2

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Сила, пара сил. Момент сили відносно центра і момент пари сил. Рівновага системи твердих тіл

Силою називається фізична величина, яка є основною мірою механічної взаємодії матеріальних тіл.

Сила - величина векторна. Кожну силу можна характеризувати її величиною або модулем, напрямом у просторі і точкою прикладання.

Основною одиницею вимірювання сили в Міжнародній системі одиниць є 1 ньютон, використовується і більш крупна одиниця 1 кілоньютон. Для статичного вимірювання сили служать відомі з фізики прилади - динамометри.

Силу, як і всі інші векторні величини, будемо позначати літерою з рискою над нею, а модуль сили - символом || або тією ж літерою, але без риски над нею - F. Графічно сила, як і інші вектори, зображається напрямленим відрізком.

Розглянемо силу , прикладену в точці А. Із деякого центра О опустимо перпендикуляр на лінію дії сили; довжину h цього перпендикуляра називають плечем сили відносно центра О.

Момент сили відносно центра визначається:

1) модулем моменту, який дорівнює добутку Fh;

2) положенням у просторі площини ОАВ, що проходить через центр О і силу;

3) напрямом повороту в цій площині.

Із геометрії відомо, що положення площини в просторі визначається напрямом нормалі до цієї площини. Таким чином, момент сили відносно центра є величиною векторною.

Моментом сили відносно центра О називається прикладений у центрі О вектор , модуль якого дорівнює добутку модуля F сили на її плече h і який напрямлений перпендикулярно площині, що проходить через центр О і силу, в той бік, звідки сила бачиться такою, що намагається повернути тіло навколо центра О проти ходу годинникової стрілки.

Згідно цього означення:

.

Формула, що виражає вектор :

або ,

де - радіус-вектор точки А, проведений із центра О.

Таким чином, момент сили відносно центра О дорівнює векторному добутку радіуса-вектора , проведеного із центра О в точку А прикладання сили, на вектор сили.

Парою сил називаються система двох паралельних сил, що мають однакові модулі і протилежні напрями.

Система сил , , що утворюють пару, очевидно, не перебуває в рівновазі. Пара сил не має рівнодійної, оскільки рівнодійна будь-якої системи сил дорівнює її головному вектору , тобто геометричній сумі цих сил, а для пари .

Площина, що проходить через лінії дії пари сил, називається площиною дії пари. Відстань d між лініями дії пари називається плечем пари.

Моментом пари сил називається вектор , модуль якого дорівнює добутку модуля однієї із сил на її плече і який напрямлений перпендикулярно площині дії пари в той бік, звідки пара бачиться такою, що намагається повернути тіло проти ходу годинникової стрілки.

Оскільки плече сили відносно точки А дорівнює d, а площина, що проходить через точку А і силу , збігається з площиною дії пари, то одночасно:

,

тобто момент пари дорівнює моменту однієї із сил відносно точки прикладання іншої сили.

Модуль моменту пари визначається так:

.

Вектор може бути прикладений у будь-якій точці тіла.

Якщо всі сили лежать в одній площині, то їх моменти відносно будь-якого центра О, що знаходиться в тій же площині, перпендикулярні їй, тобто напрямлені вздовж однієї і тієї ж прямої. Тоді напрямки цих моментів можна відрізняти один від одного знаком і розглядати момент сили відносно центра О як алгебраїчну величину. Будемо називати такий момент алгебраїчним і позначати символом .

Алгебраїчний момент сили відносно центра О дорівнює взятому з відповідним знаком добутку модуля сили на її плече, тобто:

.

При цьому момент сили вважається додатним, коли сила намагається повернути тіло навколо центра О проти ходу годинникової стрілки, і від'ємним - за ходом годинникової стрілки.

Оскільки момент пари сил, як ми розглянули дещо вище, дорівнює моменту однієї із її сил відносно точки прикладання іншої, то для пар, що лежать в одній площині, момент пари можна розглядати як алгебраїчну величину і називати алгебраїчним. Умовимось позначати його m.

Тоді, алгебраїчний момент пари дорівнює взятому з відповідним знаком добутку модуля однієї із сил на плече пари:

.

Знак моменту пари визначається аналогічно, як і для моменту сили.

Рівновага системи твердих тіл розглядається так само, як і рівновага одного тіла, якщо при відкиданні зовнішніх в'язей конструкція залишається жорсткою. Якщо ця умова не виконується, то, окрім умов рівноваги всієї конструкції, складають додатково рівняння окремих її частин.

Якщо тіло перебуває під дією довільної плоскої системи сил, то її умови рівноваги запишуться у вигляді:

,

тобто для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб суми проекцій всіх сил на кожну з двох координатних осей і сума їх моментів відносно будь-якого центра, що лежить у площині дії сил, дорівнювали нулю. Одночасно ці рівності виражають умови рівноваги твердого тіла, яке перебуває під дією плоскої системи сил.

2. Умови рівноваги тіл, які перебувають під дією просторової системи сил. Урахування сил тертя

Довільну систему сил, прикладених до абсолютно твердого тіла, можна звести до однієї сили , яка дорівнює головному вектору системи сил і прикладена в центрі зведення О, і однієї пари з моментом , який дорівнює головному моменту системи сил відносно центра О.

Головним вектором системи сил називається величина , що дорівнює геометричній сумі всіх сил системи; головним моментом системи сил відносно центра О називається величина , що дорівнює сумі моментів всіх сил відносно цього центра О:

; .

Звідси необхідні й достатні умови рівноваги будь-якої системи сил виражаються рівностями . Але вектори і дорівнюють нулю тільки тоді, коли і , тобто коли:

Таким чином, для рівноваги довільної просторової системи сил необхідно і достатньо, щоб суми проекцій всіх сил на кожну з трьох координатних осей і алгебраїчні суми їх моментів відносно цих осей дорівнювали нулю. Проекція вектора , тобто моменту сили відносно центра О, на яку-небудь вісь z, що проходить через цей центр, називається моментом сили відносно осі z, тобто

або ,

де - момент сили відносно осі z,

г - кут між вектором і віссю z.

Із означення виходить, що , як проекція вектора на вісь, величина алгебраїчна. Знак визначається так само, як і знак проекції будь-якого вектора, у нашому випадку >0.

Знайдемо ще один вираз для визначення цієї величини. Для цього через довільну точку О₁ осі z проведемо площину, перпендикулярну цій осі, й спроектуємо ?ОАВ на цю площину. Оскільки вектор перпендикулярний площині ОАВ, а вісь z перпендикулярна ДО₁А₁В₁, то кут г, як кут між нормалями до цих площин, буде кутом між цими площинами. Тоді

або .

Отже, момент сили відносно осі z дорівнює алгебраїчному моменту проекції цієї сили на площину, перпендикулярну осі z, взятому відносно точки О₁ перетину осі з цією площиною.

Якщо при розв'язанні задачі необхідно врахувати силу тертя, то до записаних вище рівнянь рівноваги додають рівність:

F_тр=ѓ N,

де ѓ - коефіцієнт тертя ковзання, величина безрозмірна. Він визначається експериментально й залежить від матеріалу тіл, що дотикаються, а також від їх стану; N - сила нормального тиску.

Рис. 1.4. Сила тертя

Сила тертя має напрямок, протилежний рушійній силі . Сила ваги напрямлена вертикально вниз.

3. Плоскопаралельний рух твердого тіла

сила рівновага рух тіло

Плоскопаралельним рухом або плоским рухом твердого тіла називається такий рух, в якому всі його точки переміщаються паралельно деякій нерухомій площині. Такий рух спостерігається в багатьох механізмах і машинах, наприклад, рух шатуна в кривошипно-повзунковому механізмі; рух колеса, яке котиться по прямолінійній ділянці. Обертальний рух тіла можна розглядати частковим випадком плоскопаралельного руху.

Вивчаючи плоскопаралельний рух твердого тіла, достатньо розглянути рух його плоского перерізу. Оскільки положення плоскої фігури на площині визначається положенням двох її точок або положенням відрізка, який з'єднує дві точки цієї фігури, то рух плоскої фігури в її площині можна вважати рухом прямолінійного відрізка АВ у цій площині.

У свою чергу положення відрізка АВ можна визначити через координати х_А, у_А точки А і кутом ц, який він утворює з віссю х. Довільно обрана точка А для визначення положення фігури називається полюсом.

Оскільки координати х_А, у_А і кут ц будуть змінюватись з часом, то для визначення положення тіла в будь-який момент часу треба знати залежності:

х_а=f₁, у_А=f₂, ц=f₃.

Рис. 2.1. Плоскопаралельний рух тіла

Ці рівняння називаються рівняннями плоскопаралельного руху тіла.

Покажемо, що переміщення фігури можна здійснити сукупністю двох переміщень: поступального і обертального. Уявимо, що плоска фігура перемістилася на площині з положення І в положення ІІ.

Спочатку перемістимо фігуру поступально з положення АВ в положення А₁В', тобто так, щоб точка А перемістилась у нове положення А₁, а точка В описала траєкторію, тотожну траєкторії точки А. Потім повернемо фігуру навколо точки А₁ на кут ц₁ так, щоб точка В' збіглася з точкою В₁.

Тепер перемістимо фігуру поступально з положення АВ в положення А'В₁, а потім повернемо її навколо точки В₁ на кут ц₂ так, щоб точка А' збігалась з точкою А₁.

Рис. 2.2. Розкладання плоскопаралельного руху на поступальний та обертальний

Як бачимо, поступальні переміщення фігури різні, а величина кута повороту і напрямок його однакові ц₁ = ц₂.

Отже, плоскопаралельний рух твердого тіла складається з поступального руху разом з довільно обраною точкою, тобто полюсом, і обертального руху навколо нього. При цьому поступальне переміщення залежить від вибору полюса, а обертальна частина руху - не залежить. Поступальна частина плоскопаралельного руху описується першими двома рівняннями, а обертання навколо полюса - третім із цих рівнянь.

Швидкість будь-якої точки М тіла у його плоскопаралельному русі дорівнює геометричній сумі швидкості будь-якої іншої точки А, обраної за полюс, і швидкості точки М в її обертальному русі разом з тілом навколо цього полюса:

.

Величина швидкості обчислюється за формулою:

v_MA=щ·МА.

Напрямок вектора швидкості перпендикулярний відрізку МА.

.

Скориставшись формулами для обертального руху, маємо:

де б - це кут, на який відхиляється вектор прискорення від головної нормалі.

4. Складний рух матеріальної точки

Складним називається рух точки в рухомій системі координат Охуz по відношенню до нерухомої системи O₁x₁y₁z₁.

Наприклад, людина, яка пересувається рухомими сходами ескалатора, здійснює складний рух по відношенню до стін тунелю, який складається з руху людини відносно сходів і руху її разом зі сходами відносно стін тунелю. Практична цінність теорії складного руху полягає в можливості розкласти його, ввівши додаткову рухому систему відліку, на більш прості, що широко використовується в кінематичних розрахунках.

Розглянемо складний рух точки М, що переміщається відносно рухомої системи відліку Охуz, яка в свою чергу рухається відносно іншої системи відліку O₁x₁y₁z₁, обраної нами за нерухому.

1. Рух точки М відносно рухомої системи координат Oxyz називається відносним. У цьому випадку ми умовно зупиняємо рухому систему відліку. Траєкторія АВ, яку описує точка М у відносному русі, називається відносною траєкторією. Швидкість руху при цьому називається відносною швидкістю і позначається , прискорення - відносним прискоренням і позначається

2. Рух рухомої системи відліку Oxyz разом з точкою М відносно нерухомої системи O₁x₁y₁z₁ називається для точки М переносним. Швидкість тієї незмінно зв'язаної з рухомими осями Oxyz точки, з якою в даний момент часу збігається точка М, називається переносною швидкістю точки М у цей момент часу і позначається , а прискорення цієї точки - переносним прискоренням точки М і позначається .

3. Рух точки в рухомій системі координат по відношенню до нерухомої системи O₁x₁y₁z₁ називаються абсолютним або складним. Траєкторія CD цього руху називається абсолютною траєкторією, швидкість - абсолютною швидкістю і позначається , прискорення - абсолютним прискоренням і позначається .

Звернемося до наведеного раніше прикладу. Очевидно, рух людини відносно сходів ескалатора буде відносним, рух сходів з людиною по відношенню до стін тунелю буде для людини переносним, і рух людини по сходах ескалатора відносно стін тунелю буде абсолютним.

Абсолютна швидкість матеріальної точки у складному русі дорівнює геометричній сумі її переносної і відносної швидкостей:

Вектори , і напрямлені по дотичних, проведених до відповідних траєкторій. Побудована фігура на цьому рисунку називається паралелограмом швидкостей.

Абсолютне прискорення точки в складному русі дорівнює геометричній сумі трьох прискорень: відносного, яке характеризує зміну відносної швидкості точки у відносному русі; переносного, яке характеризує зміну переносної швидкості точки в переносному русі, і прискорення Коріоліса, яке характеризує зміну відносної швидкості точки в переносному русі й переносної швидкості точки у відносному русі:

.

Для визначення прискорення Коріоліса використовують формулу:

,

тобто воно дорівнює подвоєному векторному добутку кутової швидкості переносного руху на відносну швидкість точки.

Якщо кут між векторами і позначимо через б, то величина прискорення Коріоліса визначиться за формулою:

а_кор.=2щ_пер. н_від. sinб.

Вектор напрямлений перпендикулярно площині, яка проходить через вектори і у той бік, звідки найкоротше суміщення вектора з вектором відбувається проти ходу годинникової стрілки.

5. Диференціальні рівняння руху матеріальної точки

У кінематиці розглядаються три способи завдання руху точки: векторний, координатний і натуральний. У зв'язку з цим, базуючись на другому законі динаміки, виводяться диференціальні рівняння руху матеріальної точки в трьох формах: векторній, координатній та натуральній.

Рівняння у векторній формі. Із кінематики відомо, що рівняння руху точки у векторній формі має вигляд:

,

де - радіус-вектор, який визначає положення точки в будь-який момент часу.

Прискорення точки дорівнює:

Підставивши це значення у формулу для визначення сили, маємо:

.

Ця рівність називається диференціальним рівнянням руху матеріальної точки у векторній формі. Якщо на точку діє декілька сил, то:

Рівняння в координатній формі. Рух точки в прямокутних декартових координатах задається рівняннями:

Знайдемо рівняння, яке зв'язує координати x, y, z цієї точки і силу, що діє на неї. Ці рівняння дає другий закон динаміки.

Розглянемо матеріальну точку, яка рухається під дією сил по відношенню до інерціальної системи відліку Oxyz. Проектуючи обидві частини рівності на осі x, y, z і враховуючи, що , та , дістаємо:

або позначаючи другі похідні за часом двома штрихами:

Це і є диференціальні рівняння руху точки в прямокутних декартових координатах.

Оскільки діючі сили можуть залежати від часу t, від координат x, y, z і від швидкості, тобто , , , то в загальному випадку права частина кожного рівняння може бути функцією всіх цих змінних одночасно.

Рівняння в натуральній формі. Рух точки в натуральній формі задається її траєкторією та законом руху вздовж цієї траєкторії

s=f,

де s - відстань точки.

Для того щоб дістати диференціальні рівняння в натуральній формі, спроектуємо обидві частини рівності на осі натурального тригранника Mфnb, тобто на дотичну Mф до траєкторії точки, головну нормаль Mn, напрямлену в бік угнутості траєкторії, і бінормаль Mb. Тоді, враховуючи, що

дістаємо:

Ці рівняння, де , а с - радіус кривизни траєкторії, є диференціальними рівняннями руху точки в натуральній формі.

6. Основні теореми динаміки матеріальної точки

Для розв'язання багатьох задач динаміки замість безпосереднього інтегрування диференціальних рівнянь руху видається ефективнішим користуватись загальними теоремами, які є висновками з основного закону динаміки.

Їх значення полягає у тому, що вони встановлюють наочні залежності між відповідними динамічними характеристиками руху тіл. Крім того, застосування теорем позбавляє необхідності інтегрувати і цим самим спрощує процес розв'язання задачі.

Теорема про зміну кількості руху точки. Кількістю руху матеріальної точки називається векторна величина , яка дорівнює добутку маси точки на її швидкість. Цей вектор напрямлений так само, як і швидкість точки, тобто по дотичній до її траєкторії.

Для характеристики дії сили на тіло за деякий проміжок часу вводиться поняття імпульсу сили.

Елементарним імпульсом сили називається векторна величина , яка дорівнює добутку сили на елементарний проміжок часу :

Елементарний імпульс напрямлений вздовж лінії дії сили.

Імпульс будь-якої сили за кінцевий проміжок часу t₁ дорівнює:

.

Отже, імпульс сили за деякий кінцевий проміжок часу t₁ дорівнює визначеному інтегралу від елементарного імпульсу, взятому від нуля до t₁.

Зокрема, якщо - величина стала (= const), то:

Теорема: зміна кількості руху точки за деякий проміжок часу дорівнює сумі імпульсів всіх сил, що діють на точку, за той же проміжок часу:

.

Теорема моментів відносно центра. Моментом кількості руху точки відносно деякого центра О називається векторна величина , яка визначається рівністю:

де - радіус-вектор точки, проведений із центра О.

Момент напрямлений перпендикулярно площині, яка проходить через і центр О, а .

Момент кількості руху точки відносно якої-небудь осі Oz, яка проходить через центр О, буде дорівнювати проекції вектора на цю вісь:

де г - кут між вектором і віссю Oz.

Теорема: похідна за часом від моменту кількості руху точки, взятого відносно якого-небудь нерухомого центра О, дорівнює моменту сили, що діє на точку, відносно того ж центра:

Якщо спроектувати обидві частини останнього рівняння на яку-небудь вісь Oz, яка проходить через центр О, то дістанемо:

Теорема про зміну кінетичної енергії точки. Кінетичною енергією матеріальної точки називається скалярна величина , яка дорівнює половині добутку маси точки на квадрат її швидкості.

Для характеристики дії сили на тіло на деякому його переміщенні вводиться поняття роботи сили. Спочатку дамо означення елементарній роботі.

Елементарною роботою сили , прикладеної в точці M, називається скалярна величина

де F_ф - проекція сили на дотичну Mф до траєкторії точки М, напрямлену в бік переміщення цієї точки; - модуль елементарного переміщення точки М .

Рис. 3.2. Робота сили

Якщо розкласти силу на складові і , то змінювати модуль швидкості буде , оскільки .

Із рис. 3.2 бачимо, що , де б - кут між силою і віссю Mф. Тоді дістанемо, що

.

Робота сили на будь-якому кінцевому переміщенні М₀М₁ обчислюється як границя інтегральної суми відповідних елементарних робіт:

тобто робота сили на будь-якому переміщенні М₀М₁ дорівнює взятому вздовж цього переміщення інтегралу від елементарної роботи.

Якщо сила стала (), то, позначаючи М₀М₁ через s₁, дістанемо:

Теорема: зміна кінетичної енергії точки на деякому її переміщенні дорівнює алгебраїчній сумі робіт всіх сил, що діють на точку, на тому ж переміщенні.

7. Принцип Даламбера. Сила інерції

Для розв'язання задач динаміки користуються диференціальними рівняннями, які виходять із основного закону динаміки. Але це не єдиний шлях. Можна в основу розв'язків покласти загальні положення, які називаються принципами механіки.

Нехай на точку масою m діє система активних сил, рівнодійну яких ми позначимо через , і реакція в'язі . Під дією цих сил точка буде рухатись по відношенню до інерціальної системи відліку з деяким прискоренням .

Введемо величину , яка має розмірність сили. Векторну величину, яка дорівнює за модулем добутку маси точки на її прискорення і напрямлена в бік, протилежний цьому прискоренню, називають силою інерції точки.

Тоді рух точки має таку властивість: якщо в будь-який момент часу до активних сил і реакції в'язі, які діють на точку, приєднати силу інерції, то здобута система буде зрівноваженою, тобто:



Це положення і виражає принцип Даламбера для матеріальної точки.

Це твердження еквівалентне другому закону Ньютона для невільної точки:

.

Розглянемо механічну систему, яка складається із n точок. Нехай точка масою під дією прикладених до неї зовнішніх і внутрішніх сил і рухається по відношенню до інерціальної системи з прискоренням . Позначивши силу інерції , дістанемо:

,

тобто , і утворюють зрівноважену систему сил.

Аналогічні результати будуть для всіх точок системи. Отже, принцип Даламбера для системи: якщо в будь-який момент часу до кожної із точок системи, крім зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на неї, приєднати відповідні сили інерції, то здобута система буде зрівноваженою і до неї можна застосовувати всі рівняння статики.

Із принципа Даламбера можна дістати всі загальні теореми динаміки.

Размещено на Allbest.ru