Виды движения точки в зависимости от ускорения

Виды движения точки в зависимости от ускорения

Различают следующие виды движения точки в зависимости от ускорения:

Прямолинейное движение. В этом случае траектория движения точки - прямая, причем точка движется вдоль этой прямой в одном направлении. Радиус кривизны прямой R равен бесконечности (прямую можно считать окружностью бесконечно большого радиуса). Тогда

,

поэтому может изменяться только алгебраическая величина скорости точки. Это изменение полностью характеризуется касательным ускорением

.

Равномерное криволинейное движение. Так как при равномерном движении точки модуль скорости остается постоянным, то есть v = const, тогда

.

Вектор полного ускорения а, следовательно, направлен по главной нормали в сторону вогнутости, модуль полного ускорения равен

.

Равномерное прямолинейное движение. В этом случае

и ,

а значит а = 0. Единственный вид движения, в котором ускорение точки все время остается равным нулю, - равномерное прямолинейное движение.

Равнопеременное криволинейное движение. Равнопеременным называется такое криволинейное движение точки, при котором касательное ускорение остается все время величиной постоянной:

.

Если при равномерном криволинейном движении точки модуль скорости возрастает, то движение называется равноускоренным, а если убывает - равнозамедленным.

При произвольном движении твердого тела отдельные его точки движутся по различным траекториям и имеют в каждый момент времени различные скорости и ускорения. Основными задачами кинематики твердого тела являются:

установление способа задания движения тела;

изучение кинематических характеристик движения;

определение траекторий, скоростей и ускорений всех точек движущегося тела.

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором отрезок прямой, соединяющий две произвольные точки тела, остается во время движения параллельным своему первоначальному положению.

Основная теорема поступательного движения. При поступательном движении твердого тела все его точки описывают конгруэнтные траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Доказательство:

Пусть твердое тело, совершающее движение относительно некоторой системы координат, занимает в момент времени t положение I, в момент t₁ - положение II, в момент t₂ - положение III и т. д. (рис. 1). Выберем в теле две произвольные точки А и В и построим вектор .

Рис. 1

Обозначим через А₁, В₁ и А₂, В₂ положения, которые занимают точки А и В в моменты времени t₁ и t₂ соответственно. Длина вектора как расстояние между точками абсолютно твердого тела, постоянна. Направление не изменяется в силу того, что тело движется поступательно. В этом случае траекторию точки В можно получить параллельным переносом на вектор траектории точки А. Следовательно, кривые ВВ₁В₂ и АА₁А₂ при наложении совпадают.

Так как векторы и равны, будут равны перемещения точек А и В, то есть =. Отнесем эти перемещения к отрезку времени , за который они произошли . Переходя в этом равенстве к пределу при t0, получим в соответствии с определением скорости точки,

, (1)

где и - скорости точек А и В.

Точки А и В выбраны произвольно, следовательно при поступательном движении твердого тела векторы скоростей всех его точек в данный момент времени равны друг другу.

Так как равенство (1) имеет место в любой момент времени, то

.

Дифференцируя (1) по t получим

, или . (2)

В силу произвольности выбора точек А и В из равенства (2) следует, что векторы ускорения всех точек поступательно движущегося твердого тела равны между собой.

Следствия из теоремы:

поступательное движение твердого тела вполне определено движением одной из его точек;

если скорость поступательного движения постоянна (v = const), то все точки тела совершают прямолинейное и равномерное движение.

5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Вращательным движением твердого тела называется движение, при котором две его точки А и В остаются неподвижными. Так как тело абсолютно твердое, то вместе с точками А и В будут неподвижны все точки, лежащие на прямой АВ. Эта прямая называется осью вращения (рис. 2). Все точки тела при вращательном движении описывают дуги окружностей с центрами в основаниях перпендикуляров, опущенных из этих точек на ось вращения.

Проведем через ось вращения две полуплоскости, одну из которых зафиксируем, а другую свяжем с телом. Двугранный угол , угол поворота, между этими полуплоскостями будет однозначно определять положение тела. Задавая значение угла в каждый момент времени t, можно тем самым определить положение тела для любого t. Уравнение

(3)

носит название закона вращательного движения тела. Функция (3) предполагается дважды дифференцируемой.

Главными кинематическими характеристиками вращательного движения тела будут угловая скорость (с^-1) и угловое ускорение (с^-2).

Пусть за некоторый промежуток времени угол получит приращение . Величина называется средней угловой скоростью тела. Предел, к которому стремится средняя угловая скорость при t0, называется угловой скоростью тела в данный момент времени t.

. (4)

Если тело совершает вращательное движение по произвольному закону, то угловая скорость является функцией времени: .

Пусть за некоторый промежуток времени угловая скорость получила приращение . Величина называется средним угловым ускорением. Предел, к которому стремится среднее ускорение при t 0, называется угловым ускорением в данный момент времени t.

. (5)

Связь угловых характеристик вращающегося твердого тела с линейными кинематическими характеристиками вращающегося тела

Как уже отмечалось, траекторией любой точки М вращающегося тела является дуга окружности, лежащая в плоскости перпендикулярной оси вращения. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки до оси. Рассмотрим траекторию движения некоторой точки М тела, вращающегося вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через центр окружности (рис. 3).

Рис. 3

Если отсчитывать дуговую координату s точки М от ее начального положения М₀ в направлении возрастания угла , то закон движения точки М по дуге окружности будет иметь вид . В этом случае алгебраическое значение скорости определяется по формуле:

. (6)

Найдем ускорение точки М:

.

Продифференцировав (6) по времени, определим алгебраическую величину касательного ускорения:

. (7)

Нормальное ускорение получим, подставляя (6) в выражение для нормального ускорения:

. (8)

Следовательно, для вектора ускорения имеем:

. (9)

Для модуля ускорения точки М имеем формулу:

. (10)

Из выражений (6) и (10) следует, что линейные кинематические характеристики точек зависят от угловых характеристик вращающегося твердого тела, а коэффициентом пропорциональности является радиус вращения.

До сих пор движение точки рассматривалось по отношению к неподвижной системе координат, но в ряде случаев целесообразно изучать движение точки одновременно в двух системах отсчёта, из которых одна является неподвижной, а другая - подвижной, совершающей определённым образом движение относительно первой. Движение точки, в этом случае, называют сложным.

На рис. 4 изображены две системы координат: неподвижная Oxyz и подвижная O₁x₁y₁z₁. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижной системе координат O₁x₁y₁z₁ называется относительным движением. Движение подвижной системы отсчёта O₁x₁y₁z₁ и всех точек пространства с ней связанных по отношению к неподвижной системе Oxyz называется переносным движением. Движение точки М относительно неподвижной системы координат Oxyz называется абсолютным.

Скорость точки М по отношению к неподвижной системе координат называется абсолютной скоростью точки.

Скорость точки М по отношению к подвижной системе координат называется относительной скоростью точки.

Переносной скоростью точки М называется скорость подвижной системы относительно неподвижной, в которой в данный момент времени находится движущаяся точка М.

Теорема о скорости точки в сложном движении.

Вектор абсолютной скорости точки в данный момент времени равен геометрической сумме векторов относительной и переносной скоростей в тот же момент времени.

Доказательство.

Пусть тело S, неизменно связанная с ним подвижная система отсчёта O₁x₁y₁z₁ и точка М₁ занимают в момент времени t₁ положение I (рис. 5) относительно неподвижной системы Oxyz. Пусть в момент времени t₂=t₁+t тело S и система O₁x₁y₁z₁ займут положение II, а точка М₁ перейдёт в точку М₂. Буквой М' обозначим положение той точки тела S, в которую переместится за время t его точка, совпадающая в момент t₁ с М₁.

Вектор изображает абсолютное перемещение точки, вектор относительное перемещение, вектор переносное перемещение точки за время t. Для этих векторов справедливо следующее равенство

. (11)

Разделив (11) почленно на t, получим

, (12)

где - средняя абсолютная скорость;

- средняя переносная скорость;

- средняя относительная скорость.

Переходя в (12) к пределу при t стремящемся к нулю, получим

, или (13)

Теорема доказана. Согласно доказанной теореме вектор абсолютной скорости изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах переносной и относительной скоростей. Модуль вычисляется по теореме косинусов

, (14)

где - угол между векторами переносной и относительной скоростей.

Понятие о плоскопараллельном движении твердого тела

Движение твердого тела называется плоскопараллельным, если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой фиксированной плоскости (основной плоскости).

Пусть некоторое тело V совершает плоское движение, - основная плоскость (рис. 4). Из определения плоскопараллельного движения и свойств абсолютно твердого тела следует, что любой отрезок прямой АВ, перпендикулярный плоскости , будет совершать поступательное движение. То есть траектории, скорости и ускорения всех точек отрезка АВ будут одинаковы. Таким образом, движение каждой точки сечения s параллельного плоскости , определяет собой движение всех точек тела V, лежащих на отрезке перпендикулярном сечению в данной точке.

Примерами плоскопараллельного движения являются: качение колеса по прямолинейному отрезку, так как все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости, перпендикулярной оси колеса; частным случаем такого движения является вращение твердого тела вокруг неподвижной оси, в самом деле, все точки вращающегося тела движутся в плоскостях параллельных некоторой перпендикулярной оси вращения неподвижной плоскости.

Теорема о возможности представления плоскопараллельного движения в виде совокупности двух движений: поступательного и вращательного.

Пусть некоторое тело совершает плоскопараллельное движение. Рассмотрим некоторое сечение этого тела параллельное основной плоскости.

Произвольно выбранную точку сечения или плоскости, которой принадлежит сечение и которая неизменно связана с сечением, называют полюсом.

Рис. 4

Теорема. Всякое перемещение плоской фигуры в её плоскости может быть представлено в виде совокупности двух движений: поступательного и вращательного.

Доказательство.

Пусть плоская фигура за некоторый промежуток времени t переместилась из положения I в положение II (рис. 7). Положение произвольно выбранного отрезка неизменно связанного с фигурой, определяет положение всей фигуры в любой момент времени. Выберем две произвольные точки фигуры А₁ и В₁ и примем точку А₁ за полюс. Отрезок А₁В₁ через промежуток времени t займёт положение А₂В₂. Поступательным перемещением фигуры совместим точки А₁ и А₂. Точка В₁ при этом займёт положение В'₂, а сама фигура перейдёт в положение, отмеченное пунктиром. Поступательное перемещение фигуры определится вектором , и отрезок А₁В₁ будет параллелен отрезку А₂В'₂. Если теперь повернуть фигуру вокруг полюса А₂ на угол В'₂А₂ В₂, то отрезок А₂В'₂ займёт положение А₂В₂, а сама фигура - положение II, что и требовалось доказать.

Теорема рассматривает не реальное, а возможное движение точки.

Следствие из теоремы: Угловая скорость плоской фигуры не зависит от выбора полюса.

Скорость точки плоской фигуры

Теорема. Скорость любой точки В плоской фигуры в данный момент времени есть геометрическая сумма скорости некоторого полюса и скорости , возникающей вследствие вращения фигуры вокруг полюса, то есть

. (15)

Доказательство

Пусть фигура S (рис. 8) совершает плоское движение. Любое перемещение этой фигуры может быть составлено из поступательного перемещения вместе с полюсом А и поворота вокруг этого полюса.

Представим движение произвольной точки В как сложное: за переносное примем поступательное движение системы координат Ax₁y₁, за относительное - движение, совершаемое точкой В при вращении плоской фигуры вокруг полюса А. На основании теоремы о скорости точки в сложном движении имеем

.

В этом выражении

, ,

так как переносное движение поступательное, а , так как относительным будет движение точки В по окружности радиуса АВ. Следовательно , что и доказывает теорему.

Мгновенный центр скоростей

Мгновенным центром скоростей называется такая точка плоской фигуры (или неизменно связанной с этой фигурой плоскости), скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Пусть фигура S (рис. 9) совершает плоскопараллельное движение, причем угловая скорость этого движения не равна нулю.

Примем произвольную точку А фигуры S за полюс. Повернём вектор скорости точки А вокруг его начала в сторону вращения на угол /2 и отложим в полученном направлении отрезок АР. Действительно из (15) имеем , причем АР, а направление вектора противоположно . Следовательно, и .

Приняв за полюс мгновенный центр скоростей, получим выражение для скорости произвольной точки А в виде:

,

но , тогда

, АР,

то есть скорости точек плоской фигуры в данный момент времени распределены таким образом, как если бы эта фигура вращалась вокруг мгновенного центра скоростей с угловой скоростью .

Если А и В - произвольные точки тела, Р - мгновенный центр скоростей (рис. 10), то поскольку АР, ВР, получим

. (16)

Таким образом, скорости точек плоской фигуры прямо пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей.