Анализ локальных особенностей волнового поля в сингулярных точках составной области

В настоящей работе исследуются особенности локального распределения динамических напряжений в окрестности угловой точки линии раздела областей поперечного сечения тела, составленного из четырех различных призматических упругих тел, спаянных между собой по боковым поверхностям. Определение характера поведения компонентов напряженно-деформированного состояния вблизи особых точек внешних и внутренних границ кусочно-однородных тел позволяет при численном анализе наилучшим образом аппроксимировать решение и построить приближенный процесс для его нахождения. Вопросам поведения решений задач теории упругости в окрестности угловых точек, принадлежащих линии раздела двух различных упругих сред, посвящено достаточно много работ, среди которых отметим работы. Характер локальной особенности по напряжениям в угловой точке стыка трех различных сред рассматривался в работе. Полученные в данной работе результаты позволяют, с одной стороны, проектировать составные элементы конструкций с усложненной кусочно-однородной внутренней структурой, а с другой - дать практические рекомендации по подбору упругих характеристик стыкуемых областей с целью минимизации возникающей в особых точках сечения локальной концентрации напряжений. Пусть сечение бесконечной в направлении оси кусочно-неоднородной упругой призмы занимает в системе координат область , где области склеены друг с другом и определяются неравенствами

Материал областей предполагается изотропным и определяется модулем сдвига , коэффициентом Пуассона и плотностью . Здесь и далее верхний индекс будет определять принадлежность механической характеристики или упругого модуля к области .

Пусть на внешних сторонах сечения , задана гармонически изменяющаяся во времени с частотой вибронагрузка переменной интенсивности . В каждой области рассматриваем уравнения движения Ляме, записанные в безразмерных перемещениях (- амплитудные компоненты вектора перемещений, ) и координатах . Учитывая симметрию области , возможно рассматривать волновое поле части области, расположенной в первой четверти.

Для удобства в области сечения вводим локальные безразмерные координаты и геометрические параметры , . Отнесенные к безразмерные амплитудные компоненты тензора напряжений связаны с безразмерными, отнесенными к перемещениями соотношениями закона Гука для изотропного тела и зависят от безразмерного частотного параметра .

Граничные условия задачи включают в себя силовые условия нагружения на внешней границе сечения и условия жесткого сцепления областей .

Общее решение , удовлетворяющее системе уравнений движения внутри области , конструируем по методу суперпозиции в виде суммы двух частных решений этой системы, каждое из которых описывает колебания бесконечных полос, образующих при своем пересечении область [7,8]. Четность или нечетность этих частных решений определяется видом граничных условий. При этом необходимо учитывать, что по координате функции , а по координате - функции являются функциями общего вида. Таким образом, общее решение задачи в областях запишется в следующем виде:

(1)

Набор констант в формулах (1) обеспечивает необходимую степень произвола для удовлетворения граничных условий и условий сопряжения в рассматриваемой составной области. В качестве значений целесообразно выбрать такие последовательности чисел , чтобы системы соответствующих функций были полными и ортогональными на соответствующих отрезках [7,8]. Из этого требования в качестве возможных следуют значения

, ,,, k = 1,2,…; j = 1,2,…

Подставляя выражения (1) в системы уравнений движения, получаем для каждого значения k и j системы линейных однородных уравнений относительно коэффициентов и ,…, и . Из условия существования нетривиального решения этих систем находим значения параметров и

, , , ,

и связь между упомянутыми коэффициентами, что полностью определяет общее решение задачи во всех областях и позволяет удовлетворить условиям сопряжения и силовым граничным условиям.

В соответствии с алгоритмом модифицированного метода суперпозиции, распространенного на неоднородные области в [6,7], заменим часть исходных граничных условий вспомогательными. Это позволит получить аналитическое решение вспомогательной задачи. Решение исходной краевой задачи будет выражено через дополнительные функции, определяющие введенные граничные условия. Граничные условия этой вспомогательной задачи значительно усложнятся ввиду наличия четырех внутренних линий раздела областей и примут следующий вид:

 (2)

Здесь через обозначено отношение модулей сдвига сопрягаемых областей, а через - неизвестные вспомогательные функции. Отметим, что выбор граничных условий вспомогательной задачи в виде (2) позволяет автоматически удовлетворить часть граничных условий исходной краевой задачи, затрагивающих нормальные перемещения и касательные напряжения на внешних и внутренних границах области. Раскладываем вспомогательные функции в ряды Фурье на соответствующих отрезках и, используя общее решение задачи, составляем условия (2). Получающиеся наборы линейных систем допускают аналитическое решение и позволяют в явном виде выразить характеристики волнового поля во всей составной области сечения через коэффициенты Фурье введенных вспомогательных функций.

Примем во внимание 12 неиспользованных граничных условий и условий сопряжения исходной краевой задачи, которые представляют собой систему интегральных уравнений для определения введенных вспомогательных функций, а именно

(3)

Исследуем особенности волнового поля в окрестности нерегулярных точек границы сечения [6-9]. В рассматриваемой задаче такими точками (рис. 1) являются угловые точки стыка областей и внешняя угловая точка сечения . Характер локальных особенностей динамических напряжений в точках А, С и В был изучен в работах [6,7,10]. В данной работе детально рассмотрим характер локализации динамических напряжений в точке D стыка четырех разнородных сред. Для этого нужно провести асимптотический анализ первых восьми уравнений системы (3). Принимая во внимание, что введенные вспомогательные функции представляют собой перемещения и касательные напряжения на границах областей, предположим, что их особенности в точке D определяются формулами

при ;

при, (4)

при .

Здесь через обозначен параметр локальной особенности (ПЛО), характеризующих особенности искомых функций в точке D, а через - произвольные постоянные. Производя интегрирование в формулах (4), определяем, переобозначая константы при особенности, асимптотику коэффициентов Фурье вспомогательных функций при больших значениях индексов в окрестности точки D.

Граничные условия задачи (3) таковы, что обеспечивают ограниченность правых частей системы интегральных уравнений во всей области. Требуя поэтому ограниченности левых частей системы и используя полученные асимптотики, приходим к следующей однородной системе уравнений:

(5)

Здесь введены обозначения

Для существования нетривиальных решений однородной системы (5) необходимо, чтобы ее определитель равнялся нулю:

(6)

Из соотношений закона Гука и формул (4) следует, что если значения ПЛО удовлетворяют неравенству , то напряжения при приближении к угловой точке линии раздела областей неограниченно возрастают. Порядок особенности при этом равен . Таким образом, исследование особенностей напряженного состояния около угловой точки линий раздела четырех областей приводится к отысканию корня с наименьшей действительной частью трансцендентного уравнения (6) в зависимости от упругих параметров областей .

Из данных проведенного численного анализа определяющего уравнения (6) можно сделать следующие выводы. Во-первых, для большинства сочетаний материалов существует положительный корень этого уравнения, меньший единицы, что характеризует наличие особенности у динамических напряжений внутренней угловой точке D стыка четырех сред. Во-вторых, практически для всех рассматриваемых сочетаний материалов значения ПЛО оказываются больше, чем значения ПЛО при сопряжении трех сред[6], что свидетельствует об уменьшении локальной концентрации напряжений в точке D. В-третьих, при сопряжении четырех областей с одинаковыми упругими характеристиками ПЛО . В этом случае локальной концентрации напряжений в окрестности точки D не возникает. В-четвертых, для многих сочетаний материалов в отличие от случая сопряжения двух сред существует несколько корней меньших единицы. Хотя особенность волновых характеристик определяется наименьшим положительным значением ПЛО, однако учет этих корней важен при построении асимптотического решения системы интегральных уравнений (3), поскольку ускоряет сходимость вычислительного алгоритма [7,9,10]. В-пятых, значение ПЛО не изменяется при взаимной замене местами упругих характеристик накрест лежащих областей, а также при их круговой перестановке. Это может служить дополнительным контролем достоверности полученных результатов.

В дальнейшем при характеристике рассматриваемых сочетаний материалов будем перечислять их в круговом порядке, начиная с материала области . При этом будем применять общеупотребляемые обозначения металлов, используемые в периодической таблице химических элементов Д.И. Менделеева, выделяя их полужирным шрифтом. Для стали примем обозначение St. Например, сочетание St-Pb-St-Pb означает, что материалом областей и служит сталь, а областей и - свинец. Если, например, какой-либо упругий параметр области варьируется, то сочетание будет записано St-Pb-G⁽²⁾-Pb.

В таблице 1 приведены значения наименьшего положительного корня уравнения (6) для случая, когда упругие параметры областей и фиксированы и соответствуют стали, а упругие параметры областей и варьируются. Из данных этой таблицы, в частности, следует, что наименее предпочтительным вариантом сочетания материалов будет сочетание St-Pb-St-Pb, поскольку именно при таком сочетании ПЛО будет наименьшим .

Таблица 1 - Значения ПЛО для различных сочетаний материалов

Рисунок 3 - Зависимость ПЛО от параметра при фиксированном материале двух

Остальные выводы аналогичны выводам, сформулированным в п. 1. Таким образом, для рассматриваемой конфигурации сечения детали нежелательно стыковать материалы с сильно различающимися модулями сдвига, поскольку это приведет к сильной концентрации напряжений в окрестности точки стыка сред.

Упругие характеристики двух соседних областей и различны и фиксированы. Варьируются упругие параметры областей и .

При таком сочетании материалов наблюдается некоторое видоизменение кривых зависимостей ПЛО от жесткостей материалов стыкуемых сред. На рис. 4 представлены при кривые указанных зависимостей для сочетаний материалов St-Pb - G⁽²⁾-G⁽⁴⁾ (кривая 1), St-W - G⁽²⁾-G⁽⁴⁾ (кривая 2) и Pb-W - G⁽²⁾-G⁽⁴⁾ (кривая 3). Анализируя представленные кривые можно сделать следующие выводы:

а) при значение ПЛО постепенно уменьшается до значения ПЛО на стыке двух сред[10], определяемого парой материалов областей и . Для первого сочетания это значение будет , для второго - , для третьего сочетания - ;

б) с ростом значения ПЛО также возрастает, однако этот рост ограничен областью малых значений и зависит от выбора материалов областей и . Чем меньше различаются жесткости материалов этих областей, тем на меньших отрезках изменения параметра происходит указанный рост ПЛО и тем большее значение он при этом принимает. Так, для второго сочетания материалов () указанный рост практически незаметен и наблюдается только до значений , а ;

в) с дальнейшим ростом значений параметра происходит сначала уменьшение примерно на 0,05 значений ПЛО, а потом его постепенный рост. Этот вывод справедлив для всех рассматриваемых сочетаний материалов;

г) при значениях происходит стабилизация значения ПЛО. Причем, чем больше будет значение , тем меньшим будет это асимптотическое значение . Так, для первого сочетания материалов это значение будет , для второго - , для третьего - ;

д) увеличение параметра несколько увеличивает значение ПЛО при малых и незначительно уменьшает его при больших значениях .

Таким образом, для уменьшения локальной концентрации напряжений при таком сочетании материалов нужно подбирать материалы областей и с как можно более близкими упругими характеристиками.

Рисунок 4 - Зависимость ПЛО от жесткостного параметра при фиксированных различных

Большинство работ, посвященных изучению особенностей напряженно-деформированного состояния в сингулярных точках границы, относится либо к однородным телам (граница содержит угловые точки), либо к кусочно-однородным составным телам. Здесь граница разделяется на внешнюю, которая также может иметь угловые точки, и внутреннюю, состоящую из линии раздела сред с различными упругими свойствами. Поле напряжений в таких телах должно зависеть от упругих постоянных через посредство лишь двух комбинированных параметров Дандерса [3,4,10]. При рассмотрении деформирования кусочно-однородных тел, составленных из трех или четырех разнородных материалов, ввести такие компактные параметры возможности нет. Поэтому исследование поведения ПЛО по напряжениям в точке стыка четырех сред, предпринятое в данной работе, с одной стороны, позволяет несколько обобщить полученные ранее результаты, а с другой - дает возможность проектировать составные детали более сложной внутренней структуры и при этом прогнозировать характер локальной концентрации напряжений в проблемных зонах сечения тела. Для этого нужно подбирать такие упругие характеристики стыкуемых областей, которые соответствуют максимальным значениям ПЛО . Таким образом можно минимизировать динамические напряжения в сингулярных точках границы сечения.

Для иллюстрации этого положения проведем анализ внутренней энергии , накопленной в области . Решение системы интегральных уравнений проводим по обычной методике [7,8,10], сводя ее к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье вспомогательных функций. Известная асимптотика поведения этих коэффициентов при больших номерах позволяет свести эту систему к конечной. Частотное уравнение получаем, приравнивая определитель этой системы к нулю. Критерием достоверности вычислений служила точность выполнения условий сопряжения сред. Погрешность выполнения условий сопряжения по перемещениям во всем рассмотренном частотном диапазоне не превышала 2-3% от максимальной величины перемещений. Точность выполнения условий сопряжения по напряжениям в окрестности сингулярных точек А и D границы составной области не превышала 6-8%. В таблице 2 представлены данные расчетов на первых трех резонансных частотах процентного отношения энергии, накопленной в области к энергии, накопленной во всей области сечения, расположенной в первой четверти (индекс определяет номер резонансной частоты, на которой производились расчеты). Расчеты проведены для различных сочетаний материалов упругих параметров стыкуемых сред при . Через и обозначены значения ПЛО в сингулярных точках сечения области. Значение ПЛО в точке В[6] не зависит от типа материала области и равно .

Таблица 2 - Распределение энергии в окрестности линии раздела сред на различных резонансных частотах

Из данных таблицы 2 следует, что чем меньше значения ПЛО в особых точках сечения, тем сильнее всплеск энергии на границе раздела сред. Подобное явление наиболее ярко выражено на так называемых частотах граничного резонанса [5], при которых наблюдается сильная концентрация динамических напряжений в окрестности сингулярных точек и линий границы.

Учитывая поведение ПЛО при малых значениях жесткостного параметра, можно применить полученные результаты на этапе проектирования паяных и клеевых стыковых соединений, работающих в вибрационном поле.

В качестве перспектив развития данной методики можно наметить исследование особенностей локальной концентрации напряжений при сопряжении анизотропных упругих сред.

Список литературы

Аксентян О.К. Особенности напряженно-деформированного состояния плиты в окрестности ребра // Прикл. математика и механика. - 1967. - Т. 31, Вып. 1. - С. 178-186.

Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. - М.: Наука, 1981. - 688 с.

Гринченко В.Т., Городецкая Н.С. Отражение волн Лэмба от границы раздела в составном волноводе // Прикл. механика. - 1985. - Т. 21, №5. - С. 121-125.

Боджи Д. Действие поверхностных нагрузок на систему из двух соединенных вдоль одной из граней упругих клиньев, изготовленных из различных материалов и имеющих произвольные углы раствора // Тр. Амер. о-ва инженеров - механиков. Прикл. механика. 1971. - Т. 38, №2. - С. 87-96.

Гетман И.П., Лисицкий О.Н. Отражение и прохождение звуковых волн через границу раздела двух состыкованных упругих полуполос // Прикл. математика и механика. -1988. - Т. 52, Вып.6. - С. 1044-1048.

Вовк Л.П. Асимптотическое исследование собственных колебаний неоднородного прямоугольника с внутренним отверстием // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. - 2001. - №1. - С. 29-33.

Вовк Л.П. Особенности гармонических колебаний кусочно-неоднородной прямоугольной области // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. - 2002. - №4. - С. 9-13.

Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. - Киев: Наук. думка, 1981. - 283 с.

Белоконь А.В. Об одном методе решения задач теории упругости для тел конечных размеров // Докл. АН СССР. - 1977. - Т. 233, №1. - С. 56-59.

Вовк Л.П. Об особенностях волнового поля в зоне скачкообразного изменения упругих свойств кусочно-неоднородных областей // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. - 2003. - №3. - С. 25-28.