Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Рассмотрим силу и точку О, не лежащую на линии действия силы (рис. 1).

Из точки О опустим перпендикуляр на линию действия силы.

Длина этого перпендикуляра h называется плечом силы относительно точки О. Очевидно сила вызовет вращение тела относительно точки О. Вращательный эффект действия силы на тело можно определить как алгебраический момент силы относительно точки

. (1)

Момент силы F считается положительным, если сила стремится повернуть плоскость, в которой она лежит, против направления движения часовой стрелки вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости и проходящей через точку О.

Рис. 1 Момент силы относительно оси

Вращательный эффект действия силы на тело относительно оси определяется моментом силы относительно оси.

Момент силы относительно оси находится иначе, чем момент силы относительно точки.

Алгебраический момент силы относительно некоторой оси равен алгебраическому моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения плоскости с осью (рис. 2).

Правило нахождения момента относительно оси:

Необходимо спроецировать силу на плоскость перпендикулярную оси z.

Подсчитать момент проекции силы относительно точки пересечения оси с плоскостью

. (2)

Момент силы относительно оси считается положительным, если при взгляде с положительного направления оси проекция силы стремится повернуть тело против часовой стрелки.

Аксиома: сила, параллельная оси, и сила пересекающая ось, не создают вращения относительно этой оси, то есть моменты таких сил относительно оси равны нулю.

Рис. 2 Пара сил. Момент пары сил на плоскости

Парой сил называется система двух сил и (рис. 3), приложенных к твердому телу, удовлетворяющая следующим условиям:

Линии действия сил параллельны.

Модули сил равны (F = F').

Направления действия сил противоположны.

Плоскость, на которой лежат линии действия пары сил, называется плоскостью действия пары. Расстояние h между линиями действия сил и называется плечом пары. Совокупность пар, приложенных к телу, называется системой пар.

Пара сил, приложенная к телу, стремится сообщить ему некоторое вращение. Вращательный эффект пары характеризуется ее моментом. Моментом пары сил называется произведение модуля одной из сил пары на ее плечо, взятое со знаком «+» или «»

. (3)

Момент пары считается положительным, когда пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным - когда по ходу часовой стрелки.

Теорема об эквивалентных парах. Две пары сил, лежащие на одной плоскости и имеющие равные алгебраические величины моментов, эквивалентны.

Доказательство:

Пусть (, ) и (, ) - две пары сил, лежащие в одной плоскости и имеющие равные моменты М(,) =М(, ).

Продолжим линии действия сил пересечения друг с другом (рис. 4). Перенесем силы и по линиям действия в точки А и В и разложим каждую из них на составляющие. Получим: {, } {, , , }. Из построения имеем =-, =-, так как и направлены по одной прямой, то {, }. 0, а {, } {, }.

Докажем эквивалентность пар (, ) и (, ). Для этого достаточно доказать, что =.

Плечи пар (, ) и (, ) равны; момент пары (, ) численно равен удвоенной площади треугольника АВС, а момент пары (, ) - удвоенной площади треугольника АВD.

Но площади этих треугольников равны, так как у них общее основание и равные высоты, опущенные из вершин С и D, то есть F2h=F1h1, но так как Fh=F1h1, то F2h=Fh, следовательно, =, тогда (, ) (, ) и (, ) (, ).

Следствия из теоремы об эквивалентных парах:

Пару сил можно переносить в любое место плоскости ее действия.

Действие пары сил на тело не изменится, если изменить значения модуля силы и плеча, оставляя величину момента прежней.

Пару сил можно переносить в плоскость, параллельную плоскости действия.

Теорема о сложении пар сил. Пары сил, лежащие в одной плоскости можно складывать.

В результате сложения получается лежащая на той же плоскости пара сил с моментом, равным алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

Доказательство:

Докажем для двух пар. Пусть (, ) и (, ) - пары, лежащие на одной плоскости и имеющие моменты М1= F1h1 и М2= F2h2.

Возьмем произвольный отрезок АВ=h (рис. 5).

На основании теоремы об эквивалентных парах можно заменить введенные пары эквивалентными им парами (, ) и (, ), имеющими плечо h.

.

Сложив силы в точке А, получим =+; в точке В -

=+; =-.

.

Справедливо для любого числа пар:

. (4)

Рис. 5 Равновесие рычага

Рычагом называется твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси и находящееся под действием сил, лежащих в плоскости перпендикулярной к этой оси.

Если на рычаг действует сходящаяся система сил, то равновесие рычага достигается, когда линия действия равнодействующей проходит через точку О (рис. 6), а алгебраическая сумма моментов приложенных к нему сил относительно точки О равна нулю:

(5)

Рассмотрим случай, когда на рычаг действует система параллельных сил, лежащих в одной плоскости. Приложенная к рычагу система параллельных сил может быть приведена или к одной равнодействующей, или к паре.

Рис. 6

Сложим все силы, направленные вверх:

,

и вниз:

,

соответственно. Найти точки приложения равнодействующих можно по формулам

(6)

В итоге возможны три случая:

1) , тогда система сводится к одной равнодействующей.

2) - система не имеет равнодействующей и сводится к паре сил.

3) , и они направлены по одной прямой, тогда система представляет собой уравновешенную систему сил.

Если система параллельных сил, приложенная к рычагу, сводится к паре, то равновесия рычага быть не может, так как реакция шарнира О (рис. 7) не может уравновесить пару. То есть, при равновесии рычага приложенная к нему система параллельных сил приводится к равнодействующей силе, проходящей через неподвижную точку рычага.

Произвольная плоская система сил Лемма Пуансо.

Действие силы на твердое тело не изменится, если перенести эту силу параллельно своему первоначальному положению в любую точку тела, приложив при этом к телу пару с моментом, равным моменту исходной силы относительно этой точки.

Доказательство:

Пусть сила приложена к телу в некоторой его точке А (рис. 8). Приложим в произвольной точке О параллельно направлению линии действия силы две силы и , равные по модулю силе и направленные в противоположные стороны.

Полученная система сил {, , } .

Эту систему сил можно считать состоящей из силы , полученной параллельным переносом силы в точку О, и пары (, ), называемой присоединенной парой с моментом, равным моменту силы относительно точки О.

Рис. 8

Приведение произвольной плоской системы сил к точке (основная теорема статики для произвольной плоской системы сил)

Рассмотрим на примере трех сил. Пусть к телу в точках А, В, С приложена плоская система сил {, , } (рис. 9). Выберем произвольную точку О, перенесем в нее силы , , .

Согласно лемме Пуансо получим сходящуюся систему сил {, , } и систему пар (, ), (, ), (, ) с моментами М1, М2, М3, равными моментам сил , , относительно точки О.

Сложив , , по правилу многоугольника, получим:

. (7)

Вектор , равный геометрической сумме сил системы, называется главным вектором данной системы сил.

Теперь сложим пары сил, в результате получим пару сил с моментом

. (8)

М0 - равен алгебраической сумме моментов сил и называется главным моментом системы сил относительно точки.

Рис. 9

Теорема Вариньона. Если система сил приводится к равнодействующей, то момент равнодействующей относительно любой точки равен сумме моментов всех сил системы относительно той же точки.

Доказательство:

Пусть система сил {, , } имеет равнодействующую

(рис. 10),

приложенную в некоторой точке О1 плоскости действия сил. Перенесем вектор в точку О, при этом согласно лемме Пуансо необходимо добавить пару (, ) с моментом М0=М(). Но М0 - главный момент системы сил относительно точки О, который равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно этой точки: . Следовательно

.

Рис. 10

Следствия из теоремы:

1. Главный вектор не изменится при изменении центра приведения.

2. Главный момент при перемене центра приведения изменится на величину момента силы , приложенной в точке О, относительно нового центра.

Условия равновесия

Свободное твердое тело под действием произвольной плоской системы сил находится в равновесии, если главный вектор и главный момент этой системы относительно любой точки равны нулю: =0, М0=0.

Разложим по осям получим:

(9)

Условие равновесия для произвольной пространственной системы сил:

(10)