Эффект влияния границы на распределение для задач теории упругости и электроупругости

Эффект влияния границы на распределение кин для задач теории упругости и электроупругости в

Л.А. Фильштинский, проф.;

Ю.Д. Ковалев, ст.преп.;

В.М. Олейник, ст.преп.

Для выявления эффекта влияния границы на распределение коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) в вершинах трещины для задач теории упругости и электроупругости, рассмотрим кососимметричную задачу теории упругости для полуслоя с трещиной и симметричную задачу электроупругости для полуслоя с трещиной.

Указанные краевые задачи были рассмотрены на базе единого подхода, основанного на использовании для описания механических и электрических величин, однородных решений А.И. Лурье [2, 3, 4].

Постановку краевой задачи для полуслоя с трещиной рассмотрим на примере симметричной задачи электроупругости. (Постановка краевой задачи теории упругости для полуслоя с трещиной осуществляется аналогично).

Рассмотрим пьезокерамический полуслой,

содержащий внутреннюю сквозную трещину. Будем предполагать, что на берегах трещины действует поверхностная нагрузка

Допустим, что кривизны дуг и функции , удовлетворяют условию Гельдера на [5] и, кроме того, разлагается в ряд Фурье по координате на . На основаниях полуслоя выполняются следующие условия:

(1.1)

где - механические напряжения, а - электрический потенциал.

На границе полуслоя зададим граничные условия в виде:

(1.2)

где - составляющая электрической индукции.

Краевые условия на берегах разреза зададим в виде:

(1.3)

где - касательная составляющая вектора электрической напряженности, - нормальная составляющая вектора электрической индукции.

Интегральные представления входящих в однородные решения разрешающих функций, должны обеспечивать существование скачков перемещений, непрерывность вектора механических напряжений, а также непрерывность касательной составляющей вектора напряженности электрического поля и нормальной составляющей вектора электрической индукции. при переходе через разрез

.

Эти представления должны удовлетворять граничным условиям (1.2) и затуханию перемещений, напряжений, электрической напряженности и индукции на бесконечности.

Запишем представления искомых функций в виде:

(1.4)

Величины с индексом “1” соответствуют основному источнику [1, 6], а эти же величины с индексом “2” - отраженному.

Структуры представлений, содержащие отраженный источник, имеют вид [7].

Удовлетворяя граничным условиям (1.3) с учетом (1.4), и раскладывая найденные выражения в ряды Фурье, приходим к бесконечной системе сингулярных интегродифференциальных уравнений, по структуре совпадающих с аналогичными уравнениями для слоя [1, 6].

Коэффициенты интенсивности напряжений находятся по формулам:

(1.5)

Здесь - нормальные и касательные составляющие напряжений, а также нормальная составляющая вектора электрической индукции на продолжении за вершину трещины.

В качестве примера рассмотрим:

а) пьезокерамический полуслой (материал PZT-4), ослабленный сквозным криволинейным разрезом под действием внутреннего давления .

б) изотропный полуслой , ослабленный сквозным криволинейным разрезом под действием нагрузки

.

Параметризацию контура в обоих случаях зададим в виде:

(1.6)

На рис.1 приведены эпюры распределения относительного КИН

по “толщинной” координате в зависимости от расстояния до границы полуслоя при

Кривые 1, 2, 3 построены для

соответственно.

На рис.2 приведены эпюры распределения относительного КИН вдоль “толщинной” координаты. Кривые 1, 2 построены для прямой трещины

при и

соответственно ( - длина трещины). 2Штрихами приведена кривая при .

Численная реализация построенных алгоритмов позволяет сделать вывод, что влияние границы полуслоя не сказывается на КИН при

.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Григолюк Э.И., Ковалев Ю.Д., Фильштинский Л.А. Изгиб слоя, ослабленного сквозными туннельными разрезами // Докл. АН СССР. - 1991. - 317, №1. - С. 31-53.

2. Жиров В.Е. Электроупругое равновесие пьезокерамической плиты // Прикл. математика и механика. - 1977. - 41, №6. - С. 1114-1121.

3. Жиров В.Е.., Устинов Ю.А. Некоторые задачи теории плит из электроупругого материала // Тепловые напряжения в элементах конструкций. - 1977. Вып. 17. - С. 62-67.

4. Лурье А.И. К теории толстых плит // Прикл. математика и механика. - 1942. - 6, №213. - С. 151-169.

5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Гос. из-во физ.-мат. литературы, 1954. - 599с.

6. Фильштинский Л.А., Олейник В.М. Краевая задача электроупругости для слоя с туннельными сквозными разрезами // Прикл. механика. - 1991. - 27, №12. - С. 21-26.

7. Фильштинский Л.А., Хворост В.А., Ковалев Ю.Д. Пространственная кососимметричная задача теории упругости для полуслоя, ослабленного сквозными туннельными разрезами / СГУ. - Сумы, 1995. - 9с. - Деп. в ГНТБ Украины 25.01.95, №208. - Ук95.