Розрахункові алгоритми динамічних і тепломасопереносних процесів у ближній зоні викиду забруднюючих речовин у відкритий потік

Національний транспортний університет

РОЗРАХУНКОВІ АЛГОРИТМИ ДИНАМІЧНИХ І ТЕПЛОМАСОПЕРЕНОСНИХ ПРОЦЕСІВ У БЛИЖНІЙ ЗОНІ ВИКИДУ ЗАБРУДНЮЮЧИХ РЕЧОВИН У ВІДКРИТИЙ ПОТІК

Л.П. Бондаренко, асп.

У більшості практичних випадків витічна струмина води, нагріта або забруднена іншим способом, взаємодіє з вільною поверхнею або жорсткими межами водної маси, в яку витікає. У випадку викиду в майже нерухоме середовище турбулентність створюється і визначається витічною струминою. Якщо ж викид відбувається в рухоме середовище, наприклад у річку або прибережні води з приливними течіями, то середовище вже турбулізоване внаслідок генерації турбулентності в придонній області основної течії. В областях, віддалених від джерела викиду, ця турбулентність домінує над турбулентністю, створеною викидом, і визначає поширення забруднюючих речовин. Поблизу джерела викиду важлива і придонна, і струменна турбулентність, які взаємодіють між собою. Саме тому дослідження поведінки струмини поблизу джерела викиду є досить складною задачею гідродинаміки [1].

Для дослідження струминних течій традиційно використовуються три підходи: експериментальний, аналітичний і числовий. Чисто емпіричний і чисто аналітичний підходи не можуть через свою обмеженість задовольнити запити практики гідротехнічного будівництва, що стрімко розвивається. Тому при дослідженні турбулентних течій останнім часом відчутно проявляється тенденція до все більшого застосування числового підходу, який відкриває нові можливості в області дослідження складних фізичних процесів і обумовлює підвищення рівня складності розв'язуваних в області обчислювальної гідродинаміки задач, пов'язаних насамперед з урахуванням таких факторів, як тривимірність, нестаціонарність, турбулентність течій, а також криволінійність границь областей їх поширення.

Основою для дослідження процесів перенесення в турбулентних струменях є система тривимірних нестаціонарних диференціальних рівнянь Рейнольдса, до якої входять рівняння нерозривності, руху, турбулентної дифузії або турбулентної теплопровідності та рівняння стану, замкнуті за допомогою деякої моделі турбулентності. Математична постановка і числова реалізація тривимірної моделі є досить складною задачею, насамперед через нелінійність модельних рівнянь і складність характеру природних водотоків. Тому на практиці широкого поширення набули більш прості нуль- , одно- і двовимірні моделі, отримані шляхом спрощення вихідної тривимірної системи рівнянь. Розробленню та реалізації нульвимірних моделей присвячені роботи Г.В. Востержела, Харлемана; одновимірних - В.І. Квона, С.А. Китайгородського, А.Н. Суходолова, А.І. Фельзенбаума, К.І. Росинського, М.А. Назарова, В.М. Демидова, В.А. Фролова, Харлемана, Даке, Мелора; двовимірних - Є.В. Бруяцького, О.Ф. Васильєва, В.І. Квона, І.І. Макарова, В.В. Пуклакова, В.М. Белолипецького, Роді, Лаудера, Сполдінга, Морса, Хосейна, Вілкінсона, Вуда та інших.

У деяких випадках перехід від тривимірної до більш простих нуль-, одно- і двовимірних моделей є правомірним і дає змогу отримати необхідний обсяг інформації для розв'язання певних інженерних задач. Проте при розв'язуванні деяких прикладних задач, зокрема при дослідженні нестаціонарних процесів поблизу джерела викиду забруднюючих речовин у відкритий потік, таке спрощення не є правомірним, оскільки течія в досліджуваній області має строго тривимірний характер.

У роботах О.Ф. Васильєва, В.І. Квона, С.А. Іваненка, П.П. Корявова, О.М. Мілітеєва, Мак-Гірка, Сполдінга, Роді, Патанкара запропоновані і реалізовані деякі тривимірні математичні моделі для розрахунку гідротермічних процесів, що відбуваються у водоймищах-охолоджувачах. Розрахунки виконані на основі спрощених моделей, замкнутих за допомогою найпростіших моделей турбулентності, а саме у припущенні про сталість коефіцієнтів турбулентної в'язкості і турбулентної дифузії. Введення понять однорідної та ізотропної турбулентності як окремого випадку турбулентних течій значно спрощує математичний аналіз рівнянь турбулентного руху, проте така модель не може адекватно описати реальні турбулентні течії, зокрема викиди забруднених струмин у відкриті потоки.

Враховуючи вищеперелічені факти, в роботах [2,3] була побудована тривимірна математична модель поширення забруднюючих речовин у відкритих потоках, зокрема поблизу джерела викиду, з урахуванням впливу архімедових сил, анізотропного стану турбулентності, нестаціонарного характеру течії в досліджуваній області, що знайшла відображення в такій системі диференціальних рівнянь:

(1)

(2)

(3)

, , ,

, , , ,

, ,(4)

 ,(5)

де , - осереднені та пульсаційні складові швидкості; - скалярна субстанція (температура, концентрація домішки); - додаткове джерело утворення субстанції; - коефіцієнт молекулярної дифузії.

При розробленні математичної моделі (1)-(5) рух струмина розглядався у рамках руху середовища зі змінною масою. Дифузія в повздовжньому напрямку - єдиний фізичний процес, який виключався з розгляду, а відповідні члени в рівняннях Рейнольдса були опущені. Не зважаючи на те, що отримана система диференціальних рівнянь (1)-(5) є параболізованою, еліптичний характер течії в повздовжньому напрямку врахований за допомогою апроксимації тиску за Госманом і Сполдінгом [4], згідно з якою статичний тиск у струмині подається у вигляді суми і р. Складова тиску визначається лише з рівняння руху (1) по координаті ,а складова тиску р змінюється в поперечному перерізі струмини. Фізичне обґрунтування такої процедури розкладу тиску полягає в тому, що зміни тиску в поперечному напрямку струмини настільки малі, що внесення їх у рівняння руху в повздовжньому напрямку дає малий результат.

Для замикання математичної моделі (1)-(5) використовуються:

модифікована - модель турбулентності:

,(6)

,(7)

- алгебраїчна модель перенесення рейнольдсових напруг і турбулентних потоків скалярної величини:

, (8)

, (9)

, ,(10)

,(11)

.(12)

Коефіцієнти турбулентної в'язкості і турбулентної дифузії виражаються у вигляді

, .(13)

Для адекватного опису характеристик осередненої течії і характеристик турбулентності невідома величина визначається як функція генерації/дисипації [5]:

.(14)

Очевидна неможливість аналітичного розв'язання системи (1)-(14) визначає мету даної роботи - побудову ефективного алгоритму реалізації побудованої системи рівнянь для розрахунку невідомих параметрів потоку, що перебувають під впливом промислових стічних вод.

Як показує аналіз літературних джерел [4,6], побудова будь-якого розрахункового алгоритму передбачає 3 етапи:

1 Введення і обробку початкових даних.

2 Розрахунок невідомих параметрів потоку.

3 Виведення і графічну обробку результатів розрахунку.

На першому етапі побудови розрахункового алгоритму вводяться початкові дані в момент часу . Виділяється два типи початкових даних: константи моделі, незалежні від специфіки задачі [2,3], і змінні параметри, залежні від умов викиду і режиму річкового потоку. До змінних параметрів відносять: компоненти швидкості, концентрацію (температуру) забруднюючих речовин, характерні лінійні розміри, витрати як струмини, так і річкового потоку.

Невідомі значення кінетичної енергії потоку , швидкості її дисипації , тензора рейнольдсових напруг , тензора потоків скалярної величини , пульсації скалярної величини , величини , числа Річардсона та коефіцієнтів турбулентної в'язкості і турбулентної дифузії при розраховуються так:

, ,(15)

(16)

(17)

,(18)

 ,,(19)

, .(20)

На наступному етапі проводиться розрахунок невідомих параметрів потоку на всіх часових шарах. Глобальна процедура розв'язання рівнянь (1)-(14) потребує розв'язання еліптичних рівнянь в кожному поперечному перерізі, в повздовжньому ж напрямку розв'язок можна отримати, використовуючи параболічну процедуру.

Для адекватного розв'язання наведеної математичної моделі (1)-(13) пропонується модифікований SIMPLE - подібний метод, розроблений на основі методу Патанкара і Сполдінга [7] для розв'язання тривимірних параболізованих рівнянь. Стратегія розрахунку на фіксованому часовому шарі така:

1 Використовуючи прийнятий розподіл тиску, з дискретних аналогів рівнянь (1)-(4) знаходяться попередні значення невідомих компонент швидкості , скалярної величини Ф, кінетичної енергії потоку , швидкості її дисипації в поперечному перерізі . Для цього рекомендується скористатися явним методом Мак-Кормака типу предиктор-коректор для реалізації багатовимірних задач.

2 Попередні значення в площині поперечного перерізу можуть не задовольняти рівняння нерозривності. У цьому випадку необхідно розрахувати дисбаланс маси в кожній точці сітки , використовуючи рівняння нерозривності для попередніх значень . Далі необхідно підкорегувати поле тиску в поперечному перерізі таким чином, щоб усунути дисбаланс маси в кожній точці сітки.

Для цього рекомендується скористатися рівнянням нерозривності в такому вигляді:

,(21)

де - попередні значення компонент швидкості; - їх скореговані значення.

У рівнянні (21) градієнт густини і похідні від попередніх значень швидкостей відомі в момент знаходження поправок . Тому доцільно об'єднати їх у джереловий член , а потенціал визначити як .

У цьому випадку рівняння (21) набуває вигляду

.(22)

Шукані поправки обчислюються згідно з розподілом , одержаним з розв'язку рівняння Пуассона (22) в поперечному перерізі, розв'язати яке можна, наприклад, ітераційним методом Гауса-Зейделя.

3 На наступному кроці обновляється значення тиску. На цьому етапі необхідно підкорегувати поле тиску в поперечному перерізі, яке при використанні повних рівнянь руху буде породжувати розподіл швидкостей, отриманих у попередньому пункті. Рекомендується скористатися скорегованими значеннями швидкостей в дискретизованих рівняннях руху для отримання градієнтів тиску, узгоджених з новими значеннями швидкостей. Тобто

.(23)

4 Оскільки не вдається задовольнити одночасно рівняння руху і рівняння нерозривності, то кроки 2 - 3 повторюються з ітеруванням у кожному поперечному перерізі.

5 Після досягнення збіжності розв'язку кроки 1 - 4 повторюються в наступному перерізі. Граничною умовою виходу з циклу і переходу на наступний часовий шар є умова .

Для переходу на наступний часовий шар необхідно розрахувати невідомі значення тензора рейнольдсових напруг, тензора потоків скалярної величини, пульсації скалярної величини, густини, числа Річардсона та коефіцієнтів турбулентної в'язкості і турбулентної дифузії на шарі , наприклад, методом Гауса-Зейделя.

Наведені в роботі розрахункові алгоритми дають можливість досліджувати складні динамічні і тепломасопереносні нестаціонарні процеси безпосередньо в зоні викиду забруднюючих речовин у відкритий потік. Актуальність такого роду досліджень пов'язана, в першу чергу, з не достатньою вивченістю процесу взаємодії струменевого і безнапірного потоків поблизу джерела викиду, що в деяких випадках істотно впливає на правильність розрахунків у цілому. Знання закономірностей змішування стічних вод із відкритим потоком безпосередньо в місці викиду дозволить точніше прогнозувати стан водоймищ і рік, а також дасть можливість розробити інженерні методи їх захисту від забруднень промисловими стоками.

SUMMARY

Work is dedicated to study complex not stationary processes of the carrying and melanges of drainage industrial water with water of the open flow on the grounds of the numerical modeling. The numerical realization is designed for three-dimensional mathematical model of the spreading polluted stream right in zone of the melange with river flow, with provision for his anisotropic condition, as the most typical of open flow. As result is received accounting algorithm of the under investigation process, which is a central to development of the package of the applied programs and one of the key moments on way of the decision of one of the actual problems to contemporaneity - protection water resource from contamination by industrial sewages.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Савченко В.Я., Словінська О.С., Вітько Л.П. Моделювання переносу забруднювачів у рухоме середовище під впливом вторинних течій в анізотропних відкритих потоках//Автомобільні дороги і дорожнє будівництво. - Київ: НТУ.-2001. Вип.61.-С.225-228.

2. Савченко В.Я., Словінська О.С., Бондаренко Л. П. Гідродинамічний опис розповсюдження забруднюючих речовин у ближній зоні від джерела викиду в безнапірному потоці //Вісник НТУУ «КПІ»-Київ.-2002.-Вип. 42.-Т.1.-С.122-127.

3. Савченко В.Я., Словінська О.С., Бондаренко Л.П. Моделювання процесу взаємодії тривимірного забрудненого струменя з відкритим потоком з урахуванням анізотропії турбулентності //Вісник Українського державного університету водного господарства та природокористування: Збірник наук. Праць. - Рівне, 2002. - Вип.5 (18). - С. 176-183

4. Андерсен Д., Таннехилл Дж., Глетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен.-М.:Мир.-1990.-Т.1,2.-725с.

5. Савенко В. Я. Математические модели и методы расчета квазитрехмерных безнапорных потоков.-К.:Техніка.-1995.-188 с.

6. К. Флетчер.Вычислительные методы в динамике жидкостей.-М.:Мир.-1991.-Т.1,2.-504с.

7. 7. Патанкар С., Сполдинг Д. Тепло- и массообмен в пограничных слоях.-М.:Энергия.-1971-127с.