Термодинамічна концепція індукованого шумом фазового переходу

Сумський державний університет

Термодинамічна концепція індукованого шумом фазового переходу

Д.О. Харченко, доц.;

І.О. Князь, асист.

Вступ

Відомо, що кольорові флуктуації у розподілених стохастичних системах приводять до якісної зміни режиму їхньої поведінки [1-3]. Виявлено, що при варіюванні інтенсивності флуктуацій або відповідного радіуса автокореляції система здатна випробовувати реверсивний фазовий перехід. При цьому тип індукованого шумом фазового переходу визначається формою вихідного питомого потенціалу. У той час як встановлено, що реверсивний фазовий перехід спостерігається у системах, підвладних дії зовнішнього (мультиплікативного) шуму, у роботі [4] було показано, що у синергетичній системі Лоренца такий ефект має місце навіть у випадку дії внутрішнього (адитивного) шуму. При розгляді сумісної дії декількох флуктуаційних джерел важливим стає питання щодо з'ясування ролі їх крос-кореляції. У роботі [5] показано, що така крос-кореляція є причиною реалізації фазових переходів першого роду та реорієнтаційних переходів, які супроводжуються зміною знака параметра порядку, навіть якщо форма вихідного потенціалу не передбачає такої реконструкції системи. Хоча результати [4,5] одержано у наближенні середнього поля, вони достатньо точно описують характер упорядкування. Актуальним у цьому сенсі є питання про можливість опису індукованих шумом фазових переходів з точки зору термодинамічної теорії. При цьому основна задача полягає у побудові рівняння Ландау-Халатнікова, яке описує еволюцію параметра порядку, де потенціал вільної енергії враховує статистичні властивості стохастичних джерел. Вирішенню цієї проблеми присвячена дана робота.

1. Основні співвідношення

Розглянемо розподілену стохастичну систему, еволюція якої у часі задається рівнянням Ланжевєна

(1)

де - параметр стану, розподілений у просторі з радіусом-

вектором ; - визначає дрейфову складову; - параметр неоднорідності розподілу величини , , останній доданок подається у вигляді суми стохастичних джерел з амплітудами .

Теоретичне дослідження розподіленої стохастичної системи, що описується рівнянням (1), досягається використанням теорії середнього поля. У рамках такого підходу процеси дифузії подаються елементарними актами взаємодії за рахунок уведення середнього поля взаємодії найближчих взаємодіючих із даним сусідів (атомів тощо). Це дозволяє записати лапласіан у (1) у вигляді Величина розглядається далі як параметр порядку, а його значення встановлюється із рівняння само узгодження

,

де - стаціонарна функція розподілу випадкової величини . Для знаходження розв'язується відповідне до (1) рівняння Фоккера-Планка, яке має вигляд

, (2)

де функції та визначаються конкретною моделлю системи, тобто за явним виглядом , та статистичними властивостями набору . У той час як точні значення параметра порядку одержуються за допомогою рівняння самоузгодження, з'ясуємо формальний вигляд термодинамічного потенціалу, який дозволив би на якісному рівні виявити характерні режими поведінки стохастичної системи при врахуванні властивостей стохастичних джерел. З цією метою використовується ефективне рівняння руху, що відповідає рівнянню Фоккера-Планка (2). У загальному випадку таке рівняння набуває вигляду . У макроскопічному наближенні маємо . Тоді еволюція параметра порядку задається рівнянням Ландау-Халатнікова

, (3)

де ефективний термодинамічний потенціал вільної енергії визначається функцією : . За одержаним виразом з'ясовуються умови виникнення фаз у системі.

2. Індуковані шумом фазові переходи у синергетичній системі

Розглянемо застосування наведеного підходу для побудови термодинамічних потенціалів для синергетичної системи, що описується рівняннями еволюції параметра порядку , спряженого поля та керуючого параметра у вигляді:

(4)

де - відповідні релаксаційні параметри; , , - константи зворотного зв'язку, - стаціонарне значення керуючого параметра, визначене дією зовнішнього середовища. Розглядаючи систему (4) у реальних умовах, кожне рівняння еволюції може бути узагальнене введенням адитивного стохастичного доданка з відповідною амплітудою (), що враховує внутрішні флуктуації кожної з мод. Використовуючи співвідношення між релаксаційними параметрами та неоднорідність розподілу основних мод, у рамках адіабатичного наближення узагальнену стохастичну систему (4) можна звести до однопараметричної системи типу (1) [3-5]. У такому разі можна знайти явний вигляд функції і відповідно термодинамічного потенціалу .

Розглянемо далі застосування феноменологічного підходу для виявлення вигляду потенціалу , що описує стани системи (4) при різному співвідношенні між .

Адитивний шум. Враховуючи неоднорідність розподілу величини та її флуктуації, в адіабатичному наближенні замість (4) маємо рівняння (1) з одним шумом, де , , , а флуктуації задаються процесом Орнштейна-Уленбека із кореляційною функцією , де - час автокореляції процесу . Використовуючи результати роботи [4], де

(5)

у макроскопічному наближенні термодинамічний потенціал апроксимується такою залежністю:

, (6)

де задає початок відліку, а константи і визначаються не лише керуючим параметром та інтенсивністю шуму , а залежать від сталої неоднорідності та часу автокореляції :

(7)

де ,

Для з'ясування умов виникнення упорядкованої фази при зміні часу автокореляції розглядаються рівняння екстремумів потенціалу та двократної виродженості стаціонарних розв'язків рівняння (3). Це дає можливість побудувати фазову діаграму, зображену на рис.1.

З нього бачимо, що, збільшуючи час автокореляції флуктуацій при певному значенні керуючого параметра та фіксованих та , система переходить до упорядкованої фази за принципом фазових переходів другого роду, яка існує в інтервалі величини .

Рисунок 1 - Залежність керуючого параметра від часу кореляції шуму .

Криві 1,2,3 побудовані відповідно при: , ; , ; , . На вставках показаний вигляд потенціальної функції (6) у кожній із областей, обмежених відповідними фазовими кривими

Цей результат добре узгоджується не лише з результатами чисельного інтегрування рівняння самоузгодження, але й з комп'ютерним моделюванням [5]. З рисунка бачимо, що збільшення сталої приводить до зменшення області значень , при яких реалізується реверсивний фазовий перехід. Зазначимо, що подібний ефект простежується і у випадку зменшення інтенсивності шуму .

Ефект кореляції шумів у дисипативній системі. У випадку наявності двох стохастичних джерел, що відповідають флуктуаціям параметра порядку та керуючого параметра, з амплітудами та , враховуються крос-кореляції між флуктуаціями. У найпростішому вигляді, моделюючи флуктуації параметра порядку та керуючого параметра процесом Орнштейна-Уленбека з часами автокореляції і , крос-кореляційну функцію береться такою, що дорівнює , де - час крос-кореляції. Використовуючи положення теорії середнього поля та метод кінетичного рівняння [5], для маємо вираз

(8)

Проводячи інтегрування та розвиваючи одержаний вираз у ряд, знаходимо, що потенціал вільної енергії стає таким:

. (9)

Коефіцієнти у (9) стають залежними від кореляційних параметрів, амплітуд шумів та керуючих параметрів, тобто:

, (10)

Із (9), (10) випливає, що крос-кореляції флуктуацій приводять до втрати симетрії потенціалу вільної енергії, яка обумовлює виникнення метастабільної фази. Аналіз потенціальної функції (9) дозволяє встановити розміщення спінодалей (криві 1, 2), бінодалі (криві 1', 2') та точки збирання (Q) на площині керуючий параметр - час крос-кореляції (рис.2).

Рисунок 2 - Залежність керуючого параметра від часу крос-кореляції шумів .

Криві побудовані при , , . Криві 1, 1' відповідають , криві 2, 2' відповідають . На вставках показаний вигляд потенціальної функції у кожній із областей, обмежених відповідними фазовими кривими (MS_ та MS+ визначають домени метастабільних фаз із глобальним лівим та правим мінімумом відповідно)

Характерним для даної системи є реалізація реорієнтаційного переходу, коли положення єдиного мінімуму потенціалу (9) зміщується з негативного значення параметра порядку в область позитивних значень. З рисунка бачимо, що область існування упорядкованої фази звужується при збільшенні інтенсивності шуму керуючого параметра, а положення точки збирання (точка на рис.2) та бінодалі не змінюється суттєво. Отримані результати якісно узгоджуються із результатами теорії середнього поля [5].

Ефект кореляції шумів у системі із слабким реактивним режимом. Розглянемо синергетичну систему (4) за умови , коли враховуються флуктуації спряженого поля та керуючого параметра у вигляді процесів Орнштейна-Уленбека із автокореляційними радіусами відповідно , , амплітудами , та існують крос-кореляції із відповідним масштабом . Дрейфова складова у такому випадку має вигляд . Застосування методу, розвинутого у роботі [6], дозволяє записати

, (11)

де, . У такому разі для потенціалу вільної енергії маємо

, (12)

де, як і у попередньому випадку, коефіцієнти розвинення стають залежними від спектральних характеристик флуктуацій та керуючих параметрів, а величина порушує симетрію потенціалу (12):

(13)

Аналіз похідних від (12) за показує, що у такій системі є лише одна лінія спінодалі, при цьому реалізується бінодаль, а точки збирання взагалі не існує (рис.3).

Рисунок 3 - Залежність керуючого параметра від часу крос-кореляції шумів .

Криві побудовані при , , ,. Криві 1 та 2 побудовані відповідно при та . На вставках показаний вигляд потенціальної функції (12) у кожній із областей, обмежених відповідними фазовими кривими

З рисунка бачимо, що при зростанні глобальний лівий мінімум потенціалу (12) стає локальним, а при великих взагалі зникає, при цьому стан системи визначається єдиним правим мінімумом . Аналогічна картина спостерігається при зростанні керуючого параметра , якщо стає більшим від порогового значення, залежного від параметрів системи. При зменшенні інтенсивності шуму керуючого параметра бінодаль та спінодаль змінюють своє положення, зсуваючись в область малих .

Висновки

У роботі розглянуто концепцію ефективного потенціалу вільної енергії, що дозволяє моделювати індуковані шумом фазові переходи. Показано, що вигляд такого потенціалу задається урахуванням статистичних властивостей стохастичних джерел, під дією яких перебуває система. Виявлено, що автокореляція адитивного шуму є причиною реверсивного фазового переходу. Встановлено, що крос-кореляція флуктуаційних джерел приводить до порушення симетрії вільної енергії, внаслідок чого у системі реалізуються фазові переходи першого та другого роду та реорієнтаційні переходи.

Результати роботи можуть бути застосовані при описі фазових переходів у системах, які здатні до самоорганізації, зокрема, вони дозволяють пояснити можливий механізм утворення дефектних структур при пластичній деформації у високоміцних сплавах з малими виділеннями неметалічної фази, наприклад, сплавах на основі Nb та V iз високодисперсними частинками ZrO2 .

Перспективами роботи є з'ясування впливу просторових кореляцій на фазові переходи у системах з сильною та слабкою дисипацією.

Summary

The method to obtain the phenomenological equation (of Landau-Khalatnikov type) which describes the evolution of order parameter of a stochastic synergetic system and accounts the characteristic of fluctuation sources was considered. It was shown that cross-correlation of noises is a reason of breaking of symmetry of free energy potential that in part leads to realization of noise induced phase transitions of both first and second order and reorientation transitions.

Список літератури

1. Garcia-Ojalvo J., Sancho J.M. Noise in Spatially Extended Systems. - N.Y.: Springer-Verlag, 1999

2. Mangioni S., Deza R., Toral R. and Wio H.S. Nonequillibrium phase transitions induced by multiplicative noise: Effects of self-correlation // Phys. Rev. E. - 2000. - V.61. - P.223.

3. Mangioni S., Deza R. and Wio H.S. Coupling-reentrant transition, complex hysteretic behavior, and efficiency optimization in coupled phase oscillators submitted to colored flashing potentials // Phys. Rev. E. - 2002. - V.66. - P.051106.

4. Харченко Д.О., Князь И.А. Фазовые переходы с нарушением симметрии в синергетической системе с флуктуационным воздействием // Металлофизика и новейшие технологии. - 2002. - Т.24,№3. - С.389-405.

5. Kharchenko D.O., Knyaz I.A. Fluctuation reconstruction of phase transition // European Physical Journal B. - 2003. - V.32. - P.375-382.

6. http://xxx.lanl.gov/cond-mat/0403583