Модульоване стійке періодичне випромінювання у твердотільних лазерах

Модульоване стійке періодичне випромінювання

у твердотільних лазерах

Д.О.Харченко, доц.; С.В.Коломієць, ст.викл.;

В.О.Харченко, студ.

Сумський національний аграрний університет

Вступ

Проблема теоретичного дослідження можливостей виникнення періодично стійкого випромінювання у твердотільних лазерах та його прогнозування вивчається вже більше чотирьох десятиріч і до цього часу залишається актуальною. Цей режим знаходить своє безпосереднє застосування у медицині, біології та технологічних процесах. Експериментально і теоретично з'ясовано, що переведення лазера у такий режим досягається введенням у резонатор відповідного модулятора добротності, конструктивні особливості якого суттєво впливають на режими лазерного випромінювання [1] або за допомогою інжекції оптичного сигналу [2]. Однак у останньому випадку спостерігався квазіперіодичний режим випромінювання. В той час як моделі лазерних систем є доволі вивченими [1,3,4], проблема конструкції модулятора із періодичним випромінюванням на виході із резонатора залишається відкритою. Оскільки лазер є суто дисипативною нелінійною системою, втрати в якій обумовлені поглинанням випромінювання різними конструктивними елементами, релаксаційними процесами та виходом генерованого променя із резонатора, а нелінійність рівнянь його динаміки є продуктом фотонної взаємодії, то виникнення періодичних коливань пов'язується із біфуркацією народження циклу (Андронова-Хопфа) [3]. Цілком зрозуміло, що для переведення вихідного променя у коливальний режим фотонний потік слід піддати нелінійним перетворенням у модуляторі. Очевидно, що модель такого пристрою повинна враховувати багатофотонну взаємодію. Модель із двофотонним поглинанням у нелінійному елементі досліджена у роботі [4,5]. Методологія, що дозволяє на якісному рівні встановити перехід лазерної системи до режиму стійких періодичних коливань запропонована у роботах [1,6]. Там наведено експериментальні дані, які ілюструють наявність стійких коливань у динаміці лазера при різних значеннях структурних параметрів, проаналізовано вплив модулятора добротності резонатора на динаміку лазера класичної моделі, однак математична модель модулятора не конкретизувалася.

У той час як методи аналізу таких систем є достатньо розвинутими, розглянуто лише специфічні математичні моделі модуляторів добротності на якісному рівні (див., наприклад, [6,7]). Тому важливим і природним є завдання встановлення класу можливих типів моделей для проведення їх повного аналізу, для з'ясування основних залежностей, що визначають режим стійких коливань сигналу на виході із резонатора. Заповненню цієї „ніші” присвячена дана робота. Нами буде розглянуто напівкласичну модель твердотільного лазера із нелінійним модулятором, що враховує багатофотонну взаємодію. В рамках біфуркаційного аналізу [8] буде показано, що конструктивні константи модулятора, що задають інтенсивність взаємодії фотонів, суттєво впливають на режими поводження випромінювання. При цьому стійкий періодичний сигнал існує в певній області їх варіацій, що дозволяє прогнозувати можливі конструкційні особливості таких модуляторів із матеріалів, які забезпечують відповідні інтенсивності взаємодії фотонів.

Структура роботи є такою. У розділі 2 записується напівкласична модель твердотільного лазера, що враховує дію модулятора добротності, і наводяться основні вимоги до параметрів моделі. Розділ 3 присвячений викладанню необхідних умов для визначення стійкості сигналу на виході. Чисельні розрахунки та їх обговорення подано у розділі 4. Останній розділ містить висновки з роботи.

Напівкласична модель твердотільного лазера

Розглянемо напівкласичну модель твердотільного лазера, що враховує дію модулятора добротності. Динаміка такої системи задається системою диференціальних рівнянь [1]:

де - інтенсивність поля випромінювання фотонів; - різниця заселеності рівнів атомів; - відношення констант релаксації поля і поляризації атомної системи; - параметр накачки. Величиназадає зміщення власної частоти резонатора від центру спектральної лінії , де - швидкість релаксації поляризації атомної системи. Функція задає нелінійні ефекти взаємодії потоку фотонів у модуляторі добротності резонатора за допомогою керуючих параметрів . Параметр визначений як відношення часу релаксації інверсії до часу релаксації спонтанного випромінювання . Для твердотільних лазерів . Система записана у безрозміреному вигляді. Типова функціональна схема твердотільного лазера із модуляторм подана на рис.1.

Рисунок 1 - Розташування елементів твердотільного лазера: 1 - відображаюче дзеркало; 2 - діафрагма всередині резонатора; 3- оптичний кристал; 4 - модулятор добротності 5 -частково відображаюче дзеркало

Оскільки метою роботи є з'ясування умов переходу системи у стійкий коливальний режим, то основна задача полягає у виборі узагальненої моделі взаємодії потоку фотонів у модуляторі. За відомими допущеннями про багаточастинкову взаємодію припустимо, що , тобто врахуємо квадратичне навантаження. Керуючі параметри визначають інтенсивності двофотонної генерації та трифотонного поглинання відповідно. Відомі експериментальні значення інтенсивності накачування констант релаксації поля , та величини дозволяють оцінити порядок .

Основні співвідношення

Дослідження поведінки такої системи досягається використанням алгоритму біфуркації народження циклу [8], що дозволяє, окрім стаціонарного режиму роботи лазера, досліджувати періодичні коливання малої амплітуди в околі стаціонарних станів. Цей метод надає можливість не тільки знайти умови виникнення періодичних коливань в динамічній системі, але й з'ясувати питання про стійкість граничних циклів, одержати відповідний критерій, а також знайти період, амплітуду, фазу модуляції і, нарешті, побудувати наближений розв'язок системи еволюційних рівнянь.

Розглянемо стаціонарні стани динамічної системи (1). Припустивши, що , знаходимо, що стаціонарні стани задаються точками на площині із координатами , визначеними розв'язками рівнянь станів

Для з'ясування умов стійкості стаціонарних станів розглядається матриця Якобі, яка у даному випадку набуває вигляду

,

де введене позначення. Власні значення матриці є такими:

Згідно з теоремою Хопфа в системі (1) виникають періодичні коливання, якщо власні значення матриці Якобі є суто уявними. Це стає можливим при виконанні таких умов:

Тоді частота власних коливань визначається як

.

Умова стійкості періодичного розв'язку встановлюється розгляданням дійсної частини показника Флоке . Якщо , то коливальний режим поведінки системи стає стійким. Використовуючи стандартну процедуру [9], загальний вигляд дійсної частини показника Флоке є таким:

,

де параметри у подаються у вигляді

,

а величини .

Вираз для показника Флоке спрощується, якщо розглядається границя . Дійсно, проводячи оцінки комбінацій основних параметрів, одержуємо

, , , , , .

Звідси випливає, що знак критерію визначається доданками, які містять множник , що надає можливість записати

.

Використання значення дозволяє подати критерій стійкості в асимптотичному вигляді

(10)

у разі виконання умови.

Обговорення результатів

Для з'ясування впливу керуючих параметрів на режими поведінки твердотільного лазера з модулятором добротності розглянемо спочатку біфуркаційну діаграму у площині , яка визначає області існування негативного значення дійсної частини показника Флоке (рис.1).

Рисунок 1 - Біфуркаційна діаграма виникнення стійкого коливального випромінювання при , , , . Області 1 і 2 визначають режими затухаючих коливань та стійкого періодичного випромінювання

З рисунка видно, що при заданому параметрі накачування та відомими і на площині формується замкнена крива, яка відповідає . В області, обмеженою цією кривою, дійсна частина показника Флоке є негативною. Тобто всередині такої області повинен реалізуватися стабільний коливальний режим. Суттєво важливим є той факт, що при великих інтенсивностях загасання потоку фотонів (великих ) і при будь-яких значеннях інтенсивності генерації фотонів у модуляторі стабільний коливальний режим не реалізується. При малих система здатна перейти у режим сталих коливань внаслідок біфуркації Хопфа при збільшенні інтенсивності генерації від нуля. Якщо величина продовжує збільшуватися, то система виходить із режиму стійких коливань, тобто маємо реверсивну біфуркацію Хопфа. Таким чином, виникнення та руйнування стійкого періодичного випромінювання є наслідком однієї причини - зростання інтенсивності виробництва фотонів у модуляторі.

Для ілюстрації вищенаведеного подамо поведінку системи у фазовій площині при різному співвідношенні інтенсивностей і (рис.2). Як показує рис.2а, в області 1 (див. рис.1) на фазовій площині існує стійкий фокус . При потраплянні на лінію з відбувається класична біфуркація Хопфа, коли утворюються граничні цикли на фазовій площині за будь-яких початкових умов в околі центру, що раніше відповідав фокусу (рис.2б), так що кількість таких граничних циклів є необмеженою. Збільшення області фазової площини ілюструє цей ефект. При чому, при віддаленні від центрової точки граничні цикли розмиваються. В області 2 на рис.1 виникає єдиний стійкий граничний цикл (рис.2в). Тепер фокус стає нестійким, і траєкторії, що починаються з нього, потрапляють на стійкий граничний цикл зсередини, а траєкторії, що починаються при великих початкових умовах, значень закручуються на цикл ззовні. Виходячи з області 2 через праву (або верхню) границю, система випробовує біфуркацію Хопфа (на лінії фазові портрети мають такий вигляд, як на рис.2б) - стійкий граничний цикл розпадається на множину граничних циклів і утворюється стійкий фокус (рис.2а).

Summary

A semi-classical laser system with a cavity dumper, which passes to a regime of stable oscillations is considered. Modelling the cavity dumper in the form of quadratic function with parameters playing role of intensities of generation and recombination the oscillatory regime is studied in details. It was found that such a stable regime is realized in the domain of these intensities. It was shown that transition to such a regime occurs due to reentrant Hopf bifurcation.

Список літератури

1. Ханин Я.И. Основы динамики лазеров. - М.: Наука, Физматлит, 1999.- 364 с.

2. Золотоверх И.И., Ларионцев Е.Г. Особенности динамики твердотельного лазера с инжекцией оптического сигнала, сдвинутого по частоте от центра линии усиления // Квантовая електроника. - 1998. -Т.25. -№8. -С.675-678.

3. Хакен Г. Синергетика. - М.: Мир, 1980. - 404с.

4. Тарасов Л.В. Физика процессов в генераторах когерентного оптического излучения.- М.: Радио и связь, 1981.- 440 с.

5. Дмитриев В. Г., Тарасов Л.В. Прикладная нелинейная оптика.- М.: Радио и связь, 1982.- 352с.

6. Самсон А.М., Котомцева Л.А., Лойко Н.А. Автоколебания в лазерах. - Мн.: Навука і тэхніка, 1990. - 280 с.

7. Коваленко Г.П., Коломієць С.В. Дослідження біфуркації у напівкласичних моделях одномодових лазерів на твердому тілі // Вісник КНУ. - 2004. - Т.7. - С.17-20.

8. Хэссард В., Казаринов Н, Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. - М.: Мир, 1985. - 280 с.