До теорії електронно-хвильових супергетеродинних лазерів на вільних електронах з Н-убітронною накачкою

До теорії електронно-хвильових супергетеродинних лазерів на вільних електронах з Н-убітронною накачкою

Вперше теоретичну модель параметричних електронно-хвильових двопотокових супергетеродинних лазерів на вільних електронах (ДСЛВЕ) було запропоновано в роботі [1]. Тут стверджувалося, що такі прилади можуть бути достатньо перспективними для практики. А саме, на базі цих пристроїв можливо створювати підсилювачі потужності
мм-ІЧ діапазонів з малим рівнем шуму.

Однак детального аналізу фізичних процесів у параметричних електронно-хвильових ДСЛВЕ, які підтверджують вище зазначені припущення, в [1] проведено не було. Дана робота має головну мету хочаб частково вирішити цю проблему. Проведений аналіз показав, що досліджувана система має ряд цікавих особливостей. Зазначимо, що в даній роботі закладені основи мультигармонічної теорії параметричних електронно-хвильових ДСЛВЕ. Зрозуміло, що мультигармонічна теорія в квадратичному наближенні в повній мірі не описує мультигармонічну взаємодію різних хвиль та різних гармонік. Але цей підхід є першим кроком у напрямку побудови кубічної мультигармонічної теорії, яка дозволить достатньо точно аналізувати нелінійну взаємодію гармонік між собою і яка буде представлена в наступних роботах авторів.

Досліджуємо фізичні процеси в секції підсилення електронно-хвильового ДСЛВЕ (див. рис. 1). Вздовж осі приладу рухається релятивістський електронний пучок 1 (див. рис. 1), що складається з двох взаємно проникних, близьких за швидкостями компонент. Вважаємо, що просторовий заряд релятивістського електронного пучка (РЕП) компенсовано нерухомим іонним фоном. Припускаємо, що в поперечній площині модель є однорідною.

Двошвидкісний РЕП проходить через мультигармонічне магнітне поле, що створюється спеціальним мультигармонічним (Н-убітронним) ондулятором 2, який характеризується періодом ондуляцій (або хвильовим числом ). Магнітне поле ондулятора у приладі виконує роль першої накачки.

До входу приладу подається поздовжня хвиля просторового заряду (ХПЗ) з частотою та хвильовим числом . Вважаємо, що параметри електронної хвилі накачки на вході в секцію підсилення ДСЛВЕ є відомими. Ця електронна хвиля виконує роль другої (електронно-хвильової) накачки. Також до входу приладу подається поперечна електромагнітна хвиля сигналу з частотою та хвильовим числом .

Рисунок 1 - Схема секції підсилення квадратичного ДСЛВЕ: 1 - двошвидкісний релятивістський електронний пучок; 2 - мультигармонічний ондулятор

У результаті параметрично-резонансної взаємодії поперечної електромагнітної хвилі сигналу та поперечного Н-убітронного магнітного поля накачки в релятивістському електронному пучку збуджується поздовжня хвиля просторового заряду із частотою та хвильовим числом , яку будемо далі у відповідності до [1] називати робочою. Частоти та хвильові числа двох поперечних полів та однієї повздовжньої хвилі, що перебувають у хвильовому параметричному резонансі, пов'язані між собою співвідношеннями

, . (1)

Завдяки відповідному вибору параметрів, в досліджуваній системі можливо створити умови для реалізації ще однієї параметрично-резонансної взаємодії, а саме взаємодії між поздовжніми хвилями електронно-хвильової накачки та робочою хвилею ХПЗ , у результаті якої збуджується електронна хвиля ХПЗ з частотою та хвильовим числом , яку у відповідності до [1] будемо називати холостою. Частоти та хвильові числа поздовжніх хвиль ХПЗ, що перебувають у цьому параметричному резонансі, задовольняють співвідношення

, . (2)

Параметри досліджуваної системи вибираємо такими, щоб хвиля електронно-хвильової накачки та хвиля холостої ХПЗ були повільними, а робоча хвиля ХПЗ - швидкою. Як відомо [2], повільна хвиля ХПЗ характеризується від'ємною енергією, а швидка - додатною енергією. Саме ця обставина і дає підстави сподіватися на створення лазера на вільних електронах з низьким рівнем шуму. Окрім того, завдяки тому, що в параметричному резонансі беруть участь хвилі з різним знаком енергії, можлива реалізація ситуації, коли амплітуди усіх трьох хвиль, в тому числі і робочої, зростають. Це зростання забезпечується переходом частини кінетичної енергії поздовжнього руху релятивістського електронного пучка в енергію хвиль просторового заряду.

Розглянемо параметричний резонанс (перший) між двома поперечними (,) та робочою поздовжньою електронною хвилею ХПЗ . У цьому випадку енергії усіх хвиль є додатними. Тому зростання амплітуди хвилі сигналу тут можливе лише за рахунок зменшення амплітуди робочої хвилі ХПЗ [3]. Однак через те, що на вході в систему робочої хвилі ХПЗ не існує (вона збуджується у результаті параметричної взаємодії поперечних полів електромагнітного сигналу та Н-убітронного поля), то в однопотокових лазерах на вільних електронах такий режим підсилення є принципово неможливим [3].

З іншого боку, завдяки другому параметричному резонансу між поздовжніми хвилями (, ,) амплітуда робочої хвилі ХПЗ, як було з'ясовано вище, зростає. Таким чином, в досліджуваному приладі реалізується конкуренція механізмів зростання і загасання робочої хвилі ХПЗ. Зрозуміло, що підсилення електромагнітної хвилі сигналу в даній системі реалізується тільки тоді, коли зростання енергії робочої хвилі ХПЗ переважає над її зменшенням. Дослідженню умов підсилення електромагнітної хвилі сигналу з урахуванням мультигармонічності взаємодії в параметричних електронно-хвильових ДСЛВЕ і присвячена дана стаття.

За вихідні використовуємо релятивістське квазігідродинамічне рівняння [3-5]

(3)

- рівняння неперервності:

; (4)

- рівняння Максвелла:

; ; . (5)

В цих рівняннях - вектор швидкості q-ої компоненти пучка (q=1,2); - частота зіткнень частинок; - напруженість електричного поля; - індукція магнітного поля; - релятивістський фактор парціального q-го пучка; - концентрація частинок
q-ої компоненти пучка; - середньоквадратична швидкість теплового руху частинок; - просторова координата точки спостереження;
- швидкість світла у вакуумі; , - заряд та маса електрона відповідно. Далі будемо вважати, що зіткненнями частинок між собою та тепловим розкидом електронів можна знехтувати, тобто =0, =0.

Для розв'язання задачі руху та знаходження концентрації використаємо ієрархічний асимптотичний підхід до теорії коливань і хвиль [4-5]. Для розв'язання задачі збудження електромагнітних полів використаємо метод повільно змінних амплітуд.

Вважаємо, що хвиля електромагнітного сигналу, повздовжні електронні хвилі та магнітне поле накачки мають мультигармонічну природу:

, ,

, ,

, , (6)

де N - кількість гармонік, яка береться до уваги при розв'язанні задачі; - фаза електромагнітної хвилі сигналу; - фаза робочої хвилі ХПЗ; - фаза електронної хвилі накачки; - фаза холостої хвилі ХПЗ; - фаза Н-убітронного поля накачки. Таким чином, електричне і магнітне поля в робочому об'ємі системи мають вигляд

; . (7)

Задача руху

У відповідності до ієрархічного асимптотичного підходу вихідні рівняння зводимо до так званої стандартної форми. Для цього записуємо квазігідродинамічне рівняння (3) для q-го пучка у вигляді

. (8)

Тут і далі, якщо це можливо, індексом номера пучка q будемо нехтувати. На цьому етапі розв'язання задачі вважаємо напруженість електричного та індукцію магнітного полів відомими.

У рівнянні (8) вважаємо фази коливань параметрами, зміна яких визначається співвідношеннями

; ; ;

; . (9)

Рівняння (8), (9) з урахуванням (6), (7) і складають стандартну систему.

Далі у відповідності до ієрархічного асимптотичного підходу проводимо класифікацію змінних на швидкі та повільні, формуємо ряд великих параметрів задачі. Виходячи з фізичних міркувань вважаємо, що на першому ієрархічному рівні швидкими є фази та . Враховуючи умови резонансу (див. співвідношення (1)), вводимо комбінаційні швидку та повільну фази першого рівня ієрархії. Таким чином, на першому ієрархічному рівні приходимо до задачі із однією швидкою фазою , всі інші величини вважаємо повільними. Великий параметр, що відповідає першому ієрархічному рівню, визначаємо як

. (10)

Далі проводимо стандартні перетворення [3-5], в результаті яких отримуємо алгебраїчні вирази для осциляторних компонент із швидкою фазою та систему диференціальних рівнянь для повільних компонент. Причому, на це слід звернути увагу, до отриманої системи диференціальних рівнянь не входить швидка фаза . Тобто за допомогою цих перетворень відокремлюємо повільні змінні від швидкої фази .

Далі отриману систему диференціальних рівнянь на першому ієрархічному рівні розглядаємо як вихідну для другого ієрархічного рівня (фаза на цьому рівні відсутня). Знову у відповідності до ієрархічного асимптотичного підходу на другому ієрархічному рівні проводимо класифікацію змінних на швидкі та повільні. Виходячи з фізичних міркувань вважаємо, що тут швидкими змінними є фази та . Використовуючи умови резонансу , вводимо комбінаційні швидку та повільну фази другого рівня ієрархії. Таким чином, на другому ієрархічному рівні знову приходимо до задачі з однією швидкою фазою , всі інші величини вважаємо повільними. Великий параметр, що відповідає другому ієрархічному рівню, визначаємо як

; . (11)

Таким чином, на другому рівні ієрархії задача знову звелася до стандартної з однією швидкою фазою . У результаті стандартних перетворень отримуємо алгебраїчні вирази для осциляторних компонент з швидкою фазою та систему диференціальних рівнянь для повільних компонент другого рівня ієрархії. Причому в рівняння для повільних компонент другого рівня ієрархії фази та не входять.

Далі аналогічно розглядаємо систему диференціальних рівнянь для повільних змінних, отриманих на другому рівні ієрархії як вихідну для третього ієрархічного рівня. Тепер за швидку фазу вибираємо фазу , якій відповідає великий параметр задачі

; . (12)

Потім проводимо стандартні процедури і отримуємо алгебраїчні вирази для осциляторних компонент з фазою , а також систему диференціальних рівнянь, у яких відсутні осциляції з фазами .

Для отримання кінцевого розв'язку проводимо зворотні перетворення [3-5], в результаті яких одержуємо алгебраїчні вирази для осциляторних компонент з у довільних комбінаціях. Зазначимо, використана ієрархічна процедура дозволяє уникнути секулярних доданків. Також тут отримуємо диференціальні рівняння для неосциляторних величин.

Рівняння неперервності

Для розв'язку задачі знаходження концентрації, як і у випадку задачі руху, використаємо ієрархічний асимптотичний підхід. Зведемо рівняння неперервності до стандартної форми. Для цього рівняння (9) подамо у вигляді

. (13)

Зазначимо, що на цьому етапі розв'язання вважаємо, що задача руху вже розв'язана і її розв'язки відомі. Тобто - відома функція, яка залежить від амплітуд полів та їх фаз. Доповнимо рівняння (13) рівняннями фази коливань (9) і отримуємо систему рівнянь у стандартній формі.

Далі застосовуємо до системи рівнянь (13), (9) стандартну процедуру асимптотичного ієрархічного інтегрування, що є аналогічною до вищеописаної для задачі руху. В результаті отримуємо алгебраїчні вирази для осциляторних та диференціальні рівняння для неосциляторних компонент.

Рівняння поля

Далі отримані розв'язки для швидкості та концентрації використовуємо у рівняннях Максвелла. Застосовуємо метод повільно змінних амплітуд. Вважаємо, що реалізується квазістаціонарний режим взаємодії, коли амплітуди полів залежать лише від координати і не залежать від часу . Проводимо алгебраїчні перетворення, в результаті яких отримуємо для амплітуд напруженості електричного поля електромагнітної хвилі , робочої електронної хвилі ХПЗ , електронної хвилі накачки , холостої хвилі ХПЗ систему диференціальних рівнянь у квадратичному наближенні

;

;

;

. (14)

В цих рівняннях позначено

;;

;

;

; ;

;

; ; ;

; ,

де - швидкість q-го парціального релятивістського пучка;
- плазмова частота q-го парціального релятивістського пучка.

Система рівнянь (14) дозволяє дослідити у слабосигнальному наближенні мультигармонічні процеси у секції підсилення електронно-хвильового ДСЛВЕ.

Проведемо аналіз системи (14) у випадку, коли кількість гармонік, що розглядається, дорівнює одиниці (, див. коментар до формули 6). Розглядаємо випадок слабкого сигналу та сильної накачки. Тобто вважаємо, що на початковому етапі взаємодії Н-убітронне поле накачки та електронно-хвильове поле накачки є достатньо великі і майже не змінюються. У цьому разі система (14) набуває вигляду

;

;

. (15)

У цих рівняннях враховані дисперсійні співвідношення

; (16)

. (17)

Тут також використано, що частоти задовольняють співвідношення

, (17)

де , . Тоді усі чотири розв'язки дисперсійного рівняння для поздовжніх хвиль (17) є дійсними. Наближений вигляд цих розв'язків має вигляд

, де , . (18)

Неважко з'ясувати, що система (15) має розв'язок у вигляді , де - результуючий інкремент зростання хвиль у досліджуваній системі

. (19)

Тут - інкремент зростання, що визначається параметричним резонансом електронних хвиль (електронно-хвильовий механізм); - величина, що визначає параметричне загасання робочої ХПЗ за рахунок взаємодії поперечних полів в ЛВЕ.

Нагадаємо, у даній роботі розглядаємо випадок, коли за робочу хвилю ХПЗ вибираємо швидку хвилю, що належить до другого парціального електронного пучка (, ), за електронно-хвильову накачку - повільну хвилю, що належить до першого парціального пучка (, ), за холосту електронну хвилю - повільну хвилю, що належить до другого парціального пучка (, ). Неважко з'ясувати, для того, щоб виконувалися як умови параметричного резонансу (2), так і дисперсійні співвідношення (18), частота електронної хвилі накачки повинна дорівнювати

. (20)

Зазначимо, що параметричний резонанс поздовжніх хвиль в однопотоковій системі є принципово неможливим. У досліджуваній системі він має місце тільки завдяки двопотоковості релятивістського електронного пучка.

Проведемо чисельний аналіз інкремента зростання в залежності від параметрів системи. На рис. 2 подана залежність результуючого інкремента зростання в залежності від частоти електромагнітної хвилі сигналу (крива 3). Крива 1 описує аналогічну залежність для інкремента , а крива 2 - для величини . Розрахунки виконані при таких параметрах системи: середнє значення релятивістського фактора ; різниця релятивістських факторів 0,2; плазмова частота ; напруженість поля електронно-хвильової накачки  од. СГС, індукція магнітного поля накачки  Гс. Звертаємо увагу на те, що «з погляду звичайних ЛВЕ» [3-5] такі значення параметрів є досить помірними.

Як бачимо, результуючий інкремент зростання (крива 3) зі збільшенням частоти сигналу спочатку збільшується (коли частота сигналу близька до критичної частоти ), а потім спрямовується до деякої сталої величини. Така поведінка, в першу чергу, зумовлена зміною інкремента (крива 1), який обумовлений електронно-хвильовою взаємодією. Вплив на результуючий інкремент зростання величини (крива 2), що обумовлена параметричним резонансом робочої ХПЗ з поперечними полями в ЛВЕ, із збільшенням частоти зменшується. Таким чином, динаміка результуючого інкремента зростання визначається саме параметричним електронно-хвильовим резонансом.

Рисунок 2 - Залежність результуючого інкремента зростання від частоти електромагнітної хвилі сигналу (крива 3). Крива 1 описує аналогічну залежність для інкремента , а крива 2 - для величини . Розрахунки виконано для параметрів: , , , од. СГС, Гс

Слід також звернути увагу на достатньо високі (для субміліметрового діапазону) значення результуючого інкремента зростання при достатньо помірних технологічних параметрах досліджуваної системи. Це говорить про те, що надія на створення підсилювача потужності з високим посиленням для мм-ІЧ діапазону має реальні підстави. Зазначимо, однак, що остаточна відповідь тут може бути отримана тільки лише в рамках нелінійної теорії, коли будуть визначені однакові насичення. Результати такого нелінійного аналізу будуть описані в інших роботах авторів.

На рисунку 3 зображена залежність інкрементів (крива 1),
(крива 2), (крива 3) від різниці релятивістських факторів парціальних пучків двошвидкісного електронного пучка . Усі інші величини, в тому числі і частота , є в даному випадку сталими. Привертає увагу та обставина, що при зменшенні величини має місце збільшення результуючого інкремента зростання. Але тут слід взяти до уваги те, що в цьому випадку має місце збільшення критичної частоти (див. формулу (17), , ). Тобто зменшення знизу обмежено деяким значенням, яке визначається критерієм (17) та частотою . Також із технологічної точки зору величина обмежується знизу тепловим розкидом енергій електронів і визначається якістю електронних пучків, що можливо отримати в електронних приладах.

Рисунок 3 - Залежність результуючого інкремента зростання від різниці релятивістських факторів парціальних релятивістських електронних
пучків (крива 3). Крива 1 описує аналогічну залежність для інкремента ,
а крива 2 - для величини . Розрахунки виконано при таких самих параметрах, що і у випадку рис. 2. Також тут

Рисунок 4 - Залежність результуючого інкремента зростання від середнього значення релятивістського фактора двошвидкісного релятивістського електронного пучка (крива 3). Крива 1 описує аналогічну залежність для інкремента , а крива 2 - для величини . Розрахунки виконано при таких самих параметрах, що і у випадку рис. 2. Також тут

На рисунку 4 зображена залежність результуючого інкремента зростання від середнього значення релятивістського фактора двошвидкісного релятивістського електронного пучка (крива 3). Бачимо, що зі збільшенням релятивістського фактора результуючий інкремент зростання залишається практично сталою величиною. Це означає, що досліджуваний у роботі ефект має місце в досить широких інтервалах релятивістського фактора .

Таким чином, в даній роботі побудовано слабосигнальну мультигармонічну теорію електронно-хвильових двопотокових супергетеродинних лазерів на вільних електронах з Н-убітронною накачкою та з швидкою робочею хвилею просторового заряду. Проведено аналіз результуючого інкремента зростання хвилі сигналу. Аналіз дозволяє зробити висновок про перспективність даного класу приладів ЛВЕ як ефективних підсилювачів потужності мм-ІЧ діапазону з низьким рівнем шуму.

Список літератури

1. В.В. Кулиш. К теории релятивистских параметрических электронно-волновых лазеров на свободных электронах // Укр. физ. журнал. - 1991. - Т. 36. - №5. - С. 686-693.

2. Вильхельмссон Х., Вейланд Я. Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме. - М.:Энергоиздат, 1981.

3. Kulish V.V. Methods of averaging in nonlinear problem of relativistic electrodynamics. - Tampa, Atlanta: World Federation Published Company, Inc., 1996.

4. Kulish V.V. Hierarchical methods: Vol. I. Hierarchy and Hierarchic Asymptotic Methods in Electrodynamics, Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers, 2002.

5. Kulish V.V. Hierarchical methods. Vol. II. Undulative electrodynamic systems, Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers, 2002.