Порівняльний аналіз двох параметризацій в одній задачі оптимального проектування

Порівняльний аналіз двох параметризацій в одній

задачі оптимального проектування

Коваленко Г.П., доцент, Шуда І. О., асп.

На прикладі однієї задачі оптимального проектування показано, що різним нелінійним перетворенням первісних параметрів в безрозмірні відповідають різні нелінійні системи алгебраїчних рівнянь для одержання стаціонарних функцій. При цьому виявилось, що існують такі нелінійні перетворення, для яких згадані системи є звідними, тобто розпадаються на простіші системи з точними аналітичними розв'язками.

Істотним елементом задачі оптимального проектування дискретних механічних систем зі сталими параметрами є розв'язання нелінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження стаціонарних точок чи функцій. В останньому випадку бажано мати точні аналітичні розв'язки, що трапляється надто рідко.

Однак, як показано у пропонованій статті, можливості застосування аналітичних методів можна розширити шляхом вибору належних нелінійних перетворень первісних параметрів в безрозмірні функціональні параметри. Це показано на прикладі задачі про гармонічні коливання віброізолятора з двома ступенями свободи. Згадана задача розглядалась з позицій теорії механічних коливань в [1,2]. Тому одержання рівнянь руху та їх інтегрування тут не розглядається.

1. Нехай коефіцієнти жорсткості пружин віброізолятора [1], c-коефіцієнт розсіювання енергії, -відхилення мас від стану рівноваги, амплітуда зовнішньої гармонічної сили зі сталою частотою коливань . Невідомі шукаються у вигляді , де -комплексні амплітуди, i- уявна одиниця. Для модулів комплексних амплітуд одержано такі вирази

(1)

2. У першому способі безрозмірної параметризації в ролі безрозмірних параметрів приймають

 (2)

Тоді безрозмірні модулі амплітуд - відношення модуля амплітуди динамічного зміщення до статичного - записуються так

(3)

При іншому способі введення безрозмірних параметрів останні вводяться так

(4)

Тоді безрозмірні амплітуди (3)

(5)

Від параметрів (2) можна перейти до параметрів (4) і навпаки з допомогою таких нелінійних перетворень і їм обернених

Обидва перетворення діють на півосі , за межами якої задача втрачає сенс.

3. Проводити оптимізацію динамічної задачі зразу по всіх параметрах не доцільно. Далі множина з чотирьох безрозмірних параметрів розбивається на дві рівні підмножини, що приводить до шести оптимізаційних задач, з яких тут розглядаються три, коли у випадку першого способу параметризації в ролі змінних параметрів приймаються такі пари: При другому способі параметризації відповідними парами є Спочатку розглядається задача безумовної оптимізації: знайти оптимальні значення двох параметрів із чотирьох, які забезпечують мінімальне значення безрозмірної амплітуди . Із необхідних умов мінімуму випливають відповідно такі рівняння

(6)

(7)

(8)

Сумісний розв'язок рівнянь (6), (7) дає такі стаціонарні поверхні

Стаціонарні поверхні існують при , крива є лінією біфуркації цих поверхонь - саме в точках цієї кривої виникають обидві поверхні які далі роздвоюються. При умові існують дві стаціонарні поверхні , при порушенні нерівності одна з поверхонь переходить в область затухаючих коливань, коли змінна стає від'ємною. Обидві поверхні несуть на собі значення параметра , що відповідають затухаючим коливанням, які знаходяться за межами розгляду оптимізаційної задачі. При виконанні нерівності існують дві стаціонарні поверхні . При порушенні нерівності одна з поверхонь переходить в область затухаючих коливань. Крім згаданих обмежень області існування стаціонарних поверхонь додається загальне обмеження, яке стосується всіх шести оптимізаційних задач: величини не можуть дорівнювати нулю одночасно

Розв'язок системи рівнянь (6), (8) дає такі стаціонарні функції

Крім загальної вимоги , задані параметри повинні задовольняти нерівності

Нарешті, розв'язок системи (7), (8) дає такі стаціонарні поверхні

де

Поверхні існують при виконанні умови . Прямі являються біфуркаційними. В точках цих прямих поверхні перетинаються. Стаціонарні поверхні існують в області, обмеженій нерівностями

4. У випадку другої параметризації з умов випливають такі рівняння

(9)

; (10)

(11)

З рівняння (10) , що зводить рівняння (9) до вигляду

.

Нехай тоді також не дорівнює нулю, бо інакше стане рівним нулю, а одночасне обертання в нуль і не допустиме. Оскільки рівняння не має дійсних коренів, то залишається розглянути систему

Вона має такі чотири стаціонарні функції

де

Крім загальних обмежень слід вимагати

Оскільки рівняння не мають дійсних коренів, то криві біфуркації відсутні.

При розгляді системи рівнянь (9),(11) виявляється, що рівняння має єдиний дійсний корінь , який вилучається з розгляду. Залишається розглянути систему, що складається з рівняння (9) і рівняння з допомогою якого, рівняння (9) зводиться до

Таким чином, слід розглянути дві системи рівнянь

(12)

(13)

З системи рівнянь (12) випливає залежність

яка дозволяє звести перше рівняння до такого

По знайденому звідси значенню визначається інший параметр

В системі (13) друге рівняння зводиться з використанням першого до вигляду

Тоді перше рівняння стає таким

(14)

де

Одержане рівняння має п'яту степінь щодо змінної , оскільки його старший коефіцієнт і вільний член відмінні від нуля. Рівняння (14) можна вважати практично незвідним, бо навіть у випадку доведення його звідності ця обставина не полегшила б ситуації із-за відсутності алгоритмів зведення. Далі необхідно переконатись, що воно має хоча б один корінь з допустимої множини значень Нехай , тоді рівняння (14) стає таким

Легко показати, що . Отже в інтервалі існує корінь, а також і стаціонарна точка системи (13). Але згідно з теорією Галуа [3], рівняння (14), а значить і система (13) не розв'язуються в аналітичному вигляді. Отже, при другій параметризації одержано нелінійну систему рівнянь для знаходження стаціонарних функцій, яка розв'язується лише чисельно. Цього явища не спостерігалось при першій параметризації, при якій всі розв'язки були аналітичними.

Summary

The correspondence of different non-linear systems of algebraic equations for stationary functions determination to different non-linear transformations of initial parameters in non-dimensional is shown on the example of optimal projecting problem solution. so it occurs that there exist such non-linear transformations where the above- mentioned systems are complex i.e. they can disintegrate on simple systems with exact analytic solutions.

Список літератури

1. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле.- М.:Физматгиз, 1959.

-440с.

2. Ден Гартог. Механические колебания.- М.:Физматгиз, 1960.- 520с.

3. Постников М.М. Теория Галуа.- М.:Физматгиз, 1963.- 220с.