Зависимость размерности аттрактора Лоренца от внешнего воздействия

А.И. Олемской, проф.,

1. Определение фрактальной размерности

Основной геометрической характеристикой системы является, как известно, её размерность : в объёме , на поверхности , на линии в точке . Однако в такую классификацию явно не укладываются фрактальные кластеры типа кораллов, печной сажи, снежинок, кристаллов, выпадающих из пересыщенного раствора, опухолей в живых организмах и т.п. Наиболее простыми и популярными моделями таких фракталов, являются фигура Коха, салфетка Серпинского и канторова пыль [1]. Мандельброт указал, что, кроме геометрических фракталов можно выделить широкий класс стохастических процессов, протекающих самоподобным образом [2]. Простейшим примером такого рода является броуновское движение частицы, траектория которой не изменяет своего вида с течением времени , если координату измерять в масштабе , определённом коэффициентом диффузии .

Наиболее яркая особенность указанных систем состоит в том, что фрактальная размерность не является целым числом. Менее заметным, но более значимым оказывается свойство самоподобия фрактала, согласно которому он сохраняет свою форму на различных масштабах разрешения. Формально это свойство выражается в том, что мера , определённая на фрактале, представляется однородной функцией

, (1)

где - масштаб изменения переменной . Если мера сводится к минимальному числу -мерных кубиков с ребром , которые покрывают фрактал, а переменная представляет степень растяжения/сжатия, восстанавливающего его начальный размер в масштабе , то и равенство (1) даёт скейлинговое соотношение

.(2)

Оно определяет фрактальную (хаусдорфову) размерность

(3)

в рамках метода покрытий. Поскольку при покрытии множества, имеющего топологическую размерность , кубики не всегда попадают на фрактал, то его размерность .

Рассмотрим для примера простейшую кривую Коха, которая строится следующим образом. На нулевом шаге берётся отрезок единичной длины, из которого на следующем шаге вырезается посредине отрезок длиной и вместо него строится равносторонний треугольник без основания. Затем на шаге в каждом из полученных отрезков вырезаются интервалы длинами и проводятся те же построения, что и на шаге . Далее процедура повторяется до , в результате чего получаем непрерывную, нигде не дифференцируемую кривую, изображённую на рис.1.

Рисунок 1 - Фрактальная кривая Коха при

В рамках метода покрытий определение фрактальной размерности кривой Коха достигается построением зависимости , вид которой приведен в двойных логарифмических координатах на рис. 2а. Использование определения (3) приводит к размерности , которая неудовлетворительно согласуется с теоретическим результатом [1].

Рисунок 2 - а) - зависимость числа кубиков, покрывающих кривую Коха, от обратной величины размера кубика ; б) - корреляционная функция в зависимости от радиуса сферы (везде использованы двойные логарифмические координаты)

Кроме того, использование метода покрытий требует больших вычислительных затрат. Поэтому вместо фрактальной размерности , определённой равенством (3), рассмотрим корреляционную размерность , величина которой связана с фрактальной соотношением [1] (более того, на практике достаточно точно выполняется равенство [3]).

Принципиально важно, что размерность является характеристикой геометрических фракталов, форма которых не зависит от времени. Наша задача, напротив, состоит в определении размерности странного аттрактора динамической природы, где число посещений траекторией выделенного элемента фазового пространства зависит от времени. Как видно из дальнейшего, эта особенность лежит в основе определения корреляционной размерности . Для нахождения последней выделим на фазовой траектории множество , состоящее из точек, разделённых равными промежутками времени. Вокруг каждой из них проведём сферу радиуса и подсчитаем число попавших в неё точек. В результате находим корреляционную функцию

,(4)

которая показывает, с какой частотой пара точек попадает в область фазового пространства, ограниченную радиусом (здесь использована функция Хевисайда, определённая обычным образом: при , при ). Для самоподобного множества эта функция имеет в пределе степенную форму , так что корреляционная размерность определяется наклоном графика зависимости , построенной в двойных логарифмических координатах [4]

. (5)

Как видно из рис. 2, для кривой Коха точки этой зависимости ложатся на прямую гораздо лучше, чем при использовании метода покрытий. Наклон этой прямой отвечает значению , которое намного ближе к точному результату в сравнении с ранее найденным .

Таким образом, можно заключить, что корреляционная размерность является наиболее адекватной характеристикой динамических странных аттракторов, к которым сбегаются решения дифференциальных уравнений, представляющих эволюцию сложных систем [5]. Особенность поведения таких систем состоит в том, что даже в отсутствие стохастических источников незначительные изменения начальных условий приводят к радикальной перестройке фазовой траектории. Наиболее популярный пример такого рода представляет аттрактор Лоренца [6] - [8].

2. Система Лоренца

В последние годы было осознано, что система Лоренца является одной из наиболее простых и универсальных моделей поведения системы, значительно удалённой от равновесного состояния [9]. Впервые такая система была предложена для описания конвекции атмосферного слоя в вертикально распределённом поле температуры [6]. В простейшем виде такое поведение представляется дифференциальными уравнениями:

(6)

которые определяют временные зависимости скорости конвективного потока , разности температур на противоположных границах слоя и отклонение градиента температур от постоянного значения (точка означает дифференцирование по времени , измеренному в масштабе времени изменения разности температур ; - положительные параметры). Дальнейшее исследование системы Лоренца показало, что она даёт простейшее описание коллективного поведения системы, претерпевающей качественные изменения, характеризуемые параметром порядка [10]. В этом случае система Лоренца принимает вид:

(7)

где - поле, сопряжённое параметру порядка ; - управляющий параметр. Легко убедиться непосредственной подстановкой, что система (6) пререходит в (7), если динамические переменные , , и время заменяются согласно связям

, , . (8)

Равенства (7) показывают, что параметр представляет отношение характерных времён изменения поля и параметра порядка , последнее из которых принято за масштаб измерения времени ; соответственно параметр сводится к отношению характерных времён изменения поля и управляющего параметра ; наконец, параметр определяет степень внешнего воздействия, приводящего к неравновесности системы. В свою очередь, соотношения (8) показывают, что параметр порядка и сопряжённое поле представляют динамические переменные , , отнесённые к масштабу , а управляющий параметр сводится к переменной , отсчитанной от порога в противоположном направлении.

Аналитическое исследование систем (6), (7) достижимо только в условиях адиабатического приближения

, , (9)

когда левыми частями в паре последних уравнений можно пренебречь, и они становятся алгебраическими. В результате система Лоренца принимает потенциальную форму уравнения Ландау-Халатникова, правая часть которого сводится к производной от синергетического потенциала по параметру порядка [11]. Такого рода синергетическая модель позволяет обобщить картину фазовых превращений [12] в приложении к структурным превращениям неравновесной конденсированной среды [9], течению гранулированных сред [13] и транспортных потоков [14], а также представить переход между хаотическим и когерентным состояниями финансового рынка [15]. Более того, ослабление обратной связи и релаксации за счёт перехода к дробной системе Лоренца (см. ниже) позволяет интерпретировать явление самоорганизуемой критичности [16].

В отличие от указанных случаев настоящая работа посвящена исследованию детерминированного хаоса [6], который возникает в условиях, противоположных (9). В этом случае аналитическое рассмотрение становится невозможным, и задача сводится к численному исследованию странного аттрактора, представляющего фрактальное множество точек, к которому сбегаются траектории системы в фазовом пространстве , , . Основной характеристикой такого множества является фрактальная размерность, которая принимает дробное значение [4], означающее, что аттрактор Лоренца не сводится к двумерной поверхности, но и не полностью заполняет трёхмерный объём.

Учитывая данные о характеристиках фрактальных множеств, приведенные в предыдущем разделе, определим корреляционную размерность аттрактора Лоренца, основываясь на методе Рунге-Кутта 6-го порядка (повышение последнего обеспечивает требуемую точность) [17]. Следуя [6], [8], примем стандартные значения параметров

, .(10)

В этом случае зависимость корреляционной размерности от степени внешнего воздействия имеет форму, показанную на рис. 3.

Видно, что в точке корреляционная размерность возрастает скачком от до указанного выше значения . Однако при дальнейшем росте параметра корреляционная размерность испытывает провалы до значения , отвечающего линейному множеству, в областях, прилегающих к точкам , , и т. д. При более подробном исследовании структуры указанных минимумов (рис. 3б) оказывается, что странный аттрактор вырождается в линию не в отдельных точках, а областях конечной ширины . Дальнейшее разрешение некоторых из этих областей, например показанной на рис. 3б, обнаруживает более мелкие минимумы (типа приведенного на рис. 3в), где корреляционная размерность спадает до значений, превышающих . Это означает, что перед тем как выродиться в линию, странный аттрактор может претерпеть менее радикальную перестройку, которая, однако, протекает столь же резким образом, как и в глубоких провалах.

Таким образом, экстремальное нарастание параметра внешнего воздействия приводит к иерархической цепи перестроек странного аттрактора, понижающих его размерность. Изменение формы аттрактора, отвечающее минимумам зависимости в точках , и , где корреляционная размерность принимает значения ; ; , показано на рис. 4. Из него легко видеть, что с ростом происходит образование иерархической последовательности островков, недостижимых для конфигуративной точки, представляющей эволюцию системы [18].

Рисунок 3 - Зависимость корреляционной размерности от степени внешнего воздействия

Рисунок 4 - Форма аттрактора Лоренца при изменении степени внешнего воздействия: а - ; б - ; в -

Дробная система Лоренца

Будучи простейшей нелинейной моделью, система Лоренца позволяет объяснить столь сложное явление как самоорганизуемая критичность [16].

Это достигается, если, с одной стороны, ввести в правые части уравнений (7) стохастические источники, а с другой - ослабить обратную связь и релаксацию. Оставляя в стороне проблему стохастических источников, представляющую предмет теории случайных процессов [19], мы ограничимся исследованием влияния интенсивности обратной связи, величина которой задаётся положительным показателем , возникающим при замене параметра порядка в уравнениях (7):

,(11)

где знаковая функция определена равенствами при и при . Смысл замены (11) состоит в том, что переход от параметра порядка к его абсолютному значению позволяет избежать мнимых значений степенной функции с дробным показателем . С другой стороны, введение знаковой функции обеспечивает устойчивость системы в пределе . В результате приходим к дробной системе Лоренца [20]:

(12)

Для определения области существования странного аттрактора будем искать решения уравнений (12) в линейной форме:

(13)

где - искомый инкремент, параметры , , отвечают стационарному состоянию, амплитуды , , представляют малые отклонения от этого состояния. Подставляя (13) в (12), приходим к системе алгебраических уравнений, которые в нулевом порядке по дают стационарные значения:

, , ,

а в первом порядке -- однородную систему:

(14)

Условия разрешения этой системы приводят к кубическому уравнению:

(15)

с коэффициентами:

, , . (16)

Прямой подстановкой нетрудно убедиться, что уравнение (15) приобретает чисто мнимые корни, отвечающие потере устойчивости полюсов (3), при условии . В результате приходим к бифуркационному уравнению

, (17)

которое определяет область параметров, где странный аттрактор становится единственным притягивающим множеством. Из графика соответствующей зависимости , приведенной на рис.5 (пунктирная линия) при стандартном выборе параметров (10), видно, что спадание показателя очень быстро сужает интервал значений , при которых реализуется режим странного аттрактора. Более того, если величина не превышает критическое значение , то обратная связь настолько слаба, что хаотическое поведение не реализуется вообще.

Определение критического показателя приводит к весьма громоздкой численной процедуре, во избежание которой воспользуемся критическим значением , начиная с которого становится неустойчивым стационарное состояние (13) (из рисунка 5 видно, что величина даёт верхнюю границу показателя , при котором появляется странный аттрактор). Определяя точку условием , после дифференцирования уравнения (17) по приходим к равенству

(18)

Рисунок 5 - Область существования странного аттрактора (ограничена сплошной линией и затемнена). Штриховая линия показывает границу появления линейного аттрактора (как и для странного она найдена численно), пунктирная - область устойчивости стационарного состояния (задаётся уравнением (17))

Совместное решение уравнений (17), (18) даёт зависимость , показанную на рисунке 6.

Рисунок 6 - Зависимость критического показателя от кинетических параметров, представляющих отношения характерных времён изменения поля и параметра порядка () и поля и управляющего параметра ()

Из него видно, что уменьшению критического показателя , означающему расширение области существования странного аттрактора, способствует рост параметра и уменьшение . Физически это означает, что странный аттрактор возникает при быстром изменении параметра порядка и замедлении управляющего параметра [12]. Характерно, что ни при каких значениях параметров , критический показатель не принимает значений . Однако в области

(19)

происходит срыв до минимальной величины , при которой странный аттрактор возникает вне зависимости от показателя обратной связи .

Рисунок 7 - Влияние показателя обратной связи на зависимость корреляционной размерности от степени внешнего воздействия . Вставка на верхнем поле показывает изменение при переходе от значения к . Вставка при демонстрирует тонкую структуру минимумов, выделенных на основном поле

Рассмотрим, наконец, явный вид зависимости корреляционной размерности от степени внешнего воздействия при различных значениях показателя обратной связи . Как видно из вставки на верхнем поле рисунка 7, даже самая незначительная вариация приводит к существенному изменению величины , обусловленному как сдвигом существующих провалов зависимости , так и появлением новых (в первом случае на кривой возникает пара пиков разного знака, во втором - единственный минимум). При заметном уменьшении показателя число провалов, в которых корреляционная размерность принимает значения меньше , значительно увеличивается, и зависимость приобретает явно выраженную фрактальную форму (это видно из вставки на графике , взятом при , где показана тонкая структура минимумов, выделенных на основном поле). Дальнейшее спадание показателя до значений приводит в соответствии с рисунком 5 к существенному сужению области странного аттрактора, который при больших трансформируется в линейное множество с размерностью . С дальнейшим ростом параметра становится неустойчивым и линейный аттрактор.

Summary

The dependence of Lorents attractor correlation dimension from external influence parameter was investigated. Generalization for fractional Lorents system, where feedback and relaxation were depressed by exponentiation of order parameter into the fractional power (degree) was given. The degradation of Lorents attractor was revealed at extreme degree of external influence owing to stick-slip falling its fractional dimension. The transition boundaries to the linear set and stationary state were obtained.

Список литературы

1. A.I. Olemskoi. In Physics Reviews, Part 1. Fractals in Condensed Matter Physics / Ed. by I. M. Khalatnikov - London: Gordon & Breach, 1996. А.И. Олемской, А.Я. Флат. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды // УФН. -1993. - Т. 163, № 12. - С. 1 - 50.

2. B.B. Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature. - N.Y.: Freerman, 1982.

3. F. Martinez-Lopez, M.A. Cabrerizo-Vilchez, R. Hidalgo-Alvarez. A study of the different methods usually employed to compute the fractal dimension // Physica A - 2002. - V. 311. - P. 411 - 428.

4. Ф. Мун. Хаотические колебания. - М.: Мир, 1990.

5. C. Beck, F. Schlogl. Thermodynamics of chaotic systems. - Cambridge: Cambridge University Press, 1993.

6. E.N. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow// Journal of the Atmospheric Sciences - 1963. - V.20. - P.130 - 141.

7. P. Grassberger, I. Procaccia. Measuring the strangeness of strange attractors // Physica D. - 1983. - P. 189 - 208.

8. В.С. Анищенко, Д.Г. Лучинский, П.В.Е. Макклинток и др. Флуктуационный выход из квазигиперболического аттрактора в системе Лоренца // ЖЭТФ - 2002. - Т. 121. - Вып.4. - С. 955 - 970.

9. А.И. Олемской, А.А. Кацнельсон. Синергетика конденсированной среды. - М.: УРСС, 2003.

10. A.I. Olemskoi. Axiomatic theory of self-organizing system // Physica A. - 2002. - V.310. - P. 223 - 233.

11. Г. Хакен. Синергетика. - М.: Мир, 1980.

12. A.И. Олемской, А.В. Хоменко. Трехпараметрическая кинетика фазового перехода // ЖЭТФ. - 1996. - T.110, №6(12). - С. 2144 - 2167.

13. А.И. Олемской, О.В. Ющенко. Феноменологическая теория перехода сыпучей среды в текучее состояние // ЖТФ. - 2003. - Т.73. - Вып.10. - C. 13 - 17.

14. A.I. Olemskoi, A.V. Khomenko. Synergetic theory for a jamming transition in traffic flow // Phys. Rev. E. - 2001. - V. 63, №3. - P. 036116(1-4).

15. А.И. Олемской, О.В. Ющенко. Синергетическая картина финансового рынка, эволюционирующего в соответствии с поступающей информацией// МРЭ. - 2003. -№ 1. - С. 112 -117.

16. A.I. Olemskoi, A.V. Khomenko, D.O. Kharchenko. Self-organized criticality within fractional Lorenz scheme // Physica A. - 2003. - V.323. - P. 263 - 293.

17. О.Б. Арушанян, С.Ф. Залеткин. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. - М.: Изд-во МГУ, 1990. - 336с.

18. G.M. Zaslavsky. Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport // Phys. Rep. - 2002. - V.371. - P. 461 - 580.

19. Н.Г. Ван Кампен. Стохастические процессы в физике, химии и биологии. - М.: Высшая школа, 1990.

20. Олємской О.I., Ющенко О.В. Статистична теорiя переривчастого режиму течiї сипучого середовища // УФЖ. - 2003. - т.48, № 10. - С.1095 - 1103.