Скорость и ускорение

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАДАЧА Д4

Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m₁ = 18 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих, и груза D массой m₂ = 6 кг. В момент времени t₀ = 0, когда скорость плиты u₀ = 2 м/с, груз под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты. При движении груза по желобу радиуса R= 0,8 м угол =ACD изменяется по закону

.

Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить зависимость и = f₁(t), т. е. скорость плиты как функцию времени.

Рисунок 1 - Исходная схема

Дано: ; R= 0,8 м; m₁ = 18 кг; m₂ = 6 кг; t₀ = 0, u₀ = 2 м/с.

Найти: зависимость и = f₁(t), т. е. скорость плиты как функцию времени.

Решение.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и груза D, в произвольном положении. Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести Р₁, Р₂ и реакции плоскости N₁, N₂. Проведем координатные оси Оху так, чтобы ось х была горизонтальна. Чтобы определить и, воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы Q в проекции на ось х. Так как все действующие на систему внешние силы вертикальны (рис. 2), F_kx = 0 и теорема дает

, откуда Q_x=C₁ (1)

Для рассматриваемой механической системы

,

где Q^п=m₁u_п и Q^D=m₂v_D - количества движения плиты и груза D соответственно (и - скорость тележки, v_D - скорость груза по отношению к осям Оху).

Тогда из равенства (1) следует, что

или m₁u_x+m₂v_Dx=C₁ (2)

Для определения v_Dx рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по отношению к пластине относительным (это движение точки D по желобу), а движение самой пластины - переносным. Тогда

v_Dx=v^пер_D+ v^от_D и v_Dx=v^пер_Dx+v^от_Dx (3)

Но v^пер_D = u и, следовательно, v^пер_Dx=u_x.

Вектор v^от_D направлен перпендикулярно радиусу и численно

v^от_D=R=R=2tR/3.

Изобразив этот вектор на рис. 2 с учетом знака , найдем, что

v^от_Dx =(tR/3)соs= 2tR/3соs

Рисунок 2 - Расчетная схема

Окончательно из равенства (3) получим

v_Dx = u_x + 2tR/3соs (4)

При найденном значении v_Dx равенство (2), если учесть, что и_x = и, примет вид

m₁u + m₂u + 2m₂tR/3соs= C₁ (5)

Постоянную интегрирования C₁ определим по начальным условиям: при t = 0 u = u₀. Подстановка этих величин в уравнение (5) дает

C₁=(m₁ + m₂)u₀

и тогда из (5) получим

Подставив сюда значения соответствующих величин, находим искомую зависимость и от t.

Ответ:

ЗАДАЧА Д5

Однородная горизонтальная платформа (со сторонами R =1,2 м и 2R) массой m₁ = 24 кг вращается с угловой скоростью ₀ = 10 с^-1 вокруг вертикальной оси z, отстоящей от центра масс С платформы на расстоянии ОС=b=R/2.

Рисунок 3 - Исходная схема. Вид сверху

В момент времени t_o = 0 по желобу платформы начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз D массой m₂ = 8 кг по закону s = 0,8t, где s выражено в метрах, t - в секундах. Одновременно на платформы начинает действовать пара сил с моментом М=6t².

Определить, пренебрегая массой вала, зависимость = (t), т. е. угловую скорость платформы, как функцию времени.

Дано: m₁ = 24 кг, m₂ = 10 кг, R = 1,2 м, s = 0,5t², М = 12t², ОС=b=R/2.

Определить: = (t) - закон изменения угловой скорости платформы.

Решение.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из платформы н груза D. Для определения D применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:

(1)

Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести P₁, Р₂ реакции R_E, R_H и вращающий момент М. Так как силы P₁ и Р₂ параллельны оси z, а реакции R_E и R_H эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление против хода часовой стрелки, получим

(2)

и уравнение (1) примет такой вид:

(3)

Для рассматриваемой механической системы

 (4)

и - кинетические моменты платформы и груза D соответственно.

Так как платформа вращается вокруг оси z, то

.

Значение J_z найдем по теореме Гюйгенса:

J_z = J_Cz + m₁(ОС)² = J_Cz + m₁R²/4

J_Cz - момент инерции относительно оси z', параллельной оси z и проходящей через центр тяжести С платформы.

Но, как известно,

J_Cz = m₁(R² + 4 R²)/12

Тогда

J_z = m₁(R² + 4 R²)/12 + m₁R²/4 = 2m₁R²/3

Следовательно,

K_z^п = (2m₁R²/3) (5)

Для определения К_z^D обратимся к рис. 4 и рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по платформе относительным, а вращение самой платформы вокруг оси z переносным движением. Тогда абсолютная скорость груза

v=v_пер+v_от.

Так как груз D движется по закону s = CD = 0,8t, то v_от = ds/dt = 0,8; изображаем вектор v_от на рис. 4 с учетом знака s. Затем, учитывая направление , изображаем вектор v_пер; численно v_пер = OD. OD определим из рисунка:

;

v_пер =

Рисунок 4 - Расчетная схема

Тогда, по теореме Вариньона:

K_z^D = m_z(m₂v) = m_z(m₂v_от)+m_z(m₂v_пер) = Rm₂0,8/2+m₂

Подставляем найденные выражения в формулу (3), получим с учетом данных задачи следующее:

(2m₁R²/3)- Rm₂0,8/2 - m₂= 2t³+C₁ (6)

Постоянную интегрирования определяем по начальным условиям: при t = 0, =₀. Получим C₁ = 145,55. При этом значении C₁ из уравнения (6) находим искомую зависимость от t.

Ответ:

ЗАДАЧА Д6

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R₃ = 0,3 м, г₃=0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения = 0,2 м, блока 4 радиуса R₄ = 0,2 м и катка (или подвижного блока) 5; тело 5 считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4 - равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f = 0,1.

Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с.

Рисунок 5 - Исходная схема

Под действием силы F = f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент M сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Определить скорость блока 2 в момент времени, когда перемещение s станет равным s₁ = 0,2 м.

Все катки, включая и катки, обмотанные нитями.

Дано: m₁ = 0 кг, m₂ = 4 кг, m₃=0 кг, m₄=6 кг, m₅=5 кг, R₃ = 0,3 м, г_з= 0,1 м, R₄ =0,2 м; ₃= 0,2 м, =0,1, с= 300 Н/м, М = 1,5 Нм, F= 60(8 + 5s) H, s₁ = 0,2 м.

Определить: v₂ в момент времени, когда s = s₁.

Решение.

1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 2, 4, 5 и невесомых тел 1, 4, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные F, F_ynp, P₂, Р₄, P₅, реакции N₃, N₄, силы трения F_тр и момент М.

Для определения v₂ воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

T-T₀=A^e_k (1)

2. Определяем Т₀ и Т. Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т₀ = 0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:

T=T₂+T₃+T₅ (2)

Учитывая, что тело 5 движется плоскопараллельно, тело 2 - поступательно, а тело 4 вращается вокруг неподвижной оси, получим:

T₄=0.5J₄²₄; T₂=0.5m₂v²₂; T₅ = 0.5(J₅²₅ + m₅v²_С5) (3)

Все входящие сюда скорости надо выразить через искомую v₂.

₃=v₂/r₃; v₅=v₂ R₃/r₃; v_С5=v₂ R₃/(2r₃); ₅=v₂ R₃/(r₃R₅); ₄=v₂/R₄

Кроме того, входящие в (3) моменты инерции имеют значения

J₄=0.5m₄R²₄; J₅=0.5m₅R²₅ (5)

Подставив все величины (4) и (5) в равенства (3), а затем, используя равенство (2), получим окончательно:

T= v₂²[ 0.5m₂ + 0.25 m₄ + 0.25m₅ (R₃/r₃)² + 0.125m₅(R₃/r₃)²] (6)

3. Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда центр груза 1 пройдет путь s₁.

;

;

; ;

Работы остальных сил равны нулю.

По условиям задачи ₀ = 0. Тогда ₁ = s₅, где s₅ - перемещение блока 5; s₅ = s₅/2 . Величины перемещений и углов поворотов выразим через s₁.

;;

При найденных значениях перемещений и углов поворотов для суммы вычисленных работ получим:

(7)

Подставляя выражения (6) и (7) в уравнение (1) и учитывая, что T₀ = 0, придем к равенству

v₂²[0.5m₂+0.25m₄+0.25m₅ (R₃/r₃)² +0.125m₅(R₃/r₃)²] = (8)

Из равенства (8), подставив в него числовые значения заданных величин, найдем искомую скорость.

Рисунок 6 - Расчетная схема

Ответ: v₂ = 1,9 м/с.

ЗАДАЧА Д10

Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3-6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом М = 12 Нм, приложенной к шкиву 1. Веса шкивов: Р₁= 0 Н, Р₂= 40 Н, Р₃=0 Н, Р₄= 10 Н, Р₅= 20 Н, Р₆= 30 Н. Радиусы ступеней шкива 1 равны: R₁ = 0,2 м, r₂ = 0,1 м, а шкива 2 - R₃ == 0,3 м, r₃ = 0,15 м; их радиусы инерции относительно осей вращения равны соответственно ₁ = 0,1 м и ₂ = 0,2 м.

Рисунок 7 - Исходная схема

Пренебрегая трением, определить ускорение груза, имеющего больший вес, т.е. а₄.

Дано: М = 18 Нм; Р₁= 10 Н, Р₂= 20 Н, Р₃=0 Н, Р₄= 40 Н, Р₅= 0 Н, Р₆= 30 Н; R₁ = 0,2 м, r₁ = 0,1 м; R₂ = 0,3 м, r₂ = 0,15 м; ₁ = 0,1 м; ₂ = 0,2 м.

Определить: ускорение груза 4, пренебрегая трением.

Решение.

1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, 4, 5, 6, соединенных нитями. Система имеет одну степень свободы. Связи, наложенные на эту систему, - идеальные.

Для определения а₄ применим общее уравнение динамики:

, (1)

где - сумма элементарных работ активных сил; - сумма элементарных работ сил инерции.

2. Изображаем на чертеже активные силы Р₁, Р₂, Р₄, Р₆ и пару сил с моментом М. Задавшись направлением ускорения а₄, изображаем на чертеже силы инерции F₂^и, F₄^и, F₆^и и пару сил инерции с моментом М₁^и, величины которых равны:

,

,

,

(2)

Рисунок 8 - Расчетная схема

3. Сообщая системе возможное перемещение и составляя уравнение (1) с учетом (2), получим

(3)

Дано: М = 16 Нм; Р₁= 10 Н, Р₂= 20 Н, Р₃=0 Н, Р₄= 40 Н, Р₅= 0 Н, Р₆= 30 Н; R₁ = 0,2 м, r₁ = 0,1 м; R₂ = 0,3 м, r₂ = 0,15 м; ₁ = 0,1 м; ₂ = 0,2 м.

Входящие сюда ускорения выразим через искомую величину а₃:

,

;

;

Выразим все перемещения через s₄:

;

;

;

(4)

Подставив величины (2) и (4) в уравнение (3), приведем его к вид



Затем, учтя, что s₆ 0, приравняем нулю выражение, стоящее в (5) в квадратных скобках.

Из полученного в результате уравнения найдем

скорость ускорение угловой

Вычисления дают следующий ответ: а₄ = 10,25 м/с².

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Высш. шк., 1995. - 416 с.

2. Теоретическая механика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников машиностроительных, строительных, транспортных, приборостроительных специальностей высших учебных заведений / Под ред. С.М. Тарга - М.: Высш. шк., 1989. - 11 с.

3. Уджуху А.З. Методические указания и варианты заданий к выполнению контрольных работ по теоретической механике. - Майкоп: МГТИ, 1997. - 38 с.

Размещено на Allbest.ru