Определение модуля сдвига и кручения статическим методом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение модуля сдвига и кручения статическим методом

Теоретическое введение

Если проволоку или стержень, закрепленные с одного конца, закручивать, прилагая к другому концу пару сил F с моментом, равным М, то угол кручения по закону Гука оказывается равным

ц = СМ,

где С - коэффициент, зависящий от вещества проволоки. Модуль кручения f, равный

f=l/C=M/ ц (1)

показывает, какой момент сил нужно приложить, чтобы закрутить проволоку на угол в один радиан.

Модуль сдвига G равен:

G=P/(Sw)=ф /w (2)

где P/S определяет величину касательного усилия на единицу поверхности, a w - угол сдвига (рис. 1), - касательное напряжение на грани кубика.

Рис. 1

Между модулем кручения f и модулем сдвига материала стержня существует простая связь; найдем ее, рассматривая деформации и усилия, возникающие при закручивании стержня.

Пусть стержень диаметром D = 2r и длиной L из материала, модуль сдвига которого равен G, закручен действием момента сил М_З, на угол ц_o, это значит, что основания его повернулись на угол ц_о относительно друг друга.

Прежде всего, отметим, что в любом сечении стержня, перпендикулярном к оси, момент внутренних усилий относительно оси стержня равен М_З моменту сил, закручивающих стержень. Действительно, представим себе мысленно отрезанной какую-то часть В закрученного стержня (рис. 2, а). Так как часть В находится в покое, то моменты всех сил, действующих на нее, равны нулю. С одного конца на эту часть действует момент внешних сил М_З, а с другого - момент внутренних усилий M касательных к сечению; величин равна M равна М_З, и противоположна по знаку.

Далее определим, как распределены касательные напряжения в сечении стержня и как они связаны с деформацией. Вырежем из стержня диск достаточно малой высоты ?I на расстоянии I от неподвижного основания и предположим, что нижнее основание этого диска при закручивании повернулось на угол ц , а верхнее на угол ц + ?ц . Из этого диска вырежем кольцо с внутренним радиусом г и внешним r+?r (рис. 2,б) Тогда все кубики, вырезанные из кольца, будут иметь одинаковую деформацию сдвига, на один и тот же угол ?б . Так как верхнее основание диска поворачивается относительно нижнего на малый угол ?ц , не деформируясь, то очевидно, что угол сдвига ?б. будет пропорционален радиусу кольца г. Смещение верхней поверхности кольца относительно нижнего будет равно:

?б = ?r?б = r?ц .

Поэтому угол сдвига

?б = r?ц/?I

или угол сдвига кольца равен радиусу кольца, умноженному на производную от угла закручивания стержня по его длине ?ц /?I.

Теперь определим касательное усилие на поверхности кольца площадью 2рr?r, напряжение t по формуле (2) равно:

t = G ?б = G r ?ц /?,

поэтому усилие на поверхности кольца составляет:

2r?r = 2р r²G?ц r/?I

Момент этого усилия относительно оси стержня равен:

?M = 2рr²G?ц ?r/?I.

Теперь соберем моменты усилий по поверхности диска и проинтегрируем это уравнение по r:

M = 2рG?ц/ ц I= р rG?ц/2?I (3)

Этот момент должен быть равен моменту, закручивающему стержень М_З, ибо моменты, приложенные к любым двум прилежащим дискам, равны друг другу. Уравнение (3) показывает, что если стержень однороден, то производная угла закручивания стержня ?ц /?I постоянна вдоль стержня. Угол закручивания торцевых сечений стержня, находящихся на расстоянии I_о, равен:

ц_o= I_o?ц/?I или ?ц/?I = ц_o/I_o

Подставив это выражение в формулу (3), получим зависимость угла закручивания стержня ц_o от закручивающего момента M_З, в следующем виде:

M_З = M_O = р r_c4Gц_o /2I. (4)

Таким образом, сравнивая (4) с (1), находим, что модуль кручения f равен:

f= M r_C G / I. (5)

Отметим, что размерность модулей упругости на растяжение Е и изгиб G одна и та же. В самом деле, размерность модуля Е:

[E]=[Pa /S?L] =[P/S],

а размерность модуля сдвига:

[G]=[P/SW]=[P/S].

Числовая величина модулей упругости зависит, таким образом, от единиц, в которых измерена сила и площадь. В системе СГС модули упругости выражаются в дин/см², в практической системе в кг/мм² и в системе СИ в Н/м².

Если желают перейти от значения модуля в практической системе к значению модуля в СГС, то, очевидно, значение модуля в практической системе нужно умножить на 9,82*10⁷.

Измерение модуля кручения может быть выполнено статическим методом. В этом случае измеряется угол закручивания проволоки под действием определенного закручивающего момента.

Описание прибора

К нижнему концу стержня АВ, закрепленного в кронштейне С, прикреплен металлический диск D (рис.3).

По окружности диска навиты в одну сторону две нити, пропущенные через блоки M и N и несущие на концах два одинаковых груза m₁и m₂. Эти грузы действуют, как пара сил, приложенных в точках одного и того же диаметра диска.

С диском жестко связано зеркальце, поворачивающееся на некоторый угол при закручивании проволоки под влиянием приложенной пары сил. Поворот зеркальца фиксируется на шкале S, по которой перемещается отраженный от зеркальца световой “зайчик”.

Если при равновесии нить совпадает с делением n_o, а после поворота с делением n , то при малых углах поворота имеет место соотношение:

ц_o = (n-n_o)/2d (6)

Здесь d - расстояние от зеркальца до шкалы, выраженное в тех же единицах длины, что и деления на шкале.

Подставляя значение момента M = 2PR и G из (5) в равенство (1) и решая его относительно G, будем иметь

G = 4rPIo/р r_o⁴ ц_o (7)

Угол закручивания определяется по формуле (6). Другие, входящие в формулу (7) величины, измеряются непосредственно.

Измерения

При помощи отвеса установить стойку прибора в вертикальном направлении. Установить трубу осветителя так, чтобы видеть на шкале отражение “зайчика” от зеркальца. При этом шкала должна быть перпендикулярна к оси трубы.

Малым поворотом трубы осветителя добиваются того, чтобы один край светового зайчика был наиболее резким, по этому краю и следует делать отсчет. Записывают нулевой отсчет n_o т. е. деление шкалы, на которое приходится резкий край “зайчика” до подвешивания грузов. Прикрепив к концам нитей платформы, нагружают их грузами, записывают отсчет по шкале n, соответствующий новому положению равновесия (веса грузов на платформе должны быть между собой примерно равны), и затем, сняв грузы, вновь производят нулевой отсчет n_o. Подобные измерения повторяют для двух, трех и т.д. грузов, каждый раз предварительно определяя нулевой отсчет.

Проделав измерение с максимальным грузом, повторяют измерения в обратном порядке, постепенно уменьшая величину грузов на платформах. За угол закручивания, соответствующий тому или иному грузу, берут среднее значение из измерений в одном и другом направлениях.

(штрихами отмечены отчеты, производящиеся при уменьшении грузов). Измеряют расстояние d от зеркальца до шкалы, определяют вес платформ и грузов, вычисляют модуль кручения для каждой нагрузки. Сравнивая значения модуля кручения, полученные при различных моментах сил, убеждаются, что все они имеют приблизительно одинаковое значение, т.е. в пределах применявшихся нагрузок, закон Гука выполняется.

После этого, промерив все входящие в формулу (7) величины, вычисляют модуль сдвига. Измерения диаметра стержня следует произвести в нескольких местах.

Решение 1

Практические данные:

R=(5.500.05)см.

r₀=(3.000.05)мм.

l₀=(1.3500.005)м.

m(одного груза)=(501)г.

d=(34.00.05)см.

n₀=0

Измерения:

	M,г	n,мм	n0,мм	n', мм	n0', мм		G, H/m2*1011	f, H*m
1	100	4	0	5	0	0,006	1,05	9,9
2	150	8	0	9	0	0,01	1,11	10,5
3	200	12	0	12	0	0,015	1,18	11,1
Среднее:	0,01	1,11	10,5

Угол поворота: Погрешность вычисления угла:

а погрешность по формуле:

₀=(((1/d)*n)²+((-n/d²)*d)²).

Теперь находим модуль сдвига по формуле:

G=4RPl₀/r₀⁴₀,

а погрешность по формуле:

модуль сдвиг упругость погрешность

G=(((Pl₀/r₀⁴₀)*R)²+((Rl₀/r₀⁴₀)*P)²+((RP/r₀⁴₀)*l₀)²+((RPl₀ (-4)/r₀⁵₀)*r₀)²+((RPl₀/r₀⁴)*₀)²).

Получаем:

G₁=(2*10¹¹10¹⁰)H/м².

G₂=(2*10¹¹10¹⁰)H/м².

G₃=(2*10¹¹10¹⁰)H/м².

Отсюда среднее значение модуля сдвига равно:

G_ср=(2*10¹¹10¹⁰)H/м².

Вывод: В данной работе определил модуль сдвига статическим методом и вычислил погрешность модуля сдвига.

Решение 2

Практические данные:

R=(5.50-0.05) см.

r₀=(3.00-0.05) мм.

l₀=(1.350-0.005) м.

m(одного груза)=(50-1) гр.

d=(31.0-0.05) см.

n₀=0.

Измерения:

N	1	2	3	4	5	6	7
?0	0.04	0.08	0.12	0.16	0.20	0.24	0.28
n-n0(м)	0.04	0.08	0.12	0.16	0.20	0.24	0.28
m	50	100	150	200	250	300	350

Угол поворота из таблицы находим по формуле:

j_{_}=(n-n₀)/2d,

а погрешность по формуле:

Dj_{_}=_,5Ц((Dn--/d)²+(-n*Dd--/d²)^--2)

Теперь находим модуль сдвига по формуле:

G=4RPl_{_}/pr_{_}⁴j_{_},

а погрешность по формуле:

DG=_.2Ц((Pl_{_}DR--/r_{_}⁴j_{_})²+(DPRl_{_}/r_{_}⁴j_{_})²+(Dl_{_}RP/r_{_}⁴j_{_})²+((-16)RPl_{_}Dr_{_})/r_{_}⁵j_{_})²+((RPl_{_}Dj_{_}/j_{_}²r_{_}⁴)²)

Получаем, модуль сдвига:

1. G1=1132929936305731

2. G2=1132929936305731

3. G3=1132929936305731

4. G4=1132929936305731

5. G5=1132929936305731

6. G6=1132929936305731

7. G7=1132929936305731

Значение погрешности для каждого из значений G:

dG=103187270086347

Отсюда среднее значение модуля сдвига равно:

Gср=

Значение модуля сдвига равно:

f=10,7

Вывод: В данной работе определили модуль сдвига и модуль кручения статическим методом и вычислили погрешность модуля сдвига и модуля кручения.

Решение 3

Практические данные:

R = (0.0550 ± 0.0005) м.

r₀ = (0.003 ± 0.00005) м.

l₀ = (1.350 ±--0.005) м.

d = (0.396 ±--0.005) м.

n₀ = 0 м.

m(одного груза) = (0.050 ± 0.001) кг.

Измерения:

N	1	2	3	4	5	6	7
?0	0.0051	0.0101	0.0152	0.0202	0.0253	0.0303	0.0354
n-n0(м)	0.004	0.008	0.012	0.016	0.020	0.024	0.028
m (кг)	0.05	0.1	0.15	0.2	0.25	0.3	0.35

Угол поворота из таблицы находим по формуле:

j₀ = (n-n₀)/2d,

а погрешность по формуле:

Dj₀ = 0,5Ц((Dn /d)² + (-n*Dd /d²) ²)

Теперь находим модуль сдвига по формуле:

G = 4RPl₀/pr₀⁴j₀,

а погрешность по формуле:

DG = 0.2Ц((Pl₀DR /r₀⁴j₀)² + (DPRl₀/r₀⁴j₀)² + (Dl₀RP/r₀⁴j₀)² + ((-16)RPl₀Dr₀)/r₀⁵j₀)² + ((RPl₀Dj_{_}/j₀²r₀⁴)²)

Получаем, модуль сдвига :

8. G₁ = 1.122510452^.10¹¹

9. G₂ = 1.132468836^.10¹¹

10. G₃ = 1.128743610^.10¹¹

11. G₄ = 1.132468836^.10¹¹

12. G₅ = 1.130230755^.10¹¹

13. G₆ = 1.132468836^.10¹¹

14. G₇ = 1.130869304^.10¹¹

Значение погрешности для каждого из значений G:

DG = 5063732091

Отсюда среднее значение модуля сдвига равно:

Gср =

Значение модуля сдвига равно:

f =

Вывод: В ходе данной работы статическим методом были определены модуль сдвига и модуль кручения и вычислены погрешность их величин соответственно.

Размещено на Allbest.ru