Течение нелинейно-вязкой жидкости по вращающейся криволинейной поверхности

ВолгГТУ; НПЦ ОАО «Каустик»

ТЕЧЕНИЕ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Е.А. Смирнов, асп.;

Г.В. Рябчук, д-р.техн.наук, проф.;

А.С.Прокопенко, мл.научн.сотр.

Течение жидкости по вращающимся вокруг вертикальной оси криволинейным поверхностям находят широкое применение в различных устройствах для транспортирования жидкостей и газов.

Для получения уточненных гидродинамических параметров процесса течения необходим анализ полных уравнений реодинамики. В настоящее время известны два решения полных уравнений: это решение Кармана для вязкой жидкости и Мички и Ульбрехта - для «степенной» жидкости. Однако в этих задачах рассматривался полубесконечный объем жидкости над вращающейся поверхностью, в то время как во многих случаях реализуется течение со свободной границей. Поэтому задача определения гидродинамических параметров процесса течения жидкости по вращающейся криволинейной поверхности на основе анализа полных уравнений реодинамики является актуальной задачей.

Течение жидкости по внутренней поверхности проницаемой криволинейной насадки будем рассматривать в ортогональной криволинейной системе координат l, z, . Ось l совпадает с образующей криволинейной поверхности, а ось z направлена по нормали к этой образующей.

В качестве третьей координаты вводится угол , составляемый фиксированной (нулевой) плоскостью и плоскостью, проходящей через произвольную точку и ось симметрии (рис. 1).

Рисунок 1 - Ортогональная криволинейная система координат

Коэффициенты Ляме для выбранной системы координат имеют вид

, , , .(1)

При рассмотрении процесса течения жидкости по внутренней поверхности проницаемой криволинейной насадки полагаем, что течение ламинарное, установившееся, безволновое и осесимметричное. Силами тяжести, поверхностного натяжения и трения пленки жидкости о воздух можно пренебречь.

В качестве нелинейно-вязкой жидкости рассмотрим «степенную» жидкость Оствальда-де Виля, реологическое уравнение состояния которой описывается зависимостью

.(2)

Компоненты девиатора тензора напряжений в выбранной системе координат запишутся в виде:

, ,,

,,.(3)

Интенсивность скоростей деформаций

(4)

Уравнения движения и неразрывности в выбранной системе координат в компонентах скоростей запишутся в виде:

(5)

(6)

(7)

(8)

Из физической картины течения рассматриваемой жидкости по внутренней поверхности криволинейной насадки получаем следующие граничные условия:

при z=0 , , ;

при z=h , , . (9)

Условие, обеспечивающее равномерность «отсоса» принимает вид

.(10)

Решение системы уравнений будем искать так:

(11)

Для определения неизвестной толщины пленки воспользуемся интегральным уравнением неразрывности

,(12)

где -автомодельная переменная; U₀-характерная скорость течения; f`-квазифункция тока; , G, F-соответственно безразмерные тангенциальная и осевая компоненты скорости, давление; а-коэффициент проницаемости; L-длина образующей поверхности, смачиваемая жидкостью.

Подставляя вид решения (11) в систему (5-8), получим:

(13)

(14)

(15)

(16)

Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений решалась численным методом Рунге-Кутта четвертого порядка с использованием процедуры редукции к задаче Коши методом Ньютона. В качестве криволинейной поверхности рассматривалась часть сферы произвольного радиуса. Некоторые результаты решения изображены на графиках (рис. 2-4).

Рисунок 2 - Распределение безразмерной меридиональной скорости по толщине пленки для сферической поверхности в зависимости от индекса течения: 1 - n=0,8; 2 - n=0,9; 3 - n=1; 4 - n=1,1

Рисунок 3 - Распределение безразмерного давления по толщине пленки для сферической поверхности в зависимости от индекса течения: 1 - n=0,8; 2 - n=0,9; 3 - n=1; 4 - n=1,1

Рисунок 4 - Распределение безразмерной толщины пленки от безразмерной меридиональной координаты для сферической поверхности в зависимости от индекса течения:1 - n=0,8; 2 - n=1; 3 - n=1,1

По результатам численного интегрирования полных уравнений реодинамики могут быть определены основные гидродинамические параметры процесса течения жидкости по вращающейся криволинейной поверхности.