ЧДТУ

Математическая модель неизотермического массопереноса в пористых телах

Т.И. Веретельник, канд.техн.наук

Введение

Процессы тепло- и массообмена с фазовыми превращениями занимают важное место в современной технологии: термической обработке и сушке материалов, сварке деталей, вакуумной технике, металлургии, тепловой защите и т.д. Корректные описания таких процессов, особенно высокоинтенсивных и протекающих в неравновесных условиях, требуют привлечения методов физической кинетики. При этом в одних случаях необходимо использовать кинетический подход для описания процессов переноса в целом, а в других - только при формулировке соответствующих граничных условий для феноменологических уравнений переноса. Кинетическое рассмотрение относится в основном к процессам массопереноса в газовой среде.

Следует заметить, что в существенно неравновесных условиях задача исследования тепло- и массообмена при фазовых превращениях значительно усложняется.

Для этих условий процессы переноса в газовой фазе должны рассматриваться на основе кинетического уравнения Больцмана. Такой подход применяется, например, в [1] для описания испарения твердых тел в вакуум в одномерном случае.

Очень интересная ситуация возникает при описании массообмена в пористых телах. Дело в том, что радиус пор (капилляров) часто сравнимый со средней длиной свободного пробега молекул, поэтому для исследования процессов испарения (конденсации) в порах даже при нормальном внешнем давлении, строго говоря, также необходимо решать кинетическое уравнение с соответствующими краевыми условиями.

Реально пористые тела имеют чрезвычайно пористую структуру, что затрудняет математическое описание процессов тепло - и массопереноса в них. Для описания процессов переноса в пористых средах используется та или иная модель среды, которая должна, во-первых, отражать основные свойства порогового пространства и, во-вторых, быть достаточно простой. Наиболее распространенными являются капиллярная модель (система цилиндрических капилляров одинакового радиуса или же с определенным законом распределения пор по радиусу) и модель упрощенных сфер (система, состоящая из сферических частиц достаточного малого радиуса и одинакового размера). В кинетической теории газов широко используется модель “пылевого газа” (“dusty-gas”). Получили распространение также статистические модели пористых сред, позволяющие описать более широкий круг явлений по сравнению с элементарными моделями.

Капиллярная модель является наиболее простой и широко применяемой для описания тепло- и массообмена при сушке капиллярно-пористых тел в гетерогенном катализе и тепловой защите.

Испарение вещества из пористых тел реализуется при неизотермических условиях. Здесь важным фактором является направление градиента температур: если температура на поверхности (х = 0) выше, чем внутри тела, то процесс уноса массы из капилляров с непроницаемыми стенками описывается известными соотношениями для открытых каналов; в случае же повышения температуры от поверхности вглубь материала может реализоваться ситуация, при которой из-за конденсации на стенках капилляр зарастает, образуется газовая полость, и механизм уноса массы существенно изменяется.

Постановка и решение задачи

Рассмотрим некоторые особенности испарения из неизотермического пористого тела. Для этого используем простейшую модель пористого тела, состоящего из каркаса и сублимирующего материала, заполняющего цилиндрические капилляры одинакового радиуса (рис.1)

х=0 х=L(t) х

Рисунок 1 - Геометрия задачи

При тепловом воздействии на тело граница фазового перехода L(t) продвигается вглубь материала (рис.1.)

Отметим, что задача кинетики массообмена в канале может рассматриваться независимо от задачи теплопроводности, так как скорость перемещения фронта испарения значительно меньше скорости пара.

Задачу будем рассматривать исходя из закономерностей свободномолекулярного течения пара в отдельном капилляре [2]. Если пренебречь вкладом теплоты конденсации пара на части боковой поверхности канала, то происходит переконденсация, распределение температур вдоль тела и зависимость положения поверхности испарения от времени определяются с помощью решения задачи типа Стефана, которые в квазистационарном приближении [3] для пористой пластины толщины с заданными температурами на концах

, имеет вид:

,(1)

.(2)

Здесь Т_* -температура на границе фазового перехода, которая является неизвестной и переменной величиной. Температура Т_* вместе с движущейся границей раздела фаз Х=L(t) определяется [4]:

,(3)

(4)

при этом коэффициенты зависят от пористости П.

Поверхность пластины X=L₁ непроницаема для пара.

Поскольку квазистационарное приближение предполагает пренебрежительно малое влияние фазового перехода на температурное поле, из (1), (2), (3) нетрудно получить приближенное явное выражение для температуры поверхности испарения Т_*.

.(5)

Простейший анализ соотношения (4) с подстановкой Т_* из (5) показывает, что при нагреве снизу пластины конечной толщины скорость испарения с ростом L убывает за счет ревалирующего роста сопротивления капилляра , достигает минимума при L_m

для и , где ,

а затем возрастает за счет роста температуры в показателе экспоненты, стремясь к величине

при L=L₁.

При наличии противодавления характер зависимости от L качественно не изменяется, но L_m смещается к поверхности.

В результате интегрирования (4) с учетом (5) при S₁<<1 и л₁? л₂ можно получить простую зависимость при больших t:

,(6)

где ; а - величина порядка скорости звука.

Для сравнения заметим, что первый член в правой части (6) совпадает с формулой

, полученной в изотермическом случае.

Рассмотрим задачу кинетики массообмена в неизотермическом канале L, вдоль поверхности которого температура изменяется по закону

.

Конденсация пара из молекулярного пучка заданной интенсивности возникает, когда температура подложки ниже некоторой “критической температуры” [6]. Здесь же считаем, что теплота фазового перехода не зависит от свойств подложки и равна теплоте испарения. В случае конденсации поток падающих молекул должен превышать поток испаряющихся.

Если воспользоваться выражением для потоков вылетающих J⁺ и падающих J^- на боковую поверхность молекул [3]

,(7)

где N₀, N₁ - плотность потоков молекул, входящих в капилляр при х=0 и

х=1 ;

W, W₁ - функции, характеризующие вероятность попадания молекулы с одного элемента поверхности на другой

,

; ,(8)

то условие конденсации в точке х=0 имеет следующий вид:

,(9)

где j (x) -поток молекул, вылетающих с единицы боковой поверхности капилляра, определяется выражением типа

. (10)

При выполнении условия (9) с течением времени часть поверхности канала, примыкающая к х=0, покрывается слоем конденсата. Найдем координату границы раздела х_к между покрытой конденсатом и оголенной частями поверхности, полагая, что вся поверхность от 0 до х_к покрыта конденсатом, толщина слоя которого значительно меньше радиуса канала [3].

Пусть на одном конце цилиндрического канала

известен поток молекул насыщенного пара, соответствующий температуре

,

на другом (х=0) задан поток N₀ . Координата границы раздела зон х_к определяется из условия равенства односторонних потоков, обусловленных конденсацией и реиспарением

. (11)

Выражение для плотности потока молекул , падающих на единицу поверхности, с учетом части поверхности, покрытой конденсатом, имеет вид

(12)

где

(13)

С учетом, что

и (12), (13) получаем х_к трансцендентные уравнения

(14)

где

; .

Анализ численного решения (14) показывает, что с ростом перепада температур и внешнего потока (т.е. параметром S и г соответственно) условие для конденсации улучшается и размер сухой зоны уменьшается. При этом с увеличением длины канала влияние параметров S и г на поглощение границы раздела зон х_к ослабляется (таблицы 1,2).

Зависимость поглощения границы раздела зон х_к от S при г=0,2.

Таблица 1

Зависимость поглощения границы раздела зон х_к от г при S =0,2

Таблица 2

Следует отметить, что на всей длине канала могут существовать три зоны: у устья канала оголенная зона, далее покрытая конденсатом и еще оголенная. Однако если ширина зоны у устья небольшая, то ее влияние на х_к незначительно.

Заключение

Таким образом, в процессе конденсации пара на стенках капилляра может произойти его зарастание с образованием пробки конденсата и газовой полости, продвижение которой вглубь тела с последующим образованием над новыми полостями может являться одной из причин „разрыхления” пористого тела в процессе испарения. При этом унос массы происходит путем переконденсации и перемещения газовых полостей внутри тела, а не только в результате испарения с определенной границы фазового перехода.

Если полученные результаты сравнивать с экспериментальными результатами по испарению пара в реальных пористых телах, в которых структура пор сложна, в частности в [7] отмечается, что в определенных условиях при заглублении зоны испарения фазовый переход происходит не на четко выраженной границе, а занимает некоторый объект образца. Условия эксперимента, описанного в [7] (давление паров 0,5-1 мм рт. ст., нагрев снизу), наиболее точно соответствуют математической модели, описанной выше.

SUMMARY

The problem of type of Ctefany movabling bondary phase transitiom within model porouns solid is considered.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ферциргер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. - М.:Мир, 1976.

2. Анисимов С.И., Рахматуннина А.Х. ЖЭТФ, 64.-№3.-1973.

3. Физическая кинетика и процессы переноса при фазовых превращениях /Под редакцией проф. С.И. Анисимова. - Минск: Наука и техника, 1980.-206 с.

4. Лыков А.В. Тепломасообмен: Справочник.-М.:Энергия, 1972.-560с.

5. Горелик Г.Е. и др. ИФЖ.-33.-№6.-1977

6. Френкель Я.И. Собрание избранных трудов. - М.-Л.: Издательство АН СССР, 1958.-Т.1.

7. ТоэиР., Оказаки М., Асаеда М.: Тепло-и массоперенос. М.: ИТМОАНБСССР.-1972 - Т.9. - Ч.1.