Влияние флуктуаций температуры поверхностей трений на динамическую фазовую диаграмму

ВЛИЯНИЕ ФЛУКТУАЦИЙ ТЕМПЕРАТУРЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТРЕНИЯ НА ДИНАМИЧЕСКУЮ ФАЗОВУЮ ДИАГРАММУ

1 ВВЕДЕНИЕ

Интерес к проблеме трения скольжения обусловлен ее прикладным значением [1]. Как правило, исследования в этой области направлены на определение условий для уменьшения трения. С этой целью проводилось экспериментальное исследование атомарно плоских поверхностей слюды, разделенных ультратонким слоем смазки, которая при определенных условиях проявляла свойства твердого вещества [2]. В частности, наблюдалось прерывистое движение (stick-slip), присущее сухому трению [3] -- [6]. Такой режим реализуется, когда пленка смазочного материала имеет менее чем десять молекулярных слоев и объясняется как затвердевание, обусловленное сжатием стенок. Последующее плавление происходит, когда сдвиговое напряжение в смазке превышает критическое значение за счет эффекта "плавления, вызванного сдвигом".

Исследование влияния шума на процесс трения скольжения также имеет очевидное фундаментальное и практическое значение, поскольку в конкретных экспериментальных ситуациях флуктуации изменяют фрикционное поведение критическим образом, например, обеспечивая условия для уменьшения трения [1], [7], [8]. В частности, тепловой шум, проявляющийся в любых экспериментах, может переводить ультратонкую пленку смазки из устойчивого твердоподобного состояния в жидкоподобное и, таким образом, преобразовывать сухое трение в жидкостное или прерывистый (stick-slip) режим. Поэтому в последнее время значительное внимание уделялось исследованию влияния шума и случайных примесей в граничной области на статическое и динамическое трение [9] -- [11]. Показано, что периодические поверхности характеризуются меньшим коэффициентом трения в процессе скольжения, чем непериодические.

В работах [12,13] развит подход, согласно которому переход ультратонкой пленки смазки из твердоподобного в жидкоподобное состояние происходит в результате термодинамического и сдвигового плавления. Проведено совокупное аналитическое описание этих процессов в результате самоорганизации упругих полей сдвиговых напряжений и деформации, а также температуры пленки смазки. Введены аддитивные шумы указанных величин и построены фазовые диаграммы, где интенсивности шумов и температура поверхностей трения определяют области жидкостного, прерывистого и сухого трения.

Однако несмотря на то, что температура трущихся поверхностей, как правило, определяет состояние смазки, остается открытым вопрос о влиянии ее флуктуаций на процесс трения. В предлагаемой работе в рамках модели Лоренца для описания вязкоупругой среды [12,13] показано, что внутренние флуктуации указанной температуры, которые имеют смысл аддитивного шума, приводят к усложнению фазовой диаграммы, определяющей различные динамические режимы трения. Рассмотрен стационарный режим такой системы как в случае непрерывного превращения (раздел 2), соответствующего плавлению аморфной смазки, так и при учете деформационного дефекта модуля сдвига (раздел 3), позволяющем представить плавление кристаллической смазки. Поскольку упругие сдвиговые напряжения, возникающие между смещающимися стенками, характеризуют фазовое состояние смазки, выяснено влияние на их поведение температуры поверхностей трения. Описано влияние величины времени корреляции исследуемых флуктуаций на фазовую диаграмму.

2 НЕПРЕРЫВНОЕ ПРЕВРАЩЕНИЕ

В предыдущей работе [12] на основе реологического описания вязкоупругой среды, обладающей теплопроводностью, была получена система кинетических уравнений, которые определяют взаимно согласованное поведение сдвиговых компонент упругих напряжений у и деформации е, а также температуры T в ультратонкой пленке смазки в процессе трения между атомарно плоскими слюдяными поверхностями. Запишем эти уравнения, используя единицы измерения:

, , (1)

для переменных у, е, T соответственно, где с -- плотность масла; -- удельная теплоемкость; Tc -- критическая температура; -- характерное значение сдвиговой вязкости з; -- время теплопроводности; l -- длина теплопроводности; к -- коэффициент теплопроводности; -- время релаксации деформации; :

, (2)

, (3)

. (4)

Здесь введены время релаксации напряжений, температура Te атомарно плоских слюдяных поверхностей трения и постоянная , где G -- модуль сдвига смазки. Уравнение (2) сводится к соотношению типа Максвелла для описания вязкоупругой среды путем замены е/фу на ?е/?t. Выражение (3) имеет вид соответствующего уравнения Кельвина-Фойгта [12,14], которое учитывает зависимость сдвиговой вязкости от безразмерной температуры . Уравнение (4) представляет собой выражение для теплопроводности, которое описывает передачу тепла от поверхностей трения к пленке смазки, эффект диссипативного разогрева вязкой жидкости, текущей под действием напряжений, и обратимый механокалорический эффект в линейном приближении. Отличительной особенностью данной работы является учет влияния флуктуаций температуры поверхностей трения путем введения в уравнение (4) стохастического источника , представляющего процесс Орнштейна-Уленбека:

(5)

где I -- интенсивность флуктуаций управляющего параметра; фл -- время их корреляции. Уравнения (2)--(4) формально совпадают с синергетической системой Лоренца [15,16], в которой упругие сдвиговые напряжения играют роль параметра порядка, сопряженное поле сводится к упругой сдвиговой деформации, а температура представляет управляющий параметр. Известно, что эта система используется для описания как фазовых термодинамических, так и кинетических превращений.

В работе [12] плавление ультратонкой пленки смазки в процессе трения между атомарно плоскими поверхностями слюды представлено как результат спонтанного появления упругой компоненты сдвиговых напряжений, вызванного нагревом поверхностей трения выше критического значения . Исходной причиной процесса самоорганизации является положительная обратная связь T и у с е (см. (3)), обусловленная температурной зависимостью сдвиговой вязкости, приводящей к ее расходимости. С другой стороны, отрицательная обратная связь у и е с T в (4) играет важную роль, поскольку она обеспечивает устойчивость системы.

Согласно такому подходу смазка представляет очень вязкую жидкость, которая может вести себя подобно аморфному твердому телу -- имеет большую эффективную вязкость и все еще характеризуется пределом текучести [2,14]. Твердоподобное состояние смазки соответствует упругим сдвиговым напряжениям у=0, поскольку в этом случае уравнение (2), описывающее упругие свойства в стационарном состоянии , выпадает из рассмотрения. Уравнение (3), содержащее вязкие напряжения, сводится к закону Дебая, представляющему быструю релаксацию упругой сдвиговой деформации в течение микроскопического времени с, где a ~ 1 нм -- постоянная решетки или межмолекулярное расстояние и c ~ 103 м/с -- скорость звука. При этом уравнение теплопроводности (4) в случае л(t)=0 принимает вид простейшего выражения для релаксации температуры, которое не содержит слагаемых, представляющих диссипативный разогрев и механокалорический эффект вязкой жидкости.

При ненулевых значениях напряжений у уравнения (2)--(4) описывают указанные выше свойства, присущие жидкоподобному состоянию смазки. Более того, в соответствии с [6] в отсутствие деформации сдвига тепловое среднеквадратичное отклонение молекул (атомов) определяется равенством . Среднее значение смещения за счет сдвига находится из соотношения . Полное среднеквадратичное смещение представляет сумму этих выражений при условии, что тепловые флуктуации и напряжения независимы. Это означает, что плавление смазки вызывается как нагреванием, так и влиянием напряжений, создаваемых твердыми поверхностями при трении. Последнее согласуется с рассмотрением неустойчивости твердоподобного состояния в рамках представлений о сдвиговом динамическом плавлении при отсутствии тепловых флуктуаций. Будем предполагать, что пленка смазки становится более жидкоподобной и сила трения уменьшается с ростом температуры за счет уменьшения энергии активации скачков молекул. Кроме того, сила трения уменьшается с увеличением относительной скорости движения контактирующих поверхностей , поскольку последнее приводит к росту сдвиговых напряжений согласно соотношению максвелловского типа между напряжениями и деформацией е: .

Наша задача состоит в исследовании влияния стохастического источника л(t) на эволюцию напряжений у(t). Согласно экспериментальным данным для органических смазочных материалов [2,13] время релаксации напряжений при нормальном давлении составляет 10-10 с. Поскольку ультратонкая пленка смазки имеет менее чем десять молекулярных слоев, температура релаксирует к значению Te в течение времени, удовлетворяющего условию T<<. Поэтому рассмотрим случай

, (6)

при котором температура смазки T следует за изменением сдвиговых компонент упругих напряжений у и деформации е. Тогда в уравнении (4) можно выделить малый параметр и положить . В результате получаем выражение для температуры

. (7)

Придадим системе (2), (3), (7) более простой вид, сведя ее к единственному уравнению для сдвиговых напряжений у(t). Для этого следует выразить е и T через у. Дифференцируя по времени уравнение для деформации е, полученное из (2), имеем уравнение для . Подставляя эти выражения для е, и равенство (7) в (3), получим эволюционное уравнение в каноническом виде уравнения нелинейного стохастического осциллятора типа генератора ван дер Поля:

, (8)

где коэффициент трения г, сила f и амплитуда шума определяются выражениями

, (9)

причем коэффициент m задается равенством

. (10)

Задача состоит в нахождении распределения системы в фазовом пространстве, образуемом обобщенными "координатой" у и "импульсом" в зависимости от времени t. С этой целью воспользуемся методом эффективного потенциала [17] -- [19] и представим уравнение Эйлера (8) в гамильтоновой форме:

, (11)

. (12)

Статистическое исследование сводится к определению функции
Р(у, p, t), представляющей плотность вероятности наличия значения напряжений у и скорости его изменения в заданный момент времени t. Она является усредненной по шуму л функцией распределения с(у, p, t) решений системы (11), (12):

. (13)

Будем предполагать, что функция с=с(у, p, t) удовлетворяет уравнению непрерывности

. (14)

Подставляя сюда равенства (11), (12), приходим к уравнению Лиувилля

, (15)

где введены операторы

, (16)

. (17)

Переходя к представлению взаимодействия, в рамках которого микроскопическая функция распределения принимает вид

, (18)

приводим уравнение (15) к простой форме

. (19)

Метод кумулянтного разложения [20] с точностью до слагаемых порядка O() приводит к линейному дифференциальному кинетическому уравнению

. (20)

Переходя от представления взаимодействия к исходному, для функции распределения (13) получаем

. (21)

Поскольку физическое время t намного превышает время корреляции шума фл, положим верхний предел интегрирования равным ?. Тогда разложение экспонент в (21) приводит к выражению

, (22)

где оператор рассеяния

(23)

определяется коммутаторами по рекуррентной формуле

(24)

и моментами корреляционной функции (5)

. (25)

Первые из них равны

. (26)

В общем случае дальнейшее рассмотрение не представляется возможным, поэтому воспользуемся упрощающим предположением, заключающемся в выделении малого параметра е<<1, который совпадает с числом Кубо [20]. Полагая в уравнении (8) коэффициент m=е2 и измеряя обобщенный "импульс" в единицах е, исследуем случай передемпфированного осциллятора, в котором сила жидкого трения превосходит остальные составляющие в е-1>>1 раз. Тогда уравнения (11), (12) принимают вид

, . (27)

Соответственно уравнение Фоккера-Планка (22) записывается в форме

, (28)

где оператор

(29)

имеет компоненты

, . (30)

Оператор рассеяния задается выражениями (17), (23) -- (25). Тогда с точностью до слагаемых второго порядка малости разложение (23) принимает вид

. (31)

Поскольку плавление смазки характеризуется напряжением у и временем t, то рассмотрим проекцию функции распределения на полупространство (у, t). Для этого перейдем к уравнению Фоккера-Планка относительно функции P(у, t), используя моменты исходного распределения

, (32)

нулевой из которых дает требуемый результат. Умножая уравнение (28) на pn и интегрируя по всем импульсам, приходим к рекуррентному соотношению

(33)

Далее на основе иерархического подхода к уравнению (33) запишем уравнение Фоккера-Планка. При получаем уравнение для искомой функции :

. (34)

Момент первого порядка задается равенством

, (35)

следующим из (33), где положено и учитываются члены первого порядка по . Учет членов нулевого порядка по при позволяет записать выражение для момента второго порядка :

. (36)

В результате уравнение Фоккера-Планка

(37)

выражается через коэффициенты дрейфа и диффузии

, (38)

. (39)

Стационарное решение уравнения (37) приводит к распределению

, (40)

где нормировочная константа задается равенством

. (41)

Согласно выражениям (38), (39) и имеют вид

(42)

. (43)

Распределение (40) обладает максимумами, положения которых определяются набором величин , , , , и . При малых значениях температуры трущихся поверхностей реализуется единственный максимум в точке , отвечающий твердоподобному состоянию смазки и режиму сухого трения. С ростом появляется максимум в точке , отвечающий стационарному состоянию, в котором происходит спонтанное появление сдвиговых упругих напряжений, приводящее к плавлению смазки, переходу к режиму жидкостного трения и, как следствие, скольжению. С дальнейшим увеличением максимум при нулевом значении напряжения исчезает. Это происходит при критическом значении температуры , которое задается интенсивностью , временем корреляции в случайном изменении , параметром , а также временами релаксации напряжений и деформации.

Сосуществование максимумов , соответствующих нулевому и ненулевому значениям напряжений, отвечает области прерывистого (stick-slip) трения, при котором происходят периодические переходы между указанными динамическими режимами трения. Это характерно для режима перемежаемости при плавлении смазки, где имеет место смесь твердоподобного и жидкоподобного состояний. Согласно [13] такая ситуация возможна даже при нулевой температуре поверхностей трения, если интенсивность аддитивных флуктуаций деформации превышает критическое значение . При этом реализуется поведение, присущее режиму самоорганизуемой критичности (СОК), при котором, в отличие от фазового перехода, процесс самоорганизации не требует внешнего воздействия и протекает спонтанно [21,22].

Стационарное состояние сдвиговых напряжений определяется условием экстремума распределения (40)

. (44)

Подставляя сюда выражения (42), (43), приходим к уравнению

. (45)

Его решение показано на рис. 1, согласно которому рост интенсивности шума приводит к появлению на монотонной зависимости двузначного участка, присущего переходам первого рода. Полагая в (45) , находим предельное значение температуры поверхностей трения

, (46)

которое обеспечивает переход системы к жидкостному режиму трения. Видно, что растет при увеличении интенсивности шума и времени корреляции . Обратным образом влияют величины времен релаксации сдвиговых напряжений и деформации. На фазовой диаграмме, приведенной на рис. 2, реализуются области сухого (DF), жидкостного (SF) и прерывистого (SS) режимов трения. Рост времени корреляции приводит к увеличению значения , отвечающего трикритической точке при определенной интенсивности . Очевидно, что при этом область сухого трения расширяется, а жидкостное и прерывистое трение становится все более трудно реализуемым.

3 УЧЕТ ДЕФОРМАЦИОННОГО ДЕФЕКТА МОДУЛЯ

Уравнение Максвелла (2) предполагает использование идеализированной модели Генки. Для зависимости напряжений от деформации эта модель представляется законом Гука при и константой при (, -- максимальные значения сдвиговых упругих напряжений и деформации, приводит к вязкому течению со скоростью деформации ). Фактически, кривая зависимости обладает двумя участками: первый, гуковский, имеет большой угол наклона, определяемый модулем сдвига , а за ним следует намного более пологий участок пластической деформации, наклон которого определяется коэффициентом упрочнения . Очевидно, указанная картина означает, что модуль сдвига, входящий (посредством времени релаксации ) в уравнение (2), зависит от величины напряжений. Воспользуемся простейшим приближением

, (47)

которое описывает представленный выше переход режима упругой деформации в пластический. Он происходит при характерном значении сдвигового упругого напряжения , величина которого не превышает (в противном случае пластический режим не проявляется). В результате время релаксации приобретает зависимость от значения напряжения:

, (48)

где введены время релаксации для пластического режима ( -- эффективная вязкость) и параметр , определяющий отношение углов наклона кривой деформации на пластическом и гуковском участках. Следует отметить, что при описании структурных фазовых переходов жидкоподобной смазки характерно наличие инвариантов третьего порядка, которые нарушают четность зависимости синергетического потенциала от напряжения . Поэтому в приближении (48) используется линейный член вместо квадратичного [16], и соответствующая зависимость уже не является четной [12].

Для учета дефекта модуля в уравнении (2) вместо необходимо использовать зависимость (48). В результате оно принимает вид

, (49)

где введены постоянные и . Тогда в рамках приближения (6) система (49), (3) и (4), как и ранее, сводится к уравнению (ср. с (8)):

, (50)

где коэффициент трения , сила и амплитуда шума определяются выражениями

, (51)

, (52)

, (53)

причем коэффициент задается равенством

. (54)

Согласно методу, описанному в разделе 2, получим уравнение Фоккера-Планка (37) с коэффициентами дрейфа и диффузии :

 (55)

. (56)

Стационарное состояние сдвиговых напряжений определяется условием (44), которое с учетом выражений (55), (56) принимает вид

(57)

Полагая в (57) , находим равенство, аналогичное по смыслу (46), которое дает границу существования максимума распределения (40) при нулевом значении напряжения, соответствующего твердоподобному состоянию смазки:

. (58)

Зависимость стационарных значений упругих сдвиговых напряжений от температуры поверхностей трения является решением уравнения (57) и показана на рис. 3. Из рисунка видно, что возрастание интенсивности шума приводит к появлению двух стационарных состояний, которые отвечают максимумам функции распределения (40) при ненулевых напряжениях. Отсюда можно заключить, что существуют два стационарных значения напряжения, при которых плавится смазка [12], определяющиеся величинами , , , , , , и . Меньшее из этих значений отвечает метастабильному жидкоподобному состоянию смазки (штриховая кривая), а большее (сплошная) -- ее устойчивому жидкоподобному состоянию, их разделяет неустойчивое состояние (штрихпунктирная), которое соответствует минимуму вероятности (40).

Фазовые диаграммы, характерные для данной системы, представлены на рис. 4. Здесь область DF отвечает существованию лишь одного максимума вероятности при нулевом значении напряжения . Этот максимум соответствует твердоподобному состоянию смазки или сухому трению [12,13]. В области прерывистого трения (SS) сосуществуют твердоподобная и жидкоподобная фазы смазки, т.е., кроме нулевого, на зависимости появляется еще один максимум, который отвечает плавлению смазки или жидкостному трению. Для области SS+SF является характерным самый сложный вид функции. Здесь сосуществуют твердоподобное, метастабильное и устойчивое жидкоподобное состояния смазки, отвечающие максимумам . Это означает возможность реализации прерывистого (stick-slip) трения, при котором происходят периодические переходы между динамическими режимами трения, соответствующими трем указанным состояниям. Следует отметить, что данная область, в отличие от других, при изменении параметров системы может не реализоваться (см. рис. 4б). Область SF отвечает устойчивому жидкостному трению, т.е. жидкоподобной фазе смазки при единственном стационарном значении напряжения. В последней области MSF+SF метастабильный и устойчивый, жидкостные режимы трения могут сменять друг друга. Характерно, что переход из области SS+SF в MSF+SF сопровождается исчезновением в системе сухого трения, поэтому режим прерывистого трения в последней не реализуется. С ростом времени корреляции шума область сухого трения (DF) расширяется, а область жидкостного трения (SF) уменьшается.

4 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное рассмотрение показывает, что увеличение температуры трущихся поверхностей может сопровождаться самоорганизацей системы, приводящей к режиму жидкостного трения. При этом существенную роль играет степень скоррелированности изменения указанной температуры. Если время корреляции увеличивается, то для перехода от сухого к жидкостному режиму трения при заданной интенсивности флуктуаций необходимо увеличение температуры поверхностей трения. В случае непрерывного превращения при малых интенсивностях этот переход происходит, минуя область режима прерывистого трения, т.е. имеет характер перехода второго рода -- плавления аморфной смазки. В обратном случае больших реализуется переход первого рода, соответствующий плавлению кристаллической смазки.

Для описания перехода первого рода проведен учет дефекта модуля сдвига. Показано, что изменение значения интенсивности флуктуаций температуры трущихся поверхностей может перевести систему из режима сухого трения к жидкостному, при этом последний возникает при двух значениях упругих сдвиговых напряжений. Соответственно на фазовой диаграмме появляются области, где прерывистый (stick-slip) режим трения характеризуется наличием метастабильного жидкоподобного состояния смазки, а также могут происходить периодические переходы между метастабильным и устойчивым жидкостными режимами трения.

Выполнение работы поддержано стипендией Кабинета Министров Украины.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Persson B.N.J. Sliding friction. Physical principles and applications. - Berlin: Springer-Verlag, 1998. - 462 p.

2. Yoshizawa H., Chen Y.-L., Israelachvili J. // J. Phys. Chem. - 1993. - Vol. 97. - P.4128-4140; Yoshizawa H., Israelachvili J. // J. Phys. Chem. - 1993. - Vol. 97. - P. 11300-11313.

3. Smith E.D., Robbins M.O., Cieplak M. // Phys. Rev. B. - 1996. - Vol.54. - P. 8252-8260.

4. Krim J., Solina D.H., Chiarello R. // Phys. Rev. Lett. - 1991. - Vol.66. - P. 181-184.

5. Carlson J.M., Batista A.A. // Phys. Rev. E. - 1996. - Vol. 53. - P.4153-4165.

Aranson I.S., Tsimring L.S., Vinokur V.M. // Phys. Rev. B. - 2002. Vol. 65. - P. 125402.

6. Family F., Braiman Y., and Hentschel H.G.E. in: Friction, Arching, Contact Dynamics
/ Edited by D.E. Wolf and P. Grassberger. - Singapore: World Scientific, 1996. - p. 33-41.

7. Braiman Y., Hentschel H.G.E., Family F. et al. // Phys. Rev. E. - 1999. - Vol. 59. - P. R4737-R4740.

8. Braun O.M., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. B. - 1991. - Vol. 43. - P.1060-1073.

9. Sokoloff J.B. // Phys. Rev. B. - 1995. - Vol. 51. - P. 15573-15574.

10. Kawaguchi T., Matsukawa H. // Phys. Rev. B. - 1997. - Vol. 56. - P.4261-4265.

11. Khomenko A.V., Yushchenko O.V. // Phys. Rev. E. - 2003. - Vol. 68. - P. 036110.

12. Khomenko A.V. // Physics Letters A. - 2004. - Vol.329, Iss. 1-2. - P. 140-147.

13. Реология / Под ред. Ф. Эйриха. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. - 824 с.

14. Хакен Г. Синергетика. - М.: Мир, 1980. - 404 с.

15. Олемской А.И., Хоменко А.В. // ЖЭТФ. - 1996. - Т. 110, Вып.6(12). - С. 2144-2167.

16. Shapiro V.E. // Phys. Rev. E. - 1993. - Vol. 48, N1 - P. 109 - 120.

17. Харченко Д.О. // УФЖ. - 1999. - Vol.44, N5. - С. 647 - 654.

18. Ющенко О.В. Синергетическое представление коллективного поведения сложных систем: Дис. канд. физ.-мат. наук. - Сумы, 2004. - 147 с.

19. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. - М.: Высшая школа, 1990. - 376 с.

20. Bak P. How Nature Works: the Science of Self-Organized Criticality. - New York: Springer-Verlag, 1996. - 212 p.

21. A.I. Olemskoi, A.V. Khomenko, D.O. Kharchenko // Physica A. - 2003. - Vol. 323. - P.263-293.