должна быть равна нулю. Иными словами, отраженная волна должна скомпенсировать касательную составляющую электрического вектора поля падающей волны на границе раздела. Как следует из( рис. 1), для этого требуется, чтобы

(6)

Структура электрического поля над плоскостью.

Общее выражение для комплексной амплитуды электрического вектора суммарного электромагнитного поля в полупространстве :

+(7)

Полученное равенство целесообразно преобразовать, вынеся за скобки общие множители в обоих слагаемых правой части, а затем воспользовавшись формулами Эйлера:

()+=

=2(8)

Структура магнитного поля над плоскостью.

Поскольку электрический вектор падающей волны лежит в плоскости XOZ, перпендикулярный ему вектор напряженности магнитного поля имеет единственную составляющую, ориентированную вдоль оси у. Комплексная амплитуда у-й проекции магнитного вектора падающей волны должна зависеть от пространственных координат х и z таким же образом, как и комплексная амплитуда электрического вектора (из .ф.2)

(9)

где=377Oм -- характеристическое сопротивление вакуума. Так как вектор Пойнтинга отраженной волны направлен вдоль волнового вектора Котр, необходимо (рис. 1), чтобы магнитный вектор отраженной волны на границе раздела был направлен в ту же сторону, что и вектор . Тогда соответствующая комплексная амплитуда

(10)

Складывая выражения (из ф.9) и (из ф.10), получаем формулу,которая описывает пространственную зависимость комплексной амплитуды магнитного вектора суммарного поля:

(11)

При любых значениях угла падения из интервала 0<<90° результирующее поле представляет собой волну, которая распространяется в положительном направлении оси z. Об этом свидетельствует характерный фазовый множитель вида ехр(--j).Так как фаза поля неизменна в любой плоскости z = const, данный электромагнитный процесс является плоской волной.

* В отличие от однородных плоских волн здесь амплитуды составляющих векторов электромагнитного поля в пределах плоского волнового фронта не постоянны, а зависят от поперечной координаты х по закону cos() или sin(). Такие процессы являются неоднородными плоскими волнами. С физической точки зрения в поперечной плоскости за счет интерференции падающей и отраженной волн возникает стоячая электромагнитная волна.

* Структуры полей электрического и магнитного векторов принципиально различны. Магнитный вектор с единственной проекцией Ну чисто поперечен, в то время как электрический вектор имеет и поперечную проекцию Ех, и продольную проекцию Ez.Неоднородные плоские волны такой структуры принято называть Е-волнами. В литературе встречается также термин ТM-волны (от англ. Transverse Magnetic Waves -- поперечные магнитные волны). Возможен частный случай = 90°, когда падающая волна распространяется параллельно границе раздела, так что отраженная волна фактически отсутствует. Поле в полупространстве х>0 является при этом однородной плоской волной; векторы электромагнитного поля не имеют составляющих вдоль оси распространения. Такие электромагнитные волны принято называть Т-волнами (от англ. Transverse Waves -- поперечные волны).

Падение плоской волны с перпендикулярной поляризацией

Метод анализа электромагнитного поля над идеально проводящей плоскостью, развитый в предыдущем пункте, можно распространить на случай, когда падающая плоская волна имеет перпендикулярную поляризацию, т. е, электрический вектор поля в каждой точке полупространства х>0 перпендикулярен плоскости падения. Соответствующий чертеж, поясняющий ориентацию векторов поля, приведен на( рис. 2). Запишем комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля падающей волны в виде



(12)

где -- произвольный действительный коэффициент.

Для того чтобы выполнялось граничное условие = 0 при х=0, необходимо, чтобы в полупространстве х>0 существовала плоская отраженная волна с комплексной амплитудой электрического вектора

(13)

Тогда результирующее электромагнитное поле в верхней полуплоскости имеет комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля

=j2 (14)



Чтобы вияснить пространственную зависимость магнитного вектора, следует обратиться к (рис. 2), заметим, что векторы Пойнтинга Ппад и Потр будут действительно направлены вдоль волновых векторов Кпад и Котр соответственно, если амплитудные коэффициенты векторов напряженности магнитного поля таковы:

(15)

(16)

Тогда комплексная амплитуда суммарного магнитного вектора

(17)

зируя формулы (14) и (17), приходим к следующему выводу: рассматриваемый электромагнитный процесс представляет собой неоднородную плоскую волну, распространяющуюся в сторону увеличения координаты 2, т. е. вдоль границы раздела. В поперечном направлении поле имеет характер стоячей волны. Принципиальное отличие от случая с параллельной поляризацией состоит в том, что здесь электрическое поле имеет единственную отличную от нуля проекцию Еу и является чисто поперечным. Вектор напряженности магнитного поля, напротив, кроме поперечной проекции Нх имеет также продольную проекцию Hz. По этой причине такие направляемые волны принято называть Н-волнами или ТE-волнами (от англ. Transverse Electric Waves -- поперечно-электрические волны). В заключение отметим, что при падении плоской волны с перпендикулярной поляризацией на границу раздела с идеальным проводником чисто поперечных Т-волн возникнуть не может. Действительно, проекция Hz тождественно равна нулю лишь при =90°, когда соs = 0. Однако на основании формулы (14) при этом одновременно Еу = 0, т. е. такая электромагнитная волна не существует.

2.Структура силовых линий электрического и магнитного полей

Чтобы наглядно представить электромагнитный процесс, который возникает при падении плоской волны на идеально проводящую плоскость, целесообразно построить силовые линии электрического и магнитного полей. Такое построение можно выполнить на основании формул (34),(35), (36),(37).Рассмотрим вначале данную задачу в общем виде. Пусть кривая MN на (рис. 3) является некоторой силовой линией поля Е, наблюдаемой в фиксированный момент времени tо. Вектор Е, определенный в точке А и имеющий проекции Ех и Ez, изображен отрезком АВ.

Согласно определению, этот отрезок направлен по касательной к силовой линии. Если координата z в точке А получает приращение dz, то, перемещаясь вдоль силовой линии, мы из точки А переходим в точку D, при этом координата х получает приращение на величину dх. Пренебрегая бесконечно малыми величинами порядка (d )и (d), можно заменить дифференциал дуги отрезком касательной и считать, что «треугольник» ADF подобен прямоугольному треугольнику ABC. Отсюда следует, что

,

Или

(18)

Равенство (18) представляет собой дифференциальное уравнение силовой линии рассматриваемого поля. Помимо уравнения необходимо задать также начальное условие, указав некоторую точку пространства с координатами (), через которую должна проходить эта силовая линия. Из теории дифференциальных уравнений известно, что если в окрестности выбранной точки правая часть уравнения вида (18)имеет непрерывную частную производную по аргументу х, то такая точка является неособенной и через нее проходит единственная силовая линия (интегральная кривая).

Продемонстрируем описанную методику на примере построения силовых линий поля электрического вектора для Е-волны( формула 34). Прежде всего, переходя от комплексных амплитуд к мгновенным значениям поля, запишем

E(x,z,t)=2(19)

Здесь принято во внимание, что z-я проекция опережает по фазе х-ю проекцию на /2 радиан и поэтому



Условимся строить силовые линии поля в момент времени t=0. Тогда на основании выражений (18)и (19) имеем дифференциальное уравнение

(20)

Анализируя данное уравнение, приходим к следующим выводам:

1) На границе раздела при х = 0 производная dx/dz неограниченно велика. Значит, силовые линии поля Е в полном соответствии с граничными условиями подходят к поверхности идеального проводника по нормали.

2) Картина силовых линий поля является периодической с периодами по осям z и х соответственно (формулы 40 и 41). Поэтому силовые линии электрического вектора волны типа Е представляют собой замкнутые кривые, лежащие в плоскости XOZ. Исключение составляют лишь те линии, которые «входят» в идеальный проводник или «выходят» из него.

На (рис. 4) изображена группа кривых, построенных путем численного интегрирования на компьютере уравнения (20) для частного случая = 45°, когда волновые числа h и g совпадают. В целях удобства построения по координатным осям отложены безразмерные аргументы hz и gx. Кривые построены в пределах квадрата, внутренние точки которого удовлетворяют неравенствам

;

Требования к точности графического построения картины поля не слишком высоки. Поэтому использовался простейший численный способ решения дифференциального уравнения --метод Эйлера первого порядка, согласно которому уравнение (20) приближенно заменяют уравнением в конечных разностях

Вычисления начинают с некоторой начальной точки (). Далее определяют координаты очередной точки -- фиксированный шаг. Эту операцию циклически повторяют до тех пор, пока текущая точка на кривой не достигнет границы области. Кривые на (рис.4) построены для шести начальных точек, у которых координата h одна и та же, а координаты gпринимают значения 0.25, 0.5, 0.75, 1.0, 1.25 и 1.5.

Рис. 4 Результат численного интегрирования дифференциального уравнения силовых линий электрического вектора

Теперь не представляет труда изобразить полную картину силовых линий электрического вектора (рис. 5). Для этого достаточно «повторить» картину, приведенную на (рис. 4), должное число раз. Необходимо лишь следить за тем, чтобы направления стрелок на силовых линиях чередовались в силу пространственной периодичности поля. На этом же рисунке построены силовые линии магнитного вектора Е-волны. Из формулы (35) вытекает зависимость напряженности магнитного поля от пространственных координат при t=0

(21)

Силовые линии такого поля представляют собой «нити», параллельные оси у. Направление вектора Н периодически изменяется в пространстве. Вектор, ориентированный от наблюдателя к плоскости чертежа, обозначен сплошным кружком; вектор противоположного направления обозначен кружком с точкой. Как принято в электродинамике, силовые линии проведены чаще там, где напряженность поля больше. Полезно заметить, что магнитное поле Е-волны, будучи поперечным, концентрируетсяименно в тех областях пространства, где велика поперечная проекция Ех напряженности электрического поля. Наоборот, там, где продольная проекция Ez достигает максимума, проекция Ну обращается в нуль.

Структура поля волны типа Т.

Поперечные электромагнитные волны (Т-волны) существуют в полупространстве над идеально проводящей плоскостью в частном случае, когда угол падения плоской волны с параллельной поляризацией равен 90° . При этом поперечное волновое число g = 0, а продольное волновое число h=.



Рис. 5. Структура силовых линий волны типа Е над идеально проводящей плоскостью

Соответствующие проекции комплексных амплитуд векторов электромагнитного поля прямо вытекают из формул 34 и 35, в которых следует опустить коэффициент 2, так как отраженная волна отсутствует:

= ,(22)

=(23)

Отсюда мгновенные значения векторов

E(z,t)=(24)

H(z,t)=cos((25)

В момент времени t=0 имеем

E(z,0)=(26)

H(z,0)=(27)



Картина распределения векторов поля в плоскости XOZ, построенная на основании формул (26) и (27), приведена на( рис. 6).Заметим, что она ничем не отличается от картины поля однородной плоской волны.

Рис. 6 Структура силовых линий направляемой Т-волны

Структура поля волны типа Н

Исследование пространственной структуры силовых линий электромагнитного поля воды типа Н, возникающей над идеально проводящей плоскостью, можно провести аналогичным образом.С помощью формул 36 и 37 запишем выражения мгновенных значений векторов поля волны типа Н в момент времени t= 0:

Е (х, z, 0)=2(28)

Н(х, z, 0) =-(29)

Дифференциальное уравнение силовых линий магнитного вектора в соответствии с выражением (29) имеет вид



(30)

Картина силовых линий вектора Н, построенная путем численного интегрирования этого уравнения для частного случая = 45°, приведена на( рис. 7.). Здесь же изображен эскиз пространственного распределения силовых линий вектора Е, построенный на основании выражения (28).

Рис. 7. Структура силовых линий волны типа Н над идеально проводящей плоскостью

Следует обратить внимание на то, что в силу граничных условий при х = 0 нормальная составляющая магнитного вектора и касательная составляющая электрического вектора обращаются в нуль. В остальном картины полей волн Е- и Н-типов идентичны с точностью до перестановки векторов Е и Н



3. Решение задачи

Продольное и поперечное волновые числа.

Как уже упоминалось, характер зависимостей проекций векторов электромагнитного поля волн Е- и Н-типов вдоль продольной координаты z и поперечной координаты х совершенно различен: по оси z устанавливается бегущая, а по оси х-- стоячая волна. Чтобы учесть эту особенность рассматриваемого волнового процесса, вводят два параметра: продольное волновое число

(31)

и поперечное волновое число х

(32)

такие, что

(33)

при любом угле падения .

Формулы (31),(32) дают возможность существенно упростить выражения для проекций векторов поля (нижний индекс опущен, так как здесь и в дальнейшем речь идет только о суммарном поле):

Е-волны

(34)



(35)

H - в о л н ы

(36)

(37)

Фазовая скорость Е- и Н-волн.

Характерный вид зависимости функций, представляемых формулами (34)-(37) от координаты z указывает на то, что продольное волновое число h играет роль коэффициента фазы направляемых волн над проводящей плоскостью. Тогда, по определению, фазовая скорость волнового процесса

(38)



Видно, что при любом угле падения ,отличном от 90°, имеет место неравенство

(39)

Поэтому Е- и Н-волны часто называют быстрыми волнами. Физический смысл неравенства (39) легко понять, обратившись к (рис. 7), где изображена хорошо известная из повседневного опыта структура волновых фронтов падающей и отраженной волн, наблюдаемая на поверхности воды вблизи непроницаемой стенки (берега). Пусть -- фазовая скорость падающей волны, -- угол падения. Если в треугольнике ОАВ мысленно зафиксировать точку В, а точке А дать возможность перемещаться вместе с волновым фронтом, то, очевидно,

Однако точка О, в которой пересекаются стенка и волновой фронт, будет двигаться быстрее:

что полностью соответствует формуле(38)

безусловно, не раз внимание обращалось к тому, как волны набегают на берег водоема. Заметим, что если = 0, то колебания во всех точках линии, параллельной стенке, происходят с одинаковой фазой. Поэтому формально можно говорить о том, что фазовая скорость волнового процесса вдоль оси z обращается в бесконечность.

Продольная и поперечная длины волн.

Несмотря на существенные различия, структуры полей электромагнитных волн Е - и Н-типов имеют общую черту: проекции векторов поля описываются периодическими функциями как продольной координаты z, так и поперечной координаты х. Пространственный период поля вдоль оси распространения z будем называть продольной длиной волны. Очевидно, что

(40)

где -- длина однородной плоской волны в свободном пространстве. Отметим, что всегда

Аналогично, пространственный период стоячей волны вдоль поперечной оси х будем называть поперечной длиной волны:

Параметры , и связаны очевидным соотношением

Задача1. Плоская электромагнитная волна с параллельной поляризацией, имеющая частоту f=10ГГц, падает из вакуума под углом = 40° на границу раздела с идеальным проводником,образуя в верхнем полупространстве волну Е-типа. Найти продольное волновое число h, поперечное волновое число g, фазовую скорость Е-волны , а также длины волн . Прежде всего определяем коэффициент фазы в свободном пространстве: 

=(6.283)/(3) =209.33

Затем по формулам (31),(32) находим

=134.55

g==160.356

На основании соотношения (38) фазовая скорость Е-волны

=4.667м/с

Наконец, в соответствии с выражениями (40)и(41)имеем

Для частоты=15Ггц проделываем ту же процедуру и получим:

h=201.83

g=240.53



Заключение

При изучении плоских волн необходимо помнить, что векторы Е и Н плоской электромагнитной волны перпендикулярны, друг другу и изменяются во времени и пространстве по гармоническим законам; в идеальном диэлектрике волны не испытывают затухания.В этой работе мы ознакомились с видом функций, описывающих волновые процессы вообще и плоские волны, в частности, и физический смысл входящих в них параметров,с умели записать выражения комплексных амплитуд. Определили фазовую скорость, продольное и поперечное волновые числа, продольную и поперечную длины волн. Рассматривали различные виды поляризации волн. Построили силовые линии электрического и магнитного полей.



Список использованной литературы

1. Семенов А.А. Теория электромагнитных волн.-М.: Изд-во МГУ,1968.

2. Баскаков С.И. Электродинамика и распространение волн.-М.: Высш.шк., 1992.

3. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн.-М.: Наука, 1989.

Размещено на Allbest.ru