Параметрическая идентифицируемость механических колебательных систем, основанная на модели равномерного движения материальной точки

Параметрическая идентифицируемость механических колебательных систем, основанная на модели равномерного движения материальной точки

Автор:

Пузько И.Д., доц.

При исследовании и анализе механических систем применяют дискретные и непрерывные методы, основанные на использовании гармонических возбуждающих воздействий. В частности, находят применение методы анализа, базирующиеся на экспериментальном снятии амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) исследуемых объектов [1].

При снятии АЧХ применяют методы: сканирования частоты возбуждающего испытуемый объект воздействия, одновременное возбуждение испытуемого объекта конечным числом гармонических сигналов с разными частотами, возбуждение случайным сигналом, имеющим характер белого или розового шума, детерминированной или случайной последовательностью импульсных сигналов разной формы, модулированных по амплитудным значениям , временному положению, полярности, площади и др [2].

Более достоверную информацию получают при использовании режимов сканирования частоты по сравнению с методами, основанными на использовании импульсной переходной функции исследуемого линейного объекта за счет обеспечения более высокого значения сигнал/помеха [2].

Снятие АЧХ методом сканирования частоты является распространенным. Усложнение такого метода основано на необходимости решения задачи оптимизации скорости сканирования частоты в смысле минимизации погрешности снятия АЧХ, т.е. минимального отличия динамического резонансного пика АЧХ относительно статического [2, 3].

Предложенный в работе метод идентифицируемости частот максимумов резонансных пиков основан не на принципе выбора оптимальной скорости сканирования частоты возбуждающего испытуемый объект воздействия в смысле минимизации погрешности отклонения частоты максимума динамического резонансного пика относительно частоты максимума статического, а на принципе возможности фиксации частот максимумов огибающих полуразмахов колебаний по крайней мере двух динамических резонансных пиков, соответствующих постоянным и разным скоростям сканирования частоты по линейному закону без учета строгого ограничения на максимальную скорость сканирования.

С одной стороны, приближенное вычисление интеграла Дюамеля за счет учета ограниченного числа слагаемых при разложении экспоненциального множителя подынтегрального выражения в ряд [4] позволяет получить замкнутое выражение для определения резонансной частоты статического резонансного пика [3].

С другой стороны, рассматривая в качестве модели режима сканирования частоты при наличии резонансных пиков АЧХ модель равномерного движения материальной точки, приходим к следующим соотношениям.

В предположении использования модели, основанной на законе равномерного движения материальной точки для k-го резонансного пика, имеет место формула

где - резонансная частота динамического резонансного пика при скорости V сканирования;

- резонансная частота статического резонансного пика;

- текущее время.

При реализации режимов сканирования частоты со скоростями и условии при учете (1) имеем

где - промежуток времени сканирования частоты по диапазону частот со скоростью ;

 - резонансная частота динамического резонансного пика, соответствующая резонансной частоте k-го статического резонансного пика при скорости сканирования частоты по диапазону частот.

В некотором ограниченном диапазоне изменения скорости сканирования

можно применять гипотезу линейного смещения резонансной частоты k-го динамического резонансного пика относительно резонансной частоты k-го статического.

В предположении

из (2) получим

что соответствует соотношению, основанному на применении интеграла Дюамеля [ 5 ].

Представим (5) в видео

Из физических соображений имеет место неравенство , тогда из (5) следует система неравенств

что соответствует системе неравенств:

Из (8) следует система неравенств:

а) при имеет место неравенство

Или

Где

В случае малых изменений скорости из (10) следует неравенство

б) при имеют место неравенства, аналогичные (9), (10).

Из неравенств (9), (10), (11) следует утверждение.

Утверждение 1

а) при реализации режимов сканирования частоты возбуждающего механическую колебательную систему воздействия, по крайней мере, с двумя постоянными и разными скоростями сканирования в первом приближении относительное изменение скорости сканирования возбуждающего воздействия превышает относительное изменение резонансной частоты динамического резонансного пика;

б) при реализации режимов сканирования частоты возбуждающего механическую колебательную систему воздействия, по крайней мере, с двумя постоянными и разными скоростями сканирования в первом приближении производная резонансной частоты динамического резонансного пика по скорости сканирования не превышает среднее изменение резонансной частоты динамического резонансного пика в зависимости от скорости сканирования.

Из (1) при условии имеют место соотношения:

Из (1) при условиях

или в более общем виде

имеют место соотношения:

В предположении

Из (15) имеем

Представим (17) в двух формах:

Полученные соотношения (5), (18) позволяют определить резонансную частоту k-го статического резонансного пика в зависимости от двух скоростей сканирования частоты возбуждающего испытуемый объект воздействия в явном виде. Такой алгоритм при его технической реализации создает дополнительные схемотехнические усложнения в эксплуатации, так как приводит к необходимости изменять режим работы усилительных блоков при изменении скоростей.

Приведем алгоритм, обеспечивающий определение частоты, которая в явном виде не зависит от скоростей сканирования частоты по диапазону частот.

При реализации двух режимов сканирования частоты со скоростями и условии при учете (1) имеем систему уравнений

При реализации двух режимов сканирования частоты со скоростями и условии при учете (1) имеем систему уравнений

В предположении

Из (2), (20) при учете (21) имеем

Подставляя (22), например, в первое уравнение (2), а (23) - в первое уравнение (20) и исключая из этих уравнений , получим формулу для определения резонансной частоты k-го статического резонансного пика, исключающую зависимость от скоростей сканирования частоты при условии :

Приведенные соотношения (5), (17), (24) для определения, основанные на законе равномерного движения материальной точки, и соотношения, полученные при приближенном вычислении интеграла Дюамеля [3, 5], позволяют сформулировать следующие утверждения.

Утверждение 2. Резонансная частота явно выраженного k-го статического резонансного пика в первом приближении моделируется и определяется законом равномерного движения материальной точки.

Утверждение 3. Для определения резонансной частоты при моделировании законом равномерного прямолинейного движения материальной точки необходимо и достаточно реализации, по крайней мере, с двумя конечными и разными скоростями сканирования частоты при фиксации и запоминания двух частот максимумов огибающих полуразмахов колебаний динамических резонансных пиков, соответствующих скоростям сканирования частоты.

Утверждение 4. Для определения резонансной частоты статического резонансного пика методом сканирования частоты возбуждения необходимо и достаточно реализации, по крайней мере, двух режимов сканирования со скоростями при выполнении одного из условий:

Утверждение 5. Для определения резонансной частоты явно выраженного k-го статического резонансного пика при реализации режимов сканирования частоты при неявной зависимости от значений скоростей сканирования необходимо и достаточно введение, по крайней мере, двух скоростей сканирования при выполнении двух условий:

.

Таким образом, в статье показана эквивалентность подходов параметрической идентифицируемости резонансных частот механических колебательных систем, основанных на приближенном вычислении интеграла Дюамеля, при использовании режимов сканирования частоты и применении модели равномерного движения материальной точки.

Список литературы

Божко А.Е., Личкатый Е.А., Полищук О.Ф. и др. Резонансные виброиспытательные системы/ Под ред. Божко А.Е.; АН Украины, Ин-т проблем машиностроения.-Киев: Наук. думка, 1992.-248с.- ISBN - 5 12 - 002956 - 6.

Абрамович С.В., Климантов В.А., Масол А.Н., Райхман С.Р., Дехтяренко П.И. Определение частотных характеристик динамических объектов с использованием дискретной техники // Кибернетика и вычисл. техника. - 1989. - Вып. 83. - С. 64-70.

Харкевич А.А. Спектры и анализ. - М.: Физматгиз, 1962. - 236 с.

Вакман Д.Е. Асимптотические методы в линейной радиотехнике. - М.: Сов. радио, 1962. - 248 с.

Пузько И.Д., Хворост В.А. Идентификация колебательных систем методом сканирования частоты // Вест. СумГУ, 1996. - №1(5). - С. 50-56.