Кинематика вращательного движения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кинематика вращательного движения

Кинематика вращательного движения

При вращении твердого тела все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

Быстроту вращения естественно характеризовать углом, на который поворачивается тело в единицу времени. Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени ?t тело поворачивается на одинаковые углы ??, вращение называется равномерным. Пусть равномерно вращающееся тело поворачивается за время t на угол ?. Тогда величина

? =

определит угол поворота в единицу времени. Эту величину называют угловой скоростью тела (точнее, эта величина есть модуль угловой скорости, сама угловая скорость - вектор). При неравномерном вращении выражение дает среднее значение угловой скорости за промежуток времени t. мгновенное значение угловой скорости определяется выражением

= ? = = ?^'

где ?? - угол, на который поворачивается тело на время ?t.

Чтобы охарактеризовать не только быстроту вращения, но также и ориентацию оси вращения в пространстве и направление вращения, вводят векторную величину ?, модуль которой определяется формулой. Направлен вектор ? вдоль оси вращения, причем так, что направление вращения и направление ? образуют правовинтовую систему: если смотреть вслед вектору ?, вращение представляется происходящим по часовой стрелке. Определенная таким образом векторная величина ? называется угловой скоростью тела. Поскольку направление угловой скорости определяется условно, ? является псевдовектором. Единицей угловой скорости служит радиан в секунду (рад/с).

Изменение угловой скорости со временем характеризуется векторной величиной

? = = = ?',

которая называется угловым ускорением. Как и угловая скорость, угловое ускорение является псевдовектором.

Если направление оси вращения в пространстве не изменяется, вектор ? может изменятся только по модулю. В этом случае векторы ? и ? коллинеарны, причем направлены в одну и ту же сторону, если вращение ускоренное, и в противоположные стороны, если вращение замедленное.

Угловое ускорение измеряется в радианах в секунду за секунду (рад/с²)

Найдем связь векторов ? и ? с величинами ? и a, которые, чтобы отличить их от угловых, называют линейными скоростью и ускорением. Точка тела, отстоящая от оси вращения на расстояние R, при повороте тела на угол ?? проходит путь ?S=R??. Разделив ?S на время ?t, за которое произошел поворот тела на угол ??, и осуществив предельный переход, получим модуль линейной скорости точки:

? = = = R = R?.

Таким образом, мы нашли связь между модулями линейной и угловой скоростей:

? = ?R.

Движение тела переменной массы.

В ньютоновской механике считается, что масса тела не зависит от его скорости. Однако это вовсе не означает, что всегда при движении тела его масса остается постоянной. Она может изменятся за счет обмена веществом между телом и внешней средой, т.е. вследствие изменения состава движущегося тела. Например, масса вращающейся катушки с кабелем увеличивается или уменьшается в зависимости от того, наматывается на нее кабель или сматывается. Типичным примером движения тела переменной массы может служить полет ракеты на активном участке ее траектории, т.е. в процессе работы установленного на ней двигателя. Продукты сгорания запасенного в ракете топлива выбрасываются через сопло двигателя, и масса ракеты постепенно уменьшается.

Основное уравнение динамики материальной точки (а также поступательного движущегося тела) переменной массы впервые было получено И.В.Мещерским (1897). Изменение за малое время dt импульса p системы, состоящей из поступательного движущегося тела переменной массы и отделяющихся от него за это время (или присоединяющихся к нему) частиц, равно

dp = (m+dm) (v+dv) - mv - v₁dm.

здесь m и v - масса и скорость тела в момент времени t; dm и dv - их изменения за малый промежуток времени dt; v₁ - скорость отделяющихся частиц до присоединения (их общая масса dm>0). Выполнив преобразования и отбросив член dmdv, являющийся малым высшего порядка малости по сравнению с остальными, получим

вращение псевдовектор кинематика

dp = mdv + (v-v₁)dm

или

dp = mdv - udm,

где u = v - v₁ - скорость отделяющихся частиц после отделения (или присоединяющихся частиц до присоединения) по отношению к телу переменной массы, называемая относительной скоростью этих частиц

подставив выражение в закон импульса, получим уравнение Мещерского:

m = F^внеш + u.

Векторная величина

F_p = u

имеет размерность силы и называется реактивной силой. Она характеризует механическое действие на тело отделяющихся от него или присоединяющихся к нему частицу (например, действие на ракету вытекающей из нее струи газов).

Идея использования реактивной силы для создания летательных аппаратов высказывалась уже давно. Так, в 1881 году революционер-народоволец Н.И.Кибальчич, находясь в тюрьме перед казнью за участие в убийстве царя Александра II, составил проект реактивного летательного аппарата. Однако этот проект затерялся в тюремных архивах и впервые был опубликован только в 1918 году. Вся жизнь выдающегося ученого и изобретателя К.Э.Циолковского была посвящена вопросам ракетной техники и применению ракет для межпланетных сообщений. Уже в 1903 году он опубликовал статью, в которой были заложены основы теории движения ракеты и жидкостного ракетного двигателя (ЖРД). Теория воздушно-реактивного двигателя впервые была разработана и опубликована Б.С.Стечкиным (1929).

Циолковский впервые опубликовал (1903) формулу для расчета максимальной скорости, которую может развить ракета, двигаясь под действием одной только реактивной силы тяги ЖРД, т.е. в отсутствие сил тяготения и сопротивления сил воздуха. Полагая в уравнении Мещерского F_внеш=0, получим следующее уравнение движения ракеты:

m = u,

где u - скорость истечения продуктов сгорания из сопла ракеты, измеренная относительно ракеты.

Если начальная скорость ракеты равна нулю, а траектория - прямая линия, то скорости v и u направлены во взаимно противоположные стороны. В проекции на направление движения ракеты получим

m = -u

или

d? = -u.

Если m₀ - стартовая масса ракеты, а m_* = m₀ - m_? - конечная масса ракеты после окончания работы двигателя вследствие выгорания всего топлива (m_? - суммарная масса топлива и окислителя в полностью снаряженной ракете на старте), то максимальная скорость ракеты может быть найдена путем интегрирования:

?_макс = -u = u

или

?_макс = u.

Эта формула называется формулой Циолковского, а скорость ?_макс - характеристической скоростью ракеты. В действительности из-за влияния тяготения Земли и аэродинамического сопротивления атмосферы скорость ракеты в момент полного выгорания топлива и прекращения работы двигателя значительно меньше характеристической скорости.

Из-за ряда технических трудностей широкое развитие реактивной и ракетной техники началось только в период второй мировой войны и особенно после ее окончания. Применение реактивных двигателей в авиации позволило во много раз увеличить скорости самолетов, дальность их полетов и грузоподъемность. Ракетная техника явилась той базой, на основе которой стали возможными запуски искусственных спутников Земли, пилотируемых космических кораблей, орбитальных и межпланетных станций.

Размещено на Allbest.ru