Динамика колебательного движения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Колебательные и волновые процессы изучают в одном разделе. Этим подчеркивается большое значение учения о колебаниях в современной науке и технике и то общее, что присуще этим движениям независимо от их природы.

Нужно сказать, что при решении задач этой темы учащимися и абитуриентами делается много ошибок, которые происходят из-за неверного толкования некоторых основных понятий.

В процессе решения задач можно научиться пользоваться соответствующими формулами, осознать те специфические отличия, которые имеет колебательное движение по сравнению с равномерным и равнопеременным.

В этих целях сначала решают задачи по кинематике колебательного движения материальной точки. Как частный, но важный случай этого движения рассматривают движение математического маятника.

Вопросы динамики колебательного движения и превращения энергии углубляют с помощью задач об упругих колебаниях и задач о математическом маятнике.

1. Колебательным движением называют движение, при котором происходит частичная или полная повторяемость состояния системы по времени.

Если значения физических величин, характеризующих данное колебательное движение, повторяются через равные промежутки времени, колебания называют периодическими.

Самым простым колебательным движением является гармоническое колебание материальной точки. Гармоническим называют колебание, в процессе которого величины, характеризующие движение (смещение, скорость, ускорение, сила и т.д.), изменяются с течением времени по закону синуса или косинуса (гармоническому закону).

Гармонические колебания являются простейшими, так что различные периодические процессы могут быть представлены как результат наложения нескольких гармонических колебаний.

рис. 1 (а, б, в)

колебание гармонический электромагнитный маятник

Основные законы гармонических колебаний материальной точки можно установить из сопоставления равномерного кругового движения точки и движения ее проекции на диаметр окружности.

Если точка В, обладающая массой m, равномерно перемещается по окружности радиусом R с угловой скоростью щ (рис. 1а), то ее проекция на горизонтальный диаметр -- точка С совершает гармонические колебания вдоль оси ОХ.

Смещение точки С от начала отсчета О движения -- ее координата х в каждый момент, времени определяется уравнением

где t -- время, прошедшее с начала колебаний; (ц+ц0) -- фаза колебаний, характеризующая положение точки С в момент начала отсчета движения (на чертеже начальная фаза ц0 = 0), xm= R -- амплитуда колебания (иногда ее обозначают буквой А).

Раскладывая вектор линейной скорости и вектор нормального ускорения по осям ОХ и OY рис. 1(б, в), для модулей составляющих и (скорости и ускорения точки С) получим:

Поскольку

уравнения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания, можно представить в виде:

Знак «минус» в последней формуле указывает на то, что ускорение при гармоническом колебании направлено в сторону, противоположную смещению.

Из полученных соотношений следует, что:

а) максимальные значения скорости и ускорения колеблющейся точки равны:

б) скорость и ускорение сдвинуты друг относительно друга на угол .

Там, где скорость наибольшая, ускорение равно нулю, и наоборот.

в) Во всех точках траектории ускорение направлено к центру колебаний -- точке О.

2. Учитывая формулу для ускорения, уравнение второго закона Ньютона для материальной точки, совершающей гармонические колебания, можно представить в виде

где F есть величина равнодействующей всех сил, приложенных к точке, -- величина

возвращающей силы.

Величина возвращающей силы также изменяется по гармоническому закону.

Произведение mщ2 стоящее в правой части этого уравнения, -- величина постоянная, поэтому материальная точка может совершать гармонические колебания лишь при условии, что в процессе движения возвращающая сила изменяется пропорционально смещению и направлена к положению равновесия, т. е. F = ? k·m.

Здесь k -- постоянный для данной системы коэффициент, который в каждом конкретном случае может быть выражен дополнительной формулой через величины, характеризующие колебательную систему, и в то же время всегда равный mщ2.

3. Кинетическая энергия гармонически колеблющейся точки равна:

В процессе гармонического колебания сила изменяется пропорционально смещению, поэтому в каждый момент времени потенциальная энергия точки равна:

Полная механическая энергия колеблющейся точки

При гармоническому закону происходит превращение энергии из одного вида в другой.

4. Другой пример получения уравнений гармонических колебаний. Тот факт, что движение вращающейся по окружности материальной точки происходит по синусоидальному закону, наглядно демонстрирует рис. 2. Здесь по оси абсцисс откладывается время колебания, а по оси ординат -- значения проекции радиуса-вектора движущейся точки в соответсвующий момент времени.

рис. 2

В случае движения проекции точки по оси OY уравнение колебательного движения запишется так:

(1)

Отсчет времени и измерение y и ведется с момента прохождения тела через положение равновесия (при t = 0 х = 0).

При движения проекции точки по оси OX уравнение запишется в виде

(2).

отсчет времени ведется с момента наибольшего отклонения тела от положения равновесия, которое также принимают за начало отсчета (при t = 0 х = хm). Так, например, поступают, когда подсчитывают время и число колебаний маятника, поскольку трудно зафиксировать его положение в средней точке, где он имеет максимальную скорость.

Теперь, применив понятие производной функции, можно найти скорость тела.

Дифференцируя уравнение (1) по времени t (первая производная), получим выражение для скорости тела (материальной точки):

Дифференцируя полученное выражение еще раз по времени t (вторая производная), определим ускорение колеблющейся точки:

Как показывает практика, учащиеся трудно усваивают понятие о круговой частоте.

Из этого выражения следует, что круговая частота равна числу колебаний, совершаемых материальной точкой за секунд.

Нужно обратить внимание на то, что под знаком тригонометрической функции всегда стоит фаза колебаний.

Фаза колебаний определяет величину смещения в момент времени t, начальная фаза определяет величину смещения в момент начала отсчета времени (t = 0).

Иногда абитуриенты, рассматривая колебания математического маятника, называют фазой угол отклонения нити от вертикали и тем самым делают ошибку. В самом деле, если представлять себе фазу как угол, то как, например, можно увидеть этот угол в случае гармонических колебаний груза на пружине?

Фаза колебаний -- это угловая мера времени, прошедшего от начала колебаний. Любому значению времени, выраженному в долях периода, соответствует значение фазы, выраженное в угловых единицах. Ниже в таблице указано соответствие значения фазы ц значению времени t (считаем, что ц0 = 0).

t ц

Смещение х, скорость и ускорение а могут иметь одно и то же значение при разных углах или времени t, так как они выражаются циклическими функциями.

При решении задач, если это специально не оговаривается, за угол можно принимать его наименьшее значение.

5. Уравнения колебательного движения остаются одинаковыми для колебаний любой природы, и для электромагнитных колебаний в том числе.

В этом случае можно рассматривать, например, колебания величины заряда (qi), э.д.с. (ei), силы тока (i), напряжения (u), магнитного потока (Фi) и др. При этом в левой части уравнений стоят мгновенные значения указанных величин.

Частота и период электромагнитных колебаний колебаний (формула Томсона):

Волновым движением называется процесс распространения колебаний в среде. Частицы среды, в которой распространяется волна, не переносятся вместе с волной, а лишь совершают колебания около своего положения равновесия.

В поперечной волне они колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны, в продольной -- вдоль направления распространения волны.

Распространяясь в среде, волна переносит с собой энергию от источника колебаний.

Механические поперечные волны могут возникать только в твердой среде.

Возникновение продольных волн возможно в твердой, жидкой и газообразной средах.

Параметрами волн являются: энергия, длина волны л (лямбда), частота н (ню), период колебаний T, скорость х.

1. Волнам присущи одинаковые свойства и явления: отражение от границы раздела двух сред, в которых распространяется волна, преломление -- изменение направления волны при после ее прохождения границы раздела двух сред, интерференция -- явление наложение волн, в результате которого происходит усиление или ослабление колебаний, дифракция -- явление огибания волнами препятствий или отверстий.

Условием возникновения интерференции является когерентность волн -- они должны иметь одинаковую частоту колебаний и постоянную разность фаз этих колебаний.

Условие максимумов (усиления волн):

Максимумы колебаний при интерференции возникает в тех точках среды, для которых в разности хода волн укладывается четное число полуволн.

Условие минимумов (ослабление волн):

Минимумы колебаний при интерференции возникает в тех точках среды, для которых в разности хода волн укладывается нечетное число полуволн.

Гармонические колебания

1. Напишите уравнение гармонических колебаний, если частота равна 0,5 Гц, амплитуда 80 см. Начальная фаза колебаний равна нулю.

Решение:

2. Период гармонических колебаний материальной точки равен 2,4 с, амплитуда 5 см, начальная фаза равна нулю. Определите смещение колеблющейся точки через 0,6 с после начала колебаний.

З. Напишите уравнение гармонических колебаний, если амплитуда равна 7 см и за 2 мин совершается 240 колебаний. Начальная фаза колебаний равна р /2 рад.

Решение:

4. Вычислите амплитуду гармонических колебаний, если для фазы р /4 рад смещение равно 6 см.

5. Напишите уравнение гармонических колебаний, если за 1 мин совершается 60 колебаний; амплитуда равна 8 см, а начальная фаза 3·р /2 рад.

6. Амплитуда колебаний равна 12 см, частота 50 Гц. Вычислите смещение колеблющейся точки через 0,4 с. Начальная фаза колебаний равна нулю.

7. Уравнение гармонических колебаний тела x = 0,2·cos(рt) в (СИ). Найдите амплитуду, период, частоту и циклическую частоту. Определите смещение тела через 4 с; 2 с.

Колебания математического маятника и груза на пружине

1. Математический маятник (см. рис.) совершает колебания с амплитудой 3 см. Определите смещение маятника за время, равное Т/2 и Т. Начальная фаза колебаний равна р рад.

Решение:

Какие превращения энергии совершаются при движении математического маятника из крайнего левого положения к положению равновесия?

Ответ: Кинетическая энергия маятника увеличивается, потенциальная уменьшается. В положении равновесия маятник обладает максимальной кинетической энергией

2. Груз на пружине (см. рис.) совершает колебания с амплитудой 4 см. Определите смещение груза за время, равное Т/2 и Т. Начальная фаза колебаний равна нулю.

Как направлены ускорение и скорость математического маятника при его движении из крайнего правого положения к положению равновесия?

3. На вращающемся диске укреплен шарик. Какое движение совершает тень шарика на вертикальном экране?

Определите смещение тени шарика за время, равное Т/2 и Т, если расстояние от центра шарика до оси вращения равно 10 см. Начальная фаза колебания тени шарика равна р рад.

4. Математический маятник за Т/2 смещается на 20 см. С какой амплитудой колеблется маятник? Начальная фаза колебаний равна р.

5. Груз на пружине за Т/2 смещается на 6 см. С какой амплитудой колеблется груз? Начальная фаза колебаний равна р рад.

Какой из двух маятников, изображенных на рисунке, колеблется с большей частотой?

6. По какой траектории будет двигаться шарик, если пережечь нить в момент прохождения маятником положения равновесия?

Что можно сказать о периоде колебаний маятников, изображенных на рисунке (m2 > m1)?

7. Первый маятник Фуко (1891, Париж) имел период колебаний 16 с Определите длину маятника. Примите g = 9,8 м/с2.

8. Два маятника, длины которых отличаются на 22 см, совершают в одном и том же месте Земли за некоторое время один 30 колебаний, другой 36 колебаний. Найдите длины маятников.

9. Груз массой 200 г совершает колебания на пружине с жесткостью 500 Н/м. Найдите частоту колебаний и наибольшую скорость движения груза, если амплитуда колебаний 8 см.

10. Определите ускорение свободного падения на Луне, если маятниковые часы идут на ее поверхности в 2,46 раза медленнее, чем на Земле.

11. Пружина под действием груза удлинилась на 1 см. Определите, с каким периодом начнет совершать колебания этот груз на пружине, если его вывести из положения равновесия.

12. Под действием подвешенного тела пружина удлинилась на .

Докажите, что период вертикальных колебаний этого груза равен

13. Груз висит на пружине и колеблется с периодом 0,5 с. На сколько укоротится пружина, если снять с нее груз?

14. Пружина под действием прикрепленного к ней груза массой 5 кг, совершает 45 колебаний в минуту. Найдите коэффициент жесткости пружины.

15. На сколько уйдут часы за сутки, если их перенести с экватора на полюс?

(gэ= 978 см/с2, gп= 983 см/с2.)

16. Часы с маятником длиной 1 м за сутки отстают па 1 ч. Что надо сделать с длиной маятника, чтобы часы не отставали?

17. Для определения на опыте ускорения свободного падения заставили колебаться груз на нити, при этом он совершил 125 колебаний за 5 мин. Длина маятника равна 150 см. Чему равно g?

Электромагнитные колебания

Период, частота, напряжение, ЭДС, сила переменного электрического тока

1. По графику, изображенному на рисунке, определите амплитуду ЭДС, период тока и частоту. Напишите уравнение ЭДС.

2. По графику, изображенному на рисунке, определите амплитуду напряжения, период и значение напряжения для фазы рад.

3. По графику, изображенному на рисунке, определите амплитуду силы тока, период и частоту. Напишите уравнение мгновенного значения силы переменного тока.

4. Значение напряжения, измеренное в вольтах, задано уравнением , где t выражено в секундах. Чему равна амплитуда напряжения, период и частота?

5. Мгновенное значение силы переменного тока частотой 50 Гц равно 2 А для фазы р/4 рад. Какова амплитуда силы тока? Найдите мгновенное значение силы тока через 0,015 с, считая от начала периода.

6. Мгновенное значение ЭДС переменного тока для фазы 60° равно 120 В. Какова амплитуда ЭДС? Чему равно мгновенное значение ЭДС через 0,25 с, считая от начала периода? Частота тока 50 Гц.

Механические и электромагнитные волны

1. Почему морские волны увеличивают свою высоту, приближаясь к берегу?

2. Определите длину волны по следующим данным: a) х = 40 м/с, Т = 4 с; б) х = 340 м/с, н = 1 кГц.

3. Определите скорость распространения волны, если ее длина 150 м, а период 12 с. На каком расстоянии находятся ближайшие точки волны, колеблющиеся в противоположных фазах?

4. Какой частоте камертона соответствует звуковая волна в воздухе длиной 34 м? Скорость звука в воздухе равна 340 м/с.

5. На земле услышан гром через 6 с после наблюдения молнии. На каком расстоянии от наблюдателя возникла молния?

6. Радиопередатчик искусственного спутника Земли работает на частоте 20 МГц. Какова длина волны передатчика?

7. На какой частоте должен работать радиопередатчик корабля, передающий сигнал бедствия «SOS», если по международному соглашению этот сигнал передается на волне длиной 600 м?

Источники

1. Балаш В.А. "Задачи по физике и методы их решения". Пособие для учителей. М., "Просвещение", 1974.

2. Мартынов И.М., Хозяинова Э.М., В.А. Буров "Дидактический материал по физике 10 кл." М., "Просвещение", 1980.

3. Марон А.Е., Мякишев Г.Я. "Физика". Учебное пособие для 11 кл. вечерней (заоч.) средн. шк. и самообразования. М., "Просвещение", 1992.

4. Савченко Н.Е. "Ошибки на вступительных экзаменах по физике" Минск, "Вышейшая школа" , 1975.

Размещено на Allbest.ru