Синтез цифровых фильтров

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Информационная безопасность систем и технологий»

ОТЧЕТ О КУРСОВОМ ПРОЕКТЕ

«Синтез цифровых фильтров»

Дисциплина: ТЭС

Разработал студент: Сидоров А.И

Руководитель проекта: Султанов Б.В.

Пенза 2008

Реферат

Отчет содержит 30 страниц, 7 рисунков, 2 источника.

ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТР, РЕКУРСИВНЫЙ ФИЛЬТР, НЕРЕКУРСИВНЫЙ ФИЛЬТР, АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА, ОКНО ЛАНЦОША.

Объектом исследования являются рекурсивные и нерекурсивные фильтры.

Целью курсового проекта является расчет нерекурсивного цифрового фильтра методом взвешивания и рекурсивного цифрового фильтра, методом обобщенного билинейного преобразования и построение соответствующих графиков АЧХ и структурных схем синтезированных фильтров.

Результатом выполнения курсового проекта является расчёт нерекурсивного фильтра со строго линейной ФЧХ, расчет рекурсивного цифрового фильтра с заданной формой ФЧХ и их графики АЧХ.

Содержание

Нормативные ссылки

Введение

1. Расчёт нерекурсивного фильтра

1.1 Расчёт относительных значений характерных частот фильтра

1.2 Определение порядка фильтра

1.3 Определение коэффициентов разложения в ряд Фурье

1.4 Вычисление весовых множителей

1.5 Вычисление коэффициентов фильтра

1.6 Вычисление разрядности коэффициентов фильтра Nk

1.7 Вычисление округленных значений коэффициентов фильтра

1.8 Вычисление разрядности входных и выходных отсчётов фильтра

2. Расчёт АЧХ нерекурсивного фильтра

3. Расчет рекурсивного цифрового фильтра

3.1 Расчёт относительных значений характерных частот

3.2 Вычисление параметров г, б и граничной частоты Щk

3.3 Определение передаточной функции

3.4 Нахождение разрядности входного регистра

4. Расчёт АЧХ рекурсивного фильтра

Заключение

Список используемых источников

цифровой фильтр билинейный разрядность

Нормативные ссылки

В данном документе использованы следующие нормативные документы:

ГОСТ 7.32 - 2001 Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Отчет о научно-исследовательской работе. Структура и правила оформления;

ГОСТ 2.301 - 68 ЕСКД. Форматы.

Введение

В настоящее время все более широкое применение в различных областях техники находит цифровая обработка сигналов, имеющая ряд преимуществ (программируемость, повышенная точность, стабильность) по сравнению с аналоговой. В связи с этим большое значение имеют цифровые фильтры (ЦФ).

Различают следующие типы фильтров:

ФНЧ - фильтр низких частот;

ФВЧ - фильтр высоких частот;

ПЗФ - полосовой заграждающий фильтр;

ППФ - полосовой пропускающий фильтр.

Данный курсовой проект содержит 4 части.

В первой части необходимо синтезировать нерекурсивный фильтр - ФНЧ. Синтез нерекурсивного цифрового фильтра со строго линейной фазочастотной характеристикой (ФЧХ) в данной работе выполняется на основе метода взвешивания. Данный метод не позволят синтезировать оптимальные фильтры, но гораздо более удобен для расчетов и даёт вполне приемлемые для практики результаты.

Во второй части необходимо рассчитать амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) нерекурсивного цифрового фильтра. АЧХ представляет собой абсолютное значение от КЧХ, поэтому для удобства сначала отыскивается КЧХ.

В третьей части необходимо синтезировать рекурсивный цифровой ППФ. Синтез рекурсивного цифрового ФНЧ в данной работе выполняется методом обобщенного билинейного преобразования. Суть его состоит в следующем. По заданным требованиям к АЧХ цифрового фильтра отыскивается передаточная функция устойчивого аналогового фильтра-прототипа. Для этой цели, как правило, используется справочник по аналоговым фильтрам. С помощью замены переменной передаточная функция аналогового фильтра преобразуется в передаточную функцию синтезируемого фильтра.

В четвертой части необходимо рассчитать амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) рекурсивного цифрового фильтра. АЧХ аналогично второй части отыскивается из КЧХ.

1. Расчёт нерекурсивного фильтра

В данной курсовой работе необходимо синтезировать нерекурсивный фильтр - ФНЧ. Синтез нерекурсивного цифрового фильтра со строго линейной фазочастотной характеристикой (ФЧХ) в данной работе выполняется на основе метода взвешивания.

Исходные данные: тип фильтра - ФНЧ;

а₀ = 65 дБ;

f₁ = 2600 Гц;

?f = 1800 Гц;

f_дискр = 9600 Гц;

²_вых = 10^-6.

1.1 Расчёт относительных значений характерных частот фильтра

Для упрощения обозначений осуществляется переход от абсолютных значений частоты к нормализованной шкале относительных частот. Переход осуществляется по следующей формуле:

где - частота дискретизации;

- относительное значение частоты;

- абсолютное значение частоты.

Таким образом, получаются следующие значения относительных частот:

1.2 Определение порядка фильтра

В соответствии с заданной величиной затухания в полосе задерживания выбираем один из типов окна.

Величина затухания a₀=65, что соответствует окну Блэкмана и окну Ланцоша. Рассчитаем порядок фильтра для каждого из них и выберем наименьший порядок.

Окно Блэкмана:

;

Отсюда N = 32.

Окно Ланцоша: по графику зависимости максимального затухания АЧХ [1] находим постоянную окна Ь. Она равна 2,6. По графику зависимости от максимальной невавномерности АЧХ a₀ определяем порядок фильтра:

Отсюда вычисляется - порядок фильтра: N=25.

Наименьший порядок фильтра получен в окне Ланцоша, его и будем применять при дальнейших расчетах.

Пределы изменения переменной при этом составят от до , то есть изменяется от -12 до 12.

1.3 Определение коэффициентов разложения в ряд Фурье

Поскольку частотная характеристика любого цифрового фильтра является периодической функцией частоты с периодом равным , её можно представить в виде ряда Фурье. Коэффициенты разложения этого ряда определяются по следующим формулам:

Результаты вычислений занесены в таблицу 1.

Таблица 1 - Коэффициенты разложения.

K	h(k)
-12	0.027
-11	-0.003446
-10	-0.031
-9	0.013
-8	0.035
-7	-0.027
-6	-0.038
-5	0.05
-4	0.04
-3	-0.098
-2	-0.042
-1	0.316
0	0.542
1	0.316
2	-0.042
3	-0.098
4	0.04
5	0.05
6	-0.038
7	-0.027
8	0.035
9	0.013
10	-0.031
11	-0.003446
12	0.027

1.4 Вычисление весовых множителей

Для уменьшения амплитуды пульсаций усечение импульсной реакции производят с использованием весовой последовательности конечной длинны , называемой временным окном. Весовые множители вычисляются из следующего выражения:

Результаты вычислений занесены в таблицу 2.

Таблица 2 - Весовые множители

K	W(k)
-12	0
-11	0.0019
-10	0.014
-9	0.044
-8	0.101
-7	0.189
-6	0.309
-5	0.454
-4	0.61
-3	0.761
-2	0.887
-1	0.971
0	1
1	0.971
2	0.887
3	0.761
4	0.61
5	0.454
6	0.309
7	0.189
8	0.101
9	0.044
10	0.014
11	0.0019
12	0

1.5 Вычисление коэффициентов фильтра

Процедура взвешивания сводится к умножению отсчётов на соответствующие отсчёты временного окна. Поэтому коэффициенты ФНЧ вычисляются по формуле:

Вычисленные значения коэффициентов фильтра представлены в таблице 3.

Таблица 3 - Коэффициенты фильтра.

k
-12	0
-11	-6.559*10-6
-10	-4.165*10-4
-9	5.786*10-4
-8	3.485*10-3
-7	-5.187*10-3
-6	-0.012
-5	0.023
-4	0.024
-3	-0.075
-2	-0.037
-1	0.306
0	0.542
1	0.306
2	-0.037
3	-0.075
4	0.024
5	0.023
6	-0.012
7	-5.187*10-3
8	3.485*10-3
9	5.786*10-4
10	-4.165*10-4
11	-6.559*10-6
12	0

1.6 Вычисление разрядности коэффициентов фильтра N_k

Коэффициенты каузального (физически реализуемого) фильтра должны быть представимы конечным числом двоичных разрядов . Значение можно рассчитать по формуле:

1.7 Вычисление округленных значений коэффициентов фильтра

Далее вычисляются округлённые до требуемых двоичных разрядов значения коэффициентов фильтра по следующей формуле:

Результаты округления значений фильтра сведены в таблицу 4.

Таблица 4 - Округленные коэффициенты фильтра.

k	hокр(k)
-12	1.221*10-4
-11	0
-10	-3.662*10-4
-9	6.104*10-4
-8	3.54*10-3
-7	-5.127*10-3
-6	-0.012
-5	0.023
-4	0.025
-3	-0.074
-2	-0.037
-1	0.306
0	0.542
1	0.306
2	-0.037
3	-0.074
4	0.025
5	0.023
6	-0.012
7	-5.127*10-3
8	3.54*10-3
9	6.104*10-4
10	-3.662*10-4
11	0
12	1.221*10-4

1.8 Вычисление разрядности входных и выходных отсчётов фильтра

Для практической реализации фильтра необходимо также оценить разрядность входного и выходного регистров фильтра. Эти величины определяют параметры шума квантования . Определить можно из следующей формулы:

Произведя вычисления, определяется что .

содержит как целую так и дробную части, определяемые из выражений:

Таким образом , а . Разрядность выходного регистра фильтра находится как сумма целой и дробной частей. Поэтому

2. Расчёт АЧХ нерекурсивного фильтра

Для вычисления АЧХ нерекурсивного фильтра, необходимо оценить её на главном значении периода. Для этого вычисляется дискретное преобразование Фурье (ДПФ) этой функции:

Рисунок 1 - АЧХ синтезированного фильтра

Для удобного сопоставления полученных частотных характеристик с требованиями технического задания определяется характеристика затухания по формуле:



Рисунок 2 - График зависимости затухания от частоты

Из графика представленного на рисунке 2 видно, что АЧХ синтезируемого фильтра удовлетворяет требованиям технического задания. Это следует из того, что на частоте 3500 Гц затухание соответствует 65 ДБ

Структурная схема нерекурсивного цифрового фильтра приведена на рисунке 3.

Рисунок 3 - схема нерекурсивного цифрового фильтра

Таблица 5 - коэффициенты фильтра

b1	0
b2	-6.559*10-6
b3	-4.165*10-4
b4	5.786*10-4
b5	3.485*10-3
b6	-5.187*10-3
b7	-0.012
b8	0.023
b9	0.024
b10	-0.075
b11	-0.037
b12	0.306
b13	0.542
b14	0.306
b15	-0.037
b16	-0.075
b17	0.024
b18	0.023
b19	-0.012
b20	-5.187*10-3
b21	3.485*10-3
b22	5.786*10-4
b23	-4.165*10-4
b24	-6.559*10-6
b25	0

3. Расчет рекурсивного цифрового фильтра

Синтез рекурсивного цифрового ПЗФ в данной работе выполняется методом обобщенного билинейного преобразования. Суть его состоит в следующем. По заданным требованиям к АЧХ цифрового фильтра отыскивается передаточная функция устойчивого аналогового фильтра-прототипа. Для этой цели, как правило, используется справочник по аналоговым фильтрам [2]. С помощью замены переменной передаточная функция аналогового фильтра преобразуется в передаточную функцию синтезируемогого фильтра.

Исходные данные: тип фильтра - ПЗФ;

а₀ = 30 дБ;

?а = 1,3 дБ;

f₁₁ = 50 Гц;

f₁₂ = 1500 Гц;

f₂₁ = 130 Гц;

f₂₂ = 700 Гц;

f_дискр = 9600 Гц;

²_вых = 5*10^-5.

3.1 Расчёт относительных значений характерных частот

Нахождение относительных значений характерных частот , , , производится по формуле

,

где - частота дискретизации;

- относительное значение частоты;

- абсолютное значение частоты.

Таким образом, получаем следующие значения относительных частот:

f₀₁₁ = 0.0052;

f₀₁₂ = 0.156;

f₀₂₁ = 0.014;

f₀₂₂ = 0.073.

3.2 Вычисление параметров г, б и граничной частоты Щ_k

По формулам, описывающим обобщённое билинейное преобразование, определяются значения параметров и , а также граничная частота нормированного аналогового фильтра-прототипа:

3.3 Определение передаточной функции

Передаточная функция аналогового фильтра-прототипа Ботерворта. Исходя из того, что:

· затухание в полосе задерживания =30 дБ;

· верхняя граница затухания в полосе пропускания =1,3 дБ;

· граничная “аналоговая” частота .

Из справочника [3] выписываются следующие параметры:

· модуль коэффициента отражения = 50%;

· вспомогательный параметр L=1.7;

· порядок фильтра n=4.

Передаточная функция K(P) имеет вид:

;

где С = 0.57735027;

а₁ = 0.4390154585;

b₁ = 1.0598770740;

а₂ = 1.0598770740;

b₂ = 0.4390154585.

Чтобы избежать трудоёмкого расчёта уравнения 4-го порядка, разложили передаточную функцию фильтра-прототипа в виде произведений полиномов 1-го порядка по степеням Р [1]. Для этого следует расписать полиномы в виде

P² + a₁P + a₂ = (P-P₁)(P-P₂),

Где P₁ и P₂ - комплексные корни квадратного уравнения, а₁ и а₂ - действительные коэффициенты.

Получаем значения полюсов:

p₁ = -0.439+1.059i

p₂ = -0.439-1.059i

p₃ = -1.059+0.439i

p₄ = -1.059-0.439i

Затем осуществляем подстановку:

Получаем:

Берем первый сомножитель:

Что избавиться от мнимой составляющей i решаем уравнение

:

Получаем корни:

z₁ = 0.0454904044+1.0940225872i;

z₂ = 0.9166950511-0.8134145521i;

Берем другие сомножители и аналогично находим корни

z₃ и z₄, z₅ и z₆, z₇ и z₈:

z₃ = 0.0454904044-1.0940225872i;

z₄ = 0.9166950511+0.8134145521i;

z₅ = 0.5490715413+1.5104736609i;

z₆ = 0.99460416-1.0578614905i;

z₇ = 0.5490715413-1.5104736609i;

z₈ = 0.99460416+1.0578614905i.

Перемножаем комплексно сопряженные корни, получаем:

(z-z₁)(z-z₃) = z^-2 - 0.09z^-1 + 1.123;

(z-z₂)(z-z₄) = z^-2 - 1.832z^-1 + 1.499;

(z-z₅)(z-z₇) = z^-2 - 1.098z^-1 + 2.58;

(z-z₆)(z-z₈) = z^-2 - 1.988z^-1 + 2.105.

Подставляем в уравнение и получаем:

Приводим к каноническому виду:



Выписываем коэффициенты:

a₁₂ = 0.89;

a₁₁ = -0.08;

a₂₂ = 0.667;

a₂₁ = -1.222;

a₃₂ = 0.387;

a₃₁ = -0.425;

a₄₂ = 0.475;

a₄₁ = -0.944;

b₁₂ =1.54;

b₁₁ =-1.51;

b₁₀ =1.54;

b₂₂ =0.667;

b₂₁ =-0.665;

b₂₀ =0.667;

b₃₂ =0.387;

b₃₁ =-0.381;

b₃₀ =0.387;

b₄₂ =0.475;

b₄₁ =-0.466;

b₄₀ =0.475.

3.4 Нахождение разрядности входного регистра

Разрядность входного регистра определяется по формуле:

;

где - допустимая мощность шума квантования, заданная на проектирование величина, а - -ый отсчёт импульсной реакции рекурсивного цифрового фильтра. Значение можно вычислить с помощью равенства Парсеваля:

,

где - передаточная функция синтезированного фильтра.

Контурный интеграл можно вычислить с помощью теоремы о вычетах [1], которая звучит так:

Интеграл по замкнутому контуру от функции равен сумме вычетов в полюсах , схваченных этим контуром, умноженной на , то есть

,

где - число полюсов комплексного переменного,

- полюс кратности ,

а вычет от функции в точке определяется по формуле

Приравнивая знаменатель функции H(z) находим полюсы:

z₁ = 9.086;

z₂ = 2.484;

z₃ = 0.844;

z₄ = -0.71;

z₅ = 0.96;

z₆ = -0.826;

z₇ = 5.427;

z₈ = -0.216.

Функция H(z^-1) имеет вид:

Вычисляем отсчеты:

= -2.6;

= -28;

= 1.67;

= 19.48;

= 2.178;

= 20.94;

= -4.15;

= 20.57.

Находим сумму вычитов:

= 34,52

Тогда разрядность:

Полученное значение даёт представление о необходимой разрядности регистров в реализуемом рекурсивном цифровом фильтре.

4. Расчёт АЧХ рекурсивного фильтра

Для рекурсивного фильтра комплексная частотная характеристика (КЧХ) получается путем подстановки z = e ^jw0 в выражение для H(z).

Построение АЧХ производится на главном значении периода функции , то есть на интервале от 0 до .

Рисунок 4 - АЧХ рекурсивного фильтра

Характеристика затухания определяется по формуле:

График зависимости затухания от частоты рекурсивного ППФ изображён на рисунках 5, 6.

Рисунок 5 - Зависимость затухания от частоты

Рисунок 6 - Зависимость затухания от частоты

Структурная схема строится следующим образом. Каждый каскад передаточной функции синтезируемого фильтра в каноническом виде имеет вид:

.

Исходя из этого, каждый элемент задержки имеет соответствующий коэффициент.

Таблица 6 - коэффициенты фильтра

a12	0.89
a11	-0.08
a22	0.667
a21	-1.222
a32	0.387
a31	-0.425
a42	0.475
a41	-0.944
b12	1.54
b11	-1.51
b10	1.54
b22	0.667
b21	-0.665
b20	0.667
b32	0.387
b31	-0.381
b30	0.387
b42	0.475
b41	-0.466
b40	0.475

Заключение

В результате выполнения курсовой работы были получены навыки расчёта рекурсивных и нерекурсивных фильтров. Были синтезированы фильтры: нерекурсивный ФНЧ со строго линейной ФЧХ; рекурсивный ПЗФ с максимально плоской характеристикой, к линейности ФЧХ которого не предъявляется жёстких требований.

Рассчитаны амплитудно-частотные характеристики обоих фильтров, построены графики АЧХ и зависимости затухания от частоты.

Разработаны структурные схемы обоих фильтров.

Задание на курсовое проектирование выполнено полностью.

Список используемых источников

1. Султанов Б.В. Синтез цифровых фильтров. Методические указания к курсовой работе. Пенза, Издательство ПГТУ, 1996г., - 51с.

2. Христиан Э., Эйзенман Е. Таблицы и графики по расчёту фильтров. Справочник. М., «Связь», 1975

Размещено на Allbest.ru