Термоелектричні ефекти у полікристалічних двошарових плівках

ВСТУП

Двошарові плівки (ДП), отримані шляхом напилення на підложку в умовах високого вакууму, як правило, монокристалічні по товщині і полікристалічні у напрямку, паралельному межі поділу шарів металу (МП). Якщо товщина шарів та середній розмір кристалітів у площині зразка сумірні із довжиною вільного пробігу електронів , то виникає конкуренція процесів розсіювання носіїв заряду в об'ємі шарів металу на зовнішніх та внутрішніх межах ДП, що приводить до нетривіальної залежності транспортних коефіцієнтів від відношення товщин шарів порівняно з аналогічними залежностями для тонкої плівки. Вперше цей факт був відмічений у роботі [1], де вимірювався питомий опір полікристалічних плівок при нанесенні на її поверхню додаткового шару . Подальші експериментальні дослідження показали, що сумарна провідність [2,3], температурний коефіцієнт опору [4,5], коефіцієнт поздовжньої та поперечної тензочутливості [6] і т.д. двошарових плівок немонотонним чином залежать від товщини шару металу , що напиляється на базовий шар товщиною .

Послідовне теоретичне дослідження транспортних явищ у ДП було розпочате з моменту сформулювання коректних граничних умов для квазікласичної функції розподілу електронів, які описують характер взаємодії носіїв заряду з межею поділу шарів металу. Запропоновані граничні умови [7,8] дозволяють розрахувати різні кінетичні коефіцієнти, які описують електронний транспорт у двошарових металевих плівках. Так, зокрема, у роботах [9-12] теоретично розглянуті питома провідність, коефіцієнт Хола, температурний коефіцієнт опору тощо двошарових монокристалічних металевих плівок при довільному співвідношенні між товщинами шарів металу. Деякі інші транспортні характеристики у ДП було розглянуто у роботах [13,14].

У даній роботі у рамках модифікованої моделі Маядаса і Шацкеса (модель МШ) [15] теоретично проаналізовано коефіцієнти термо - е.р.с. та коефіцієнт Пельтьє у двошаровій плівці з полікристалічною структурою. Отримано точні та асимптотичні (для товстих і тонких порівняно з довжиною вільного пробігу електронів шарів металу) формули для величини і при довільному співвідношенні між товщиною шару металу і довжиною вільного пробігу електронів та довільному характері взаємодії носіїв заряду із внутрішньою та зовнішньою межами ДП. Передбачено немонотонну залежність коефіцієнта термоелектричних коефіцієнтів від відношення товщин шарів металу. Проведено докладний числовий розрахунок величини для широкого інтервалу товщин шарів при різних значеннях параметрів, які характеризують структуру зразка, об'ємну та поверхневу релаксацію електронів.

ТОЧНА ТА АСИМПТОТИЧНІ ФОРМУЛИ ДЛЯ КОЕФІЦІЄНТА - Е.Р.С.

Розглянемо двошарову плівку товщиною , яка складається з полікристалічних шарів металу різної товщини та ступеня чистоти (рис.1). Будемо вважати, що нормаль до межі поділу шарів металу паралельна осі , а у напрямку осей i їх розміри “нескінченні”.

Рисунок - 1 Модель двошарової плівки, що складається із полікристалічних шарів металу різної товщини та ступеня чистоти . Ламаною лінією схематично показано можливу траєкторію руху носія заряду

Враховуючи простий зв'язок між коефіцієнтом термо - е.р.с. і коефіцієнтом Пельтьє , далі ми проаналізуємо лише коефіцієнт термо - е.р.с., який може бути визначений таким чином [16]:

, (1)

де заряд електрона; і його енергія та енергія Фермі; стала Больцмана; температура. Коефіцієнт питомої провідності двошарової плівки у випадку квадратичного та ізотропного законів дисперсії може бути записаний у вигляді [9,10]

, (2)

Тут товщина го шару ДП; - питома провідність безмежового зразка із монокристалічною структурою, час релаксації електронів в якому ; розмірна функція, яка буде визначена нище.

Добре відомо, що термоелектричні коефіцієнти напівпровідникових зразків досить чутливі до енергетичної залежності часу релаксації носіїв заряду [17]. З цієї причини при подальшому теоретичному та числовому розрахунках величини двошарової плівки будемо використовувати модель, в якій час релаксації електронів залежить від енергії таким чином [17]:

, (3)

де величина і не залежить від енергії,

- деяка стала величина, числове значення якої залежить від переважного механізму розсіювання електронів в об'ємі ДП.

Так, зокрема, якщо , то основним механізмом розсіювання носіїв заряду є їх розсіювання на акустичних фононах, у випадку розсіювання електронів на незаряджених дефектах кристалічної решітки, , якщо носії заряду розсіюються на іонізованих атомах домішків.

Підставляючи співвідношення (2) у формулу (1) отримаємо загальний аналітичний вираз для термо - е.р.с. двошарової плівки з полікристалічною структурою:

(4)

Тут , а функція має такий вигляд:

, (5)

Особливості зонної енергетичної структури ДП характеризуються параметрами та , які можуть бути визначені таким чином [18,19]:

, (6)

де площа поверхні Фермі.

Розмірна функція , що визначає вплив розмірів шарів на термоелектричні коефіцієнти ДП, дорівнює [20]:

, (7)

,, (8)

(9)

(10)

(11)

Тут - параметр дзеркальності Фукса [21], який має зміст ймовірності розсіювання електрона із збереженням енергії та тангенціальної до ї зовнішньої поверхні двошарового зразка компоненти квазіімпульсу, - ймовірність дзеркального розсіювання носіїв заряду на межі поділу між м та м шарами металу, - ймовірність проходження електрона з го шару в й шар без розсіювання, так що Зерномежовий параметр , з одного боку, визначає структуру зразка залежно від знака нерівності між середнім розміром кристалітів у площині шару металу і довжиною вільного пробігу електронів , з іншого - характер взаємодії носіїв заряду з міжкристалічними межами, оскільки визначає ймовірність розсіювання носіїв заряду на межі зерна.

Якщо двошарова плівка складається з товстих або тонких шарів металу, то для розмірної функції можна отримати такі наближені вирази [18]:

, (12)

(13)

(14)

, (15)

відношення товщин шарів металу двошарового зразка.

Підставляючи формулу (7) у співвідношення (4),7 отримаємо точний аналітичний вираз для коефіцієнта термо - е.р.с. двошарової плівки у рамках моделі МШ:

. (16)

(17)

, (18)

, , (19)

(20)

, (21)

, (22)

,

(23)

Якщо зовнішні границі та межі поділу шарів металу дзеркальним чином розсіюють носії заряду , то і термо - е.р.с. двошарової плівки дорівнює

. (24)

У разі виконання рівностей , двошарову плівку формально можна розглядати як масивний полікристалічний зразок, оскільки значення термо - е.р.с. ДП збігається зі своїм об'ємним значенням.

Якщо ж межі поділу шарів ДП абсолютно не прозорі для носіїв заряду , то розмірні функції у кожному із шарів зразка не залежать від параметрів, що характеризують сусідній шар металу [9,10] і термо - е.р.с. ДП буде визначатися такою формулою:

. (25)

Тут та визначаються формулами (7) та (18), у яких функції і мають такий вигляд:

, (26)

. (27)

При виконанні рівностей , формула (25) збігається з відповідною формулою для тонкої плівки товщиною , і відповідно двошарову плівку формально можна розглядати як одношаровий полікристалічний шар металу, зовнішні межі якого розсіюють електрони із ймовірністю і .

У випадку коли межа поділу шарів металу абсолютно прозора для носіїв заряду і виконуються рівності , двошарову плівку знову формально можна розглядати як полікристалічний шар металу, однак у даному випадку товщиною .

Для того щоб спростити процедуру порівняння теоретичних результатів із експериментальними, отримаємо асимптотичні формули для термо - е.р.с. ДП для граничних випадків параметрів та .

Якщо параметр , тобто довжина вільного пробігу електронів значно менша за товщину шарів , експоненти, які містяться у формулі, (16) малі і ними можна знехтувати, що дозволяє виконати інтегрування по змінних та . У цьому випадку термо - е.р.с. ДП для довільних значень параметрів і буде визначатися формулою (16), в якій функції дорівнюють:

, (28)

, (29)

, (30)

, (31)

(32)

Якщо полікристалічні шари металу складаються з кристалітів шириною, розміри яких значно більші за довжину вільного пробігу електронів або міжкристалічні межі майже прозорі для носіїв заряду , то параметр . У випадку коли шари ДП мають дрібнозернисту структуру або межі зерен майже не прозорі для електронів , то Для цих граничних випадків параметра коефіцієнт термо - е.р.с. двошарової плівки при довільному співвідношенні між товщинами шарів металу може бути записаний у вигляді:

(33)

, (34)

Якщо шари металу ДП мають однакову структуру і у кожному з них виконується рівність , то формули (33) та (34) значно спрощуються і набувають такого вигляду:

, (35)

, (36)

У випадку коли двошарова плівка складається з тонких шарів металу , то для коефіцієнта термо - е.р.с. можуть бути отримані такі наближені вирази:

(37)

, (38)

(39)

Таким чином, ми отримали точну та асимптотичні вирази для коефіцієнта термо - е.р.с. Подальший його аналіз можливий лише на основі числового розрахунку.

Числовий розрахунок

Для проведення числового розрахунку коефіцієнт термо - е.р.с. (16) для двошарової полікристалічної плівки зручно записати у такому вигляді:

. (40)

При виконанні нерівності формулу (40) наближено можна представити у вигляді:

(41)

Звідси випливає асимптотична поведінка для граничних значень :

(42)

Криві, наведені на рис.2а-є, отримані числовим розрахунком за точною формулою (40) і ілюструють залежність нормованої на об'ємне значення термо - е.р.с. базового шару металу від відношення товщин шарів при різних значеннях параметрів, які характеризують двошарову полікристалічну плівку Отримані залежності показують, що поведінка величини у ДП в області малих значень визначається характером взаємодії носіїв заряду із внутрішньою та зовнішніми межами зразка. При виконанні протилежної нерівності , то величина асимптотично прямує до відношення об'ємних значень термо - е.р.с. в шарах металу зразка.

У випадку коли товщина верхнього шару сумірна товщині базового шару, тобто , то внаслідок дифузного характеру розсіювання носіїв заряду на межі поділу шарів металу величина проходить через мінімум. Із зростанням дзеркального тунелювання електронів у сусідній шар металу (рис. 2а), дзеркальності інтерфейса ДП (рис. 2б), товщини базового шару металу (рис. 2в) та параметрів (рис. 2г) і (рис. 2д) зазначений мінімум вироджується і монотонно змінюється із зростанням . Рис. 2е ілюструє залежність при різних значеннях нормованої на довжину вільного пробігу електронів товщини базового шару металу.

Таким чином, ми проаналізували залежність термоелектричних коефіцієнтів двошарової полікристалічної плівки від відношення товщин шарів металу. При малих товщинах покриття базового шару металу його власний внесок в термоелектричні коефіцієнти ДП несуттєвий, але абсолютне значення коефіцієнтів відрізняється від їх значення для одношарової плівки внаслідок можливості розсіювання електронів не лише на зовнішніх межах ДП, а і на межі поділу шарів. Із збільшенням товщини верхнього шару металу так, що , на залежності спостерігається мінімум, обумовлений дифузним характером розсіювання носіїв заряду на інтерфейсі ДП. При подальшому зростанні товщини верхнього шару металу величина термоелектричних коефіцієнтів асимптотично прямує до об'ємного значення напилюваного шару.

Рисунок 2 - Залежність коефіцієнта термо - е.р.с. двошарової полікристалічної плівки від відношення товщин шарів металу та зерномежового параметра

Експериментальне дослідження залежності термоелектричних коефіцієнтів двошарової полікристалічної плівки від відношення товщин шарів металу дозволяє отримати докладну інформацію не лише про характер взаємодії носіїв заряду з внутрішньою та зовнішніми межами, а й про переважний механізм розсіювання електронів в об'ємі ДП (див. рис. 2є).

SUMMARY

Exact and asymptotic expressions are derived for thermoelectric coefficients (TC) of a double - layer polycrystalline films. TC non - monotonous dependence upon the thickness ratio of the layers is predicted, which is sensitive to the character of the electron - interlayer boundary interaction. A detailed numerical analysis of the TC is performed in a wide range of layer thicknesses with varying parameters describing the bulk and surface relaxation of the charge carriers.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

Lucas M.S.P. Surface scattering of conduction electrons in gold films // Appl. Phys. Lett. - 1964. - V.4, № 4. - P.73 - 74.

Schumacher D., Stark D. Electrical conduction in thin double - layer metal films // Thin Solid Films. - 1984. - V. 116, № 1-3. - P.199-205.

Artuns N., Selvi S., ztrk Z.Z. The effects of surface and interface scattering on the electrical resistivity of double - layered thin films // Thin Solid Films. - 1992. - V.221, № 1-2. - P.207 - 213.

Проценко І.Ю, Чорноус А.М. Розмірний ефект в електропровідності двошарових полікристалічних плівок в умовах взаємної дифузії металів // Вісник СумДУ. - 1994. - №1. - С. 19 - 25.

Protsenko I., Petrenko S., Odnodvoretz L., Chornous A. Size effect and processes of interdiffusion in multi - layer films // Cryst. Res. Technol. - 1995. - V.30, № 8. - P.1079 - 1083.

Проценко И.Е., Чорноус А.Н. Тензочувствительность одно - и двухслойных пленок на основе хрома, никеля и кобальта // Металлофиз. новейшие. технол. - 1994. - Т.16, №12. - С.18 - 23.

Каганов М.И., Фикс В.Б. К теории электромеханических сил в металлах // ЖЭТФ. - 1977. - Т.73. - Вып.2. - С.753 - 760.

Устинов В.В. Вклад плоских дефектов в электросопротивление металла // ФММ. - 1980. - Т.49, №1. - С.31 - 38.

Dimmich R., Warkusz F. The electrical conductance of continuous thin metallic double - layer films. // Thin Solid Films. - 1983. - V.109, №2. - Р.103 - 114.

Дехтярук Л.В., Колесниченко Ю.А. Размерные кинетические эффекты в двухслойных пластинах // ФНТ. - 1993. - Т.19, №9. - С.1013 - 1020.

Khater F. Size effects in some transport coefficients for double-layer thin metallic films // Acta Phys. Slov. - 1983. - V.33, №1. - P.43 - 53.

Chen - Chu Xing Hall coefficient for double-layer thin films // Phys. Lett. - 1986. - V.A118, №1. - P.370 - 340.

El - Hiti M.A. Dependence of the temperature coefficient of the strain coefficients of resistance of double-layer thin metallic films // Phys. Status Sol. - 1989. - V.A115, №1. - P.185 - 189.

Кириченко О.В., Колесниченко Ю.А. Осцилляционная зависимость магнитосопротивления тонких бикристаллических пластин // ФНТ. - 1982. - Т.8, № 3. - С.276 - 284.

Mayadas A.F., Shatzkes M. Electrical - resistivity model for polycrystalline films: the case of arbitrary reflection at external surfaces //Phys. Rev. B.: Cond. Matter. - 1970. - V.1, № 4. - P.1382 - 1389.

Займан Дж. Принципы теории твердого тела. - М.: Мир, 1974. - 472 с.

Бонч - Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. - М.: Наука, 1990. - 688 с.

Стасюк З.В., Лопатинський А.І. Розмірні кінетичні явища в тонких плівках: класичні ефекти // ФХТТ. - 2001. - Т.2, №4. - С.521 - 542.

Tellier C.R., Tosser A.J. Size effects in thin films. - Amsterdam - Oxford - New York, 1982. - 310 p.

Dekhtyaruk L.V., Protcenko S.I., Chornous A.M., Shpetnyi I.O. Conductivity and the temperature coefficient of resistance of two - layer polycrystalline films // Ucr. J. Phys. - 2004. - V.49, №6. - P.587 - 597.

Fuchs K. The conductivity of thin metallic films according to the electron theory of metals // Proc. Cambr. Phil. Soc., ser. A. - 1938. - V.34, №1. - P.100 - 108.