Иерархия энтропий при синтезе информации

Иерархия энтропий при синтезе информации

Аксиомы I - III определяют энтропию-информацию как иерархическую переменную, нуль отсчета которой должен определяться дополнительными условиями. Их задает принцип максимума производства энтропии.

Синтез информации содержит в себе запоминание результата. Поэтому он обязательно приводит к двум информационным (термодинамическим) подсистемам, у которых времена релаксации отличаются на много порядков величины. Долгоживущая подсистема есть запомненные объекты. Подсистема с малыми временами релаксации возникает при взаимодействии этих объектов между собой и с окружающей средой. Например, атомы и молекулы, образующие газ, и сам объем газа как физический объект. Наиболее фундаментальной и долгоживущей является информация об адиабатических инвариантах системы.

Обозначу Sk,g меру количества долговременно запомненной (синтезированной) информации при очередном k-том этапе ее синтеза. В частности, это информация об адиабатических инвариантах системы. Меру информации, синтезированной за счет процессов самоорганизации типа рис. 1.3, обозначу Sk,s . Тогда на k-том этапе синтеза информации ее количество есть:

Sk ? Sk,g + Sk,s . (1.13)

Энтропию-информацию, отвечающую n-ной ступени иерархии объектов и процессов, например, эволюции жизни, в силу аксиомы III можно записать [2] - [6] в виде ряда:

Sn ? S0 + S1| 0 + ... + Sk| 0,1,...,(k?1) + ... + Sn| 0,1,...,(n?1) , (1.14)

в котором каждый последующий член описывает энтропию-информацию при новых признаках и условиях по отношению к предыдущим членам ряда. Величина S0 есть информация, принятая за начало отсчета для данной постановки задачи, например, семантическая информация образования нуклеотидов, аминокислот и других первичных соединений, которые характерны для возникновения и эволюции жизни на Земле.

Энтропия Si при дополнительных условиях (i ??1) удовлетворяет соотношению:

Si|(i?1) Si , (1.15)

где знак равенства отвечает равновероятному случайному изменению условий во всем диапазоне их возможных значений.

В силу неравенства (1.15) члены ряда (1.14) убывают приближенно экспоненциально, так как условия на каждой новой ступени иерархии k относятся к признакам предыдущей (k ? 1) ступени иерархии, то есть уменьшают количества информации пропорционально их предыдущему количеству (конкретно убывающая функция сложная, так как показатели экспоненты могут быть разными для разных интервалов ряда (1.14)). Убывает и разность Sk,g ?? S(k-1),g .

Это исчерпывающе объясняет [2] - [6] парадокс кажущегося роста порядка (кажущегося уменьшения энтропии) по мере эволюции Вселенной и, в частности, при возникновении и эволюции жизни и разума.

Для каждой из задач человек наблюдает конкретные последние ступени иерархии роста энтропии-информации. Внутри этих ступеней изменения энтропии тем меньше, чем выше уровень иерархии ступени. Поэтому иерархический рост энтропии может восприниматься как ее наблюдаемое уменьшение.

Это показано на рис. 1.7. По мере эволюции неживой, а потом живой природы энтропия только растёт.

Рис.1.7

Каждый следующий иерархический шаг этого роста увеличивает суммарную энтропию. Но величина иерархической ступеньки экспоненциально уменьшается. В частности, для живой природы “высота” иерархической ступени, которая ответственна за существование человека, ничтожна по отношению к “высоте” ступени, определяющей возникновение прокариотической или эукариотической клетки. Эта малость наблюдаемой нами “высоты” ступени нашего собственного существования и есть причина кажущегося уменьшения энтропии, увеличения порядка, которое мы связываем со своим собственным существованием. Это не так. Беспорядок, количества информации по мере эволюции природы растут.

Для каждой ступени иерархии k величина энтропии Sk,g определяется на основе принципа максимума производства энтропии. Он задает адиабатический инвариант системы Kk для k-го уровня иерархии энтропии-информации (рис. 1.6).

В силу принципа максимума производства энтропии каждый иерархический шаг синтеза информации формирует Sk,g так, чтобы скорость роста энтропии (возможная в конкретных условиях данной ступени иерархии) была максимальна. Например, в мире живого для системы в целом ее задает максимально возможная скорость возникновения новых элементов (скорость размножения). Для ряда (1.14) энтропия рассматривается по отношению к системе в целом, то есть пропорциональна числу элементов. Но энтропия в этом случае растет и для единицы объема системы, так как существуют ошибки (и подобные им случайные изменения элементов), которые могут нелинейно расти в функции числа элементов.

Для энтропии

Sk,s ? Kk ln ?k ? ? Kk ln?k (1.16)

адиабатический инвариант системы Kk и вид статистики ?k (или ?k) фиксированы данным уровнем иерархии энтропии Sk,g . Определяющими для Sk,s являются процессы диссипативной самоорганизации.

Поэтому фундаментальное описание процессов природы нужно проводить в системе координат рис. 1.6, связывающей между собой информацию S, семантическую информацию I и информацию

J?? ??lnK (1.17)

о величине адиабатических инвариантов системы. Процессы в плоскостях Sk ? Ik подчиняются законам, сводка которых дана на рис. 1.3. Положение плоскостей Sk ? Ik на оси J (величину адиабатического инварианта Kk) определяет принцип максимума производства энтропии (1.12).

В определении информации о величине адиабатических инвариантов (1.17) содержится размерный множитель ??. Как будет ясно из главы III, в определении J и величины ???на фундаментальном уровне должна участвовать постоянная слабого взаимодействия.

Уровни иерархии k определяют как возникновение и эволюцию Вселенной, так и возникновение и эволюцию жизни и разума на Земле. Поэтому разум природы и разум человека имеют единую основу, единый способ взаимодействия с окружающей средой. Именно поэтому природа и воспринимается нами как разумная.

Отличие между разумом человека и разумом природы только в том, что для человека запоминание эфемерно, а условия не имеют фундаментальных способов контроля, так как процветание человека не есть цель природы. Ее "цели" исчерпываются вторым началом термодинамики, то есть стремлением к максимальному хаосу в пределах величин обобщенной энергии (в том числе - абстрактной) и условий, заданных на данном уровне иерархии роста количества информации - энтропии.

В Московском Государственном университете им. Ломоносова 10 октября 1995 г. И.Р. Пригожин читал лекцию "Время, хаос, законы природы". Из аудитории в связи с моими работами ему был задан вопрос: "Условия Ляпунова выполняются не только при максимуме энтропии и минимуме производства энтропии, но и при минимуме энтропии и максимуме производства энтропии. Возможны ли такие состояния в природе?" Его ответ - "Нет. При выходе из равновесия производство энтропии минимально. Другого вариационного принципа нет".

Пригожин ошибается. В его принципе минимума производства энтропии для систем, близких к равновесию, а также его развитии для систем, далеких от равновесия (подчиняющихся условиям синтеза информации (1.4) - (1.7)), нет "возникающего" в том смысле, который Пригожин вложил в название своей книги "От существующего к возникающему" [40]. Всё возникающее у Пригожина, в конечном счёте, имеет цель в виде конкретного состояния равновесия. Она может быть далекой или близкой, но такая конкретная "цель" у него всегда существует. Если цель есть, то нет возникающего, так как цель существует раньше, чем путь к ней и возможные остановки на этом пути. Если цель есть, то "стрела времени" уже "воткнута" в эту цель. Но тогда она вовсе не "стрела".

Истинно новое возникает как результат, который разрушил равновесие. Новое, возникающее - это то, что преодолело тупик равновесия и открыло новые возможности роста энтропии-информации. Преодоление тупика равновесия описывает принцип максимума производства энтропии, то есть критерий устойчивости Ляпунова в виде минимума энтропии и максимума ее производства. Именно поэтому принцип максимума производства энтропии есть главный, первичный созидающий закон Вселенной.

Пусть дана система из N элементов, заключенных в объём V, имеющая полную энергию U, и её фазовое пространство с числом измерений 2f, где f - есть число степеней свободы элемента системы. Этим задано, что система рассматривается в ?-пространстве (в терминологии Эренфеста).

В современном развитии больцмановского формализма термодинамики принимается, что в ?-пространстве можно задать ячейку объёмом ? и установить для её измерения минимальную дискретную единицу?

, (1.18)

где h - постоянная Планка с размерностью действия.

С учетом введеной в предыдущих параграфах иерархичности энтропии-информации ясно, что минимальная единица объёма в фазовом пространстве должна иметь универсальное выражение:

 , (1.19)

где - адиабатические инварианты, имеющие размерность действия, и соответствующие разным уровням иерархии энтропии-информации,.

Разобъём фазовое пространство на M ячеек. Их количество M конечно, но может быть очень большим числом. При применении метода ячеек у Больцмана объём ячейки задан произвольно, но это ячейки именно в фазовом пространстве с размерностью элемента его площади [энергия ? время], то есть, с размерностью действия в том виде, как оно определено в механике.

Каждому микросостоянию системы отвечают свои значения координат qi и импульсов pi составляющих его различимых (допускающих нумерацию) элементов. Их можно отобразить в форме чисел заполнения ячеек фазового пространства элементами системы, имеющими интервал взаимосвязанных значений координат и импульсов, отвечающий данной ячейки. Применяя методы комбинаторики к этим числам, можно искать соответствие макроскопических переменных, описывающих систему из многих элементов (например, газ), и микросостояниями, описываемыми распределениями элементов системы.

Числа заполнения ячеек фазового пространства должны удовлетворять очевидному нормировочному условию:

, (1.20)

где N - общее число элементов системы.

Значению действия для i-той ячейки в фазовом пространстве должна отвечать величина энергии и должно выполняться нормировочное условие:

, (1.21)

где U - полная энергия системы.

Неизменному состоянию системы отвечают разные распределения нумеруемых элементов системы по ячейкам фазового пространства. Одному и тому же микросостоянию газа отвечает число ? разных распределений из N молекул по M ячейкам, которое общеизвестным способом с использованием формулы Стирлинга может быть выражено формулой:

. (1.22)

В частном случае системы в виде газа и - постоянной Больцмана это выражение станет больцмановским определением энтропии S единицы объёма газа, если определить то распределение чисел по ячейкам, которое обеспечивает максимум энтропии S при заданных в задаче условиях.

Эта процедура называется нормировкой энтропии и состоит из решения вариационной задачи на отыскание максимума ????при условиях, заданных (1.20) и (1.21). Общий метод решения таких задач основан на использовании неопределённых множителей Лагранжа. Он состоит в том, что для исследуемой на экстремум функции при условиях на неё , где , образуется новая функция:

, (1.23)

которая исследуется на безусловный экстремум. В ней есть некоторые постоянные множители, которые относятся к системе в целом. Они могут выражаться размерными единицами.

В классическом больцмановском случае l = 2 (условий два - (1.20), (1.21)). Обозначают: . Тогда условие экстремума для уравнения (1.22) есть:

. (1.24)

Теперь числа независимы, поэтому из предыдущего уравнения следует, что

, (1.25)

. (1.26)

Если использовать (1.25) в (1.22) и условия нормировки (1.20) и (1.21), то следует:

(1.27)

Или

. (1.28)

Множитель ? относится к системе в целом, поэтому он находится не под знаком суммы.

В описанной выше классической постановке задачи о нормировке энтропии числа безразмерны. В строгом виде это не так. Числа не могут быть определены, если не задан объём ячейки фазового пространства. Поэтому в строгом виде числа имеют размерность . Формально, на вид условий (1.20) и (1.21) это не влияет, так как размерности правых и левых частей в них одинаковы и могут быть сокращены, что всегда и делается без дополнительных напоминаний. В случае условия (1.20) действительно что-либо оговаривать нет необходимости. Но в условие (1.21) в правой части входит макроскопическая полная энергия. Она имеет смысл и в том случае, когда отнесена ко всему объёму фазового пространства, а энергия ячейки отнесена к единице объёма для . При этом числа становятся безразмерными без сокращения единицы объёма как множителя правой и левой части в (1.21).

Условие (1.21) было записано для размерной величины - энергии. Соотношение (1.27) безразмерно. Это возможно в двух случаях:

ѕ если в (1.21) в правой и левой части размерный множитель сокращён и размерность ? есть обратная энергия;

ѕ если в (1.21) в правой и левой части размерный множитель сохранен и размерность ? есть обратное время.

Кроме того здесь необходимо подчернуть ещё раз то, что неоднократно подчеркнуто в этой работе и присутствует во всех классических оригинальных работах об энтропии и во всех классических учебниках: максимальное значение - - очень велико по сравнению с состояниями, которые отвечают ничтожно изменённым (по отношению к тем, которые соответствуют экстремуму) значениям . Несмотря на бесспорность и общеизвестность этого, высочайший детерминизм состояния остаётся, к сожалению, непонятым очень многими.

Если число N элементов системы постоянно, а её энергия U - изменяется, то изменение энтропии с учетом (1.27) есть:

. (1.29)

На этой основе условие постоянства числа элементов системы создаёт ограничения величин ???и??????имеющее вид:

. (1.30)

Величина

(1.31)

известна как статистическая сумма для данной задачи.

Множитель Лагранжа ????с помощью (1.30), (1.31) выражается как:

. (1.32)

С учетом (1.32), уравнение (1.28) принимает вид:

. (1.33)

Величина энергии есть

, (1.34)

а числа заполнения ячеек равны

. (1.35)

Множитель Лагранжа строго определяется из задачи на условный экстремум, но его физический смысл как обратной температуры устанавливается феноменологически - путём сопоставления с изохорическим процессом для идеального газа.

Для этого используется предположение о постоянстве объёма системы, входящее в постановку задачи о нормировке энтропии. Тогда логарифмическая производная от обоих частей (1.30) даст:

. (1.36)

Использование этого в (1.29) приводит к выражению:

. (1.37)

Общеизвестный результат применения второго начала термодинамики к изохорическому процессу есть соотношение:

. (1.38)

Из сопоставления (1.37) и (1.38) следует, что множитель Лагранжа с помощью температуры системы ???может быть записан в виде:

. (1.39)

В такой записи температура ?? выражается в градусах Кельвина, хотя при желании постоянная Больцмана может быть включена в температуру так, что она получит размерность и единицу энергии:

. (1.39а)

Нормировка энтропии устанавливает связь энергии системы U и величины энтропии S, отвечающей наиболее вероятному распределению, которое характеризует величина . При этом, наряду с энтропией S, описываемой логарифмической функцией, появляется ещё одна характеристика распределения - статистическая сумма и её логарифм.

Из изложенного ясно, что связь энтропии S и статистической суммы устанавливает формула:

(1.40)

Или

. (1.41)

Назову семантической информацией переменную

(1.42)

и, в частности, для тепловых процессов, то есть при , переменную

(1.43)

и покажу далее те её свойства, которые оправдывают такое название.

С учетом введенного выше понятия о семантической информации, больцмановская нормировка энтропии устанавливает связь энтропии-информации, семантической информации и энергии.

Энергия как термодинамический потенциал может иметь разные формы, взаимосвязанные преобразованиями Лежандра, а также зависящие от того, какие конкретно исходные формы энергии (механическая, электромагнитная, химическая) рассматриваются совместно с той формой энергии, которая зависит от количеств информации (энтропии) системы. В частности, для случая количеств информации и только механической энергии как составляющих в законе сохранения энергии выделенную роль в описании процессов природы имеет термодинамический потенциал - свободная энергия Гельмгольца:

(1.44)

Продолжая пример изохорического процесса на основе (1.38) и (1.40), опуская промежуточные выкладки, можно проиллюстрировать фундаментальный смысл свободной энергии в терминах информации: статистическая сумма связана с величиной F свободной энергии системы соотношением:

. (1.45)

Соответственно связь (1.41) приобретает вид:

. (1.46)

Соотношения (1.45) и (1.46) универсальны, в частности, в них в общем виде присутствует адиабатический инвариант Kk данного уровня иерархии энтропии-информации, а не обязательно постоянная - Больцмана.

В общем виде в (1.45) необходимо учитывать существование разных форм энергии, которые характеризуют обобщённые координаты и обобщённые силы (как их называют в термодинамике - экстенсивные и интенсивные переменные). Например, для электрической энергии (индукции и напряженности электрического поля соответственно). Для магнитной энергии (напряженности и индукции магнитного поля). Химическая энергия зависит от количественных и силовых переменных в виде концентраций и химических потенциалов конкретно для каждой i-той реакции и имеет вид .

Изменения свободной энергии будут различны в зависимости от того, какие из переменных и выбраны в качестве независимых. Изменения свободной энергии в форме Гельмгольца характеризует выбор в качестве независимых переменных обобщённых координат (экстенсивных переменных):

. (1.47)

Изменения свободной энергии могут быть записаны в форме Гиббса, когда независимые переменные - интенсивные.

, (1.48)

а также в формах, когда переменные и используются в качестве независимых в смешанном виде.

В каждой паре интенсивная - экстенсивная переменная одна из них может быть выбрана как независимая, а вторая как сопряженная. Переход от экстенсивной к интенсивной переменной в качестве независимой, и наоборот, связан с изменением знака.

Термин - свободная энергия - введен Гельмгольцем потому, что он описывает ту часть внутренней энергии системы, которая может быть полностью превращена во внешнюю работу в процессе с одинаковыми начальной и конечной температурами. Поэтому для введенного здесь определения семантической информации из (1.45) следует, что понятие семантической информации определяет ту часть микрораспределения состояний элементов системы, от которого зависят возможности совершения внешней работы системой или над системой.

Подведенное к системе тепло может быть с помощью интегрирующего множителя - температуры ???приведено к форме функции состояния - энергии ?S, зависящей от температуры и количеств информации (распределений). Работа системы или над системой связана с распределением в виде статистической суммы как запомненного случайного выбора, то есть с информацией. Слово - семантическая подчеркивает для этой информации возможность прямого преобразования в работу.

Именно поэтому появление среди критериев синтеза информации рис. 1.3 таких, которые зависят от свободной энергии, закономерно: каждому из двух взаимосвязанных видов распределений соответствуют свои предельные случаи синтеза информации.

В вышеприведенных иллюстрациях нормировки энтропии использованы не интегралы, а суммы, так как больцмановские ячейки исходно дискретны. В адиабатических системах и процессах, несмотря на это, изменения энергии происходят строго непрерывно. Поэтому для них замена суммирования на интегрирование (с соответствующими осреднениями) требует только обычной математической корректности. В неадиабатических системах этого недостаточно. Нужно более строго определить, что такое больцмановская ячейка в шестимерном ?-пространстве и в 6N-мерном Г- пространстве.

Взаимодействия энергии и информации в термодинамических циклах

Рассмотрю классический цикл Карно [42] в терминах взаимодействия энергии и информации.

Сади Карно построил свой цикл для ответа на вопрос - можно ли увеличить коэффициент полезного действия (к.п.д.) паровой машины путём замены в ней рабочего тела при преобразованиях тепла в работу? Его ответ отрицателен: цикл из двух адиабат и двух изотерм обладает максимальным к.п.д., который не зависит от вида рабочего тела.

Известно, что этот вопрос возник у Сади Карно, когда он случайно присутствовал в кабинете своего отца Лазаря Карно (геометра и генерала Французской революции) во время доклада изобретателя Неспье, который предлагал победить Англию с помощью тепловой машины для кораблей - пироэолофора, использующей воздух в качестве рабочего тела. Одна из основ работы Сади Карно есть опубликованные результаты его отца о максимуме механического к.п.д. машин. Его обеспечивает безударность взаимодействий в машине. Это та обратимость, которая есть ключевое предположение в классической термодинамике.

Цикл Карно изображён на рис. 1.8 в координатах энтропия-информация S, семантическая информация I, температура ?.

В изотермическом процессе при температуре к системе подводится тепло , в результате чего в системе изменяется энтропия:

(1.49)

- количество информации как физической переменной. В изотермическом процессе при температуре система отдаёт в окружающую среду количество тепла . При этом её энтропия изменяется на величину . В процессе совершается механическая работа, источником которой является изменение энтропии:

. (1.50)

Рис. 1.8

Энтропия есть функция состояния системы. Количества тепла - нет. Переход к функциям состояния обеспечивает интегрирующий множитель . Плоскость есть плоскость функций состояний системы. В каждой точке плоскости энтропия есть максимум вероятности микросостояний системы. Поэтому в каждой точке этой плоскости нормировка энтропии в силу (1.29) - (1.45) устанавливает однозначное соответствие энтропии S и свободной энергии F. Нормировка энтропии позволяет выделить из распределения, характеристикой которого является энтропия, ту часть, которая зависит от сил, обладающих потенциалом, например, в конкретном виде (1.40). Соотношение (1.45) задаёт связь свободной энергии F и семантической информации I. Плоскость также есть плоскость функций состояния системы. Связь работы и изменения свободной энергии в процессе есть:

. (1.51)

В терминах семантической информации она имеет вид:

. (1.52)

В цикле Карно система получает извне тепло. Этим в систему вводится количество информации, величину которого можно определить, зная температуру. Результат работы тепловой машины, использующей цикл Карно, есть работа сил, обладающих потенциалом, в частности, механическая работа. К.п.д. цикла Карно не зависит от вида рабочего тела потому, что преобразуется в работу информация - изменяется характеристика функции распределения или в терминологии Больцмана функция числа возможных состояний элементов системы, а она для газов не зависит от их вида и внутренних свойств. “Рабочее тело” в цикле Карно есть информация об элементах, образующих газ. Как и полагается для рабочего тела, количества информации и семантической информации в нём в результате замкнутого цикла Карно не изменяются.

Однако общее количество энтропии в окружающей среде растёт. При сжигании топлива выделилось количество тепла Q1 и продуктам сгорания сообщено количество информации Sпр.сг. = Q1/?1. До сжигания топлива в нём содержалась энтропия - количество информации Sтоп . При сжигании топлива общее увеличение “энтропии Вселенной” есть (Sпр.сг./??. - Sтоп ).

Допустим, что в идеальном цикле Карно рабочим телом является воздух при температуре ??. Его нагрев продуктами сгорания происходит идеально. Объём газа, использованный в цикле Карно, до нагрева содержал количество информации S. = Q2/?2 . После завершения идеального цикла Карно информация (энтропия), сообщённая газу при нагреве, использована в процессе механической работы. Это “энтропию Вселенной” не изменило - рабочее тело возвращено в первоначальное состояние.

Нагрев газа происходил в идеальном теплообменике, использующем принцип противотока. Поэтому продукты сгорания поступили в окружающую среду при температуре ??. Их там до завершения цикла Карно не существовало. Они добавили в окружающую среду количество информации (Sпр.сг. - Sтоп ).

Изменение энтропии окружающей среды в результате цикла Карно происходит из-за необратимого потока тепла в окружающую среду. Количество переданной при этом в окружающую среду энтропии будут зависеть от вида топлива даже при осуществлении идеального цикла Карно, так как изменения энтропии в процессе сгорания топлива различны для разных его видов (или других способов получения тепла).

С учетом этой оговорки, сам цикл Карно в плоскости количеств информации отображает отрезок С. Он принадлежит прямой:

 . (1.53)

Площадь идеального цикла Карно в проекции на плоскость равна нулю (1 на рис. 1.9).

Эти две особенности цикла Карно отображают парадоксальный факт - процесс преобразования тепла в работу на основе идеального цикла Карно не меняет количеств информации в окружающей среде (но сопровождающий это тепловой поток энтропию-информацию окружающей среды увеличивает).

Диссипативные циклические процессы характеризует существование для циклов осредняющей прямой, удовлетворяющей условию:

, (1.54)

и конечная величина площади в проекции цикла на плоскость (2 на рис. 1.9). Эта площадь содержит превышение производства энтропии над производством семантической информации (свободной энергии).

Если осредняющая прямая для цикла удовлетворяет условию

, (1.55)

то в проекции площади цикла на плоскость (3 на рис. 1.9) содержится превышение производства свободной энергии (семантической информации) над производством энтропии (информации). Результат таких циклов буду называть избыточным производством энергии.

А. Зоммерфельд в своём классическом учебнике термодинамики [31] подробно рассматривает работу Р. Эмдена и цитирует из неё: “В гигантской фабрике естественных процессов принцип энтропии занимает место директора, который предписывает вид и течение всех сделок. Закон сохранения энергии играет лишь роль бухгалтера, который приводит в равновесие дебет и кредит”. Как было показано выше, это полностью справедливо и для цикла Карно.

Человек в своей деятельности, в частности, при проектировании машин и механизмов использует те же законы, что и природа. Любое достижение человека связано с изменениями количеств информации. Именно так “проектирует” природа свои “машины и механизмы”, используя самопроизвольные процессы роста количеств информации или уменьшения семантической информации. Идеальный цикл Карно сам по себе не изменяет количества информации в окружающей среде. Поэтому в природе точно он “спроектирован” быть не может - точно отвечающие ему природные процессы - невозможны.

Однако неидеальные преобразователи тепла в работу природа создать может. Причина в том, что они удовлетворяют условию (1.54), то есть их работа увеличивает энтропию окружающей среды. Это и есть то количество информации, которое делает реальным “проект” подобных “машин”, например, при грозе, для океанских течений, для климатических и погодных процессов. Широкий диапазон реализации подобных “машин” определён тем, что их работа не зависит напрямую от вида “рабочего тела”, хотя детали их “устройства” определяет именно оно. Например, процессы электризации при грозе.

В области (1.55) “машины” в природе используют преимущественно изменения свободной энергии, которые однозначно определяются конкретными тонкими деталями вызывающих их процессов и участвующих в этом объектов. Именно к этой области относится энергетика живых систем. Поэтому она уникальна - основана на физико-химических свойствах единственного вещества - АТФ. Малочисленные исключения из этого правила только подчеркивают его, так как ответственные за них вещества в тех реакциях, которые определяют энергетику жизни, аналогичны АТФ.

Производство энергии в циклах, в которых выполняется условие (1.55), как правило, требует таких процессов, для которых в правой части выражений для свободной энергии (1.47) или (1.48) существенно участвует более двух форм энергии. Ведь основной процесс производства энергии в этом случае вызван силами, обладающими потенциалом. Эффекты изменения количеств информации и температуры второстепенны. Но понятие - цикл требует для своей реализации не менее двух существенных в задаче форм энергии. Это общее требование для живых систем приводит к выбору в дополнение к химической энергии ещё конкретно энергии электрического поля в биомембранах.

Натуральная единица измерения температуры - обратное время

В параграфе 8 было пояснено, что определение размерности и единицы температуры принципиально содержит в себе произвол, вызванный тем, что обратная температура есть интегрирующий множитель, то есть определена с точностью до произвольного множителя. Рассмотрю этот вопрос подробнее Для этого вернусь к больцмановской задаче о нормировке энтропии и напомню три содержащиеся в ней парадокса, которые всем известны, описаны в учебниках и, тем не менее, остаются без должного внимания. Поясню их на основе того, что было рассказано о больцмановской нормировке энтропии.

Первый из этих парадоксов связан с размерами больцмановских ячеек в фазовом пространстве.

Для того, чтобы строить распределения, необходимы большие величины чисел заполнения этих ячеек. При ячейках, равных единице (1.18) объёма фазового пространства, это не только не выполняется, но и вообще большинство ячеек оказывается пустыми. Для того, чтобы обойти эту трудность, вводят волевым образом “большую” ячейку фазового пространства и, несмотря на такой произвол, получают результаты.

Наука основана на методе моделей. Поэтому достоверность результатов, полученных на основе ошибочных аксиом, не исключена, если угаданы дополнительные волевые предположения. В статистической механике таким предположением является введение, вопреки (1.18), “большой” ячейки, включающей в себя огромное количество элементарных ячеек (1.18). Но если “большая” ячейка в строгом больцмановском формализме даёт достоверные результаты (а в этом нет ни малейших сомнений), то это означает, что ячейка (1.18) относится к другим задачам, а не к статистической механике молекулярных газов. Для газов “большая” ячейка должна существовать как строго введенный объект с фундаментально, из “первых принципов”, определённой величиной. Так её определяет условие (1.19). Это означает, что оно, а некорректная для газов модель (1.18), есть реальность.

Но именно это и есть основное утверждение, введенное в этой и предыдущих моих работах - постоянная Планка есть только один из возможных адиабатических инвариантов при определении понятия энтропии-информации.

С учетом этого утверждения минимальный объём в фазовом пространстве (1.18) есть один из конкретных видов однородного с (1.18), но более общего выражения (1.19). Наряду со случаем Kk = h, обязательно должен существовать случай, когда - постоянной Больцмана как адиабатическому инварианту молекулярных систем кинетической теории газов. Но она должна иметь натуральную размерность обязательно в единицах действия.

Уровень иерархии энтропии-информации, отвечающий тепловым процессам, более высокий, чем внутриатомный уровень, на котором используется постоянная Планка. Поэтому величина постоянной Больцмана в единицах действия, если найти способ определения её из “первых принципов”, должна быть намного больше постоянной Планка.

Строго заданная в единицах действия величина дискретного объёма “большой” ячейка вносит в классическую механику те методические элементы квантовой механики, которые себя хорошо в ней зарекомендовали и которые не зависят от конкретного числа в правой части (1.19). Однако при этом числа заполнения ячеeк фазового пространства, как и должно быть, становятся большими в строгом смысле и отпадает необходимость в волевых предпосылках.

Этим же устраняется и второй общеизвестный парадокс молекулярно-кинетической теории газов. В ней явно понимается и даже пишется в учебниках, что величину ячейки в фазовом пространстве должен определять размерный множитель в определении энтропии (1.1), и что в силу произвольности величины “большой” ячейки это не соблюдается. Соотношение (1.19) устраняет произвольность величины ячеек в фазовом пространстве для систем любых масштабов и тем самым однозначно устанавливается связь определения энтропии (1.1) и разбиения фазового пространства на больцмановские ячейки. Опять парадокс устранён на основе введения иерархических фундаментальных адиабатических инвариантов Kk.

Третий парадокс взаимосвязан с первыми двумя и относится к понятию о температуре.

Множитель Лагранжа ???(как результат решения задачи о нормировке энтропии) получает единицу и размерность обратной температуры на основе феноменологического сопоставления с газовыми законами. При этом, хотя соотношение (1.39) получено на основе сугубо частного примера, оно используется как универсальное. Это возможно потому, что температура по определению есть интегрирующий множитель, то есть феноменологически всегда определена с точностью до постоянного множителя. Это особо подчеркивал Клаузиус в своей основополагающей работе “Механическая теория тепла” [11], которая впервые ввела в физику понятие об энтропии.

Поэтому, как было подробно пояснено выше, возможно выражение температуры в энергетических единицах: . Это произведение не изменяется, если согласованно вводить любой постоянный множитель в единицу температуры и обратный ему - в постоянную Больцмана.

В существующей термодинамике при выборе размерности и единицы измерения температуры остается произвол. Экспериментальные результаты не могут устранить этот произвол, так как измерения энтропии основаны на регистрации величин работы и энергии, в которые входит всегда произведение , но постоянная Больцмана всегда может быть выбрана такой, которая необходима для произвольно заданных размерности и единицы температуры.

Больцмановская ячейка означает: молекула имеет заданное конкретное значение физической переменной механики - действия. Независимая переменная в задаче об определении максимума энтропии есть действие с размерностью [энергия ? время]. Сокращение подобных членов в правой и левой части равенств (1.20), (1.21) формально их не меняет, но не исключает изменения при этом смысла этих равенств. В частности, именно такое сокращения в условии (1.21) становится причиной двойственности размерности температуры.

Натуральная (соответствующая принципам постановки задачи о нормировке энтропии) размерность неопределённого множителя - температуры, участвующуй в определении максимума энтропии, должна быть размерностью обратной единицы времени.

В связи с изложенным в этой главе и методом ячеек Больцмана необходимо напомнить, что определение энтропии вида (1.1а) в оригинальной работе Гиббса [15] использует размерные вероятности, выраженные объемом в фазовом пространстве. Его единица у Гиббса отсутствует. Поэтому Гиббс отмечает, что изменение единицы времени в Ct раз, а единицы энергии в CE раз (то есть единицы фазового объема в CtCE раз) приводит к появлению в определении энтропии аддитивных членов:

f ln Ct + f ln CE, (1.56)

где f - число степеней свободы системы.

В современной физике гиббсовские вероятности, как и должно быть, безразмерные. Это возможно потому, что существует хотя бы одна фундаментальная единица измерения фазового объема вида (1.18), которая равна постоянной Планка h f. Если отнести фазовый объем как переменную к этой единице, то в гиббсовском определении энтропии неопределённость вида (1.56) устраняется. Однако, если существуют адиабатические инварианты, которые отличны от постоянной Планка, то возникающее из-за этого аддитивное изменение энтропии на постоянную останется незамеченным, так как абсолютный нуль отсчета энтропии как иерархической переменной в существующих моделях не определён.

В основе науки лежит метод моделей. Для них исторически был более важен факт существования дискретной единицы объёма в фазовом пространстве, чем его величина -- важен факт квантования, а не конкретная величина кванта действия. Это вызывает парадоксы, но в моделях их всегда можно устранить вспомогательными методами.

Что значит получить информацию с помощью классических измерений?

Как было подробно рассмотрено выше, существует энтропия-информация S как физическая переменная. Существует модель природы, называемая макроскопической. В ней синтез информации содержит нормировку энтропии, производимую в фазовом ?-пространстве Эренфеста. Условия такой нормировки вводят семантическую информацию I и температуру системы ???? ?Свободная энергия F дополняет эти определения учетом сил, обладающих потенциалом.

Информация по определению должна быть тем, что позволяет выразить все остальные переменные задач. И, действительно, исходное определение фундаментальных физических переменных основано именно на таком понимании информации, хотя об этом явно не упоминается.

Например, когда термодинамический потенциал - свободная энергия - зависит только от количеств информации и механической работы , то определения сопряжённых переменных есть:

и . (1.57)

Преобразования Лежандра позволяют менять местами независимые и сопряженные переменные. В данном примере при переходе с их помощью к термодинамическому потенциалу будет определена как сопряженная переменная величина V, то есть:

и . (1.58)

Аналогично в случаях, когда в задачах участвует большее количество форм энергии.

Энергия в термодинамических задачах определена как функция состояния системы, приращения которой есть полные дифференциалы. Это отображают известные в термодинамике соотношения Максвелла, требующие в данном примере, чтобы:

или . (1.59)

Соотношения Максвелла используются совместно с независимым условием связи между собой переменных задачи вида:

. (1.60)

Оно известно как уравнение состояния системы. Уравнение состояния для термодинамической системы должно быть определено независимыми методами. Это подчеркивалось в начале этой главы: методы термодинамики основаны на сохранении энергии и оперируют с функциями состояния системы.

Таким образом, независимым от термодинамики способом, в процессе нормировки энтропии определена информация о системе, процессе (объектах). Постулировано, что переменные есть функции состояния системы. Это тавтологично утверждению, что независимые переменные задачи должны быть взаимосвязаны между собой условием вида (1.60) - уравнением состояния. Соотношения Максвелла (1.59) позволяют проверить, что конкретный вид (1.60) гарантирует существование функций состояния. Тогда производные вида (1.57), (1.58) есть фундаментальные определения физических переменных.

Перечисленное выше есть строгая в пределах своих предпосылок, замкнутая модель. Определения типа (1.57), (1.58) являются в рамках такой модели определениями переменных физики.

Измерить физическую переменную - это значит повторить её определение, используя кодировку. Слово - кодировка в данном случае означает, что используется произвольный способ преобразовать [43] измеряемую переменную в такую форму (возможно неоднозначную), которая удобно воспринимается органами чувств человека.

Простейший пример преобразователя для измерения интенсивных переменных есть манометр. Давление преобразуется в силу, приложенную к некоторой реализации поршня в виде мембраны или трубки Бурдона. Наблюдается перемещение стрелки относительно шкалы.

В современной науке и технике преобразование завершается, как правило, цифровым кодом, который полностью абстрагирован от устройства преобразователя. Слово - кодировка - приобретает свой прямой утилитарный смысл. Способ преобразования как кодировка в этом случае спрятан в ящике покупного прибора. Многие исследователи, из тех, кто использует данный прибор, его просто не знают.

Измерение экстенсивных переменных всегда более сложное и абстрактное. Задумайтесь над, казалось бы, элементарным - измерением объёма. Парадоксально (а может быть наоборот - закономерно) наиболее сложным и абстрактным является измерение самой меры количества информации - энтропии.

Должен подчеркнуть, что встречающееся во многих научных работах и учебниках утверждение о том, что энтропия есть только некая математическая конструкция, некорректно.

Например, в случае (1.4) энтропия определена через переданное системе тепло и её температуру. Но переданное тепло изменяет кинетическую энергию составляющих объект молекул. Этому в силу соотношения Эйнштейна между массой и энергией соответствует изменение массы объекта. Оно слишком мало для того, чтобы быть ощутимым человеком, но ведь оно реально существует! Температуру органы чувств человека воспринимают. Поэтому изменение энтропии объекта могло бы ощущаться человеком однородно с изменением, например, давления на руку. Количественное отличие, возникающее при этом, не может быть основанием для исключения энтропии из числа материальных, потенциально ощущаемых человеком физических переменных. Это же относится и ко всем тем случаям, когда энтропия определена как универсальная мера количества информации (1.1), а не только для тепловых процессов.

Теперь обратите внимание. Если равновесная система, процесс (объекты) определены как таковые своим уравнением состояния и для них известна семантическая информация и связанная с ней свободная энергия, а также энтропия как мера количества собственно информации, то этим определены все физические переменные объекта, содержащиеся в уравнении состояния. Информация как физическая переменная сохраняет интуитивный смысл понятия информации - определяет конкретно сведения об объектах.

Получить информацию о физическом объекте или природном процессе означает отобрать у объекта или процесса часть составляющей его информации и/или часть семантической информации, а тем самым и энергии - изменить в нём за счёт измерения количество информации и энергии. Объектами измерений могут быть как адиабатические, так и замкнутые системы. Измерения в таких системах должны нарушать статус, фундаментальные свойства этих систем.

Однако, если уравнение состояния вида (1.60) связывает между собой сами независимые переменные, а описывающие систему физические переменные определены производными вида (1.57), (1.58), то строго существует нулевой предел отбора от системы информации и энергии - в такой системе строго возможны не нарушающие её статуса измерения. Такой предел не соответствует реальности, но он задан данной моделью.

Существует информация и семантическая информация как физические переменные. Измерения имеют цель получить информацию о системе. Они реализуют это буквально, в соответствии со смыслом информации как физической переменной. Однако одна и та же информация, как было пояснено выше, может быть отображена разной кодировкой. Способы и результаты такой кодировки задаются моделью, включающей в себя особенности нормировки энтропии-информации, вид уравнения состояния и принципы определения производных.

Например, в модели с уравнением состояния (1.60) исторически эталонирование единиц измерения было задано сравнением с образцами. Это, кстати, строго соответствует принципам такой модели. В современных измерениях эталонирование единиц измерения вводится сравнением с функциями от мировых фундаментальных постоянных. В строгом виде это для модели с уравнением состояния (1.60) и определением нормировки энтропии-информации в ?-пространстве требует дополнительных предположений.

Изложенное выше относилось к равновесным системам. Но, как подчёркивалось в начале этой главы, первична информация именно о равновесных объектах. Неравновесность вводит дополнительно к ней определения информации типа 2, 3 на рис. 1.3 и потоков с описывающими их переменными. Измерения, как и в случаях равновесных систем, есть получение от системы информации как физической переменной и её кодировка с помощью преобразований. Но для неравновесных процессов при этом на первый план выходят изменения переменных, в частности, энтропии-информации.

Аксиоматически информация определена как запомненный случайный выбор. Мера информации есть неопределённость, устранённая этим выбором. Поэтому, если проводит эксперименты по одной из многих мысленных схем, например, производя последовательные деления пополам объема с единственной частице в нём так, чтобы локализовать её в результате только в одной из сопоставимых с ней по величине клеток этого объёма, то неопределенность будет устранена. Тот, кто загонял частицу в данную клетку фактически получит ту энтропию, тот беспорядок, от которого он частицу избавил. Однако таким способом определить и измерить информацию может только человек.

Понятие информация относится к системам из многих элементов или к системам, в которых по той или иной причине присутствуют вероятности. Ибо если их нет, то нет и самого понятия об информации - не из чего запоминать выбор.

Систему из многих элементов описывают макроскопические переменные - измеримый результат взаимодействия многих элементов системы с окружением. Поэтому информацию как физическую переменную должны определять её взаимоотношения с окружающей средой. В таком виде информация входит в определения макроскопических переменных в формах типа (1.57), (1.58).

Природе не нужно проводить реальные или мысленные эксперименты с локализацией частицы в клетке. Информация в ней работает как измеримая физическая переменная. В такой роли информацию от других физических переменных отличает именно её свойство как таковой - возможность на её основе предсказать будущее в определённых пределах во времени и в пространстве. С битами или натами, определёнными человеком, природе делать нечего. Как будет показано в следующих главах этой книги, информацию как макроскопическую переменную определяют вариационные принципы. А они неустранимо связаны как с будущим, так и с прошлым.

Однако, проиллюстрированные примером (1.57), (1.58) определения физических переменных неконкретны. В них отражено их единственное свойство - они определяют функции состояния системы.

Конкретные свойства определениям типа (1.57), (1.58) задают независимые уравнения состояния среды. С их помощью однозначно и конкретно специфично определены все переменные задачи. Поэтому процесс измерений для классической механики или термодинамики не может повлиять на их результат - для производных типа (1.57), (1.58) существует предел в точке, поэтому возмущения при измерениях могут быть всегда заданы в пределе нулевыми.

У элементов системы есть свойства при взаимодействии с окружением и самими собой. Свойства элементов системы заданы возможностью их движений и действием сил, обладающих потенциалом. Они определяют существование состояний - конкретных численных величин, характеризующих движение и потенциальные взаимодействия. Мера информация - энтропия есть число, переменная. Она определяет распределение элементов системы по их состояниям. Эти состояния обязательно содержат элемент случайности. Из скольких и каких случайностей произведен выбор или, в другой терминологии, какова вероятность состояния. Это характеризует энтропия как переменная, как величина, существующая независимо от человека в природе, измеримая им.

Отделить свойства элементов системы при движении и при потенциальных взаимодействиях с учётом случайности конкретных реализаций состояний - вот то главное, что начал Больцман и продолжил Гиббс.

Для природы количество информации в системе выражается материальными процессами, не зависящими от человека. Изменилось распределение вероятностей, изменилось число возможных состояний системы - за счёт этого может быть произведена механическая работы и многое другое осязаемое, конкретное. Природа может знать информацию о своих объектах только в таком виде. Человек может создать абстрактное описание этого. Это описание есть кодировка при измерениях физических переменных, в частности, информации-энтропии.

Для того, чтобы измерить информацию в газе или в любом другом физическом объекте, надо знать, в первую очередь, что объект существует, то есть знать отличающий его комплекс свойств. Их задают уравнения состояния. Когда объект этим определён измерения информации о нём (как физической переменной) в пределе проводится без всяких воздействий измерительного прибора на объект, так как уравнения типа (1.57), (1.58) подразумевают, что для входящих в них функций существует предел в точке. Уравнения типа (1.57), (1.58) по своему принципу есть результат осреднения процессов для многих элементов системы и для них существование предела в точке есть выражение возможности такого осреднения. Нет этого предела - нет этих объектов. Вместо них задача поставлена для других объектов, а потому требует своего определения понятия - объект, элемент системы.

Если человек измеряет информацию в битах, натах, то это его способ кодировки физической переменной. Природу этот способ не волнует. Но человек отображает процессы природы. Его кодировка оказалась удачной. Сочетание произвольности и закономерности при описании человеком распределений в природе отражает разный знак для меры информации в природе и при её описании человеком.

Для природы определяющее есть само число возможных состояний, сами вероятности состояний. Человек описывает это же в терминах устранённой неопределенности, то есть из какого числа возможных случайностей выбрана единственная, точно описанная ситуация. С обоих точек зрения число, описывающее количество информации - одинаково. Разницу в подходе человека и природы отражает разный знак, присваиваемый одному и тому же числу.

Абсолютизировать именно человеческий знак энтропии-информации, считать, что всегда нужно для её определения загонять элементы в клетки - это не физический подход.

Вопрос о квантовых ограничениях при измерениях в строгом виде должен рассматриваться в модели, для которой при нормировке энтропии использована фундаментально определённая индивидуально для каждого уровня иерархии энтропии-информации, конечная по величине ячейка объёма в фазовом пространстве, а определение производных учитывает конечность этого объёма.

Макроскопически индивидуальность свойств и состояний задают уравнения состояния. Определения переменных и их свойства быть функциями состояния задают определения типа (1.57), (1.58). Поэтому эти две группы определений (состояния - функции состояния) описываются независимыми друг от друга уравнениями.