Моделирование нелинейной динамики пучка заряженных частиц в аксиально-симметричном электростатическом поле методом Матрицантов

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ПУЧКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ МЕТОДОМ МАТРИЦАНТОВ

И.Г. Игнатьев*, канд.физ.-мат.наук, доц.; Д.В. Магилин**, асп.;

А.Г. Пономарев**, канд.физ.-мат.наук;

В.И. Мирошниченко**, д-р.физ.-мат.наук

Институт прикладной физики Национальной академии наук Украины

Оптика электростатических линз с аксиальной симметрией достаточно хорошо изучена [1]. Разработаны как аналитические, так и численные методы расчета динамики заряженных частиц в ионно-оптических системах, состоящих из такого рода линз, с учетом нелинейных эффектов. При этом энергия частиц в таких системах ~100 кэВ. Для того чтобы ускорить непрерывный пучок заряженных частиц до энергий в несколько МэВ, применяются электростатические ускорители, где основным ионно-оптическим элементом является ускоряющая трубка, состоящая из набора диафрагм, каждая из которых находится под определенным потенциалом, создающим постоянный градиент поля вдоль оптической оси. Первые несколько электродов определяют сильную линзу, так как энергия пучка на входе ~10 кэВ. Последние электроды трубки также образуют линзу, однако ее действие слабо влияет на пучок вследствие его большой энергии.

Основной задачей ускорителей является получение пучков с необходимой энергией, поэтому в расчете нелинейных эффектов, связанных с аберрациями в ускорительных трубках, не было необходимости. В настоящее время разрабатываются зондоформирующие системы для ионных микропучков МэВ энергий, когда ускорительная трубка включена в процесс формирования зонда. В связи с этим появилась потребность расчета аберраций ускорительной трубки. Так, в работе [2] предлагается аналитический метод расчета аберраций в ускоряющих трубках, при этом за малый параметр, по которому производится разложение нелинейных дифференциальных уравнений движения, принимается отношение ширины краевого поля к ширине поля с постоянным градиентом. В случае, если внутри трубки имеются вставки, нарушающие однородность поля, этот метод не применим. Стоит отметить работу [3], в которой проводится расчет параметров пучка частиц в линейном приближении для случая кусочно-линейной аппроксимации распределения потенциала на оси трубки.

Для моделирования нелинейной динамики пучка заряженных частиц в электростатических полях, имеющих аксиальную симметрию, применен метод матрицантов [4]. Для расчета движения пучка необходимо найти решение уравнений движения частиц и уравнения Лапласа, которое определяет электростатический потенциал u(x, y, z) в области прохождения пучка.

Решение уравнения Лапласа в декартовой системе координат (x, y, z) представляется в виде ряда [5]:

(1)

где U(z) - потенциал электростатического поля на оптической оси z; x, y - поперечные координаты точки в декартовой системе координат.

Из (1) запишем выражения для составляющих , , поля ускоряющей структуры с точностью до 3-го порядка разложения по поперечным координатам x, y, из условия, что :

(2)

Уравнения движения заряженных частиц в осесимметричном электростатическом поле имеют вид

(3)

где q - заряд; m - масса, p - импульс частицы.

Подставив (2) в (3), получим уравнение движения заряженной частицы, выраженное через потенциал и его производные на оси z:

(4)

Координата z является независимой координатой, характеризующей осевую траекторию пучка, а координаты x и y определяют отклонение частиц пучка от осевой траектории.

Кинетическая энергия частицы определяется из выражений

(5)

где V - скорость; - начальный разброс по импульсу; - начальный импульс отдельной частицы; - средний начальный импульс; - средняя начальная энергия частиц всех частиц пучка.

Определим функцию

,(6)

подставив в первое равенство (5) выражения (1) и (6), отбросив слагаемые, содержащие и при за их малостью, получим

.(7)

Подставив (7) в (4), учтя, что и , получим

,

(8)

где фазовые координаты частицы, определяющие ее положение и направление движения соответственно в плоскости x.

Уравнение движения в направлении y можно получить из (8) заменой x <=> y.

Нелинейные траекторные уравнения движения заряженной частицы (8) в фазовом пространстве записаны в приближении с третьим порядком малости по фазовым координатам и вторым порядком малости в сочетании с разбросом частиц пучка по импульсу .

Если определить нормализованное пространство фазовых моментов в таких видах:

моментов первого порядка

,

второго порядка

,

третьего порядка

где,

тогда уравнения (8) в нормализованном пространстве фазовых моментов будут линейными:

(9)

где ; ;

все остальные элементы вектора равны нулю;.

Аналогичные выражения можно записать для и.

Для того чтобы уравнения (9) были замкнутыми, необходимо провести формальную процедуру погружения уравнений (8) в нормализованное пространство фазовых моментов [4], суть которой заключается в переходе от описания состояния частицы в обычном фазовом пространстве к описанию в расширенном фазовом пространстве - пространстве фазовых моментов. Тогда анализ нелинейных уравнений динамики пучков заряженных частиц сводится к рассмотрению системы линейных дифференциальных уравнений в нормализованном пространстве фазовых моментов:

(10)

Квадратная матрица имеет блочный верхнетреугольный вид

Ее элементами являются функции от распределения потенциала и его первых четырех производных по z. Аналитический вид элементов матрицы не приводится из-за известных ограничений на объем статьи.

Таким образом, с помощью процедуры погружения в нормализованное пространство фазовых моментов от исходной системы нелинейных дифференциальных уравнений (8) перешли к системе линейных дифференциальных уравнений (10).

Если известны координаты частицы при z=z₀, т.е.

(11)

тогда в этом случае мы имеем задачу Коши для уравнения (10). Решение уравнения (10) с начальным условием (11) будем искать в виде

(12)

Подставляя (12) в (10), получим дифференциальное уравнение для матричной функции , которая имеет название матрицант [4]:

(13)

Элементы матрицанта R находятся численно методом челнок-сумм [6, 7]. Для численного решения уравнений движения заряженных частиц в ускоряющей электростатической структуре на языке C++ была написана программа Acc_tube. Для расчета распределения потенциала и его четырех производных по оси симметрии применялся код «Laplas» [8], реализующий метод интегральных уравнений (зарядовых плотностей) [9]. Данный метод предпочтительнее метода конечных разностей и конечных элементов при расчете поля на оси симметрии системы, так как в нем существенно выше точность нахождения производных потенциала на оси.

Далее представлены результаты исследования огибающих пучков в ускорительной трубке электростатического ускорителя ЭГП-10 ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ (г. Саратов).

Ускоряющие трубки ЭГП-10 осесимметричные, длиной 4 м каждая, с шагом по изоляторам 25 мм, количество электродов каждой трубки N=156 (рис. 1).

Рисунок 1 - Расчетная схема ускоряющей структуры ЭСУ ЭГП-10, начало ускоряющей структуры