Теория прочности Кулона-Мора

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Теория Кулона

Кулон полагал, что разрушение материала начинается в точке, в которой наибольшие касательные напряжения достигают некоторого значения, называемого предельным значением прочности данного материала при сдвиге. Максимальное касательное напряжение фмакс, действует в плоскости, нормаль к которой делит угол между у1 и у111 пополам (рис. 1, а). При одноосном сжатии (у1 = у111 = 0), когда у1 = уR (где уR - предельное значение у1 соответствующее разрушению), получается, что площадки сдвига наклонены к у1 под углом в 45°. Однако у большинства материалов этот угол оказывается меньше 45°.

Рис. 1

Навье видоизменил эту теорию, приняв, что сопротивление сдвигу материала при действии нормального давления возрастает на величину, которая составляет некоторую долю f от нормального напряжения по площадке. Если нормальное и касательное напряжения по площадке равны у и ф, то разрушение наступает тогда, когда

ф = с + f у

где с - сопротивление материала сдвигу при у =0.

Из рис. 2, а следует, что при плоском напряженном состоянии

у = Ѕ (у1 + у3) - Ѕ (у1 - у3) cosи;

ф = Ѕ (у1 + у3) sinи

Подставляя эти значения в уравнение Кулона - Навье, получим

Ѕ (у1 + у3) sinи - с + Ѕ ¦(у1 + у3) - Ѕ (у1 - у3) cosи¦ f

Откуда

Ѕ (у1 + у3) (sinи - f cosи) - Ѕ f (у1 + у3) = с

Следовательно, разрушение наступит, когда левая часть будет равна с. Максимальное значение левая часть будет иметь при

sinи + f cosи = max

Беря производную по и и приравнивая ее нулю, получим

cosи - f sinи = 0

откуда

tgи = 1/ f

Следовательно, разрушение наступит в виде сдвига по той площадке, наклон которой отвечает условию этому условию.

2. Теория прочности Мора

Мор принял, что сопротивление материала сдвигу зависит от нормальных напряжений по площадкам сдвига. Чем больше нормальные напряжения, тем больше это сопротивление. Таким образом, величина касательных напряжений, которые могли бы вызвать сдвиг, будет зависеть от нормальных напряжений по площадкам сдвига, что может быть представлено в виде некоторой функции

ф = f(у)

Теория Кулона - Навье является частным случаем теории Мора.

Если построить круги Мора для момента разрушения некоторого материала при различных напряженных состояниях, как показано на рис. 2, в, г, то уравнение огибающей этих кругов и будет представлять собой искомую функцию f(у) для данного материала. Эту огибающую обычно называют предельной кривой Мора. Сам Мор в своей работе указывал, что такая кривая должна быть получена экспериментально для каждого материала.

Как показывают опыты, общий вид этих кривых близок к параболе, ординаты которой фR возрастают с увеличением у, а наклон касательной dфR / dу с увеличением расстояния от начала координат стремится к нулю.

Круги Мора, касающиеся предельной кривой, называются предельными кругами. Мора, а напряженное состояние в точке, характеризуемое предельным кругом Мора, - предельным состоянием. Координаты точки касания дают значения касательного и нормального напряжений в момент разрушения (сдвига) в данной точке, для которой построен круг Мора. С помощью соответствующего весьма простого построения, которое было изложено в разделе, посвященном кругам Мора, можно легко найти наклон площадки сдвига. Предельное состояние в точке характеризуется радиусом предельного круга Мора и положением его центра.

Так как огибающая имеет две ветви (в положительной и отрицательной полуплоскости), то предельный круг Мора касается огибающей в двух точках, и, следовательно, в каждой точке тела имеются две взаимно наклоненные площадки, по которым одновременно достигается предельное состояние, непосредственно предшествующее разрушению.

Условие разрушения ф = f(у) можно заменить в соответствии со сказанным выше эквивалентным условием r =F (у), так как величина радиуса предельного круга Мора r изменяется в зависимости от абсциссы его центра ОС. Радиус круга

r = (у1 - у3)/2

а абсцисса центра

ОС = (у1 + у3)/2

3. Особенности теории прочности Кулона-Мора

Теория прочности Мора имеет две характерные особенности. Первая заключается в том, что абсолютные значения нормального и касательного напряжений по площадке сами по себе не оказывают влияния на прочность, в решающее значение имеет отношение этих напряжений. В самом деле, следует, что ф = у tgp если увеличить пропорционально значения ф и у, как показано пунктиром, то отношение их ф/ у, остается без изменений и будет равно тангенсу угла p (отклонения равнодействующей напряжений р от нормали к площадке). Этот угол p называют углом отклонения. Очевидно, что чем больше этот угол, тем меньше при том же p величина у и больше ф и тем ближе к моменту разрушения будет система. Значение угла p, при которой наступает сдвиг называется предельным углом отклонения и обычно обозначается ц. Вторая особенность теории Мора заключается в следующем: проекция напряжений, нормальных к плоскости чертежа на эту плоскость, равна нулю. Поэтому эти напряжения не оказывают влияния на величины ф и у в рассматриваемой плоскости, а следовательно, и не влияют на их отношение. Если рассматриваемая плоскость является плоскостью главных напряжений, например (у1, у3), то на значения ф и у по площадке сдвига не будет оказывать влияния третье главное напряжение у2, перпендикулярное плоскости чертежа. Легко сообразить, что наибольшее значение угол p имеет тогда, когда рассматривается плоскость действия наибольшего и наименьшего главных напряжений. Следовательно, вторая особенность теории Мора заключается в том, что она по самой своей сути не может учесть влияния на прочность третьего главного напряжения, хотя в формулу энергетической теории прочности это напряжение входит.

Опыты показывают, что для одних материалов можно, действительно, пренебрегать влиянием третьего главного напряжения в силv незначительности этого влияния, тогда как для других это напряжение необходимо учитывать. Положение площадок сдвига. Пользуясь свойствами полюса крута Мора, можно легко найти положение площадок сдвига в разрушающемся теле. Из этого построения отчетливо видно, что угол в между двумя площадками сдвига в данной точке зависит при криволинейной огибающей от напряжений у1, у3, так как при изменении этих напряжений угол о наклона линий MP будет изменяться. У материалов с одинаковым сопротивлением на растяжение и сжатие огибающие кругов Мора превращаются в две параллельные прямые, и углы наклона площадок сдвига к площадкам главных напряжений у1, у3 становятся одинаковыми и равными 45°.

4. Прямолинейные огибающие

Простейшими огибающими предельных кругов Мора являются прямые линии (рис. 3) с уравнением

ф = с + уi tg ц

мор кулон навьи прочность

Рис. 3. Прямолинейные огибающие Мора, при наличии сцепления

Обозначая tg ц через f, мы приходим к условию прочности Кулона - Навье.

Таким образом, материалу, для которого огибающая предельных кругов Мора вырождается в прямую, отвечают как теория прочности Мора, так и теория прочности Кулона - Навье, которые в этом случае совпадают.

Список литературы

1. Ухов С.Б, Семенов В.В., Знаменский В.В. и др. Механика грунтов, основания и фундаменты. - М.: Ассоциация строительных вузов, 2005.

2. Далматов Б.И., Механика грунтов, основания и фундаменты. - Стройиздат, 1988

3. А.И. Догадайло, В.А. Догадайло, Механика грунтов, основания и фундаменты. - М: ИД «Юриспруденция», 2010

Размещено на Allbest.ru