Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Содержание

1. Простейшие движения твёрдого тела

2. Расчёт на прочность при растяжении и сжатии

3. Ременные и цепные передачи

4. Используемая литература

1. Простейшие движения твёрдого тела

Под абсолютно твердым телом в механике понимается такое тело, взаимное расстояние частей которого остается неизменным. Однако, любое тело конечные размеров считать состоящим из совокупности достаточно малых частиц - элементов, каждый из которых можно считать материальной точкой. Если тело абсолютно твердое, то для полного описания всевозможных его движений достаточно знать характер движения лишь нескольких точек данного тела.

Простейшим движением твердого тела является поступательное движение, при котором тело перемещается параллельно самому себе (рис. 2.1).

Поступательным движением твердого тела называют такое его движение, при котором каждая линия, соединяющая две любые точки тела, сохраняет неизменное направление в пространстве. Например, вагон, движущийся по прямому участку пути; кабина колеса обозрения и др.

Исходя из определения поступательного движения все точки твердого тела обладают одинаковыми скоростями в любой момент времени, приращения векторов перемещений для всех точек одинаковы для одного и того же промежутка времени. Это обстоятельство позволяет свести изучение поступательного движения к задаче кинематики точки.

Вращательным движением называется такое движение, при котором траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями, центры которых лежат на одной неподвижной прямой, называемой осью вращения.

Любое сложное движение твердого тела состоит из простых движений: поступательного и вращательного.

Вращение вокруг неподвижной оси

Пусть твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной в данной системе отсчета оси совершило за время бесконечно малый поворот (рис. 2.2). Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором , модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью , причем так, что направление поворота отвечает правилу правого винта (буравчика) по отношению к направлению вектора .

Теперь найдем элементарное перемещение любой точки твердого тела при таком повороте. Положение точки зададим радиус-вектором , проведенным из некоторой точки на оси вращения. Тогда линейное перемещение конца радиус-вектора (рис. 2.2) связано с углом поворота соотношением или в векторном виде

. (2.1)

Отметим, что это равенство справедливо лишь для бесконечно малого поворота .

Кроме того, введенный нами вектор удовлетворяет основному свойству векторов - векторному сложению (это можно доказать).

Заметим, что при рассмотрении таких величин как радиус-вектор , скорость , ускорение , не возникал вопрос о выборе их направления: оно вытекало естественным образом из природы самих величин. Подобные векторы называют полярными. В отличие от них векторы типа , направление которых связывают с направлением вращения, называют аксиальными, или псевдовекторами.

Введем векторы угловой скорости и углового ускорения.

Вектор угловой скорости определяют как

, (2.2)

где - промежуток времени, за который тело совершает поворот . Вектор совпадает по направлению с вектором и представляет собой аксиальный вектор.

Изменение вектора со временем характеризуют вектором углового ускорения , который определяют как

. (2.3)

Направление вектора совпадает с направлением - приращения вектора . Вектор , как и , является аксиальным.

Единицей угловой скорости в «СИ» является радиан в секунду (с^-1), а единицей углового ускорения - радиан на секунду в квадрате (с^-2).

В проекциях на ось вращения , положительное направление которого свяжем с положительным направлением отсчета координаты - угла поворота - правилом правого винта (рис. 2.3).

Тогда проекции и векторов и определятся формулами

(2.4)

Здесь и - величины алгебраические. Их знак характеризует направление соответствующего вектора. Например, если , то направление вектора совпадает с положительным направлением оси ; если же , то направление вектора противоположно. Аналогично и для углового ускорения.

Решение всех задач на вращение твердого тела вокруг неподвижной оси аналогично по форме задачам на прямолинейное движение точки.

Достаточно заменить линейные величины , , на соответствующие угловые , , и мы получим все закономерности и соотношения для вращательного движения тела.

Например, простейшие случаи вращения материальной точки вокруг неподвижной оси:

а) равномерное вращение

; ; ; ;

; , при ; ; .

; .

Если движение происходит по окружности, то время, за которое происходит один оборот, то есть , называют периодом ; .

б) равнопеременное вращение

; ; ; ,

при ; ; ; ;

; ;

; при ; ; .

.

Связь между линейными и угловыми величинами

Найдем скорость производной точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью . Пусть положение точки относительно некоторой точки оси вращение характеризуется радиус-вектором (рис. 2.4.).

Записав

(2. 5)

и поделив ее на соответствующий промежуток времени , получим

; , то

, (2.6)

то есть скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси с угловой скоростью , равна векторному произведению на радиус-вектор точки относительно произвольной точки оси вращения.

Модуль вектора

,

где - радиус окружности, по которой движется точка .

Продифференцировав (2.6) по времени, найдем полное ускорение точки :

. (2.7)

В данном случае (ось вращения неподвижна) , поэтому вектор представляет собой тангенциальное ускорение . Вектор же - нормальное . Модули этих ускорений

Отсюда модуль полного ускорения

. (2.8)

2. Расчёт на прочность при растяжении и сжатии

Распределение напряжений при растяжении

Как уже отмечалось, деформация растяжения появляется в том случае, если внешние силы направлены вдоль оси бруса по одной прямой, но в разные стороны. Если представить себе в таком брусе воображаемые продольные волокна материала, то очевидно, что все они удлинятся, причем удлинения всех волокон будут одинаковы. Иначе говоря, материал в любой точке поперечного сечения будет деформироваться одинаково, следовательно, и силы упругости во всех точках сечения также будут одинаковы. Но это означает, что во всех точках будут и одинаковые напряжения. При таком равномерном распределении по сечению внутренних сил действительные нормальные напряжения при растяжении

ар = N/S,

где N -- равнодействующая внутренних сил (продольная сила); S -- площадь поперечного сечения бруса.

Зависимость между напряжением и относительным удлинением. Абсолютное удлинение

Опытным путем установлено, что в некоторых пределах нагружения при упругих деформациях напряжение растяжения ар, оказывается прямо пропорциональным относительному удлинению е, которое является отношением абсолютного удлинения (прироста длины) dl бруса к его первоначальной длине l, т. е.

e = dl/l.

Относительное удлинение является или безразмерным параметром, или выражается в процентах. Если коэффициент пропорциональности между напряжением и относительным удлинением обозначить буквой Е, то ар -- Ее. Эта зависимость была впервые установлена английским ученым Гуком и называется законом Гука. Физический смысл коэффициента пропорциональности легко установить, если сделать допущение, что dl = l, т. е. e = 1. В этом случае Е = ар и можно сказать, что коэффициент Е -- это такое напряжение растяжения, которое возникает в материале, если брус удлиняется на величину, равную своей первоначальной длине. Надо отметить, что хотя почти все материалы разрушаются гораздо раньше, чем напряжение достигает числовой величины Е, тем не менее, это напряжение отображает действительные свойства материала, его способность сопротивляться упругой деформации растяжения. Коэффициент пропорциональности Е, называемый модулем упругости при растяжении, или модулем продольной упругости, для различных материалов различен.

Для практических расчетов удобнее другое математическое выражение закона Гука, позволяющее определять величину абсолютной деформации бруса под нагрузкой. Получить его несложно, если учесть, что

аp=N/S и e = dl/l.

Тогда N/S = Еdl/l, откуда

dl = Nl/(ES).

механика твердое тело сжатие

Следовательно, абсолютное удлинение, полученное брусом, прямо пропорционально продольной силе и длине бруса и обратно пропорционально площади поперечного сечения и модулю упругости.

Сжатие и смятие

Внешние силы, деформирующие брус при сжатии, так же, как и при растяжении, направлены вдоль оси бруса в противоположные стороны, только при растяжении они направлены «от тела», а при сжатии -- «к телу». Внутренние силы упругости при сжатии распределяются по сечению также равномерно, так как материал во всех точках поперечного сечения подвергается одинаковой деформации. Следовательно, действительные напряжения при сжатии рассчитываются аналогично их расчету при растяжении, т. е.

ас = N/S.

Математические выражения закона Гука, полностью применимого для сжатия, аналогичны рассмотренным для растяжения.

Особенностью деформации сжатия является то, что она может сопровождаться деформацией смятия. Напряжение смятия возникает на опорной поверхности а--b контактирующих тел, если одно из них нажимает на другое. Именно в этом основное отличие смятия от сжатия: сжатие происходит во внутренних сечениях материала, а смятие -- на его поверхности. Возникающие при смятии нормальные напряжения во всех точках опорной поверхности одинаковы, поэтому действительные напряжения смятия

асм = F/S,

где F -- равнодействующая внешних сил, приложенных к опорной поверхности контактирующих тел; S -- площадь опорной поверхности контакта тел.

Расчеты на прочность при растяжении, сжатии и смятии

При проверочном расчете, как мы отмечали, надо определить действительные напряжения и сравнить их с допускаемыми. Прочность будет обеспечена, если действительные напряжения не превысят допускаемых. Математически это записывается так:

* при растяжении ар = N/S<=[ар];

* при сжатии ас = N/S<=[<aс];

* при смятии асм = F/S<=[асм].

При проектном расчете требуется определить размеры поперечного сечения детали. В этом случае расчет ведется в предположении, что действительные напряжения будут равны (или несколько меньше) допускаемых. Следовательно:

* при растяжении S>=N/[ар];

* при сжатии S>=N/[ac];

* при смятии S>=F/[acм].

3. Ременные и цепные передачи

Ременная передача. Ременную передачу широко применяют для передачи движения между удаленными друг от друга валами. Она осуществляется посредством шкивов, закрепленных на валах, и надетых на эти шкивы одного плоского либо одного или нескольких клиновых ремней (рис. 1, а, б, в, г). Первая называется плоскоременной, вторая -- клиноременной передачей.

По сравнению с зубчатой ременная передача имеет ряд преимуществ и недостатков.

Преимуществами являются возможность осуществлять передачу на значительные расстояния, эластичность привода, смягчающая колебания и нагрузки и предохраняющая от значительных перегрузок (за счет проскальзывания), плавность хода и бесшумность работы.

К недостаткам относятся меньшая компактность, непостоянство передаточного отношения (из-за скольжения ремня на шкивах), большое давление на валы и подшипники, немного меньший коэффициент полезного действия.

Плоские ремни изготовляют из кожи, хлопчатобумажных и прорезиненных тканей. Для создания замкнутой гибкой связи их сшивают. Клиновые ремни изготовляют замкнутыми -- цельными определенной длины. Эти ремни обеспечивают хороший контакт со шкивом в желобе и плавную безударную передачу.

Передача усилий обеспечивается только при нормально натянутых ремнях, для этого ремни периодически перешивают или устанавливают специальные устройства, автоматически регулирующие натяжение.

Плоскоременная передача бывает открытая (см. рис. 1, в), направление вращения ведомого вала при которой совпадает с направлением вращения ведущего вала, и перекрестная (см. рис. 1, г), изменяющая направление вращения ведомого вала на обратное. На продольно-строгальных станках некоторых типов применяют два вида ременной передачи -- открытую и перекрестную ременные передачи.

Рис. 1. Схемы ременной передачи: а -- плоским ремнем, б -- клиновым ремнем, в -- открытая, г -- перекрестная

Окружные скорости ведомого и ведущего шкивов имеют одинаковые скорости. Окружные скорости в м/мин ведущего d1 и ведомого d2 шкивов рассчитывают по формулам:

где v1 -- окружная скорость ведомого шкива, м/мин; n2-- число оборотов в минуту ведомого шкива; n1 -- число оборотов в минуту ведущего шкива; d1 -- диаметр ведущего шкива, мм; d2 -- диаметр ведомого шкива, мм; 1000 -- число для перевода миллиметров в метры; е -- коэффициент скольжения (равен 0,01--0,02).

Передаточное отношение между ведущими и ведомым шкивами выражается формулой i = d1/d2;

с учетом проскальзывания ремня эта формула будет иметь вид:

Мощность на ведомом валу определяют по формуле N2 = N1 з квт,

где N2 -- мощность на ведомом валу, квт; N1 -- мощность на ведущем валу, квт; з -- к. п. д. ременной передачи, учитывающей силовые (трение) и скоростные (скольжение) потери (равен 0,97). Крутящий момент определяют по формуле

Цепная передача. Цепи так же, как и ремни, применяют для передач между валами, удаленными друг от друга.

Для цепных передач станков применяют цепи двух конструкций: втулочно-роликовые (рис. 2, а) и бесшумные (рис. 2, б).

Вторые применяют для передач больших крутящих моментов. Цепная передача состоит из двух звездочек и цепи. Зубья звездочки исключают проскальзывание цепи, и передаточное отношение, как и зубчатой передачи, будет выражаться формулой

i = z1 / z2 ,

где z1 -- число зубьев ведущей звездочки; z2 -- число зубьев ведомой звездочки.

Рис. 2. Устройство цепных передач: а -- втулочно-роликовой: 1 -- щека, 2 -- ось, 3 -- ролик; б -- бесшумной цепи с вкладышами

4. Используемая литература

1. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1, 2. М.: Наука, 1972.

2. Бондарь В. Д. Лекции по теоретической механике. Новосибирск: НГУ, 1972; 1974. Ч. 1 - 3.

3. Информация с сайта http://delta-grup.ru/bibliot/

4. Детали машин: Учебник для студентов машиностроительных и механических специальностей вузов. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1989