Основные направления развития магнитоупругости

ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЯ МАГНИТОУПРУГОСТИ

Л.А. Фильштинский, проф.

Е.М. Кравец, к.ф.-м.н.

Сложные условия работы современной техники стимулировали создание и разработку теории сопряженных полей в упругих телах. Взаимодействие физических полей в деформируемом теле особенно значимо при анализе прочности и надежности элементов конструкций, функционирующих при действии высоких температур, давлений, сильных электромагнитных полей (ЭМП). Потребность в оптимальных конструкциях для машиностроения привела к развитию новой области теории сопряженных физических полей, объединяющей теорию упругости и теорию электромагнетизма - магнитоупругости, на основе которой решаются задачи движения упругого электропроводного тела в магнитном поле (МП).

Воздействие ЭМП на деформируемое тело приводит к возникновению объемных сил, тепловых источников, влияние которых необходимо учитывать при анализе напряженного состояния. Изучение взаимодействия ЭМП с упругим телом, содержащим неоднородности структуры (трещины, отверстия, включения) существенно зависит от свойств материала по отношению к ЭМП: на электропроводные тела в равной мере воздействуют электрические и магнитные поля, на диэлектрики - преимущественно электрические, а на магнетики - магнитные поля.

Сверхпроводящие материалы делают возможным применение сильных МП. При этом необходимо учитывать эффект связанности магнитных и упругих свойств, отчетливо проявляющийся в магнетиках с неоднородностями. Взаимное влияние между напряжениями, деформациями и МП в электропроводных твердых телах может проявляться в трех различных формах:

1) взаимная зависимость характеристик упругости от состояния намагниченности и намагниченности от упругих свойств (магнитострикция);

2) движение твердого тела в МП или действие силы Лоренца, обусловленной вихревыми токами, наведенными вследствие изменения МП;

3) действие магнитной силы.

В настоящее время развиваются несколько направлений теории магнитоупругости:

1) тело находится в сильном статическом МП, взаимодействие поля деформаций с МП осуществляется посредством пондеромоторных сил Лоренца, входящих в уравнения движения, и обобщенного закона Ома для материальной частицы, движущейся в МП. Нелинейная система связанных уравнений электродинамики и движения упругой среды линеаризуется в предположении, что возмущение ЭМП, вызванное механическим воздействием, мало по сравнению с исходным МП. Не учитыва?тся магнитная и электрическay поляризуемость;

2) магнитоупругое взаимодействие для ферромагнетиков учитывает намагниченность, вызванную внешним МП. Теория магнитоупругости для мягких ферромагнетиков, характеризующихся малыми гистерезисными потерями и находящихся в стационарном МП, строится на основе связи между уравнениями ЭМП и количества движения посредством электромагнитных массовых сил, содержащих кроме обычных сил Лоренца члены, обусловленные намагниченностью. Линеаризация исходных уравнений и уравнений состояния здесь является достаточно сложной проблемой;

3) развитие других направлений магнитоупругости, связанных с более сложными моделями, в которых учитываются релятивистские эффекты, большие деформации, эффекты магнитной анизотропии, влияние токов проводимости и намагничивания в парамагнитных и мягких ферромагнитных материалах.

Указанные вопросы занимают очень важное место в развитии современной механики, и, как отмечает W. Nowacki [1], развитие теории электромагнитного взаимодействия с механической средой «стало одним из главных направлений развития механики твердого тела за последние годы».

Разработке теории и методов расчета сопряженных физических полей, разрушению магнетиков в сильных МП посвящено много работ как отечественных, так и зарубежных авторов [2-13]. Значительный вклад внесли: Асанян Д.Д., Асланян А.А., Багдасарян Г.Е., Гачкевич А.Р., Кудрявцев Б.А., Можен Ж., Партон В.З., Солодяк М.Т., Фильштинский Л.А., Черный Л.Т., Chakravarty S.K., Nowacki W., Sengupta P.R., Shindo Y. и другие. Достаточно полный обзор дан Paria G. в [5] и Б.А. Кудрявцевым и В.З. Партоном в [14]. Численные методы, которые применяются для решения указанных задач, описаны в [15-17].

В данном обзоре остановимся на работах, посвященных решению задач магнитоупругости для тел с неоднородностями, находящихся в МП.

На основании несвязанных линеаризованных уравнений магнитоупругости S.K. Chakravarty и P.R. Sengupta [18, 19] решили плоскую статическую задачу магнитоупругости для неограниченной пластинки с эллиптическим, треугольным или квадратным отверстием и для случая заполнения отверстия жестким телом с магнитной проницаемостью, отличной от проницаемости среды. На границе смещения равны нулю или соответствуют жесткому смещению включения; действуют однородное МП и растягивающая нагрузка на бесконечности.

Y. Shindo в [20] рассматривает бесконечное электропроводное тело с круговой цилиндрической полостью, имеющей кольцевую выточку; действует однородное осевое МП и однородный осевой ток.

В [21] Б.А. Кудрявцев, В.З. Партон и Б.Д. Рубинский исследуют нестационарный процесс концентрации ЭМП и теплового поля в неограниченной проводящей пластинке, через которую пропускается постоянный ток, и мгновенно перпендикулярно ему возникает прямолинейная трещина конечной длины, свободная от механических нагрузок, на ее берегах нормальная составляющая вектора плотности электрического поля равна нулю. Для малых времен получены приближенные выражения для векторов напряженности МП, температуры и термоупругих напряжений.

Актуальнее и интереснее динамические задачи магнитоупругости, где учитывается влияние наведенных тока и намагниченности. Y. Shindo в [22] рассматривает влияние наведенных токов на динамические сингулярные напряжения у вершины трещины, обусловленные импульсным кручением в осевом МП неограниченной магнитоупругой среды с круговой трещиной. В квазистатическом приближении при конечной электрической проводимости возникает эффект магнитной вязкости, а динамический коэффициент интенсивности напряжений (КИН) уменьшается с увеличением МП. В случае идеального проводника динамический КИН увеличивается с увеличением МП, сингулярные напряжения у вершины трещины перераспределяются.

Рассеяние гармонических и импульсных магнитоупругих волн в электропроводных телах с конечной прямолинейной трещиной рассмотрено в [23-26], а аналогичные задачи для ферромагнетиков - в [27-38]

Рассмотрим работы, в которых решаются задачи магнитоупругости для диа (пара-) магнитнетиков. В рамках линеаризованной теории магнитоупругости Y.Shindo [23] изучил дифракцию неустановившейся волны сдвига на трещине конечной длины в неограниченной упругой среде с бесконечной проводимостью, находящейся в МП с вектором напряженности, параллельным или перпендикулярным плоскости трещины. В [24] рассмотрена аналогичная задача о дифракции гармонической горизонтально поляризованной сдвиговой волны на прямолинейной трещине конечной длины при наличии стационарного МП с вектором напряженности, параллельным плоскости трещины. С помощью интегральных преобразований задачи сведены к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. В случае перпендикулярности вектора напряженности МП плоскости трещины, влияние МП на КИН в окрестности вершины незначительно, а при их параллельности наблюдается сдвиг максимума КИН в сторону больших частот. В [39] рассмотрена осесимметричная задача о дифракции продольной гармонической волны на дисковидной трещине в неограниченной идеально проводящей изотропной среде, находящейся под действием осевого МП, перпендикулярного плоскости трещины. Получено выражение для сингулярной части полных напряжений и изучена зависимость КИН от частоты. Напряжения на контуре трещины имеют корневую особенность, а наличие МП незначительно увеличивает максимум КИН. В [40] исследуется рассеяние изгибных волн на трещине конечной длины в пластине при распространении волн перпендикулярно трещине и действии поперечного невозмущенного МП, описанного в квазистатическом приближении, задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода.

Ряд задач магнитоупругости рассмотрены Л.А. Фильштинским и его учениками [12, 27-29, 31-34, 41-46]. В [44] рассматриваются двумерные задачи магнитоупругости для пара- и ферромагнетиков, содержащих неоднородности. Задачи сводятся к решению сингулярных или регулярных интегральных уравнений. В [31] рассматривается плоская задача магнитоупругости для мягкого ферромагнетика с несколькими криволинейными трещинами. Краевая задача сводится к системе двух действительных сингулярных интегральных уравнений первого рода. Получены формулы для КИН в вершине трещины.

Рассмотрим работы, посвященные решению задач магнитоупругости для ферромагнетиков. Используя теорию мягких ферромагнетиков, развитую в работе Y.-H. Pao и C.-S. Yeh [6], Y. Shindo в [35, 37] рассмотрел ряд задач о трещинах в упругих ферромагнетиках, находящихся под действием однородного МП. В [35] решена статическая плоская задача о равновесии прямолинейной трещины конечной длины внутри изотропного ферромагнетика при наличии однородного МП, перпендикулярного поверхности трещины. Решение с применением преобразования Фурье получено в замкнутой форме и найдено выражение для КИН. Оказалось, что существует «критическая» величина магнитной индукции, приводящая к нестабильности трещины. В [37] рассмотрена осесимметpичная задача о деформации мягкого феppомагнетика с дисковидной трещиной при действии однородного МП, перпендикулярного плоскости трещины. Изучены особенности магнитоупpугих и максвелловских напряжений в окрестности контура трещины. При некотором «критическом» значении величины магнитной индукции КИН стремится к бесконечности, и тогда трещина становится неустойчивой. Аналогичный вывод сделан в [47-49] при рассмотрении изотропной плоскости, состоящей из двух различных ферромагнитных однородных полуплоскостей, на границе раздела которых находится прямолинейная трещина. Деформации и индуцированное МП в среде вызывает внешнее МП, перпендикулярное плоскости раздела.

В [50] приводится представление решений задач магнитоупругости через функции комплексного переменного.

Y. Shindo в [51] аналитически решена задача для бесконечного феppомагнетика с плоской кольцевой трещиной, помещенного в постоянное МП. Рассчитан безразмерный КИН около внешней и внутренней кромок трещины в зависимости от геометрических соотношений и от упругих и магнитных свойств материала. С уменьшением внутреннего радиуса трещины КИН около ее внешней кромки растет и стремится к конечному значению, а около внутренней кромки неограниченно возрастает. В [52] рассматривается линейная задача магнитоупpугости для бесконечного тела с двумя одинаковыми трещинами Гpиффитса, лежащими на одной прямой, в условиях плоской деформации. Ферромагнетик изотропен и однороден и подвержен воздействию однородного постоянного МП, перпендикулярного поверхности трещин. Система уравнений магнитоупpугости сводится к двум тройным интегральным уравнениям, которые решаются аналитически с помощью конечного преобразования Гильбеpта, приводится асимптотика поля напряжений вблизи концов трещин и дано выражение для КИН. В [38] решена связанная задача электpомагнитоупpугости для бесконечного феppомагнетика с трещиной, часть контура которой в средней части трещины распирается жестким включением. Тело находится в постоянном ЭМП. Рассчитан зависящий от магнитных свойств материала КИН около концов трещины. Взаимодействие МП с полем упругих сил, его влияние на распределение напряжений и КИН при наличии системы трещин изучены в [53, 54]. Влияние наведенной намагничиваемости оценивается в [55], где рассматривается помещенный в МП неограниченный феppомагнетик, ослабленный туннельной прямолинейной трещиной. Перпендикулярно поверхности трещины падает гармоническая магнитоупpугая волна. Максимальное значение КИН возрастает при наличии МП на 64%.

Л.Т. Чеpный решил задачу об обобщенном плосконапряженном состоянии феppомагнитной пластинки с отверстием в сильном МП [56].

Д.Д. Асанян и А.А. Асланян на основе линейной теории решают задачу о нахождении магнитоупpугих и максвелловских напряжений в пространстве с монетообразной трещиной, находящейся на плоскости раздела двух различных изотропных магнитомягких полупространств. Тело находится в однородном МП, вектор напряженности которого перпендикулярен плоскости раздела [57].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Nowacki W. Сопряженные поля в механике твердого тела // Успехи механики (ПНР). - 1978. - 1, №1-2. - С.17-44.

2. Kaliski S., Petykiewicz J. Dynamical equations of motion and solving functions for elastic and inelastic anizotropic bodies in the magnetic fields // Proc. Vibr. Probl. Pol. Acad. Sci. - 1959. - №2. - P.17-35.

3. Dunkin J.W., Eringen A.C. On propagation of waves in an electromagnetic elastic solid // Int. J. Eng. Sci. - 1963. - №1. - P.461-495.

4. Suhubi E.S. Small torsional oscillations of a circular cylinder with finite electric conductivity in a constant axial magnetic field // Int. J. Eng. Sci. - 1965. - 2, №5. - P.441-459.

5. Paria G. Magnetoelasticity and magnetothermalelasticity // Adv. Appl. Mech. - 1967. - 10, №1.

6. Pao Y.-H., Yeh C.-S. A linear theory for soft ferromagnetic elastic solids // Int. J. Eng. Sci. - 1973. - 11, №4. - P.415-436.

7. Лохин В.В. Основные уравнения механики деформируемых сплошных сред, взаимодействующих с электромагнитным полем, с учетом электрической и магнитной поляризации // Научн. тр. Ин-та мех. Моск. ун-та. - 1974. - №31. - С.149-166.

8. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезо-электрических и электропроводных тел. - М.: Наука, 1988. - 472 с.

9. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. - В кн.: Механика. Новое в зарубежной науке. - №37. - М.: Мир, 1986. - 160 с.

10. Maugin G.A. On the foundations of the electrodynamic of deformable media with interactions // Lett. Appl. and Eng. Sci. - 1976. - 4, №1. - P.3-17.

11. Агранович З.С., Деревянко Н.И. Деформирование намагниченного тела действием внешнего магнитного поля // Прикладная механика. - 1975. - 11, №11. - С.3-8.

12. Фильштинский Л.А., Фильштинский В.А. Упругость и оптимизация полей в телах с дефектами. Часть 1. Основные модели линейной упругости. Учебное пособие. - Сумы: ССХИ, 1991. - 151 с.

13. Гачкевич А.Р., Солодяк М.Т., Телецкий Р.Ф. Методика количественного описания физико-механических процессов в электpопроводных упругих системах при воздействии квазиустановившихся электромагнитных полей // 3 Междунар. совещ. - семин. «Инж.-физ. пробл. нов. техн.», Москва, 17-19 мая, 1994: Тез. докл. - М., 1994. - С.104-115.

14. Кудрявцев Б.А., Партон В.З. Магнитотермоупругость. - В кн.: Итоги науки и техники. Механика деф. тв. тела. - М.: ВИНИТИ. - 1981. - Т. 14. - С.39.

15. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. - М.: Наука, 1985. - 253 с.

16. Савpук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. - Киев: Наукова думка, 1981. - 324 с.

17. Erdogan F., Gupta G.D. On the numerical solution of singular integral equations // Quart.Appl.Math. - 1972. - 29, №4. - P.525-534.

18. Chakravarty S.K., Sengupta P.R. Some problems in two-dimen- sional magneto-elasticity I // Bull.Acad.pol.sci.: Ser.sci.techn. - 1976. - 24, №5. - P.397-407.

19. Chakravarty S.K., Sengupta P.R. Some problems in two-dimen-sional magneto-elasticity II // Bull.Acad.pol.sci.: Ser.sci.techn. - 1976. - 24, №7-8. - P.557-561.

20. Shindo Y., Takeuchi A. Electromagnetic twisting of a circumferential edge crack in a cylindrical cavity // J. Techn. Phys. - 1990. - 31, №2. - P.203-214.

21. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Рубинский Б.Д. Электромагнитное и термоупругое поля в проводящей пластинке с разрезом конечной длины // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1982. - №5. - С.110-118.

22. Shindo Y. Sudden Twisting of an Infinitive Elastic Conductor with a Penny-Shaped Crack in a Constant Axial Magnetic Field // Z.angew. Math. und Mech. - 1982. - 62, №11. - P.599.

23. Shindo Y. Diffraction of transient horizontal shear waves by a finite crack in the presence of the magnetic field // Letters in Applied and Engineering Sciences. - 1975. - 3, №5. - P.313-329.

24. Shindo Y. Diffraction of Antiplane Shear Waves by a Finite Cracks in the Presence of the Magnetic Field // Z.angew. Math. und Mech. - 1976. - 56, №1. - P.33-41.

25. Shindo Y. Рассеяние гармонических магнитоупругих волн в парамагнитных и диамагнитных проводниках с трещиной в задаче о плоских деформациях // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng.: Нихон кикай гаккай ромбунсю. - 1979. - А45, №393. - P.498-504.

26. Shindo Y. Рассеяние импульсных магнитоупругих волн в парамагнитных и диамагнитных проводниках с трещиной в задаче о плоских деформациях // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng.: Нихон кикай гаккай ромбунсю. - 1979. - А45, №391. - P.273-280.

27. Фильштинский Л.А., Фоменко Л.И. Динамическая напря- женность проводящего полупространства с криволинейным разрезом в сильном магнитном поле (Состояние антиплоской деформации) // Прикладная математика и механика . - 1992. - 56, №1. - С.143-149.

28. Фильштинский Л.А., Фоменко Л.И. Динамическая напряженность проводящего полупространства с отверстием в сильном магнитном поле // Прикладная механика и техническая физика. - 1991. - №6. - С.16-20.

29. Фильштинский Л.А., Шесталова В.В. Дифракция магнито-упругой волны на отверстии и трещине // Физико-химическая механика материалов. - 1992. - 28, №3. - С.14-18.

30. Shindo Y. Diffraction of normal compression waves by a penny - shaped crack in the presence of an axial magnetic field // Int. J. Eng. Sci. - 1979. - 17, №5. - P.651-658.

31. Фильштинский Л.А. Плоская задача магнитоупругости для ферромагнитной среды, ослабленной разрезами // Прикладная математика и механика. - 1993. - 57, вып. 5. - С.143-152. 221.

32. Фильштинский Л.А., Кравец Е.М., Хворост В.А. Напряженное состояние ферромагнитной пластины с трещинами в присутствии сильного магнитного поля // Прикладная механика и техническая физика. - 1993. - №6. - С.147-151.

33. Fil'shtinskii L.A. A plane problem of magneto - elasticity for a ferromagnetic medium weakened by cuts // J. Appl. Maths. Mechs. - 1993. - 57, №5. - P.903-912.

34. Fil'shtinskii L.A., Fomenko L.I. The dynamic stress of a conducting half - space with a curvilinear cut in a strong magnetic field (Antiplanar deformation state) // J. Appl. Maths. Mechs. - 1992. - 56, №1. - P.125-131.

35. Shindo Y. The linear magnetoelastic problem for a soft ferromagnetic elastic solid with a finite crack // Trans. ASME. Ser. E. (J. Appl. Mech.). - 1977. - 44, №1. - P.47-50.

36. Shindo Y. The linear magnetoelastic problem of two coplanar Griffith cracks in a soft ferromagnetic elastic strip // Trans.ASME: Ser. E. (J. Appl. Mech.). - 1982. - 49, №1. - P.69-74.

37. Shindo Y. Magnetoelastic interactions of a soft ferromagnetic elastic solid with a penny-shaped crack in a constant axial magnetic field // Trans. ASME. Ser. E. (J. Appl. Mech.). - 1978. - 45, №2. - P.291-296.

38. Shindo Y. Двумерная задача о ферромагнитном упругом теле с конечной трещиной, раскрываемой жестким включением // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng.: Нихон кикай гаккай ромбунсю. - 1980. - А46, №402. - P.150-157.

39. Shindo Y. Diffraction of torsional waves by a penny-shaped crack in the presence of the axial magnetic field // Bull. Acad. pol. sci. techn. - 1978. - 26, №4. - P.325-330.

40. Shindo Y., Horiguchi K. Dynamic bending of cracked soft ferromagnetic plate in uniform magnetic field // Theor. and Appl. Fract. Mech. - 1991. - 15, №3. - P.207-217.

41. Фильштинский Л.А. Дифракция упругих волн на трещинах, отверстиях, включениях в изотропной среде // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1991. - №4. - С.119-127.

42. Фильштинский Л.А., Кравец Е.М. Плоская задача магнито-упругости для ферромагнитной среды, ослабленной отверстиями // Физико - химическая механика материалов. - 1995. - №6. - С.38-46.

43. Фильштинский Л.А., Кравец Е.М. Дифракция магнитоупругих волн на отверстии в проводящей пластинке // Вестник СумГУ - 1996. - №5. - С.3-8.

44. Filshtinsky L.A. Effect of strong magnetic fields on mechanical stress in piece-wise homogeneous, conducting solids // Fract. Mech.: Successes and Probl.: 8 Int. Conf. Fract., Kiev, 8-14 June, 1993: Collect. Abst. Pt1. - Lviv, 1993. - P.108.

45. Фильштинский Л.А., Кравец Е.М., Хворост В.А. Приложение техники сингулярных уравнений к исследованию статической напряженности ферромагнитного тела с трещинами // 6 Межд. симп., Харьков, 24-28 мая, 1993: Тез. докл. - Харьков, 1993. - Ч.2. - С.45.

46. Кравец Е.М. Напряженное состояние ферромагнитной пластины с дефектами типа трещин или отверстий в присутствии сильного магнитного поля // Сум. гос. ун-т. - Сумы, 1996. - 20 с.: Библ.: 11 назв. - Рус. Деп. в ГНТБ Украины 24.09.96. №1812 - Ук 96.

47. Асанян Д.Д., Асланян А.А., Багдасарян Г.Е. О концентрациях упругих напряжений и индуцированного магнитного поля возле трещины, обусловленных внешним магнитным полем // Изв. АНАрмССР. Механика. - 1988. - XLI, №2. - C.15-25.

48. Асанян Д.Д., Асланян А.А., Багдасарян Г.Е. Концентрация напряжений в магнитомягком теле с трещиной, вызванной внешним магнитным полем // Изв. АН АрмССР. Механика. - 1988. - XLI, №5. - C.8-13.

49. Асанян Д.Д., Асланян А.А., Багдасарян Г.Е., Хачатрян А.Х. Напряженно-деформированное состояние кусочно-однородных ферромагнитных тел с трещиной, обусловленное внешним магнитным полем // Изв. АН АрмССР. Механика. - 1987. - XL, №40. - C.3-10.

50. Багдасарян Г.Е., Асанян Д.Д., Асланян А.А. Приведение плоских задач магнитоупругости магнитомягких ферромагнитных тел к задачам теории функций комплексного переменного // Пробл. динамики взаимод. деформированных сред // Издательство АН Арм. ССР. - 1987. - С.53-58.

51. Shindo Y. Магнитоупругое взаимодействие в ферромагнитном теле с плоской кольцевой трещиной // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng.: Нихон кикай гаккай ромбунсю. - 1981. - А47, №413. - P.36-44.

52. Shindo Y. Singular Stresses in a Soft Ferromagnetic Elastic Solid with Two Coplanar Griffith Cracks // Int. J. of Solids and Structures. - 1980. - 16, №6. - P.537-543.

53. Shindo Y. Задача о ферромагнитном твердом теле, обладающем бесконечным рядом параллельных наборов из двух компланарных трещин Гриффитса, в магнитном поле // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng.: Нихон кикай гаккай ромбунсю. - 1981. - А47, №421. - P.941-948.

54. Shindo Y. Двумерная задача для ферромагнитного упругого твердого тела с бесконечным рядом параллельных трещин // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng.: Нихон кикай гаккай ромбунсю. - 1981. - А47, №421. - P.936-940.

55. Shindo Y. Механика электроупругих твердых тел в магнитном поле // Trans.Jap.Soc.Mech.Eng.: Нихон кикай гаккай ромбунсю. - 1983. - А49, №448. - P.1467-1474.

56. Черный Л.Т. Некоторые плоские задачи теории упругости сильно намагничивающихся тел // Научн. тр. Ин-та мех. Моск. ун-та. - 1974. - №31. - С.120-130.

57. Асанян Д.Д., Асланян А.А. Концентрация магнитоупругих напряжений возле монетообразной трещины, находящейся на плоскости раздела двух магнитомягких полупространств // Мех. деф. тв. тела. - Ереван, 1990. - С.107-114.