Диффузионный рост двумерной полости в монослое адатомов на поверхности кристалла

ДИФФУЗИОННЫЙ РОСТ ДВУМЕРНОЙ ПОЛОСТИ В МОНОСЛОЕ АДАТОМОВ НА ПОВЕРХНОСТИ КРИСТАЛЛА

А.В. Коропов, канд.физ. - мат.наук, доц., ст. научн. сотр.;

В.Г. Шаповал

Институт прикладной физики НАН Украины, г. Сумы

Диффузионные процессы на поверхности кристалла систематически изучаются, начиная с 50-х годов прошлого века и традиционно вызывают интерес исследователей [1,2]. Интерес к этим процессам не ослабевает в связи с исследованием двумерных кристаллов и субмонослойных пленок на подложке [3,4], различных двумерных фаз [5-8], развитием современных технологий обработки поверхности, в том числе поверхности полупроводников и др.

В настоящей работе рассматривается диффузионный рост двумерной полости (поры) в монослое адсорбированных атомов (адатомов) на поверхности кристалла. Отметим, что в современных технологиях монослои адатомов и различные полости в них искусственно создаются на поверхности полупроводников с тем, чтобы обеспечить дальнейшую селективную обработку поверхности различными методами (например, [9]). Это, в свою очередь, связано с созданием микро- и наноструктур на поверхности как элементов для нужд современной электроники. Поэтому задачи о диффузионной эволюции (“размывании”) различных поверхностных структур, связанные с исследованием стабильности последних, являются актуальными и практически важными.

Рассматриваемую полость будем в дальнейшем считать круговой и называть пятном. Механизм диффузии, приводящий к росту (или к уменьшению) пятна, будем считать вакансионным. Уравнение диффузии ”двумерных” вакансий в монослое адатомов вокруг пятна с учетом как испарения, так и конденсации адатомов на поверхности кристалла имеет вид

, (1)

где - плотность вакансий (см^-2); - коэффициент их диффузии (см²·с^-1); - плотность адатомов в полностью заполненном монослое (см^-2); - среднее время жизни адатомов до испарения с поверхности (с); І - внешний поток конденсации атомов на поверхность кристалла (см^-2·с^-1); - вероятность конденсации атома из потока І на свободной позиции; множитель при - вероятность того, что падающий на поверхность атом попадет в свободную позицию.

Граничные условия к уравнению (1) берем в виде [5,7]:

; , (2)

где - расстояние от центра пятна; - его радиус (); - термодинамически равновесное значение плотности вакансий вблизи границы пятна; - кинетический коэффициент, характеризующий скорость перехода вакансий через границу пятна (см·с^-1). Для величины справедливо выражение

, (3)

где - значенне при ; ; - удельная линейная энергия границы пятна (эрг·см^-1); - площадь, приходящаяся на одну вакансию в монослое адатомов (); - постоянная Больцмана; - температура. Плотность в (2) определяется условием стационарности при , т.е. равенством потоков испарения и конденсации адатомов,

, (4)

где - большой параметр задачи. Далее будем считать, что двумерный газ вакансий пересыщен, т.е. .

Предполагая (именно в этом случае справедливо понятие “двумерной” вакансии), можно искать распределение плотности вакансий в квазистационарном приближении (). Тогда решение уравнения (1), физически правильно ведущее себя при , примет вид

. (5)

Здесь ; - функция Макдональда -го порядка [10]; - характерная диффузионная длина задачи. Величина определяется первым из граничных условий (2):

, (6)

где

; (7)

; (8)

- критический радиус пятна (пятно с радиусом растет, а с радиусом уменьшается).

На временах, значительно меньших времени заполнения пятна адатомами за счет конденсации либо диффузии из монослоя



( - коэффициент диффузии адатомов), можно найти скорость диффузионного роста пятна

. (9)

Явное выражение для следует из формул (5)-(7), (9) и имеет вид

. (10)

Если рост пятна лимитируется диффузией вакансий ( ), то

. (11)

Если же рост пятна лимитируется граничной кинетикой пристраивания вакансий к пятну , то

. (12)

Рассмотрим теперь другие предельные случаи общего выражения . Для пятна достаточно большого радиуса ( ) из формул (7), (10) получаем

, (13)

где

(14)

- эффективный (с учетом граничной кинетики пристраивания) коэффициент диффузии вакансий. Для пятна радиуса в предположении имеем

. (15)

Множитель в знаменателе , где =0,5772…-постоянная Эйлера [10], специфичен для двумерных систем. Он является геометрическим фактором, который при ослабляет диффузионый поток на пятно по сравнению со случаем трехмерной поры [11] и тем самым уменьшает скорость диффузионного роста пятна. Далее будем считать, что радиус пятна превышает критический ( ), что соответствует именно росту, а не уменьшению пятна.

В случае малых пересыщений двумерного газа вакансий () формулу (15) с учетом выражения (8) для запишем в виде

. (16)

Считая, что слабо (логарифмически) зависит от , из формулы (16) можно найти время роста пятна от радиуса к радиусу :

, (17)

где введены безразмерные радиусы пятна ; , а

(18)

- характерное время диффузионного изменения размера пятна.

Перейдем к анализу устойчивости круговой формы пятна. Метод такого анализа применительно к задачам устойчивости формы роста кристаллов изложен в обзоре Лангера [12]. Считая отклонение формы пятна от круговой малым, запишем

, (19)

где - полярный угол и . В дальнейшем будем считать, что:

1 на границе пятна выполняются условия локального термодинамического квазиравновесия, т.е. для пятна строго круговой формы (формула 3);

2 рост пятна лимитируется диффузией вакансий ( );

3 радиус пятна достаточно мал ( ).

Так как все уравнения задачи линейны, достаточно исследовать искривление формы пятна, описываемое единственной круговой гармоникой . Можно показать, что кривизна границы пятна для возмущения вида в линейном приближении по такова:

, (20)

где - значение кривизны для невозмущенного кругового пятна. Граничное условие (3) для пятна искривленной формы примет вид

. (21)

Здесь символ “” обозначает границу.

Найдем далее решение квазистационарного уравнения диффузии вакансий:

(22)

( ), сводящееся к выражению (21) на искаженной границе и удовлетворяющее условию при . Это решение имеет вид

. (23)

После нахождения констант и окончательно получим

, (24)

где ; .

Скорость перемещения границы пятна, как можно показать, в линейном приближении по имеет вид

. (25)

Подчеркнем, что согласно (25) следует находить не при , а на искаженной границе . С другой стороны, очевидно,

. (26)

Приравнивая выражение (25) с найденной функцией (формула (24)) и выражение (26), получим формулу (11) для и формулу для инкремента :

. (27)

Здесь

(28)

- величина градиента плотности вакансий на границе неискаженного пятна;

, (29)

а точка над означает дифференцирование по времени: .

Из формулы (27) видно, что инкремент содержит два члена, имеющих разную физическую природу. Первый член, пропорциональный градиенту , ведет к нарастанию амплитуды гармоники. Второй, пропорциональный линейному натяжению границы , приводит к уменьшению амплитуды . Вопрос же об устойчивости сводится к тому, какой из эффектов будет доминирующим.

Относительная деформация пятна определяется отношением ; из формул (27) и (11) следует выражение для инкремента :

; (30)

. (31)

Запишем и проанализируем уравнения (27) и (31) для случая :

; (32)

; (33)

. (34)

Условие нарастания -ой гармоники , следующее из формулы (32) запишем в виде

, (35)

и будем считать, что , а . Тогда при правая часть неравенства (35) неограниченно возрастает. Это значит, что при пятно устойчиво, т.е. неустойчивость наступает на некотором конечном удалении от . Найдем порог возникновения неустойчивости формы пятна, т.е. радиус пятна , выше которого нарастает ( ). Для этого будем приближенно решать уравнение

. (36)

В случае предельно больших пересыщений

(37)

решение уравнения (36) ищем в виде , где . Поскольку малым параметром здесь является величина , положим

, (38)

где - численный коэффициент, зависящий от . Вычисления дают

. (39)

Мы видим, что в случае предельно больших пересыщений (37) близко к и слабо (логарифмически) зависит от .

В случае же малых пересыщений имеем

; . (40)

Тогда из уравнения (36) легко получить

. (41)

В этом предельном случае уже существенно превосходит и сильно зависит от .

Будем рассматривать нарастающие гармоники с большими номерами , что соответствует развитой неустойчивости, и найдем наиболее быстро растущую гармонику. Номер такой гармоники в случае , как следует из формул (32), (34), приближенно равен

, (42)

а соответствующая длина волны гармоники

. (43)

В случае малых пересыщений (неравенства (40)) приближенно получим

; (44)

. (45)

Предполагаемое условие хорошо выполняется при .

В рассмотренных нами предельных случаях (37) и (40) можно также найти радиус пятна , выше которого нарастает относительная деформация пятна . Соответствующие формулы получаются из формул (38), (39), (41) с помощью замены

, . (46)

Из вышеизложенного следует, что неустойчивость формы пятна впервые наступает на второй гармонике , соответствующий критический радиус в случае малых пересыщений равен

. (47)

Нарастание же относительной деформации пятна начинается на третьей гармонике ; в случае малых пересыщений

. (48)

После потери устойчивости дальнейший рост должен приводить к весьма сложной разветвленной форме пятна. Подобные режимы роста хорошо известны в случае кристаллизации расплавов и приводят к образованию дендритов [12].

В заключение приведем еще оценку времени роста пятна от радиуса до радиуса :

. (49)

При получении этой оценки мы считали, что , . В качестве в аргументе функции можно для оценок взять

. (50)

Авторы благодарны чл.-корр. НАНУ П.И. Фомину за поддержку данной работы.

SUMMARY

The paper discusses the diffusion-induced growth of a two-dimensional cavity (pore) in a monolayer of adsorbed atoms (adatoms) on the crystal surface. The cavity growth stability is analyzed for relatively small distortions of the cavity shape.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Гегузин Я.Е., Кагановский Ю.С. Диффузионные процессы на поверхности кристалла. - M.: Энергоатомиздат, 1984. - 128 с.

Жданов В.П. Элементарные физико-химические процессы на поверхности. - Новосибирск: Наука, 1988. - 320 с.

Люксютов И.Ф., Наумовец А.Г., Покровский В.Л. Двумерные кристаллы. - Киев: Наук. думка, 1988. - 220 с.

Большов Л.А., Напартович А.П., Наумовец А.Г., Федорус А.Г. Субмонослойные пленки на поверхности металлов // Успехи физических наук. - 1977. - Т.122. - Вып. 1(500). - С. 125-158.

Коропов А.В. Кинетическая теория процессов диффузионного распада и роста в островковых пленках: Дис… канд. физ.-мат. наук: 01.04.07. - Харьков: ХФТИ, 1989. - 131 с.

Коропов А.В., Сагалович В.В. Рост островковых структур и критерии образования сплошных пленок // Поверхность. Физика, химия, механика. - 1990. - №2. - С. 17-26.

Коропов А.В., Остапчук П.Н., Слезов В.В. Диффузионный рост двумерных фаз в ансамблях // Физика твердого тела. - 1991. - Т.33. - №10. - С. 2835-2844.

Перекрестов В.И., Коропов А.В., Кравченко С.Н. Образование островковых структур при осаждении слабопересыщенных паров алюминия // Физика твердого тела. - 2002. - Т.44. - Вып. 6. - С. 1131-1136.

Fuhrmann H., Dobell M., Muhle R. Investigations on the mechanism of a novel focused ion beam based lithography technique, http://www.ipp.phys.ethz.ch/research/experiments/tandem/Annual/1998/ b 14. pdf.

Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям.- М.: Наука, 1979. - 832 с.

Гегузин Я.Е. Физика спекания. - М.: Наука, 1967. - 360 с.

Langer J.S. Instabilities and pattern formation in crystal growth // Reviews of Modern Physics. - 1980. - 52, No. 1, Рp.1-28.

Phase transition within deformed Ising model

Olemskoi A.I., prof., Yushchenko O.V , post-grad. st.

Introduction

The Ising model is known to be a corner stone of the microscopic theory of phase transitions [1] - [3]. Evident simplicity of this model is based on a supposition that every lattice site has a spin taking only two magnitudes . Although exact solution is not found for the three-dimension Ising model, its using allows one to explain main peculiarities of real phase transitions. Along this line, the qualitative picture becomes clear already within framework of the mean-field approach.

Recent considerations pay much attention to study complex systems which self-similarity derives to generalization of the Gibbs-Boltzmann statistics to Tsallis-type one (see Ref. [4] and references therein). Formally, such a generalization is performed by means of replacement of the probability by the so called deformed probability with a positive index . Here, we propose to complete such a procedure by the relevant deformation on the microscopic level. Namely, we deform the Ising Hamiltonian by means of replacing a site spin by . Such a deformation is shown to uphold the second order phase transition, whereas the set of critical indices becomes depending on the parameter essentially.

The paper is organized in the following manner. In Section 2 the -deformed Hamiltonian is postulated and simplified within the mean-field approach. Section 3 deals with determination of the fractional average allowing us to obtain the definition of the order parameter. In Section 4 -deformed distribution function is found to write up a self-consistency equation for the order parameter. Section 5 devotes to the consideration of asymptotic solutions of the self-consistency equation. The last Section 6 contains a brief discussion concerning scaling relations.

Main statements

We postulate the -deformed Hamiltonian in the following form:

. (1)

Here, summation runs over lattice sites , is effective interaction potential, is external field, is a site spin, is a deformation parameter. In the simplest way, we use further the usual scheme of the mean-field approximation [1] - [3]. Within this approach, one follows to replace one of the multipliers by an average value . Moreover, we shall take into account the only interaction of nearest neighbor sites whose number equals and potential is reduced to the constant . Then, the mean-field effective Hamiltonian takes the form

(2)

where a characteristic temperature is introduced. It is easy to foresee the postulated Hamiltonian will be meaningless if the index is not chosen to satisfy the condition

(3)

Then, the complex representation , arrives at the

set of rational numbers

 (4)

with integers .

As a result, the generic Hamiltonian is expressed in the final form

(5)

Obviously, above reduction of the continuous set into the manifold of rational numbers (4) is caused by the discrete symmetry of the Ising model being invariant with respect to the transformations , . It might seem the equation (3) reducing the deformed spin to bare one means the reduction of the initial Hamiltonian (1) to the usual Ising form. However, the constrain (3) should be considered as a condition that permit to perform needed calculations in analytical form. It will be suppressed in the following Section where the spin should be considered as continues variable -- to make possible analytical consideration again.

Calculation of the fractional average

Now, we should express the fractional average by means of the order parameter . Obviously, such a problem will be quite correct only for self-similar systems where it is reduced to definition of an index in the relation [5]

. (6)

If relevant distribution varies very slightly near the origin and decays abruptly in the limit (see Eqs. (11), (13) below), we have the following estimations:

. (7)

These derive immediately to the principle relation

. (8)

Respectively, the effective field in Eqs.(5) takes the form

(9)

that differs from the usual one with change of the order parameter by the power-law function .

Statistical scheme

Along the line of using -deformed quantities, we need to state on the Renyi entropy

(10)

that is easy seen to take the Boltzmann form in the limit . Then, the maximum entropy principle taken with accounting the normalization condition and the definition of the -deformed internal energy derives to the distribution function

, (11)

, (12)

where is the specific partition function related to one site, is inverse temperature measured in the energy units; -deformed exponential is as follows:

(13)

Such a form is known to generalize usual exponential related to the limit . It allows one to generate in usual manner the set of -deformed hyperbolic functions: , , and [4].

We calculate now the site partition function

(14)

that differs from the usual one with -deformation and factor appearance. According to Eqs.(11), (12), (14) the latter is determined by the equation

(15)

With accounting Eq.(14), the order parameter is defined through the self-consistency equation

(16)

following from Eqs.(6), (11), (13) and condition (3).

Solutions of the system (15), (16) are shown in Fig.1 for the external field and different values of index . Main peculiarity of the temperature dependencies , is in decreasing the order parameter accompanied by the relevant increasing the parameter at the temperature growth within the domain

(17)

(at one has , whereas at there are , ). Thus, decreasing the deformation parameter derives to monotonous growth of the order parameter that transforms smoothly falling down dependence into step-like one.

Fig. 1.- Temperature dependencies of both the renormalization parameter (upper panel) and the order parameter (low panel) for different indexes (curves 1 - 7 relate to = 0, 1/17, 1/7, 3/11, 5/11, 5/7, 1, respectively)

As demonstrated in Fig.2, the effect of the external field is similar to the usual case : high-temperature dependence is related to the temperatures to have the monotonically growing form (dashed curves); the falling down domain of instability appears at the temperatures in the vicinity of the point (solid curves). At fixed temperatures, decrease of the deformation parameter is seen to arrive at the more sharply defined non-monotone dependence. At critical field , the dependence undergoes a break, whereas in the limit of the small fields one has

. (18)

Fig. 2.- Field dependencies of the order parameter: dashed curves 1-6 correspond to the fixed index = 5/11 and temperatures = 1.5, 1.7, 1.9, 2.2, 2.5, 2.8; solid curves 1-6 relate to indexes = 0, 1/7, 3/11, 5/11, 11/17, 1 at . Insertion shows details of the coordinate origin neighborhood

Asymptotic regimes

To obtain analytical description, we look over the possible asymptotic solutions of the system (15), (16) in limiting cases of both zero and non-zero external fields.

Zero field

For small order parameters , one has the expansions

, (19)

. (20)

Then, the temperature dependence of the order parameter takes the power-law form

, (21)

(22)

that corresponds to critical domain in Fig.1. At , the index exceeds the usual magnitude .

At the marginal magnitude , one has

(23)

and equation (16) arrives at the condition

. (24)

It remains valid for arbitrary values at . So, this case corresponds to the step-like curve 1 in Fig.1.

In the limit , there are the expansions

. (25)

Respectively, the order parameter

(26)

decays very fast within tight window (see curve 2 in Fig.1).

Finally, we consider the form of the temperature dependence of the free energy near the critical temperature . Here, the hyperbolic cosine in Eq.(14) can be expanded over the argument in series comprising of even terms only. In accordance with relevant temperature dependence (21), these terms have orders with the lowest index because the first-order term is suppressed by self-action effects. Thus, in the limit we obtain and the specific heat does not vary with

temperature. This results in the magnitude

. (27)

of the critical index of the dependence .

Non-zero field

Here, we start with the approximate equation

(28)

following from Eqs.(16), (19) (notations and are given with Eqs.(9), (22)). In the limit , differentiation of Eq.(28) with respect to the field yields the following expression for the susceptibility :

 (29)

Thus, in disordered state () one has the susceptibility . Physically, this means a suppression of critical fluctuations in the disordered phase -- quite differently from the usual picture.

In ordered phase (), inserting Eq.(21) into Eq.(29), we get the power-law dependence

. (30)

with the critical index

(31)

With decreasing the deformation parameter , this index falls down monotonically from the usual value to .

In the opposite limit , Eq.(28) related to the critical point derives to the power-law dependence

(32)

with the critical index

. (33)

Discussion

Above mean-field consideration shows the deformation of Ising Hamiltonian by means of replacing a site spin by a power function derives to the phase transition of the second order with unusual set of critical indices (27), (22), (31) and (33). The zeroth magnitude of the first of them is caused apparently by the mean-field approach. It is easy to convince also in zeroing indexes defined by the field dependence of the specific heat and the space dependence of the correlation function [6]. Moreover, there are critical indexes and defining the field-temperature dependencies and of the correlation length . Among complete set of these indexes, only two are independent, whereas the rest are known to be determined by the scaling relations. Then, the question of fundamental importance arises how influences the deformation on these relations.

The first of them, Widom relation, takes the usual form [6]

(34)

that follows from comparison of two chains of definitions: and . Using the relation in the latter, one has

. (35)

Combination of Eqs.(34), (35) yields the relation that together with Eqs.(22) and (33) gets . Finally, using the fluctuation-dissipation theorem derives to the equality [6]

(36)

that defines the rest of indexes:

. (37)

Analogously, the Essam-Fisher equality takes the standard form

(38)

following from the consequences and .

It is worthwhile to note all of equalities (34) - (36), (38) are invariant with respect to the deformation.

In this work, financial support by STCU, project 1976, is gratefully acknowledged.

SUMMARY

Deformation of Ising Hamiltonian by means of replacing a site spin by , and statistics generalization with help of the substituting deformed probability instead of are studied jointly within mean-field scheme. Such deformed model is shown to be related to the phase transition of the second order with unusual set of critical indices depending essentially on the deformation parameter . Scaling relations turn out to be invariant with respect to the deformation.

References

R. Brout. Phase Transitions. - New York - Amsterdam: University of Brussels, 1965.

H. Eugene Stanley. Introduction to Phase Transitions and critical phenomena. - Oxford: Clarendon Press, 1971.

F. Ducastelle. Order and Phase Stability in Alloys. - New York: Elsevier, 1991.

C. Tsallis. Nonextensive Statistical Mechanics and its Applications, Lecture Notes in Physics / Ed. by S. Abe and Y. Okamoto. - Berlin: Springer-Verlag, 2000.

A.I. Olemskoi, D.O. Kharchenko. Evolution of the system with multiplicative noise // Physica A, 2001, V.293, P. 178-188.

L.D. Landau, E.M. Lifshits, Statistical Physics, Part I. - Oxford: Pergamon Press, 1980.