Содержание

Введение

Задание 1. Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях классическим и операторным методами

1.1Задание

1.2Расчет переходных процессов классическим методом

1.3 Расчет переходных процессов операторным методом

Раздел 2. Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях с применением интеграла Дюамеля

2.1.Задание

2.2 Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля

Раздел 3. Спектральный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях

3.1Задание

3.2 Спектральный метод расчета переходных процессов

Заключение

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

При различного рода воздействиях (подключении к цепи или исключении источников электрической энергии, изменении параметров цепи) изменяется энергетический режим работы цепи, причем эти изменения не могут осуществляться мгновенно в силу непрерывности изменения энергии электрического и магнитного полей, что и приводит к возникновению переходных процессов. Переходной режим работы цепи обусловлен наличием в ней реактивных элементов (индуктивности, емкости), в которых накапливается энергия магнитного и электрического полей. В то же время в ряде случаев переходные процессы могут приводить к таким нежелательным явлениям, как возникновение сверхтоков и перенапряжений. Все это определяет важность рассмотрения методов анализа переходных процессов в электрических цепях.

Целью данной работы является получение навыков расчета переходных процессов следующими методами: классический, операторный, спектральный и интеграл Дюамеля.

В основе методов расчета переходных процессов лежат законы коммутации. Коммутацией называется любое изменение параметров цепи, ее конфигурации, подключение или отключение источников, приводящее к возникновению переходных процессов. Теоретически для завершения переходного процесса требуется бесконечно большое время, но на практике его принимают конечным, зависящим от параметров цепи. Считается, что коммутация осуществляется с помощью идеального ключа К, сопротивление которого в разомкнутом состоянии бесконечно велико, а в замкнутом равно нулю. Направление замыкания или размыкания ключа показывается стрелкой. Считается, если не оговорено иное, что, коммутация осуществляется в момент t = 0. Этот момент времени непосредственно перед мгновенной коммутацией обозначается t = 0 - , а сразу после мгновенной коммутации t = 0 +.

Различают первый и второй законы коммутации. Первый закон коммутации связан с непрерывностью изменения магнитного поля катушки индуктивности W_L = Li²/2 и гласит:

Ток и магнитный поток в индуктивном элементе в первый момент после коммутации t = 0₊ принимает такое же значение, какое было непосредственно перед коммутацией t = 0_- и в момент коммутации t = 0.

i_L (0+) = i_L (0) = i_L (0-)

Второй закон коммутации связан с непрерывностью изменения электрического поля емкости W_С = Сu²/2 и гласит:

Напряжение и заряд на емкостном элементе в первый момент после коммутации t = 0₊ принимает такое же значение, какое было непосредственно перед коммутацией t = 0_- и в момент коммутации t = 0.

u_С (0+) = u_С (0) = u_С (0-)

В отличие от тока в индуктивности i_L и напряжения на емкости U_С напряжение на индуктивности U_L и ток в емкости i_C могут изменяться скачком, т.к. они являются производными от i_L и U_С и с ними непосредственно не связана энергия магнитного и электрического полей.

Классический метод расчета переходных процессов. В основе классического метода расчета переходных процессов в электрических цепях лежит составление интегрально-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляются на основе законов Кирхгофа, методов контурных токов, узловых потенциалов и могут содержать как независимые, так и зависимые переменные. Для удобства решения обычно принято составлять дифференциальные уравнения относительно независимой переменной, в качестве которой может служить i_L или U_С. Решение полученных дифференциальных уравнений относительно выбранной переменной и составляет сущность классического метода.

Операторный метод расчета переходных процессов. В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функции действительной переменной t, которая называется оригиналом, в область комплексной переменной р: p=б+jщ, которую называют изображением. При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексной переменной на оператор р, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.

Для анализа переходных процессов при воздействии на цепь сигналов произвольной формы широко используется спектральный (частотный) метод анализа, основанный на спектральных представлениях сигнала. Представление непериодических сигналов в виде непрерывного спектра частот позволяет применить к бесконечно малым гармоникам. Для непериодических функций используется спектральное представление, основанное на преобразованиях Фурье.

Расчет переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля. Зная реакцию цепи на единичное возмущающее воздействие, т.е. функцию переходной проводимости у(t) или переходную функцию по напряжению h(t), можно найти реакцию цепи на воздействие произвольной формы. В основе метода расчета с помощью интеграла Дюамеля лежит принцип наложения. При использовании интеграла Дюамеля для разделения переменной, по которой производится интегрирование, и переменной, определяющей момент времени, в который определяется ток в цепи, первую принято обозначать как ф, а вторую как t. Интегрированием определенного интеграла находится значение искомого тока или напряжения.

Раздел 1. Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях классическим и операторным методами

Задание.

Электрическая цепь (рисунок 1), содержащая резистивные сопротивления, индуктивность и емкость, подключена к постоянному источнику ЭДС и находится в установившемся режиме. В момент времени t=0 в цепи осуществляется коммутация путем замыкания ключа и начинается переходной процесс.

Определить ток i₁ после коммутации двумя методами:

а) классическим методом;

б) операторным методом.

Построить график зависимости тока i₁ от времени, используя ЭВМ. График построить в интервале времени от 0 до 5ф_max (если корни характеристического уравнения вещественные) и от 0 до 5ф=5/б (если корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные р=-б±jщ_св)

1.2 Расчет переходных процессов классическим методом

1.2.1 Определение независимых начальных условий

Независимыми начальными условиями (ННУ) называются значения тока в индуктивности и напряжения на емкости в момент коммутации, т.е. те значения, которые не могут изменяться скачком. ННУ определяются на основании законов коммутации путем расчета установившегося режима цепи до коммутации. i_L(0), u_C(0) - ННУ.

Нарисуем эквивалентную схему электрической цепи на рис. 2 до коммутации:

По первому закону коммутации согласно схеме получаем, что:

А

По второму закону коммутации согласно схеме получаем, что:

В

1.2.2 Составление характеристического уравнения

Для того чтобы записать выражение свободной составляющей u_C, необходимо определить корни характеристического уравнения после коммутации. Сделаем это методом входного сопротивления.

Запишем входное сопротивление для цепи после коммутации относительно ветви с источником ЭДС.

Отсюда получим характеристическое уравнение:

Приравняем Z(p) к нулю получим характеристическое уравнение:

Подставляем значения и получаем

Определим корни уравнения:

p₁= -2806.27 - 1950.84j с^-1 p₂= -2806.27 - 1950.84j с^-1

Так как корни комплексные числа, то i_LCB записывается в следующей форме:

Итак, . (1.3)

Для нахождения U_C(0) воспользуемся системой интегро-дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа, с учетом ННУ. Для составления этой системы надо произвольно направить токи в ветвях и задать направления контуров в схеме после коммутации:

(1.5)

Решим эту систему:

При помощи элементарных преобразовании получим выражение:

Выразим ток i₂₍₀₎:

Уз системы 1.5 выразим U_L(0):

В

Теперь рассчитаем производную:

В

1.2.3 Определение постоянных интегрирования

Найдем значения постоянной интегрирования:

=>

1.2.4 Нахождение тока i_l(t)

Подставляя найденные значения постоянных интегрирования в выражение (1.3) определим ток:

График тока i₁ представлен в Приложении А.

1.3Расчет переходных процессов операторным методом

1.3.1 Определение независимых начальных условий

Независимые начальные условия определяются путем расчета докоммутационного режима цепи, в операторном методе записываются так же, как и в классическом методе.

А

В

1.3.2 Составление операторной схемы замещения цепи

При составлении операторной схемы, во-первых, все переменные величины заменяются их операторными изображениями [i(t) на I(p), u(t) и e(t) соответственно на U(p) и E(p)]; во-вторых, индуктивности L заменяются операторным сопротивлением pL, а емкости С заменяются операторными сопротивлениями 1/(рС), в-третьих, к схеме на рис.1 добавляются внутренние (расчетные) ЭДС: - они показывают, что в магнитном поле катушки и в электрическом поле конденсатора до коммутации была накоплена энергия. Направление источника ЭДС совпадает с положительным направлением тока в данной ветви, а направление противоположно направлению тока. Следует заметить, что показанные на схеме 5 операторные напряжения на индуктивности и емкости при ненулевых начальных условиях определяют по формулам

С учетом вышеизложенного, а также учитывая ННУ получаем схему:

1.3.3 Составление системы уравнений по МКТ в операторной форме

Для нахождения тока i_L(t) составим уравнения по МКТ.

На рисунке 5 показаны направления контурных токов I₁₁, I₂₂ и тока I_L.

В соответствии с этими направлениями составим систему уравнений по МКТ:

(1.6)

Ток I_L= I₁₁. Для нахождения контурного тока I₁₁ мы найдем определители Д и Д₁.

Найдем Д₁

,

где

Ток найдем по формуле разложения

Подставим числовые значения

Выражение сошлось с характеристическим уравнением в расчёте классическим методом.

По нему найдем корни

,

где , ,

Подставив полученные корни получим



Нахождение оригинала по изображению.

Найдем оригинал по формуле разложения, тогда:

Т.к. корни характеристического уравнения получились комплексные , то график строится на интервале от 0 до 5.

График тока и все расчёты выполнен в программе MathCAD13 и показан в приложении А.

Раздел 2. Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях с применением интеграла Дюамеля

2.1Задание

Заданную электрическую цепь отключить от источника постоянной ЭДС, индуктивность L или емкость С (согласно заданному варианту) заменить короткозамкнутым участком. Полученная электрическая цепь в момент времени t=0 подключается к напряжению u(t) (рисунок 6).

Требуется выполнить следующее:

а) нарисовать полученную электрическую цепь;

б) определить переходную функцию по напряжению h(t) или переходную проводимость y(t) (согласно заданному варианту);

в) определить напряжение или ток в о одной из ветвей электрической цепи с применением интеграла Дюамеля (согласно заданному варианту);

г) построить график зависимости найденного напряжения или тока от времени.

2.2 Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля

2.2.1 Составление схемы с короткозамкнутым участком

При подключении цепи в начальный момент t=0 к источнику единичного напряжения или тока реакция цепи (напряжение на любом ее участке или ток в любой ее ветви как функция времени) называется переходной характеристикой (напряжения или тока). При подключении цепи к источнику единичного напряжения переходная характеристика тока называется переходной проводимостью y(t) а при подключении цепи к источнику единичного тока переходная характеристика напряжения - переходным сопротивлением z(t).

В момент времени t=0 и до t=t₁ реакция цепи f(t) на воздействие f_г(t) определяется интегралом Дюамеля по формуле

(2.1)

По условию задания в схеме на рисунке 1 мы закорачиваем катушку L. Представим эту схему в наиболее удобной для дальнейшего рассмотрения операторной форме, а также рисуем новую схему после коммутации, т.е. с замкнутым ключом:

2.2.2 Определение переходной функции по напряжению h(t)

Т.к. на вход цепи подается единичное ступенчатое воздействие, то переходная характеристика по напряжению h(t) или по току y(t) численно равна искомому напряжению или току. В нашем случае

, u=1B=>

Чтобы найти оригинал u_C(t), нужно сначала определить изображение напряжения U_C(p). Сделаем это с помощью метода двух узлов.

=

=0, т.е. =0

Корень один вещественный, поэтому по теореме разложения

(2.2)

где =R₁

= R₁

= R₁+ R₅

= R₁R₅C

= R₁R₅C

Теперь можно подставить полученные параметры в выражение (2.2) и определить переходную функцию по напряжению h(t)

2.2.3 Определение напряжения в цепи с помощью интеграла Дюамеля

Т.к. цепь в момент времени t=0 подключается к напряжению u(t), то в нашем случае интеграл Дюамеля согласно выражению (2.1) имеет вид

(2.3)

где

- переходная функция по напряжению

- производная напряжения u(t)

- производная напряжения, в которой t заменяется на постоянную времени ф

- переходная функция по напряжению, в которой t заменяется на t -ф

Подставим все найденные параметры в формулу (2.3)

Итак

=

График зависимости напряжения от времени представлен в

Раздел 3. Спектральный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях

3.1Задание

Для электрической цепи, полученной в задании 2, и подключенной к источнику напряжения u(t) (рисунок 6), выполнить следующее:

а) определить спектральную плотность U(jщ) заданного напряжения u(t)(рисунок 6), построить АЧХ и ФЧХ;

б) определить комплексную передаточную функцию цепи H(jщ) или Y(jщ), соответствующую спектральной плотности искомого напряжения или тока;

в) определить спектральную плотность искомого напряжения или тока;

г) по найденной спектральной плотности найти напряжение или ток, согласно заданному варианту;

д) сравнить найденные значения напряжения или тока спектральным методом и с применением интеграла Дюамеля.

Тогда для нашего случая спектральная плотность по напряжению U(jщ) определяется по формуле

Однако, как видно из рисунка 6 функция напряжения u(t) задана на положительной полуоси времени t, т.е. u(t)=0 при t<0, поэтому

(3.1)

где u(t)=Uе^-бt

Подставим числовые значения в уравнение (3.1) и найдем U(jщ):

3.2.2 Построение АЧХ и ФЧХ

Спектральная плотность F(jщ) является комплексной функцией частоты и может быть записана в показательной форме:

Тогда АЧХ:

2.2 Нарисуем электрическую цепь, изображенную на рис 1, после преобразовании, описанных выше

2.3 Определим комплексную передаточную функцию цепи H_UR2(jщ), соответствующую искомой спектральной плотности (пункт Г)

Комплексную передаточную функцию рассчитывают комплексным методом, как и при расчете установившихся гармонических процессов.

В данном случае комплексная передаточная функция по напряжению будет равна: H_UR2(jщ)=

Определим напряжение на сопротивлении R_2. Для этого рассчитаем цепь комплексным методом.

Найдем комплексное входное сопротивление.

Найдем комплексный ток

Ток I_m2 найдем с помощью формулы разброса.

Напряжение на сопротивлении R₂ найдем по закону Ома.

С учетом найденных выражении, подставим их в выражение комплексной передаточной функции по напряжению:

Подставим числовые значения:

Комплексная передаточная функция есть величина безразмерная.

2.4 Определим спектральную плотность искомой функции U_R2(jщ), построить АЧХ и ФЧХ, если

Спектральная плотность входного напряжения равна

(см. пункт 2.1). Тогда спектральная плотность искомой функции U_R2(jщ) будет равна:

Подставим числа:

2,5 По найденной спектральной плотности найдем u_R2(jщ)

Решим это задание с использованием операторного метода, для этого заменим jщ на P.

Приравняем знаменатель данного выражения к нулю и решим это уравнение:

Корни этого уравнения:

Корни получились вещественные и разные, поэтому напряжение u_R2(jщ) найдем с помощью теоремы разложения:

Найдем составляющие этого уравнения:

Подставим все в выражение для нахождения напряжения: