Расчет поля скоростей закрученного потока в кольцевой области с проницаемой стенкой

Расчет поля скоростей закрученного потока в кольцевой области с проницаемой стенкой

А.А.Бревнов, магистр; Е.В.Мочалин, канд. физ.-мат.наук

г. Алчевск, ДГМИ

Разработка систем очистки жидкостей от твердых механических примесей требует решения многих задач, одной из которых является определение поля скоростей несущей фазы в рабочих полостях очистных устройств.

Точное аналитическое решение уравнений Навье-Стокса пока не удается получить ввиду сложности в постановке задачи (из-за того, что нужно учесть много факторов) и многовариантности получаемых решений. До сегодняшнего дня эта проблема до конца не изучена и представляет большое поле деятельности для ученых, занимающихся вопросами технической гидроаэромеханики.

Решение задач течения закрученного потока жидкости в кольцевом зазоре аналитическим путем требует некоторых упрощающих предположений. Такими упрощениями, например, является допущение о небольшой величине радиальной составляющей скорости и ее производной, из-за малости зазора [1].

Численное моделирование таких задач с помощью ЭВМ имеет большие перспективы, а в сочетании с аналитическим подходом позволяет наименьшими усилиями найти оптимальные варианты решения.

Решение задачи по определению поля скоростей жидкости позволит проследить движение взвешенных в жидкости частиц примесей [2] для создания эффективной конструкции устройства очистки.

Рассматривается задача о течении вязкой несжимаемой жидкости в кольцевом канале между двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями с учетом отсоса жидкости через внутренний проницаемый цилиндр при наличии закрутки потока на входе.

Необходимо определить поле скоростей закрученного на входе потока несущей жидкости в рассматриваемой области.

В цилиндрической системе координат в соответствии со схемой на рисунке 1 уравнения Навье- Стокса для такого течения имеют вид

,(1)

, (2)

, (3)

, (4)

где , , - осевая, радиальная и тангенциальная составляющие скорости потока; , , - осевая, радиальная и тангенциальная координаты в цилиндрической системе координат; - плотность жидкости; молекулярная кинематическая вязкость жидкости.

Рисунок 1 - Расчетная схема задачи

Предполагается, что течение осесимметричное, установившееся, внешние силы отсутствуют, а плотность и кинематическая вязкость - постоянные величины:

, (5)

, (6)

. (7)

При этом нужно сказать, что радиальная скорость (из-за малости поперечного размера по сравнению с продольным размером ) и ее производные имеют небольшие значения. А величины и малы по сравнению с радиальными производными. Такое допущение, соответствующее геометрии рассматриваемой области, позволяет провести оценку порядков всех слагаемых в уравнениях (1)-(4) по методике, предложенной Прандтлем в теории пограничного слоя [3].

Кроме того, учитывая относительную малость зазора, введем описанный в [4] прием «расщепления давления», основанный на представлении:

. (8)

Тогда полученная система уравнений запишется так:

, (9)

, (10)

. (11)

Уравнение неразрывности

(12)

можно представить в интегральном виде:

. (13)

Для скорости отсоса имеем [4] выражение

, (14)

где - коэффициент проницаемости поверхности; - давление на поверхности (для удобства давление в камере отсоса считаем равным нулю).

Для радиальной скорости имеем граничные условия:

, . (15)

В соответствии с уравнением неразрывности (12) можно определить граничные значения производных :

, , (16)

и аппроксимировать радиальные скорости по высоте зазора с помощью полинома Эрмита [5].

Из уравнения неразрывности также имеем с учетом (15), (16):

. (17)

После этого уравнение (9) можно записать следующим образом:

. (18)

Теперь представим уравнение (11) в виде

. (19)

Введя разностное представление для продольного градиента тангенциальной скорости

, (20)

исходное уравнение для определения тангенциальной скорости можно записать

. (21)

С использованием библиотек математических подпрограмм путем решения краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно рассчитать поле осевой, радиальной и тангенциальной скоростей течения жидкости в рассматриваемой зоне, а также изменение давления в расчетной области.

Алгоритм численного решения является маршевым вдоль координаты . При этом в каждом сечении сначала решается уравнение (18) с учетом уравнений (13), (14) для определения давления методом итераций. Затем определяется из решения уравнения (21) распределение тангенциальной скорости по сечению.

Для примера возьмем исходные данные: = м, = м, = =1,5м, =100 м³/ч, =110^{-6 м2}/с, =1000 кг/м², =1,310^-8, =2000 Па, =рад/с и рассмотрим полученные на рис. 2 и 3 профили осевой и тангенциальной скорости потока.

Рисунок 2 - График изменения осевой скорости по сечениям

Рисунок 3 - График изменения тангенциальной скорости по сечениям

Графики построены в безразмерных относительных координатах:

,(22)

, , (23)

где - среднее значение осевой скорости в начальном сечении.

На рис.2 и 3 сплошной линией показано распределение скорости при входе в рассматриваемую область, а пунктирными - профили скоростей в нескольких сечениях . Для наглядности все профили приведены к одному сечению.

Программа расчета была протестирована на примере течения Пуазейля. Полученные результаты подтверждают работоспособность программы и достаточно хорошо согласовываются с известным решением.

Вывод

Таким образом, полученное решение позволяет рассчитать пространственное поле скоростей в осесимметричных течениях, имеющих важное приложение в технике. В частности, на основе полученного поля скоростей потока несущей жидкости можно промоделировать движение твердых частиц примесей в заданной области течения. Результаты таких расчетов могут быть положены в основу оптимизации устройств разделения фаз потока.

Summary

With the help of the numerical methods the flow of fluid in an annular gap between two coaxial cylindrical surfaces is reviewed in view of blotting fluid through an internal permeable cylindrical surface.

Список литературы

1. Стуров Г.Е. Сборник статей / Некоторые вопросы исследования вихревого эффекта и его промышленное применение. - Куйбышев: КАИ, 1974. - С.205.

2. Мочалин Е.В., Бревнов А.А. К постановке задачи о движении взвешенной частицы в закрученном потоке несущей жидкости между двумя соосными цилиндрами с учетом отсоса жидкости через внутренний цилиндр // Сборник научных трудов. - Алчевск: ДГМИ, 2001.- Вып. 13. - 324с.

3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Главная редакция физ.-матем. литературы издательства «Наука»,- 1989. - 742 с., ил.

4. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2 т. - М.: Мир, 1991. - 552с.

5. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. - Киев: Наукова думка, 1989. - 269с.