Новые подходы к постановке задач для волнового уравнения

Новые подходы к постановке задач для волнового уравнения

А.А. Козачок, канд. техн. наук

Национальный университет Украины им. Т. Шевченко

Введение

Аналогии разнообразных волновых движений, наблюдаемых в повседневной практике, заслуженно занимают прочное место в формировании научных представлений о характере распространения волн в упругих средах. При этом хорошо известно [1], что передний фронт упругой волны движется с определенной скоростью , именуемой скоростью звука в данной среде. Такие, вполне правдоподобные представления, казалось бы, должны привести к выводу, что при математической постановке задачи о распространении волн необходимо вначале рассматривать две, принципиально отличающиеся по условиям нагружения, области среды - возмущенную и невозмущенную. Подобные постановки относятся к ряду чрезвычайно сложных задач о деформировании взаимодействующих упругих тел и с подвижными границами, и с переменной массой. Поэтому исходные уравнения, а также начальные и граничные условия, должны формулироваться для связанных упругих полей переменных масс возмущенной и невозмущенной областей. На самом же деле при постановке многих таких задач, ставших уже классическими и вошедших в учебники, почему-то в общем хотя и не отрицается, а даже подчеркивается [2, 3] упомянутая выше картина распространения возмущений, но упущена из виду необходимость обособленного рассмотрения возмущенной области, расширяющейся за счет присоединения массы из невозмущенной.

1. Анализ противоречий традиционных постановок

В качестве иллюстрации упомянутых в п.1 недоразумений между непротиворечивыми физическими представлениями и бессмысленными математическими постановками рассмотрим простейшую классическую задачу, с незапамятных времен занявшую прочное место в учебных пособиях по математической физике, теории колебаний и т.п. [1 - 5]. Это задача о свободных продольных колебаниях однородного призматического стержня длиной с одним закрепленным концом . Стержень имеет начальную деформацию за счет действия продольной силы и поэтому в качестве начальных условий принимают, что перемещения , а скорости . Таким образом, статическая форма, существующая только при наличии силы, принудительно навязывается динамической системе и фактически отождествляется с ее начальной формой, которая в режиме свободных колебаний линейной системы, по-видимому, должна периодически повторяться. В момент мгновенного прекращения действия силы освобожденный конец приходит в движение, а закрепленный остается неподвижен. Поэтому в качестве граничных условий принимают , . Однако почему-то упускают из виду возникающее противоречие, поскольку согласно начальному условию . К тому же прекращение действия силы нарушает статическую картину, поскольку бесконечно малый элемент свободного конца стержня сразу же приобретает начальную скорость за счет уменьшения деформации от до . Вся остальная часть стержня остается неподвижной, но предварительно нагруженной, при наличии на конце частично разгруженной, т.е. возмущенной области, длина которой постоянно увеличивается и в момент времени может быть определена из условия . Если скорость фронта волны разгрузки постоянна, то длина разгруженной части стержня в момент времени определяется как .

Таким образом, казалось бы, для корректного решения задачи необходимо рассматривать колебательный процесс возмущенной части стержня переменной длины , к одному концу которого непрерывно со скоростью присоединяются предварительно нагруженные частицы, принадлежавшие ранее неподвижной части стержня. Игнорирование такой, причем общепринятой [1, 3] картины привело к несовместимости начальных и граничных условий, а в конечном итоге и к физически бессмысленным решениям [4], которые с математической точки зрения, по-видимому, следует отнести к классу обобщенных. Может показаться, что подмеченные в [4] парадоксы таких решений относятся лишь к особым точкам, в данном случае к концам стержня, поскольку аналогичные локальные особенности (сингулярности) действительно встречаются во многих задачах, не вызывая сомнений в правдоподобности полученной картины в целом. Поэтому попытаемся доказать, что подобного рода сомнения в нашем случае лишены оснований.

2. Анализ противоречий традиционных решений

Рассмотрим поведение решения задачи о свободных колебаниях стержня с одним закрепленным концом и в других (неособых) сечениях, т.е. для . Классическая постановка такой задачи имеет вид

,

, ; , . (1)

Решение задачи можно получить, используя представление Даламбера

, (2)

откуда с учетом начальных условий (1) вытекает

. (3)

Именно этот результат приведен в учебных пособиях [3, стр. 243; 5, стр.208], где оговаривается наличие прямой и обратной волн, но почему-то игнорируется очевидный факт их взаимного гашения, из-за чего решение (3) в виде повторяет лишь начальные условия. К тому же нетрудно заметить, что удовлетворить граничное условие невозможно, а описываемый (3) ”колебательный” процесс таковым не является, поскольку от времени не зависит. Таким образом, из (3) отчетливо видно, что данная механическая система неспособна выйти из статического состояния, заданного условиями (1), т.е. решения поставленной задачи, как и следовало ожидать из-за несоблюдения классических требований, не существует. Но, как и наши предшественники, пока не станем обращать внимание на эту неприятную особенность выражения (3). Будем также согласно [3,5] считать, что имеется две волны , , бегущие со скоростью в прямом и обратном направлениях, и поэтому преобразуем (3) к виду

.(4)

Представим теперь каждый член, описывающий прямую и обратную волны, в скобках (4) в виде тригонометрического ряда [6]

(5)

и все же примем к сведению, что в целом сумма этих двух бесконечных рядов, как и выражений (3) или (4), которые они представляют, тоже не должна зависеть от аргумента .

Воспользуемся теперь известной [6] формулой

, (6)

и преобразуем с ее помощью всех членов обоих рядов в (5). Тогда в соответствии с (6) все выражения, содержащие произведения , взаимно сократятся, а (5) сразу же превратится в знаменитую формулу, с незапамятных времен вошедшую во многие учебники [3,5]

,(7)

хотя традиционный способ вывода этой формулы достаточно сложен.

Поскольку общая сумма (5), как уже оговаривалось, не зависит от времени , то вполне логично ожидать, что вытекающая из нее сумма ряда (7) тоже не должна зависеть от . Однако, например, после подстановки в (7) значения получим выражение

, (8)

из которого видно, что такое, казалось бы, очевидное следствие почему-то не вытекает из (8) и, как было показано в [4], после суммирования , . Если же дифференцирование по осуществить до суммирования ряда (8), то для скорости при получим иной результат, а именно: . Таким образом, только почленное дифференцирование ряда (8), а, следовательно, и (7), т.е. до его суммирования позволяет удовлетворить начальному условию .

Решение (7) обычно получают путем достаточно громоздких преобразований методом Фурье [1, 3, 5], и такой, совершенно неожиданный, и, казалось бы, вполне корректный переход от статического (3) к динамическому результату (7) приводит в недоумение. И действительно, из (8) вытекает хотя и неправдоподобный, но все же колебательный процесс в виде пилообразной функции [4]. К тому же после дифференцирования (7) по легко убедиться, что , т.е. решение (7) почему-то в противоположность (3) удовлетворяет и второму граничному условию. Парадоксы рассмотренного перехода ускользнули из поля зрения известных математиков, по-видимому, потому, что элементарные преобразования от (2) к (8), фактически заимствованные автором из [7, стр. 96; 8, стр. 552], никем не доводились до конца. Они прекращались, как только становилось понятно, что с помощью формулы (6) общие выражения типа (7) легко преобразуются в представления (2), и лишь на этом основании без детального сопоставления конечных зависимостей сформировалась некорректная точка зрения о совпадении результатов. В рассмотренном, а также во многих других случаях, когда игнорируются классические требования о неразрывности и дифференцируемости начальных функций, это не подтверждается. На самом же деле (3) и (8) оказались различными функциями, хотя и одинаковых аргументов .

Ключ к объяснению упомянутых недоразумений следует искать прежде всего в особенностях поведения рядов Фурье при перестановке и последующем сокращении их членов, особенно на границах области сходимости, где исходная функция и представляющий ее ряд иногда, и к тому же с учетом явления Гиббса, имеют различные значения [8]. К сожалению, на эти деликатные особенности почему-то очень редко обращают внимание. В результате решения многих задач, полученных методом Фурье, оказались фактически непригодными для практического применения [4]. Не согласованные, т.е. фактически разрывные краевые условия привели в нашем случае к своеобразному динамическому решению, к которому, как почему-то оказалось, можно перейти от статического () решения (3). Этот переход выполнен общепринятым [3, 7, 8], но скорее всего некорректным способом без надлежащего анализа областей сходимости рядов и их производных, которые могут и не совпадать. С физической точки зрения подобный переход бессмысленный. Именно такого рода физические абсурды присущи решениям тех классических и неклассических задач, при постановке которых принимались несогласованные или разрывные, или недифференцируемые требуемое число раз начальные условия. В этом перечне находится большинство задач о колебаниях струны, стержня, мембраны [2,3,5,7,9] и плохо поддающиеся такому анализу непрозрачные пространственные ситуации.

3. Противоречия теории локальных возмущений

Весьма показательной в плане рассмотренных в п. 1 недоразумений является и задача о распространении локальных возмущений в струне. Движения такого типа обычно подразделяют на волны отклонения и волны импульса [9,стр.37-51]. Решая подобные задачи методом характеристик [7,стр.55], иногда полагают, что локальное отклонение струны, например, в виде равнобедренного треугольника, разделяется на две одинаковые формы такого же вида, но в два раза меньшей площади. Указанные формы движутся в разные стороны вдоль струны со скоростью звука и вызывают лишь местное отклонение. При таком представлении решения струна бесконечной длины остается в покое за исключением двух взаимоудаляющихся локальных возмущений неизменной формы. Такого рода представления, в т. ч. и в теории ударных волн [3,стр.406], хотя, очевидно, и заимствованы из окружающей действительности, но соответствуют они волнам другой природы, распространяющимся в диссипативных средах, например, на водной поверхности, причем благодаря не упругим силам, а силам веса.

Ошибочность упомянутых выше представлений о распространении волн в упругом теле можно пояснить хотя бы тем, что они базируются на предположении об отсутствии расширяющейся возмущенной области из-за мгновенной остановки отклоненных частиц после возвращения их в исходное положение, соответствующее натянутой струне. На самом же деле в идеально упругом теле после прохождения возмущения через какую-либо точку за его задним фронтом возникает незатухающий колебательный процесс. И хотя в учебных пособиях по физическим основам механики, например, [10,стр.200-201] уже формулируются именно такие представления, в курсах же математической физики [5,7,9] и других дисциплин все еще почему-то господствуют прежние, противоречащие физическому смыслу, взгляды о неизменной форме локальных возмущений.

Выводы

Таким образом, следует отметить, что физически бессмысленные решения классических задач, рассмотренных в [4] и в п.3 обусловлены несовместимыми с общепринятыми представлениями о распространении упругих волн математическими постановками. Такие постановки фактически представляют собой принудительное навязывание заведомо колебательной системе по сути статической начальной формы, от которой линейная система не способна самостоятельно освободиться. В лучшем случае эти решения в результате некорректных математических преобразований и благодаря процедуре искусственного продолжения лишь периодически повторяют первоначально заданную статическую форму, а после разложения в ряд Фурье создают обманчивую видимость наличия множества гармоник, хотя на самом деле противоречат принципу суперпозиции частных решений.

Список литературы

Работнов Ю.И. Механика деформируемого твердого тела: Учебное пособие для университетов.- М.: Наука, 1979.- 744 с.

Тимошенко С.П. Курс теории упругости.- К.: Наукова думка, 1972.- 507 с.

Василенко Н.В. Теория колебаний: Учебное пособие для втузов.- К.: Вища школа, 1992.- 430 с.

Козачок А.А. Парадоксы классических решений волнового уравнения // Вестник НТУУ “КПИ”, Серия Машиностроение.- 2000.- Вып. 38.- Т. 2.- С. 124-133.

Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. Учебное пособие для университетов.- М.: Наука, 1972.- 688 с.

Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы/ Пер. с англ.- М.: Наука, 1966.- 228 с.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учебное пособие для университетов.- М.: Наука, 1972.- 736 с.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учебное пособие для университетов и пединститутов.- М.: Наука, 1969.- Т.3. - 656 с.

Араманович И.Г., Левин В.Н. Уравнения математической физики: Учебное пособие для втузов.- М.: Наука, 1969.- 288 с.

Шебалин О.Д. Физические основы механики и акустики: Учебное пособие для пединститутов.-М.: Высшая школа, 1981.- 261 с.