Расчет линейных электрических цепей синусоидального и несинусоидального тока

8

Федеральное агентство по образованию (Рособразование)

Архангельский государственный технический университет

Кафедра электротехники и энергетических систем

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине Электротехника и электроника

На тему: Расчет линейных электрических цепей синусоидального и несинусоидального тока

Шингирей Наталья Борисовна

Факультет ОСП-ПЭ курс II группа 1

Руководитель ст. преподаватель

Патракова И.А.

Архангельск 2008

Содержание

1. Задание на курсовую работу

2. Задание 1. Расчет электрической цепи постоянного тока

3. Задание 2. Расчёт электрической цепи несинусоидального тока

4. Задание 3. Расчёт переходных процессов в цепи постоянного тока

5. Приложение

6. Литература

Задание 1. Расчет электрической цепи постоянного тока

Исходные данные:

Рисунок 1 - Обобщённая схема цепи

Вариант	Значения параметров элементов схемы
	Сопротивление, Ом	Напряжение, В	Токи, А
	R1	R2	R3	R4	R5	R6	E1	E2	E3	E4	E5	E6	J1	J2	J3	J4	J5	J6
10	9	4	7	2	3	6	0	0	0	0	10	0	0	0	0	8	0	3

1. Преобразуем источник тока J₄, J₆ в источник ЭДС E₄, Е₆ по следующим формулам

, (1)

где Е - источник ЭДС; J - источник тока; G - проводимость

(2)

 ,

Cм.

,

В.

,

См.

,

В.

2. Составим уравнения по обоим законам Кирхгофа для определения токов во всех ветвях схемы.

8

2.1 Выбираем направление тока в ветвях

Составляем уравнения по I закону Кирхгофа для узлов (1), (2), (3), которые указаны на схеме рисунке 1, тогда:

-I₁ + I₂ - I₄=0 (3)

-I₂ + I₃ + I₅=0 (4)

I₁ - I₃ + I₆=0 (5)

2.2 Выбираем три независимых контура I, II, III и указываем на схеме направления их обхода. Составляем для этих контуров уравнения по II закону Кирхгофа:

I₁R₁ + I₂R₂ + I₃R₃=0 (6)

I₂R₂ + I₄R₄ + I₅R₅= -E₄ + Е₅ (7)

I₃R₃ - I₅R₅ + I₆R₆= -Е₅ + Е₆ (8)

3. Выполнить расчет токов в цепи по методу контурных токов. Расчетная схема для метода показана на рисунке 2

Рисунок 2 - Расчётная схема электрической цепи

Токи ищем, согласно эквивалентной схеме токов.

Определим собственные и взаимные сопротивления.

R₁₁ = R₁ + R₂ + R₃, (9)

где R₁₁ = R₁ + R₂ + R₃ - собственное сопротивление первого контура;

R₁₁= 9 + 4 + 7 = 20 Ом.

R₁₂ = R₂,

где R₁₂ = R₂ - общее сопротивление первого и второго контуров;

R₁₂ = 4 Ом.

R₁₃ = R₃,

где R₁₃ = R₃ - общее сопротивление первого и третьего контуров;

R₁₃ = 7 Ом.

R₂₁ = R₂,

R₂₁ = 4 Ом.

R₂₂ = R₄ + R₅ + R₂ (10)

где R₂₂ = R₄ + R₅ + R₂ - собственное сопротивление второго контура;

R₂₂ = 4 + 2 + 3 = 9 Ом.

R₂₃ = - R₅,

где R₂₃ = - R₅ - общее сопротивление второго и третьего контуров;

R₂₃ = - 3 Ом.

R₃₁ = R₃,

R₃₁ = 7 Ом.

R₃₂ = - R₅,

R₃₂ = - 3 Ом.

R₃₃ = R₃ + R₅ + R₆, (11)

где R₃₃ = R₃ + R₅ + R₆ - собственное сопротивление третьего контура;

R₃₃ =7 + 3 + 6 = 16 Ом

E₁₁ =0

Е₂₂ = - Е₄ + Е₅

Е₃₃ = - Е₅ + Е₆

где Е₁₁ - контурная эдс первого контура;

Е₂₂ - контурная эдс второго контура;

Е₃₃ - контурная эдс третьего контура;

Выбираем три независимых контура, обтекаемых тремя контурными токами I₁₁, I₂₂, I₃₃, система уравнений примет вид:

(12)

После подстановки значений контурных сопротивлений и напряжений источников питания получим систему контурных уравнений:

20I₁₁ + 4I₂₂ + 7I₃₃ = 0

4I₁₁ + 9I₂₂ - 3I₃₃ = -6 (13)

7I₁₁ - 3I₂₂ + 16I₃₃ = 8

В результате вычислений в Mathcad, получим значения контурных токов

I₁₁ = - 0,049 А

I₂₂ = -0,502 А

I₃₃ = 0,427 А

Используя значения контурных токов, находим токи в ветвях цепи:

I₁ = I₁₁,

I₁= -0,049 А

I₂ = I₁₁ + I₂₂ (14)

I₂ = - 0,049 + (- 0,502) = - 0,551 А

I₃ = I₁₁ + I₃₃, (15)

I₃ = -0,049 + 0,427 = 0,378 А

I_4е = I₂₂,

I_4е = - 0,502 А

I₅ = I₂₂ - I₃₃, (16)

I₅ = - 0,502 - 0,427 = - 0,929 А

I_6е = I₃₃,

I_6е = 0,427 А

Правильность полученного решения проверим подстановкой найденных токов в уравнения, составленные по обоим законам Кирхгофа:

I₁ = I₂ - I₄ (17) - 0,049 = - 0,551 - (- 0,502)

- 0,049 = - 0,049

I₂ = I₃ + I₅ (18) - 0,551 = 0,378 - 0,929

- 0,551 = - 0,551

I₃ - I₆ = I₁ (19) 0,378 - 0,427= - 0,049

- 0,049 = - 0,049

0 = I₁R₁ + I₂R₂ + I₃R₃

(20) 0 = - 0,049•9 - 0,551•4 + 0,378•7 0=0

- E₄ + Е₅ = I₂R₂ + I₄R₄ + I₅R₅ (21) - 16+10 = - 0,502•2 - 0,551•4 - 0,929•3

- E₅ + Е₆ = I₃R₃ + I₆R₆ - I₅R₅ (22) -10 + 18 = 0,378•7 + 0,427 •6 - (-0,929)•3 8=8

Проверка действительна.

4. Составим баланс мощностей для эквивалентной схемы Для этого рассчитаем, вначале, мощности источников питания:

Р_и4 = - Е₄•I₄, (23)

Р_и4 = - 16•(-0,502) = 8,032 Вт

Р_и5 = Е₅•I₅, (24)

Р_и5 = 10•(-0,929) = - 9,29 Вт

Р_и6 = Е₆•I₆, (25)

Р_и6 = 18•0,427 = 7,686 Вт

Исходя из действительного направления тока в ветвях, заключаем, что все источники эдс работают в режиме генераторов. Тогда сумма мощностей источников:

УР_иi = Р_и4 + Р_и5+ Р_и6, (26)

УР_иi =8,032 - 9,29 + 7,686 = 6,428 Вт.

Определяем мощности, которые потребляют резисторы в цепи:

УI²_iR_i = I²₁R₁ + I²₂R₂ + I²₃R₃ + I²₄R₄ + I²₅R₅ + I²₆R₆ (27)

Вт.

Уравнение баланса мощностей имеет вид:

УР_иi = УI²_iR_i (28)

6,428 = 6,428 Вт Таким образом, баланс мощностей в цепи выполняется

5. Определим напряжение U_AB между точками А и В схемы рисунка 2, используя выполненные выше расчеты. Для этого составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, который показан штриховой линией на рисунке 2.

U_AB =, (29) U_AB =

Таким образом действительное направление напряжения между точками А и В совпадает с направлением обозначенным на рисунке 2.

6. Упростим схему, заменив соединение R₁, R₂ и R₃ треугольником на эквивалентное соединение посредством трех лучевой звезды.

Рисунок 3 - Схема соединения сопротивления треугольником на эквивалентную звезду

Согласно рисунку 3, сопротивления преобразованных ветвей имеют следующие значения:

R₁₂ = , (30)

R₁₂ = = 1,8 Ом

R₂₃ = , (31)

R₂₃ = = 1,4 Ом

R₃₁ = , (32)

R₃₁ = = 3,15 Ом

7. Выполним расчет преобразованной схемы методом узлового напряжения.

7.1 Определяем проводимости ветвей схемы: Расчет ведем для эквивалентной схемы.

G₁ = , (33)

G₁ = = 0,263 См.

G₂ = , (34)

G₂ = = 0,227 См.

G₃ = , (35)

G₃ = = 0,109 См.

7.2 Находим узловое напряжение:

(36)

(37)

, (38)

См.

(39)

,

А.

U_ab = = 14,09 В.

Действительное направление напряжения совпадает с указанным на рисунке 3.

7.3 Находим токи в ветвях:

, (40)

 А.

, (41)

А.

, (42)

А.

Сравнение результатов расчета токов I₄, I₅, и I₆ методами узлового напряжения и контурных токов показало их полное совпадение, что свидетельствует о правильном решении задачи.

8. Определим ток I₆ в сопротивлении R₆, используя метод эквивалентного генератора.

Расчет ведем для эквивалентной схемы.

8.1 Определим внутреннее сопротивление эквивалентного генератора - r_г Изобразим с разомкнутыми зажимами расчётную цепь

1)

Рисунок 4 - Цепь с разомкнутыми зажимами

Преобразуем эту цепь:

, (43)

Ом.

, (44)

Ом.

, (45)

Ом.

, (46)

Ом.

, (47)

Ом.

, (48)

Ом.

, (49)

Ом.

Составляем уравнения по I и II закону Кирхгофа для узлов которые указаны на схеме рисунка 5, тогда:

Рисунок 5

I закон Кирхгофа: (50)

II закон Кирхгофа: I контур

(51)

II контур

(52)

(53)

1 -1 1 0

(R₁+R₃) R₂ 0 0

0 R₂ (R₄+R₅) E₄+E₅

В Mathcad получились следующие значения:

0,146

-0,585

-0,732

По методу контурных токов получим

(54)

; ; (55)

(R₁+R₂+R₃) R₂

R₂ (R₂+R₄+R5) -E₄+E₅

В Mathcad получились следующие значения:

0,146

-0,732

(56)

Находим ЭДС генератора:

, (57)

В.

Находим ток I₆ в сопротивлении R₆:

, (58)

А.

Задание 2. Расчёт электрической цепи несинусоидального тока

Исходные данные:

Вариант	Схема	щ/ щ0	Аm/Аmo	L/ L0	С/ С0	Rн/ Rно
10	б	5	9	6	3	2

щ₀=10² рад/с, А_mo=10 (А или В), L₀=10 мГн, С₀=1 мкФ, R_но=100 Ом.

Таким образом с учетом номера варианта получим:

щ = 5•щ₀ = 5•10² рад/с;

E_m = 9•E_m0 = 90 B;

L = 6•L₀ = 60 мГн;

С = 3•С₀ = 3 мкФ;

R_н = 2•R_но = 200 Ом;

Схема цепи:

Рисунок 3 - График несинусоидальной функции

На рисунке 1 представлена исходная схема цепи, а на рисунке 2 эквивалентная ей, принимаем, что L₁=L₂. Эдс в цепи изменяется по следующему закону:



Вариант	Функция y(x)	Пределы изменения x	Разложение функции y(x) в ряд Фурье
10	(2р-x)/2р	0<x<2р

Таким образом разложение в ряд Фурье функции е(t) можно записать в виде:

е(t) =45+28,662Sin(щ₁t+0⁰) + 14,331Sin(2щ₁t+0⁰) + 9,55Sin (3щ₁t+0⁰) +...,

где

E_m1 = B;

E_m2 =B;

E_m3 = B;

Остальные вычисления представлены в программе MathCAD в приложениях данной работы.

Задание 3. Расчёт переходных процессов в цепи постоянного тока

Исходные данные:

Вариант	Схема	С, мкФ	J, А	R1, Ом	R2,Ом	R3,Ом	R4,Ом	Найти	Ключ K
10	к	5	10	10	30	35	5	uс	р

Рисунок 1 - Схема электрической цепи

1. Составим электрическую схему после коммутации, она имеет следующий вид:

Рисунок 2 - Электрическая схема после коммутации

2. С помощью несложных преобразований и компонентных уравнений, приведём исходную систему к одному уравнению первого порядка с одной переменной u_c.

Система уравнений после коммутации имеет вид:





Подставляем в систему уравнений исходные значения:

Мы получили дифференциальное уравнение после коммутации.

3. Составим характеристическое уравнение:

4. Рассмотрим установившийся режим:

Рисунок 3 -Схема при установившимся режимеНаходим напряжение между точками а и в по схеме установившегося режима:

В.

Составим общий вид решения уравнения:

,

где ;

;

,

В.

,

где р - корень характеристического уравнения; А - постоянная интегрирования;

5. Находим U_c(0):

Рисунок 4

Рисунок 5

Находим напряжение между точками а и в, согласно рисунку 5:

В.

В.

6. А находим из начальных условий:

,

При t=0

Окончательно можем записать:

Постоянная времени цепи:

ф =

ф = =

Приложение 1

Графики спектров амплитуд и начальных фаз напряжения источника

Графики спектров амплитуд и начальных фаз на резистивном элементе R_н

Приложение 2

График изменения мгновенного напряжения на сопротивлении R_н

График изменения во времени напряжения после выполнения коммутации

Литература

1. Апанасов В.В. Курс лекций по теории линейных электрических цепей. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 2006. - 312 с.

2. Апанасов В.В. Теоретические основы электротехники: сборник заданий/ В.В Апанасов, А.Р. Баланцев, В.М. Волков. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 2005. - 196 с.