Кінематика точки і твердого тіла

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

Кінематикою називають розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються загальні властивості і якості різних механічних рухів з геометричної точки зору без урахування причин, що викликають і змінюють ці рухи.

Кінематику можна розглядати як перехідну ступінь від геометрії до механіки - вона є геометрією чотирьох вимірів, бо крім трьох вимірів, прийнятих в геометрії, запроваджується четвертий - час. Кінематика для свого викладання не потребує ніяких нових аксіом, і спирається на аксіоми евклідової геометрії.

Під рухом в механіці розуміють зміну з часом положення даного об'єкта по відношенню до іншого. Характер руху суттєво залежить від вибору тіла, з яким зв'язаний спостерігач.

Реальне або умовне тверде тіло, по відношенню до якого визначають положення чи рух інших об'єктів, називають системою відліку. Простір в механіці розглядається як тривимірний і евклідовий. Час уважається універсальним, тобто таким, що плине абсолютно однаково в будь-якій системі відліку.

В задачах кінематики час приймається за незалежну змінну (аргумент). Відлік часу ведеться від певного початкового моменту, котрий обирають відповідно до конкретних умов задачі.

Кінематично задати рух матеріального об'єкту (тіла, точки) - означає задати положення цього об'єкту відносно обраної системи відліку в будь-який момент часу. Якщо положення об'єкта визначається певними параметрами, то необхідно задати залежність параметрів від часу. Така залежність називається кінематичними рівняннями руху або законом руху.

Основними питаннями кінематики є виявлення математичних способів задання руху і методів визначення всіх кінематичних величин, що характеризують даний рух.

1. Способи задання руху точки

Рух точки в просторі можна задати трьома способами: векторним, координатним і натуральним (природним).

1.1.1 Векторний спосіб

Положення довільної точки М, що рухається по відношенню до обраної системи відліку Oxyz можна визначити за допомогою її радіуса-вектора , проведеного з початку координат О в дану точку (рис.2.1).

Рис. 2.1

Рівняння і визначає закон руху точки у векторній формі. Неперервна лінія, яку описує точка при своєму русі відносно обраної системи відліку, називається траєкторією точки. Якщо траєкторією точки є пряма лінія, рух точки називається прямолінійним, а якщо крива - криволінійним. При векторному способі задання руху траєкторія точки зображує собою геометричне місце кінців вектора (годограф цього вектора).

1.1.2 Координатний спосіб

Положення точки в просторі також можна визначити її декартовими координатами x, y, z залежними від часу .

Неперервні функції:

які називають кінематичними рівняннями, визначають закон руху точки в прямокутних декартових координатах.

Рівняння одночасно є рівнянням траєкторії точки в параметричній формі, де роль параметра відіграє час . Якщо виключити з них час , то знайдемо рівняння траєкторії в звичайній формі у вигляді залежності між координатами точки.

Оскільки координати рухомої точки М (рис.2.1) відповідають координатам кінця вектора в системі , то між векторним і координатним способами задання руху існує зв'язок у формі рівняння

	(2.3)

1.1.3 Природний спосіб

Природний спосіб задання руху використовують у випадках, коли траєкторія наперед відома. Тоді положення точки в просторі визначається (рис.2.2)

- просторовою кривою (траєкторією точки);

- криволінійною (дуговою) координатою на траекторії;

- початком відліку дугової координати;

- напрямом додатного відліку дугової координати.



Рис. 2.2

При русі точки по траєкторії дугова координата змінюється з часом, тобто

Залежність (2.4) називають законом руху точки вздовж заданої траєкторії.

Дугову координату не можна плутати з довжиною шляху, який пройшла точка.

Шлях точки - це відстань, що пройдена нею за певний проміжок часу, яка вимірюється вздовж траєкторії в напрямку руху точки.

Дугова координата - положення точки на траєкторії в даний момент часу.

1.2 Швидкість і прискорення точки

Основними кінематичними характеристиками руху точки є векторні величини - швидкість точки і її прискорення.

Поняття "швидкість" виникло ще в доісторичну епоху, коли людина засвоїла уявлення про швидкість і повільність руху. Таке буденне поняття швидкості і було спочатку сприйнято механікою. Формула не зустрічається не тільки у стародавніх вчених, але навіть і в працях таких корифеїв науки, як Галілей і Ньютон. Тільки Ейлер першим у рішучій формі подав швидкість як відношення пройденого точкою шляху до витраченого на це часу. Саме він зазначив, що швидкість є мірою руху, завдяки котрій забезпечується проходження певного шляху за певний проміжок часу.

Поняття прискорення, як характеристики руху, було запроваджено в механіку французькими вченими Понселе (1841 р.) і Розалем (1851 р.).

1.2.1 Векторний спосіб визначення швидкості і прискорення точки

При вектрному способі задання руху точки вважається відомим радіус-вектор точки як функція часу: .

Швидкістю точки називається кінематична міра руху точки, яка дорівнює похідній за часом від радіуса-вектора цієї точки в обраній системі відліку

З фізичної точки зору вектор швидкості визначає інтенсивність зміни просторового положення точки з часом. Напрямлений цей вектор по дотичній до траєкторії точки в бік її руху (рис. 2.3).

Розмірність швидкості (dimension - розмір, вимір).

Прискоренням точки називається кінематична міра зміни швидкості точки, яка дорівнює похідній за часом від швидкості цієї точки в обраній системі відліку

.

Рис. 2.3

Розмірність прискорення .

З рівняння (2.6) виходить, що прискорення точки дорівнює нулю тоді, коли швидкість точки зберігає сталу величину і сталий напрям, тобто при рівномірному прямолінійному русі точки. Напрям вектора співпадає з напрямом вектора - прирістом вектора швидкості за час .

Формули (2.5) і (2.6) зручно використовувати для теоретичного викладання кінематики точки, але для практичних обчислень їм надають більш конкретний вигляд.

1.2.2 Визначення швидкості і прискорення точки в декартовій системі координат

Загальні формули (2.5) і (2.6) визначають швидкість і прискорення точки через похідні за часом від її радіуса-вектора , який через координати точки (рис.2.3) можна записати так:

.

Диференціюємо вираз за часом:

або

.

Звідсіля виходить, що проекція швидкості точки на координатну вісь дорівнює першій похідній від відповідної координати точки за часом:

де крапка над координатою - символ диференціювання за часом.

Модуль швидкості знаходимо за формулою

,

а її напрям визначається напрямляючими косинусами:

.

Для визначення прискорення точки згідно з формулою (2.6) потрібно продиференціювати за часом співвідношення (2.7) і (2.8). Отримаємо

і

.

З другого боку

.

З наведених рівнянь виходить, що проекції прискорення точки на координатні осі дорівнюють першим похідним від проекцій швидкості або другим похідним від відповідних координат точки за часом:

Модуль прискорення знаходять за формулою



,

а напрям визначають напрямляючі косинуси:

.

З викладеного випливає, що залежності по суті повністю визначають рух точки. Вони дають змогу знайти не тільки положення точки, але і проекції її швидкості і прискорення, а отже, модуль і напрям векторів і в будь-який момент часу. Крім того, можна розв'язати і ряд інших питань: знайти траєкторію точки, залежність швидкості від положення точки, тощо.

Розв'язання оберненої задачі - визначення швидкості і закону руху точки по заданому прискоренню - проводиться шляхом інтегрування проекцій прискорення за часом, причому задача буде мати однозначний розв'язок, якщо крім прискорення задані ще і початкові умови - проекції швидкості і координати точки в початковий момент часу.

1.2.3 Визначення швидкості і прискорення при природному способі задання руху точки

При природному способі задання руху, коли відомі траєкторія точки і закон руху її вздовж цієї траєкторії , значення векторів і визначають по їх проекціях не на осі будь-якої нерухомої системи відліку, а на осі рухомої прямокутної системи координат .Ця координатна система має початок в точці М і рухається разом з нею вздовж траєкторії (рис.2.4).

Осі координат системи, які називають осями природного тригранника, напрямлені так: вісь (дотична) - по дотичній до траєкторії в бік додатного відліку відстані ; вісь (головна нормаль) - по нормалі до траєкторії в так званій стичній площині в бік угнутості траєкторії; вісь (бінормаль) - перпендикулярно двом першим осям так, щоб вона утворювала з ними праву систему осей.

Рис.2.4

Уведемо одиничні орти , які визначають додатні напрями осей натурального тригранника. Тоді вектор швидкості точки М, що напрямлений по дотичній до траєкторії, можна подати у вигляді

,

де - проекція вектора на дотичну - величина алгебраїчна.

Очевидно, що , тому надалі в більшості випадків будемо опускати індекс "" при визначенні числового значення швидкості точки.

Продиференціюємо (2.13) за часом

Далі перетворимо останній член цього виразу

.

Визначимо приріст вектора на ділянці переміщення точки по траекторії з положення 1 в положення 2 (рис.2.5).

Рис. 2.5

При прагненні точки 2 до точки 1 відрізок траєкторії наближається до дуги кола з центром в певній точці О. Цю точку називають центром кривизни траєкторії в даній точці 1, а радіус відповідного кола - радіусом кривизни траєкторії в тій же точці.

Як видно з рис 2.5, центральний кут , бо .

Тоді .

В свою чергу легко довести математично (і це можна бачити також з рис.2.5), що при , тобто вектор співпадає з напрямом головної нормалі п. Тому, користуючись ортом головної нормалі , останнє співвідношення у векторній формі можна записати так:

.

Підставляємо (2.16) до (2.15), а отриманий вираз до (2.14). В результаті знаходимо:

.

Перший доданок цього рівняння називають тангенціальним (дотичним) прискоренням , а другий - нормальним або доцентровим прискоренням :

.

Так як орти і лежать в стичній площині, то і вектор також буде лежати в цій площині. Тому проекція повного прискорення на бінормаль .

Таким чином, повне прискорення точки в загальному випадку криволінійного руху

.

Потрібно чітко уявляти особливості кожної складової повного прискорення. Вектор тангенціального прискорення напрямлений по дотичній до траєкторії точки і характеризує зміну модуля швидкості точки. Величина може бути додатною, від'ємною або рівною нулю. Вектор нормального прискорення завжди напрямлений в бік угнутості траєкторії і характеризує зміну вектора швидкості точки за напрямом. Величина завжди додатна (рис. 2.6)

а) прискорений рух	б) сповільнений рух
Рис. 2.6

Модуль повного прискорення точки визначають за формулою

Кут відхилення вектора від нормалі знаходять зі співвідношення

причому .

Частинні випадки руху точки.

1. - прямолінійний рівномірний рух.

2. =const, - прямолінійний рівнозмінний рух.

3. - рівномірний рух точки вздовж криволінійної траєкторії будь-якої форми, або момент екстремального значення швидкості.

4. - рівнозмінний криволінійний рух.

5. - прямолінійний рух точки; момент часу, коли рухома точка знаходиться в точці перегину траєкторії, або моменти часу зміни напряму руху точки вздовж траєкторії.

Питання для самоконтролю

1. Що називають траєкторією точки?

2. Які способи задання руху точки існують і в чому полягає кожний з них?

3. Чому функції і що визначають рух точки в координатній формі, повинні бути однозначними?

4. Як при координатному способі задання руху точки визначається її траєкторія?

5. Чому дорівнює і як напрямлений у просторі вектор швидкості?

6. Чому дорівнюють проекції швидкості точки на осі нерухомої декартової системи координат?

7. Чому дорівнюють проекції швидкості точки на дотичну і головну нормаль до траєкторії?

8. Як за проекціями швидкості знайти її величину і напрям?

9. Чому дорівнює і як напрямлений у просторі вектор прискорення точки?

10. Як визначаються проекції прискорення точки на нерухомі осі декартової системи координат?

11. Як за проекціями прискорення знайти його модуль і напрям?

12. Що являє собою натуральна система координат; де знаходиться її початок і як напрямлені осі цієї системи?

13. Як визначаються проекції прискорення точки на осі натуральної системи координат ?

14. Які особливості руху точки характеризує дотичне прискорення?

15. Яким чином впливає на вид траєкторіїї точки величина нормального прискорення?

16. Який рух точки вздовж довільної траєкторії називають рівномірним, рівноприскореним, рівносповільненим?

17. Що означає в загальному випадку наявність чи відсутність нормального прискорення точки?

18. Траєкторією точки є еліпс. В яких положеннях на траєкторії точка має найбільше і найменше прискорення, якщо вона рухається рівномірно?

19. Дві точки починають рух зі стану спокою з однаковими дотичними прискореннями. Перша рухається по колу радіуса , а друга - по колу радіуса , причому . Яка точка в кожний момент часу має більше прискорення?

20. При яких умовах значення дугової координати в певний момент часу дорівнює шляху, що пройшла точка від початкового до даного момента часу?

21. Чи правильним є вираз для тангенціального прискорення:

?

1.3 Кінематика твердого тіла

Вільне тверде тіло має можливість здійснювати будь-який рух з даного положення. Якщо одну з точок твердого тіла, наприклад точку А, жорстко зв'язати з нерухомою системою відліку (закріпити її), то воно буде мати можливість рухатись відносно цієї точки (сферичний рух) Якщо закріпити ще одну довільну точку тіла (наприклад, точку В), то воно зможе тільки обертатися навколо прямої, що проходить через ці точки, причому сама пряма, яку називають віссю обертання, буде нерухомою. Якщо закріпити ще і третю точку, котра не лежить на осі обертання (точка С), то тіло виявиться закріпленим нерухомо. Таким чином, положення твердого тіла в просторі відносно обраної системи координат визначається положенням трьох його точок, що не лежать на одній прямій. З'єднаємо три обрані точки між собою (рис. 2.7). Трикутник АВС, що утворився при цьому, в кінематиці розглядається як модель твердого тіла, бо рух його повністю визначає рух будь-якого тіла, жорстко з ним зв'язаного.

Рис. 2.7

При вивченні кінематики твердого тіла розглядаються дві задачі: 1) установлення способів задання руху і визначення кінематичних характеристик тіла в цілому;

2) визначення кінематичних характеристик окремих точок тіла.

Для будь-якого виду руху твердого тіла має місце теорема Ф.Грасгофа:

проекції швидкостей двох довільних точок твердого тіла на пряму, що з'єднує ці точки, завжди рівні між собою.

З великої кількості способів доведення цієї теореми скористуємось логічним доведенням. Проекції швидкостей точок А і В твердого тіла на пряму, що з'єднує ці точки (рис.2.8), повинні бути рівними, бо в протилежному випадку відстань АВ між цими точками змінювалася б, що для твердого тіла неможливо. Тобто

або

Рис. 2.8

1.3.1 Поступальний рух твердого тіла

Рух тіла називається поступальним, якщо будь-яка пряма, проведена в тілі, переміщується паралельно самій собі, тобто не повертається відносно свого початкового напряму.

Властивості поступального руху визначаються такою теоремою:

при поступальному русі твердого тіла всі його точки описують геометрично однакові траєкторії і в кожний момент часу мають однакові за модулем і напрямом швидкості і прискорення.

Щоб довести теорему, розглянемо тверде тіло, яке рухається поступально (рис.2.9). В обраній системі відліку радіуси-вектори двох довільних точок А і В тіла зв'язані співвідношенням:

Рис. 2.9

Але в твердому тілі відстань між точками є сталою, тобто , напрям не змінюється згідно з визначенням поступального руху. Таким чином . Отже траєкторію точки В можна отримати паралельним переносом траєкторії точки А.

Якщо продиференціювати за часом наведене співвідношення і врахувати при цьому, що , то отримаємо: і далі . Теорема доведена.

Від поступального руху тіла потрібно відрізняти так званий миттєво-поступальний рух, при якому в певний момент часу швидкості точок тіла стають векторно рівними між собою, але при цьому прискорення - векторно різні.

Взагалі поняття "швидкість тіла", "прискорення тіла" мають сенс тільки при поступальному русі тіла, бо тільки тоді кінематичні характеристики однакові для всіх точок тіла.

1.3.2 Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі

Обертальним рухом твердого тіла навколо нерухомої осі називають такий рух, при якому всі точки, що лежать на певній прямій, незмінно зв'язаній з тілом, залишаються нерухомими в обраній системі відліку.

Нерухому пряму, навколо якої обертається тіло, називають віссю обертання. Всі точки тіла, що не лежать на осі обертання, рухаються в площинах, перпендикулярних до осі обертання, і описують кола, центри яких знаходяться на цій осі. Відстань точки від осі обертання називають радіусом обертання точки.

Доцільно також відмітити, що всі прямі, проведені в тілі паралельно осі обертання, рухаються поступально.

Оберемо нерухому систему координат так, щоб вісь співпала з віссю обертання твердого тіла. Положення тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, може бути визначено двогранним кутом , котрий відлічують від певної нерухомої півплощини І до рухомої півплощини ІІ, що незмінно зв'язана з тілом (рис.2.10). Кут вважається додатним, якщо він відлічується від нерухомої півплощини в напрямку проти руху годинникової стрілки для спостерігача, що дивиться з додатного кінця осі , і від'ємним, якщо він відрахований за рухом годинникової стрілки. Вимірюється кут в радіанах ().

Рис. 2.10

Рівняння

,

що установлює залежність кута від часу, називають законом обертального руху тіла навколо нерухомої осі.

Для характеристики обертального руху використовують поняття кутової швидкості і кутового прискорення.

Кутова швидкість характеризує зміну з часом кута повороту тіла, а її алгебраїчна величина дорівнює першій похідній за часом від кута повороту:

, або

Розмірність кутової швидкості .

Знак визначає напрям обертання: якщо обертання тіла відбувається проти руху годинникової стрілки, то , якщо тіло обертається за рухом годинникової стрілки - . Ця обставина відображується на рисунках (кресленнях) показом кутової швидкості за допомогою дугової стрілки.

В техніці кутову швидкість часто задають числом обертів за хвилину Оскільки за один оберт тіло повертається на кут , то

.

Кутове прискорення характеризує зміну з часом кутової швидкості тіла, а його алгебраїчна величина дорівнює першій похідній від кутової швидкості, або другій похідній від кута повороту тіла за часом

Розмірність кутового прискорення dim.

При обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі можливі такі випадки:

- при - тіло обертається прискорено в додатному напрямі (проти руху годинникової стрілки);

- при - тіло обертається прискорено у від'ємному напрямі (за рухом годинникової стрілки);

- при - сповільнене обертання в додатному напрямі;

- при - сповільнене обертання у від'ємному напрямі.

Теоретична механіка розглядає кутову швидкість і кутове прискорення не тільки як алгебраїчні параметри обертального руху, але і у вигляді векторних величин.

Вектором кутової швидкості називають вектор, рівний за модулем алгебраїчній кутовій швидкості і напрямлений вздовж осі обертання тіла в той бік, звідкіля обертання тіла спостерігається як рух проти ходу годинникової стрілки.

Вектор , рівний за модулем величині кутового прискорення і напрямлений вздовж осі обертання тіла в той бік, звідкіля обертання тіла спостерігається як рух проти ходу годинникової стрілки, називають вектором кутового прискорення.

При цьому

Вектори і , для яких суттєве значення мають лише модулі і лінії дії, являють собою ковзні вектори.

У випадках, коли і мають один напрям, тіло обертається прискорено; якщо і протилежних напрямів, то тіло обертається сповільнено (рис. 2.11).

Рис. 2.11

Розподіл швидкостей і прискорень точок тіла при обертальному русі

При обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі будь-яка його точка (наприклад, точка М), що відстоїть від осі обертання на відстані , описує коло радіуса (рис. 2.10). Тоді, якщо за час тіло обернеться на кут , точка здійснить переміщення . Алгебраїчна швидкість точки на цьому переміщенні згідно з формулою (2.13)

,

або

.

Таким чином, швидкість будь-якої точки твердого тіла, що здійснює обертальний рух, дорівнює добутку кутової швидкості тіла на відстань цієї точки до осі обертання.

Вектор швидкості завжди напрямлений по дотичній до кола, яку описує точка, і лежить в площині, перпендикулярній до осі обертання тіла. Інколи швидкість точки називають лінійною або коловою швидкістю.

Проведемо з довільної точки О осі обертання радіус-вектор точки М (рис. 2.10), який утворює кут з віссю обертання. З прямокутного трикутника ОСМ виходить: . Тоді

звідкіля, згідно з векторним добутком двох векторів, отримаємо



.

Тобто вектор швидкості будь-якої точки твердого тіла, що здійснює обертальний рух, дорівнює векторному добутку кутової швидкості тіла, на радіус-вектор цієї точки (формула Ейлера).

При обертальному русі твердого тіла повні прискорення окремих його точок в загальному випадку складаються з тангенціальних і нормальних прискорень (формула 2.19), алгебраїчні значення яких визначаються за формулами (2.18). Цим формулам можна надати іншого вигляду, якщо використати співвідношення (2.28).

Отримаємо

, або, кінцево, ;
, або, кінцево, .

Тоді модуль повного прискорення точки

.

рух точка тверде тіло

1.3.3 Перетворення найпростіших рухів твердого тіла

Передача обертального руху від одного тіла до іншого здійснюється за допомогою передаточних механізмів, в яких перше тіло називають ведучим, а друге - веденим. Якщо осі обертання ведучого і веденого тіл паралельні або перетинаються, то обертання можна передавати за допомогою зубчастих чи фрикційних передач. В зубчастій передачі обертання передається через зуби коліс, у фрикційній - при наявності сил тертя на поверхнях стичних коліс.

В зубчастих і, при відсутності проковзування, у фрикційних передачах лінійна швидкість в точці стикання буде однаковою як для ведучого, так і для веденого коліс. (рис.2.12), тобто . В свою чергу , , тому і

Таким чином, кутові швидкості зубчастих і фрикційних коліс обернено пропорційні їх радіусам.

Рис.2.12

Оскільки числа зубів коліс, що знаходяться в зачепленні, пропорційні їх діаметрам, то для них буде вірним співвідношення

де , - кількість зубів першого і другого коліс.

Крім зубчастої і фрикційної передач, існує передача обертального руху на відстані за допомогою гнучкого зв'язку (пас, трос, ланцюг). При відсутності проковзування паса по поверхні шківів лінійні швидкості всіх його точок будуть однаковими (рис. 2.13), тому співвідношення (2.33) буде справедливим і для пасових передач. Маємо:

,

З рівняння (2.33) також виходить, що

або

Рис. 2.13

Питання для самоконтролю

1. Яка залежність існує між проекціями швидкостей двох точок твердого тіла на пряму, що з'єднує ці точки?

2. Який рух тіла називають поступальним?

3. Чим відрізняється миттєво-поступальний рух від поступального руху тіла?

4. Чи можуть траєкторії точок тіла при його поступальному русі бути колами? Якщо так, то наведіть приклади.

5. Перерахуйте основні властивості поступального руху твердого тіла.

6. Чи можна звести кінематику поступального руху тіла до кінематики точки? Відповідь обґрунтуйте.

7. Кабінка колеса оглядання в процесі свого руху залишається завжди вертикальною. Які точки кабінки мають більше прискорення: точки підлоги чи точки стелі?

8. Який рух твердого тіла називають обертанням навколо нерухомої осі? Що являють собою траєкторії окремих точок при такому русі?

9. Яким рівнянням задається закон обертального руху тіла навколо нерухомої осі?

10. За якими формулами визначаються модулі кутової швидкості і кутового прискорення твердого тіла, що обертається?

11. Як напрямлені вектори кутової швидкості і кутового прискорення при обертанні тіла навколо нерухомої осі?

12. Наведіть формули для визначення величин швидкостей і прискорень окремих точок твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осі.

13. У скільки разів прискорення точки А диска більше прискорення його точки В, якщо відстань точки А від осі обертання диска удвоє більше відстані від осі точки В?

14. При яких умовах напрям прискорення точки при обертанні тіла складає з відрізком, що з'єднує цю точку з центром її траєкторії, кути 0⁰, 45⁰, 90⁰?

15. Визначте геометричні місця точок твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, для яких прискорення:

а) рівні за модулем;

б) співпадають за напрямом;

в) рівні за модулем і співпадають за напрямом (векторно рівні).

16. Дві шестерні радіусами і знаходяться в зачепленні і обертаються рівномірно. У якої шестерні прискорення точки зачеплення більше? У скільки разів?

17. За якою формулою можна перейти при обчисленні кутової швидкості від частоти обертання « за хвилину» до розмірності «радіан за секунду»?

1.3.4 Плоскопаралельний рух твердого тіла

Плоскопаралельним або плоским рухом твердого тіла називається такий рух, при якому всі точки тіла рухаються паралельно певній нерухомій в даній системі відліку площині.

Плоский рух твердого тіла широко розповсюджений в техніці, оскільки окремі ланки значної кількості механізмів і машин здійснюють тільки плоский рух (кривошипно-шатунні, кулісні, епіціклічні механізми).

1.3.4.1 Рівняння і характеристики плоского руху

З визначення плоскопаралельного руху виходить, що він повністю характеризується рухом плоскої фігури, утвореної перерізом тіла площиною, паралельною певній нерухомій площині. В подальшому будемо вважати, що рух плоскої фігури відбувається в площині рисунка і, відповідно, рисунок є натуральним зображенням фігури. В свою чергу, положення плосокї фігури в координатній площині, наприклад, , яка обрана за базову, визначається положенням будь-якого відрізка цієї фігури (рис.2.14). З аналітичної геометрії відомо, що положення відрізка в площині його руху можна однозначно визначити координатами довільної точки відрізка (наприклад, координатами , точки А) і кутом між відрізком і однією з координатних осей (наприклад, віссю ). Точку, обрану для визначення положення плоскої фігури, називають полюсом.

Рис. 2.14

Таким чином, закон руху плоскої фігури в її площині, а отже, і плоско-паралельного руху тіла в цілому, відносно обраної системи координат описується трьома рівняннями:

Аналіз залежностей (2.36) дає можливість зробити висновок, що плоско-паралельний рух тіла є сукупністю двох простих рухів: поступального, при якому всі точки тіла рухаються так само, як і полюс (точка А), і обертального - навколо осі, що проходить через полюс перпендикулярно до площини руху тіла.

Основними кінематичними характеристиками плоскопаралельного руху є швидкість і прискорення полюса (в нашому випадку , ), а також кутова швидкість і кутове прискорення тіла.

Взагалі за полюс можна вибрати будь-яку точку тіла. Причому, при зміні точки, що вибирається за полюс, характеристики поступальної частини руху змінюється, а характеристики обертальної частини руху і залишаються незмінними.

1.3.4.2 Визначення швидкостей точок тіла при плоскопаралельному русі

Оскільки плоский рух можна розглядати як такий, що складається з поступального і обертального рухів, то справедливим буде таке твердження: швидкість будь-якої точки твердого тіла, що здійснює плоскопаралельний рух, дорівнює геометричній (векторній) сумі швидкості полюса і лінійної швидкості цієї точки в її обертанні навколо полюса.

Так, якщо за полюс взяти точку А (рис.2.15), то швидкість точки В тіла

При цьому швидкість визначається за числовим значенням і напрямом так само, як у випадку обертання тіла навколо нерухомої осі, що проходить через полюс, перпендикулярно до площини руху тіла. Тобто і

Рис.2.15

Розв'язання задач кінематики плоскопарлельного руху, в яких потрібно визначити швидкості певних точок твердого тіла, базується на рівнянні (2.37), але використання його у векторній формі в багатьох випадках недоцільне.

Як правило, для отримання конкретних числових значень шуканих величин векторне рівняння (2.37) проектується на осі плосокї системи координат. Так, якщо рух тіла розглядається в координатній площині , отримаємо такі алгебраїчні співвідношення:

звідкіля .

1.3.4.3 Миттєвий центр швидкостей

Можна довести, що при непоступальному русі плоскої фігури в кожний момент часу існує, і при тому єдина, точка з нульовою швидкістю.

Точка плоскої фігури, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю, називається миттєвим центром швидкостей (МЦШ). Надалі МЦШ будемо позначати літерою .

Оберемо за полюс МЦШ. Тоді рівняння (2.37) можна записати так

,

але за визначенням і тому

.

Отже, якщо за полюс вибрати МЦШ, то плоскопаралельний рух тіла зводиться до миттєвого обертального руху навколо миттєвої осі, що проходить через МЦШ перпендикулярно до площини руху цього тіла. Модулі швидкостей всіх точок плоскої фігури будуть прямо пропорційними їх відстаням до МЦШ, а напрями векторів швидкостей будуть перпендикулярними до прямих, які з'єднують ці точки з МЦШ. Саме тому МЦШ називають також миттєвим центром обертання.

Так, наприклад, відповідно до рис 2.15 будемо мати

і .

Способи визначення положення МЦШ

1. Відомі швидкість певної точки А плоскої фігури і миттєва кутова швидкість цієї фігури. У цьому випадку і . Напрям відрізка визначиться поворотом вектора на кут 90^о в сторону обертання (рис. 2.16).



Рис.2.16

2. Відомі напрями швидкостей двох точок плоскої фігури або, що теж саме, види траєкторій двох точок фігури. Очевидно, що миттєвий центр швидкостей в даний момент буде знаходитись в точці перетину перпендикулярів, поставлених з цих точок до векторів їх швидкостей (наприклад, точки А і В на рис.2.15).

3. Швидкості двох точок плоскої фігури відомі і напрямлені в одну сторону перпендикулярно до відрізка, що їх з'єднує; при цьому . МЦШ знаходиться в точці перетину прямої, що з'єднує кінці векторів швидкостей цих точок, і прямої, проведеної через точки А і В (рис.2.17а).

4. Швидкості двох точок плоскої фігури напрямлені в різні боки і перпендикулярні до відрізка, що з'єднує ці точки. МЦШ знаходиться в точці перетину відрізка АВ і прямої, проведеної через кінці векторів швидкостей точок (рис.2.17, б).



Рис.2.17

5. Швидкості двох точок плосокї фігури рівні між собою, паралельні і напрямлені в один бік. (тобто ). МЦШ віддаляється в нескінченність і має місце миттєво-поступальний рух тіла (фігури) (рис.2.17в,г).

6. Кочення без ковзання тіла по нерухомій площині (випадок плоского руху). Очевидно, що в кожний момент часу точка контакту тіла і поверхні має цілком певну швидкість. Але поверхня нерухома, тому і точка контакту, спільна для тіла і поверхні, також має нульову швидкість і, таким чином, є МЦШ для цього тіла (рис.2.18).

Рис. 2.18

1.3.4.4 Прискорення точок при плоскопаралельному русі твердого тіла

Теорема: прискорення будь-якої точки твердого тіла, що здійснює плоский рух, дорівнює геометричній сумі прискорення полюса і прискорення даної точки в її обертальному русі навколо полюса.

Згідно з формулою (2.37) швидкість довільної точки В тіла (дивись рис.2.15).

.

Диференціюємо це рівняння за часом і отримуємо

.

що і потрібно було довести.

В свою чергу, прискорення , як прискорення точки в обертальному русі навколо полюса А, складається з нормального і тангенціального прискорень:

.

Тоді формулі (2.41) можна надати вигляду

.

Модулі векторів і визначають згідно з формулами (2.31) і (2.30):

,

причому вектор напрямлений від точки В до полюса А, а вектор перпендикулярний до відрізка АВ, що з'єднує дану точку з полюсом, і має напрям в бік напряму стрілки кутового прискорення (рис. 2.19).

При розв'язанні задач кінематики плоскопаралельного руху доцільно векторне рівняння (2.43) замінити алгебраїчними рівняннями його проекцій на дві обрані координатні осі. Так, наприклад, в плоскій системі координат Оху будемо мати:

.

Рис.2.19

1.3.4.5 Миттєвий центр прискорень

Миттєвим центром прискорень (МЦП) плоскої фігури, що рухається непоступально ( і одночасно не дорівнюють нулю), називається така її точка , прискорення якої в даний момент часу дорівнює нулю.

Припустимо, що є відомими за модулем і напрямком прискорення будь-якої точки А плоскої фігури, а також кутова швидкість і кутове прискорення цієї фігури. Якщо взяти за полюс точку А, то для точки прискорення

.

Але точка - це МЦП і , тому

.

Таким чином, вектор прискорення точки в її обертанні навколо полюса А протилежний за напрямком вектору , і рівний йому за модулем. Тоді на підставі формули (2.32).

,

звідкіля відстань МЦП від даної точки А

Очевидно, що рівняння (2.45) справедливе і для будь-якої іншої точки В плоскої фігури. Тому можна записати, що

Останнє співвідношення означає, що прискорення точок тіла, яке здійснює плоский рух, пропорційні їх відстаням до МЦП. Причому вектори прискорень точок тіла утворюють один і той же кут з відповідними відрізками, що з'єднують ці точки з МЦП (рис.2.20). Величина кута визначається на підставі формули (2.21):

.

Рис. 2.20

1.4 Способи визначення положення МЦП

З вищевикладеного виходить перше правило визначення положення МЦП: щоб знайти положення МЦП, треба відоме прискорення будь-якої точки плоскої фігури (наприклад, точки А) повернути на кут в напрямі обертання фігури, якщо , і протилежно обертанню, якщо . На отриманому промені відкладають відрізок, довжина якого визначається за формулою (2.46).

Другий спосіб визначення МЦП

Припустимо, що відомі прискорення і двох будь-яких точок А і В фігури (рис.2.21). Якщо взяти за полюс точку А, то

Звідси вектор відносного прискорення точки В в її русі навколо точки А

.

Відкладаємо з точки В вектор і, додаючи його геометрично до вектора , знайдемо вектор .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.21

Вимірюємо кут між і лінією АВ. З рисунка видно, що вектор , який визначає напрям кутового прискорення фігури, спрямований проти руху годинникової стрілки відносно полюса А. З точок А і В проводимо лінії і під кутом до векторів і , який відкладають також проти руху годинникової стрілки. Точка перетину цих ліній визначає положення МЦП даної плоскої фігури.

1.5 Частинні випадки знаходження МЦП

1. ; . Тоді і . Цей випадок відповідає миттєво-поступальному руху. Прискорення всіх точок плоскої фігури перпендикулярні до прямих, що з'єднують ці точки з МЦП (рис.2.22).

Рис.2.22

2. , . Така умова відповідає або обертанню плоскої фігури з постійною кутовою швидкістю, або випадку, коли кутова швидкість досягає екстремальних значень. Маємо: і . Отож, прискорення всіх точок фігури напрямлені до МЦП (рис.2.23).

Рис. 2.23

3. ; . Умова відповідає поступальному руху, і прискорення будь-якої точки плоскої фігури дорівнює прискоренню полюса, а МЦП знаходиться у нескінченності.

На закінчення розділу потрібно підкреслити, що МЦШ і МЦП - це різні точки тіла (фігури). Вони збігаються лише у випадку обертання тіла навколо нерухомої осі.

Розглянемо такий приклад.

Циліндр радіуса котиться без ковзання по горизонтальній площині, причому швидкість його центра мас є змінною. Визначити прискорення точки контакту циліндра з площиною (рис.2.24).

Розв'язання:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.24

В даному випадку точка Р є миттєвим центром швидкостей котка і .

Визначимо кутову швидкість і кутове прискорення циліндра:

;

Припустимо, що циліндр котиться прискорено, тобто . Приймаємо точку за полюс, тоді прискорення точки Р визначається формулою:

Величина тангенціальної складової відносного прискорення і, таким чином, дорівнює величині . В той же час, як видно з рисунка, . З урахуванням цього рівняння (б) набуває вигляду: .

Оскільки , то величина прискорення точки :

.

Питання для самоконтролю

1. Який рух твердого тіла називають плоскопаралельним?

2. Рухом якої фігури повністю визначається плоскопаралельний рух твердого тіла?

3. Запишіть у загальній формі рівняння, які задають плоскопаралельний рух.

4. З яких простих рухів складається плоскопаралельний рух?

5. Яка точка плоскої фігури обирається за полюс і який рух здійснюють інші точки фігури відносно полюса?

6. Покажіть, які рівняння плоскопаралельного руху тіла визначають швидкість полюса, і кутову швидкість тіла.

7. За якою формулою визначається швидкість будь-якої точки тіла, що рухається плоскопаралельно? Поясніть фізичне значення складових, які входять в цю формулу.

8. Швидкості точок А і В плоскої фігури утворюють кути з прямою, що їх з'єднує, рівні відповідно 45⁰ і 15⁰. Яка точка має меншу швидкість?

9. Що називають миттєвим центром швидкостей плоскої фігури (тіла)?

10. Яке з понять: полюс чи МЦШ має більш загальний смисл?

11. Де знаходиться МЦШ тіла, що в даний момент здійснює миттєво-потсупальний рух?

12. За яким законом змінюються лінійні швидкості точок тіла в залежності від їх відстаней до МЦШ?

13. Яка точка колеса, що котиться без ковзання по нерухомій площині, має найбільшу швидкість?

14. Як напрямлена швидкість точки В плоскої фігури відносно прямої АВ, якщо швидкість точки А перпендикулярна до цієї прямої?

15. Визначити швидкість точки В плоскої фігури, якщо швидкість обертання її навколо полюса А векторно дорівнює швидкості точки А.

16. Визначити положення МЦШ плоскої фігури у випадку, коли швидкість точки В в її обертанні навколо полюса А за модулем дорівнює швидкості точки А, але має протилежний напрям.

17. Швидкість точки А плоскої фігури напрямлена вздовж прямої АВ. Визначте швидкість точки В при умові, що швидкість її відносно точки А за модулем дорівнює .

18. Прискорення якої точки тіла, що здійснює плоский рух, можна обчислити за рівняннями його руху?

19. За якою формулою можна визначити прискорення будь-якої точки тіла в плоскопаралельному русі? Поясніть фізичне значення окремих складових, що входять до цієї формули.

20. Чому проекція прискорення довільної точки плоскої фігури на вісь, що проходить через полюс і цю точку, не може бути більшою проекції прискорення полюса на ту ж вісь?

21. Як напрямлено прискорення точки В плоскої фігури, якщо її кутова швидкість стала, а прискорення полюса А напрямлено вздовж прямої АВ?

22. Яку точку плоскої фігури називають миттєвим центром прискорень (МЦП) і чи може МЦП співпвдвти з МЦШ?

23. Визначити напрям прискорення точки В, якщо плоска фігура здійснює миттєво-поступальний рух, а прискорення точки А перпендикулярно до прямої АВ.

24. Як напрямлено і чому дорівнює прискорення точки В плоскої фігури, якщо кутова швидкість є сталою, прискорення точки А перпендикулярне до відрізка АВ, а прискорення за модулем рівне прискоренню ?

25. Знайдіть величину і напрям прискорення точки В плоскої фігури, якщо прискорення точки А відоме і перпендикулярне до відрізка АВ, при таких умовах:

а) , ;

б) , .

26. Що можна сказати про кутову швидкість плоскої фігури, якщо прискорення точки А дорівнює нулю, а прискоренння точки В напрямлене вздовж прямої АВ?

27. Що являє собою картина розподілу прискорень точок плоскої фігури в даний момент часу по відношенню до МЦП в таких випадках:

а)

б)

в)

г)

Размещено на Allbest.ru