Об одном подходе к исследованию электроупругих полей в цилиндре, возбуждаемом системой поверхностных электродов

Об одном подходе к исследованию электроупругих полей

в цилиндре, возбуждаемом системой поверхностных электродов

М.Л. Фильштинский, вед. науч. сотр.

Рассматривается антиплоская смешанная краевая задача электроупругости для пьезокерамического цилиндра с системой активных поверхностных электродов, возбуждающих его колебания. Получена разрешающая система сингулярных интегро-дифференциальных уравнений второго рода с разрывными ядрами. Описывается приближенная схема численной реализации построенного алгоритма. Приводятся результаты расчета, характеризующие распределение электроупругих полей как в области цилиндра, так и на его границе. Аналогичная задача для кругового цилиндра с системой двух симметрично расположенных электродов методом рядов исследована в [1].

Рассмотрим отнесенный к декартовой системе координат бесконечно длинный вдоль оси пьезокерамический цилиндр с осевой поляризацией, поперечное сечение которого ограничено гладким контуром . Будем предполагать, что на свободной от механических усилий поверхности цилиндра располагаются бесконечно длинных (в направлении оси ) тонких электродов с заданными разностями электрического потенциала, а неэлектродированные участки цилиндра сопряжены с вакуумом (воздухом). Границы -го электрода определены величинами и , а электрический потенциал на нем задан величиной (рис. 1).

Рисунок 1

В данных условиях в цилиндре имеет место состояние антиплоской деформации, причем в квазистатическом приближении система исходных соотношений сводится к следующим дифференциальным уравнениям относительно перемещения и электрического потенциала [1]:

,(1)

.

Здесь и - соответственно модуль сдвига, диэлектрическая проницаемость, пьезоэлектрическая постоянная и плотность материала. Из (1) следуют соотношения

,(2)

.

Механические и электрические величины выражаются через функции и формулами

(3)

.

В (3) - напряжения продольного сдвига, и - соответственно компоненты векторов индукции и напряженности электрического поля.

Механическое и электрические граничные условия на поверхности цилиндра при учете (2), (3) запишем в виде

на ,

,(4)

на .

Здесь - часть контура , соответствующая электродированной поверхности цилиндра, - время. Переходя к амплитудным значениям, запишем равенства (2) в форме

,(5)

.

Таким образом, задача заключается в определении функций и из дифферен-циальных уравнений (5) и граничных условий (4).

С целью сведения поставленной граничной задачи к интегральным уравнениям, представим искомые функции в виде:

(6)

Здесь - функция Ханкеля первого рода порядка , - элемент дуги контура .

Подставляя предельные значения функций (6) при в граничные условия (4), приходим к системе интегродифференциальных уравнений второго рода

, ,

, ,(7)

, ,

,

, ,

,

Здесь - угол между нормалью к контуру и осью .

Решение системы интегральных уравнений (7) существует для любой частоты , не совпадающей с собственной. Определив функции и , по формулам (3) с использованием представлений (6) можно вычислить все компоненты электроупругого поля в области и на границе цилиндра.

Найдем, например, выражение для плотности распределения электрических зарядов на -м электроде. Вводя параметризацию контура с помощью равенств , , и учитывая то, что цилиндр контактирует с вакуумом, можно записать

, .(8)

Здесь представляет собой нормальную компоненту вектора электрической индукции на соответствующем участке контура . Используя интегральное представление (6) для функции , находим с учетом (8) и (4)

,(9)

где - часть контура , на которой расположен -й электрод.

Интегрируя выражение (9) по переменной в пределах от до , получим амплитудное значение суммарного заряда на -м электроде. Ток, протекающий через данный электрод, можно определить по формуле

. (10)

Равенство (10) позволяет найти антирезонансные частоты, при которых .

Ниже рассмотрим один из способов численного решения системы (7). Построим интерполяционный полином Лагранжа для искомых функций и в узлах . Такой полином имеет вид (например, [2])

(11)

, , .

Отметим, что формулы (11) справедливы для нечетного числа узлов разбиения контура .

Интегрирование второй формулы (11) с использованием равенства [3]

приводит к следующему выражению для функции :

,(12)

.

Фигурирующая здесь константа должна определяться из условия периодичности функции , которое в силу (12) имеет вид

.(13)

Используя (12), находим также квадратурную формулу

,(14)

где . В узлах коллокации при нечетном значении полином (11) принимает значения

.(15)

Для сингулярного интеграла в (7) имеет место формула, аналогичная формуле вычисления регулярных интегралов:

.(16)

Заменяя теперь интегралы в (7) конечными суммами по формулам (14), (16) и привлекая равенства (11) - (13) и (15), придем к системе алгебраических уравнений относительно значений функций и в узлах интерполяции и постоянной .

В качестве примера рассмотрим круговой цилиндр (материал - керамика PZT-4 [1]) с двумя симметрично расположенными электродами с разностью амплитуд потенциала . Для этого случая на рис. 2а и 2б представлены линии уровня величины в области цилиндра при и соответственно ( - радиус цилиндра). Линии уровня величины при и иллюстрируются на рис. 3а и 3б. Расчетные параметры принимались равными: . Графики, характеризующие распределение величин и на контуре , приведены на рис. 4 и 5. Кривые 1-4 на рис. 4 построены для значений и ; на рис. 5 - для значений и соответственно. В расчетах принимали параметр и , дальнейшее увеличение практически не уточняло результатов.

Как следует из [1], плотность электрических зарядов на краях электродов обладает особенностью типа квадратного корня, что согласуется с графиками на рис. 5. Отметим существенное влияние частоты возбуждения на поведение электроупругих величин в исследуемых областях.

Рисунок 4 Рисунок 5

При определенных значениях частоты система входит в состояние резонанса. Для иллюстрации этого явления на рис. 6 дано изменение величины в функции нормализованного волнового числа в окрестности первых двух собственных частот колебаний ( - суммарный заряд на электроде). Нормализованные волновые числа, соответствующие первым двум резонансам, приближенно равны и

На рис. 7 приведены зависимости в функции для первого из четырех электродов, расположение которых фиксируется значениями . В первом варианте расчета электрические потенциалы задавали равными В (; кривые 1), во втором - В, В, В, В (кривые 2).

Линии уровня величины в области цилиндра при для первого и второго вариантов нагружения изображены на рис. 8а и 8б соответственно (длина стороны квадрата составляет от диаметра круга).

Рисунок 6 Рисунок 7

В заключение отметим, что при численном решении системы интегро-дифференциальных уравнений (7) по указанной выше схеме, в силу того, что некоторые ее ядра терпят разрывы, а плотности имеют особенности на краях электродов, для достижения удовлетворительной точности следует брать значительное число узлов разбиения контура сечения цилиндра, что приводит к увеличению процессорного времени. Несмотря на этот недостаток, рассмотренный подход привлекает своей универсальностью, позволяя исследовать различные варианты нагружения цилиндра без какого-либо принципиального усложнения алгоритма решения задач.

Summary

Antiplane problem of the electroelasticity for the cylinder with arbitrary cross-section, an excitation of which has been done through by means of the electrodes system, set on its surface is considered. The initial boundary-value problem is reduced to the system of integro-differential equations of the second kind. The numerical realization scheme of constructed algorithm is suggested. The examples of calculations are presented.

Список литературы

1. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 471 с.

2. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. К.: Наук. думка, 1984. 344 с.

3. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. 799 с.