Размещено на http://www.allbest.ru

вариант 15.20.2

Задание 1

Расчёт разветвлённой цепи постоянного тока

Схема линейной электрической цепи, изображена на рисунке 1.1.

Величины сопротивлений и ЭДС источников цепи приведены в таблице:

Сопротивление, Ом
R1	R2	R3	R4	R5	R6
10	20	30	60	50	40
ЭДС, В
E1	E2	E3	E4	E5	E6
-300	-	-	-200	-	-

Номер ветви, в которой необходимо определить ток методами наложения и эквивалентного генератора: 2.

Требуется:

Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для вычисления токов в ветвях цепи.

Определить токи в ветвях методом контурных токов.

Найти токи в ветвях методом узловых потенциалов.

Составить баланс мощности цепи, вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок (сопротивлений).

Определить ток в заданной ветви методом наложения.

Найти ток в заданной ветви методом эквивалентного генератора.

Начертить потенциальную диаграмму для контура цепи, включающего в себя два источника с отличными от нуля значениями ЭДС.

Решение

1. Перерисовываем схему с рис.1.1, оставляя только заданные в задании элементы схемы и изменяя направления источников ЭДС, если они заданы отрицательным числом. Поэтому далее величины ЭДС всегда положительны (см. рис. 1.2). Для полученной схемы произвольно задаём направления токов во всех ветвях, пронумеруем узлы (на схеме приведены в кружочках) и выберем направления обходов контуров (рис. 1.2).

Число ветвей в схеме: m = 6.

Количество узлов: n = 4.

Определяем общее количество уравнений, составляемых по законам Кирхгофа. Оно равно числу ветвей в схеме: m = 6.

Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, определяется количеством узлов в схеме: .

Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров в схеме: .

Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа (для любого узла алгебраическая сумма токов равна нулю). Токи, входящие в узел, считаем положительными; выходящие - отрицательными:

ток кирхгоф контурный узловой мощность

(1.1)

Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа (для любого контура алгебраическая сумма напряжений на отдельных участках равна алгебраической сумме ЭДС этого контура). Если направление тока совпадает с направлением обхода контура, то соответствующее напряжение считаем положительным; если нет - отрицательным:

(1.2)

2. Расчёт цепи по методу контурных токов (МКТ).

Определяем количество уравнений, которое необходимо и достаточно по МКТ. Оно равно числу независимых контуров: .

Выбираем контуры, как и в предыдущем пункте, и направления контурных токов по часовой стрелке (см. рис. 1.2) и составляем систему уравнений по второму закону Кирхгофа:

(1.3)

где собственные сопротивления контуров:

,

,

;

взаимные сопротивления контуров:

,

,

.

контурные ЭДС:

; ; .

Подставляем числовые величины в (1.3) и получаем следующую систему уравнений (для упрощение дальнейших вычислений правую и левую части всех уравнений делим на 10):

(1.4)

Решаем систему (1.4) и находим контурные токи:

, , .

Так как величины всех токов получились отрицательными, то их направления противоположны направлениям обхода контуров, как выбрано и показано на рисунке 1.2.

Определяем токи в ветвях:

,

,

,

,

,

.

Так как величины всех токов получились положительными, то их направления соответствуют направлениям, выбранным и показанным на рисунке 1.2.

3. Расчёт цепи по методу узловых потенциалов (МУП).

Определяем количество уравнений, которое необходимо и достаточно по МУП: .

Принимаем потенциал узла 0 схемы с рис. 1.2 равным нулю: .

Составляем систему уравнений согласно МУП:

(1.5)

где узловые проводимости:

,

,

;

межузловые проводимости:

,

,

;

узловые токи:

; ;

.

Подставляем числовые величины в (1.5) и получаем следующую систему уравнений (для упрощение дальнейших вычислений правую и левую части первого уравнения умножим на 120, второго уравнения - на 300, а третьего уравнения - на 600):

(1.6)

Решаем систему (1.6) и находим потенциалы узлов:

, , .

Зная потенциалы в узлах, находим токи в ветвях (см. рис. 1.2):

,

,

,

,

,

.

Результаты расчёта величин токов по обоим методам совпадают с точностью до 3-его знака после запятой.

4. Составляем баланс мощности цепи.

Мощность, отдаваемая источниками напряжения:

.

Мощность, потребляемая приёмниками:

.

Баланс мощностей соблюдается с достаточной точностью, так как: .

5. Перед тем, как рассчитать ток во 2-ой ветви методами наложения и эквивалентного генератора, перейдём от исходной схемы (рис. 1.3 а)) к эквивалентной схеме (рис. 1.3 б)), преобразовав соединение треугольником сопротивлений R₃, R₅ и R₆ в эквивалентное соединение звездой сопротивлений R_d, R_g и R_e :

;

;

.



Находим сопротивления ветвей для схемы с рис. 1.3 б):

,

,

.

Расчёт тока во 2-ой ветви методом наложения.

Согласно методу наложения, необходимо рассчитать токи в заданной ветви от каждого из источников ЭДС по отдельности, а затем их сложить.

В схеме с рис. 1.3 б) закорачиваем источник E₄, оставляя только источник E₁. Полученная схема изображена на рис. 1.4. Для этой схемы находим:

,

,

.



В схеме с рис. 1.3 б) закорачиваем источник E₁, оставляя только источник E₄. Полученная схема изображена на рис. 1.5. Для этой схемы находим:

,

,

.



Итого, ток во 2-ой ветви, найденный методом наложения:

.

Полученное значение тока совпадает с точностью до 3-его знака после запятой со значением соответствующего тока, полученного при расчётах другими методами.

6. Расчёт тока во 2-ой ветви методом эквивалентного генератора.

Воспользуемся схемой с рисунка 1.3 б), которая эквивалентна исходной схеме с рис. 1.2.

На рис. 1.6 изображена схема для определения U_ЭГ - задающего напряжения эквивалентного генератора, - полученная из схемы с рисунка 1.3 б) после разрыва ветви с R₂.



Для схемы с рис. 1.6 находим:

через R_d ток не течёт;

.

Тогда:

.

Для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора R_ЭГ в схеме рис. 1.6 закорачиваем все источники ЭДС. Результат изображён на рис. 1.7.



Находим:

.

Согласно теореме об эквивалентном генераторе, составляем расчётную эквивалентную схему (рис. 1.8) и вычисляем искомый ток:

.

Полученное значение тока совпадает с точностью до 3-его знака после запятой со значением соответствующего тока, полученного при расчётах другими методами.

7. Построим потенциальную диаграмму для контура 0a13b0 (рис. 1.2, направление обхода против часовой стрелки). Принимаем потенциал узла 0 равным нулю: (R = 0). Определяем потенциалы остальных узлов контура:

, R = R₁ = 10 Ом;

, R = R₁ = 10 Ом;

, R = R₁ + R₆ = 10 + 40 = 50 Ом;

, R = R₁ + R₆ + R₄ = 10 + 40 + 60 = 110 Ом;

, R = R₁ + R₆ + R₄ = 110 Ом.

Таким образом, мы возвратились в исходный узел 0, но координата R равна сумме всех сопротивлений вдоль пройденного контура.

Потенциальная диаграмма построена на рис. 1.9 в координатах .

Размещено на Allbest.ru