Галилео Галилей. Формирование классической механики

Однако эти аргументы Галилей как раз и оспаривает. Что касается приблизительности небесной механики и механики вообще, то этот вопрос для Галилея центральный: в своих сочинениях он неоднократно подчеркивает абсолютную точность своих экспериментов. А вместе с тем он отвергает и другой аргумент, связанный с разведением физики и математики. Оба эти аргумента внутренне связаны: коль скоро в эксперименте можно достигнуть той же точности, как и в математическом доказательстве, то нет больше необходимости искать другого способа познания физического мира, нежели тот, который дает математика.

Таким образом, сближая математический объект с объектом физическим, преобразованным с помощью эксперимента, настаивая на необходимости иметь дело с идеализованными объектами, а не объектами эмпирического мира, Галилей сразу решает целый ряд проблем.

Во-первых, он снимает различие между физикой как наукой, объясняющей причины движения, и математикой как наукой, позволяющей описать это движение, т.е. сформулировать его закон. Во-вторых, устраняет принципиальное различие между математикой и физикой как науками и механикой как искусством. В-третьих, отменяет традиционное представление о том, что математика - это наука о неизменных сущностях, и тем самым кладет начало новому роду математики, способному как раз описывать движение и изменение, устанавливать законы изменения. В-четвертых, ставит вопрос о том, что для физика важнее установить закон, описывающий процесс изменения явлений, чем искать умопостигаемые причины последних.

Условием возможности решения всех этих проблем является у Галилея эксперимент, который представляет собой идеализированный опыт, или материализацию математической конструкции. И вся эта революция в принципах покоится на допущении, что сущность физического мира - математическая, а потому правомерна математизация природной реальности. Стало быть, у Галилея речь идет уже не просто о "спасении явлений", как у Птолемея; у него уже нет "зазора" между физическим опытом и математической теорией: математическая конструкция у Галилея не просто "спасает явления", но выражает саму их сущность. Однако поскольку эмпирическая картина движения тел сильно отличается от математической конструкции, то ученый должен создать особое, идеализованное тело или систему тел. Такая система создается в эксперименте, где, по верному замечанию А.В. Ахутина, вещи ставятся в особые - предельные - условия. Именно эксперимент есть та идеальная конструкция, где по замыслу должны совпасть математика и физика. В эксперименте все внешние препятствия и случайные воздействия устранены, наклонные плоскости абсолютно тверды и гладки, движущееся тело имеет совершенно правильную геометрическую форму шара, какой реальное физическое тело никогда не может иметь, и т.д. "Наличие идеализованного предмета открывает возможность ограничиться одним-единственным, специально сконструированным реальным опытом, результат которого имеет теперь уже непосредственно теоретическое значение".

Однако у нас пока остался нерешенным еще один вопрос. Если мы сравниваем механику Галилея с перспективистской живописью, то где же у Галилея то "отнесение к субъекту", которое мы видели у Пьеро делла Франческа и Леонардо да Винчи? Не является ли наша аналогия слишком смелой? "Отнесение к субъекту" мы находим в самом сердце галилеевой механики, а именно в допущении - в пределе - совпадения реального физического процесса с умственной конструкцией. Не случайно Галилей прилагает так много усилий, чтобы доказать, что его эксперименты были абсолютно точными, что нужно только устранить все помехи и провести эксперимент в чистоте, чтобы убедиться в полной справедливости установленного с его помощью закона. Некоторые современные историки и философы науки, например П. Фейерабенд, видят своеобразную "заслугу" Галилея в том, что в своих экспериментах он прибегал к различным уловкам и ухищрениям, видя особый "революционный" смысл в его научной недобросовестности.

Но, на наш взгляд, действительный смысл того, что Фейерабенд отнес за счет недобросовестности Галилея, гораздо адекватнее понял Иммануил Кант. "Ясность для всех естествоиспытателей возникла тогда, когда Галилей стал скатывать с наклонной плоскости шары с им самим избранной тяжестью, когда Торричелли заставил воздух поддерживать вес, который, как он заранее предвидел, был равен весу известного ему столба воды, или когда Шталь в еще более позднее время превращал металлы в известь и известь обратно в металлы, что-то выделяя из них или вновь присоединяя к ним". Принцип механики Галилея, таким образом, состоит в том, что он предложил приписывать вещи только то, что необходимо следует из вложенного в нее нами самими.

Можно спорить с Кантом, когда он в том же духе толкует и античную математику. Но что касается истолкования метода Галилея, то тут Кант справедливо указывает конструктивистский принцип последнего. Именно в этом отождествлении реальности с умственной конструкцией состоит специфический феноменализм Галилея; тенденция Галилея к установлению не причины, а закона явлений внутренне связана с его конструктивистским принципом.

5. Изменение понятия материи

Переворот, произведенный Галилеем, не мог осуществиться без переосмысления понятий, разработанных в античных научных программах, и прежде всего понятий материи и пространства. Античное понятие материи находилось в противоречии с фундаментальной конструкцией Галилея -"математическим", или "идеальным", телом. В самом деле, материя у древних - как в платоновской, так и в аристотелевской школах - представляла собой начало изменчивости, неустойчивости, текучести. Как же в такой материи можно было "воплотить" математическую конструкцию? Галилей хорошо сознавал это противоречие, он понимал, что для создаваемой им механики античное и средневековое понятие материи было непригодно.

Античное и средневековое понятие материи как раз полагало непереходимую пропасть между математической конструкцией и физическим объектом. Вот характерное высказывание на этот счет аристотелика Симпличио: "В конце концов, эти математические тонкости, синьор Сальвиати, истинны абстрактно, в приложении же к чувственной и физической материи они не оправдываются. Так, например, пусть математики доказывают на основании своих принципов, что sphaera tangit planum in puncto... но, как только дело дойдет до материи, все происходит иначе..."

Сознавая, что тут идет речь о кардинальных вопросах, Галилей предлагает переосмыслить античное понятие материи. Обсуждая вопрос о возможностях воплощения в материале идеальных конструкций, Галилей отвергает как неосновательное утверждение, что "многие изобретения в машинах удаются в малом, но не применимы в большом". В основе этого распространенного в XVI в. мнения лежал не столько опыт, сколько теоретическое соображение, что механическая конструкция тем ближе к своей геометрической модели, чем меньше в ней материи. "Общераспространенное мнение, - говорит Сальвиати - Галилей, - совершенно ложно, настолько ложно, что скорее можно было бы утверждать как истину противное, а именно что многие машины можно сделать более совершенными большего размера, нежели меньшего... Большей основательностью отличается сходное мнение людей образованных, которые причину различной успешности таких машин, не находящую себе объяснения в чистых и абстрактных положениях геометрии, видят в несовершенстве материи, подверженной многим изменениям и недостаткам. Но, думается, я могу... сказать, что одного несовершенства материи, могущего извратить все выводы чистейшей математики, недостаточно для объяснения несоответствия построенных машин машинам отвлеченным и идеальным. Смею утверждать, что если мы, отвлекшись от всякого несовершенства материи и предположив таковую неизменяемой и лишенной всяких случайных недостатков, построим большую машину из того же самого материала и точно сохраним все пропорции меньшей, то в силу самого свойства материи мы получим машину, соответствующую меньшей во всех отношениях, кроме прочности и сопротивляемости внешнему воздействию... Так как я предполагаю, что материя неизменяема, т.е. постоянно остается одинаковой, то ясно, что такое вечное и необходимое свойство может вполне быть основой для чисто математических рассуждений". Как видим, создание математической физики требовало переосмысления понятия материи. У Галилея материя предстает как всегда себе равная, самотождественная, неизменная, т.е. получает характеристику, которую Платон давал умопостигаемому бытию - идее, а Аристотель - форме. Это еще одно свидетельство того, что галилеева механика не есть возвращение к математической программе античности. И Койре был неправ, заявив, что механика Галилея представляет собой реализацию платоновской научной программы, - не случайно позднее он скорректировал свой тезис, что механика Галилея - результат союза Демокрита с Платоном. Но и эта формула нуждается в оговорках.

Хотя и в самом деле демокритовские атомы отвечают потребности Галилея и вообще механики нового времени в неизменной и равной себе материи, почему, собственно, атомизм и развертывается в новую научную программу, однако эта программа создается уже позднее. У Галилея же понятие неделимых (атомов) играет по большей части иную роль. С помощью этой идеи Галилей, как мы уже видели, решает не столько задачу, связанную с неизменностью материи, сколько проблему континуума. И бесконечно малые Галилея - это не атомы Демокрита; в них появляются характеристики, которых не было у античного философа.

В "Диалоге о двух главнейших системах мира", обсуждая вопрос о неуничтожимости и неизменности небесных тел, Галилей категорически отвергает мысль о том, что эта неизменность обусловлена их сферической (а значит, самой совершенной) формой. "Различие формы, - говорит Сальвиати, - может иметь влияние только в отношении тех материй, которые способны более или менее длительно существовать; но в вечных материях, которые могут быть только одинаково вечными, влияние формы прекращается. А потому, раз небесная материя неуничтожаема не в силу формы, а в силу чего-то другого, то не приходится так беспокоиться и о совершенной сферичности, так как если материя неуничтожаема, то, какую бы форму она ни имела, она всегда останется неуничтожаемой".

Здесь Галилей имеет в виду так называемый "небесный элемент" - эфир, который перипатетическая физика считала неразрушаемым, вечным. Однако у перипатетиков сами элементы - вода, воздух, земля, огонь, эфир - рассматривались не как материя просто, а как оформленная материя; так, эфир неразрушим в силу своей формы (эфирности), которая делает его чем-то уже промежуточным между телесным и бестелесным началами, а потому материальность эфира, так сказать, минимальна. У Галилея же мы видим совсем иное толкование: он саму материю как таковую считает неразрушимой вне зависимости от формы.

Новая трактовка понятия материи у Галилея была подготовлена развитием философской и научной мысли XIV-XVI вв. Американский историк науки Э. Муди показал, что серьезная модификация аристотелевского понятия материи имела место в XIV в., в частности у Уильяма Оккама, рассматривавшего материю не столько метафизически, сколько физически. Поэтому материя выступает у него не столько как возможность, как это было у Аристотеля, сколько как телесное начало, имеющее пространственную определенность, - воззрение, восходящее к Симпликию. Оккам называет материю "формой телесности", приближаясь тем самым к тому представлению о ней, которое сложилось в науке XVII-XVIII вв. Аналогичный ход мысли можно встретить также у Жана Буридана, крупнейшего представителя физики импетуса, в рамках которой формировались первоначально и естественнонаучные воззрения Галилея.

В том же направлении, хотя и другим путем, шло формирование нового понятия материи в рамках философии, в частности у Джордано Бруно. Как и Кузанец, Бруно отождествляет античное понятие единого с бесконечным; соответственно античное понятие материи, которая в отличие от единого понималась как бесконечно делимое (беспредельное), в свете учения о совпадении противоположностей получает у Бруно характеристику "неделимого". Правда, Бруно различает материю "телесную" (здесь уместно вспомнить Оккама и Буридана) и материю "бестелесную": первая делима, а неделимой является только вторая. При этом Бруно апеллирует к неоплатоникам, которые тоже различали чувственную и умопостигаемую материю. Однако у неоплатоников умопостигаемая материя не характеризуется как неделимая: неделима у неоплатоников, как и у Аристотеля, лишь форма. У Бруно материя как неделимая "совпадает с действительностью" и, следовательно, "не отличается от формы". В античности форма понималась как начало творческое, которое, внедряясь в материю, создает, таким образом, все существующее, поскольку оно оформлено. Бруно отклоняет такое понимание.

Здесь понятия античной (и по большей части средневековой) науки и философии получают не просто иное, а прямо-таки противоположное прежнему содержание. Согласно Аристотелю, материя стремится к форме как высшему началу. Бруно возражает: "Если, как мы сказали, она (материя. - П.Г.) производит формы из своего лона, а следовательно, имеет их в себе, то как можете вы утверждать, что она к ним стремится?" Согласно Аристотелю, материя - начало изменчивого, преходящего, временного, а форма - начало постоянства, устойчивости. У Бруно все наоборот: cкорее форма должна страстно желать материи, чтобы продолжаться.

Таким образом, в своем понимании материи как начала неизменного и самотождественного Галилей имел непосредственных предшественников - ему не нужно было для этого возвращаться к античности. Если в номинализме XIV в. понятия материи и формы получают, так сказать, физическую интерпретацию, то в XV-XVI вв. происходит еще и дополнительная трансформация этих понятий. Для древнегреческого философа форма совершеннее материи, завершенное и целое прекраснее и разумнее незавершенного и бесконечного, а неизменное бытие выше изменчивого становления; у философа эпохи Возрождения происходит, так сказать, реабилитация материи, беспредельности и становления. В сущности, то преобразование, которое Бруно осуществил в сфере философии, Пьеро делла Франческа и Леонардо да Винчи совершили в искусстве. Галилей же в своей работе, с одной стороны, опирался на эти преобразования, а с другой - открыл в сфере науки возможность углубить и конкретизировать их.

Однако преодолеть трудности, возникающие в связи с необходимостью отождествить - в предельном случае - математический объект с физическим телом, Галилею все-таки не удалось, несмотря на его попытки пересмотреть традиционное понятие материи. В этом отношении показательна полемика Сальвиати с Симпличио в "Диалоге о двух системах мира". Доказывая, что абсолютно круглый физический шар будет соприкасаться с абсолютно гладкой физической поверхностью только в одной точке, потому что на этот счет существует геометрическое доказательство, Галилей - Сальвиати встречает возражение Симпличио, что это геометрическое заключение не может быть распространено на материальный шар и материальную плоскость.

"...Несовершенство материи, - утверждает Симпличио, - является причиной того, что вещи, взятые конкретно, не соответствуют вещам, рассматриваемым в абстракции.

Сальвиати. Как не соответствуют? Наоборот, то, что Вы сами сейчас говорите, доказывает, что они в точности соответствуют.

Симпличио. Каким образом?

Сальвиати. Не говорите ли Вы, что из-за несовершенства материи то тело, которое должно бы быть совершенно сферичным, и та плоскость, которая должна бы быть совершенно плоской, конкретно не оказываются такими, какими Вы их представляете себе в абстракции?

Симпличио. Говорю.

Сальвиати. Значит, всякий раз, как Вы конкретно прикладываете материальную сферу к материальной плоскости, Вы прикладываете несовершенную сферу к несовершенной плоскости и говорите, что они соприкасаются не в одной-единственной точке. А я Вам говорю, что и в абстракции нематериальная сфера, которая является несовершенной сферой, может касаться нематериальной, также несовершенной плоскости не одной точкой, а частью поверхности. Так что то, что происходит конкретно, имеет место и в абстракции... Итак, ошибки заключаются не в абстрактном, не в конкретном, не в геометрии, не в физике, но в вычислителе, который не умеет правильно вычислять. Поэтому, хотя у вас есть совершенные сфера и плоскость хотя бы и материальные, не сомневайтесь, что они соприкасаются в одной точке".

Сказать, как это делает Галилей, что и геометрический шар и плоскость могут быть несовершенными, - значит зачеркнуть самые предпосылки геометрической науки, исходящей из того, что геометрическая сфера полностью соответствует своему понятию. Галилеево рассуждение покоится на убеждении, что между идеей разума, как сказал бы Платон, и чувственной вещью принципиального различия нет: и та и другая могут быть как совершенными, так и несовершенными. Для того чтобы это доказательство действительно получило полную силу, нужно переосмыслить античное понятие материи гораздо радикальнее, чем это сделал сам Галилей. Недостаточно прийти к мысли, что материя неизменяема и более устойчива, чем форма. Необходимо элиминировать из понятия материи все то, благодаря чему материальные тела отличаются от геометрических фигур. Этого шага Галилей сделать не смог, а потому в своих доказательствах он рассуждает не столько как математик, сколько как инженер.

Решающий шаг в переосмыслении понятия материи с целью узаконить галилеевский принцип тождества математического и физического знания сделал Рене Декарт. Следуя галилеевскому ходу мысли, Декарт пришел к выводу, что материя есть не что иное, как пространство. Принимая во внимание, что Декарт предложил решение не только этого, но и ряда других затруднений Галилея, можно утверждать, что именно он, а не Галилей создал первую научную программу нового времени.

Галилей же в этом вопросе остановился на допущении тождества математического и физического не как доказанного, а как принятого условно. "Было бы... правильнее, - пишет он, - принять заключение хотя бы условно, а именно что если бы в природе существовали и сохранялись без изменения совершенные сферы и плоскости, то они соприкасались бы в одной-единственной точке, а затем уже отрицать возможность этого в действительности".

Позиция Галилея здесь, как видим, постоянно колеблется. С одной стороны, для построения механики как строгой науки ему необходимо отождествить математическое доказательство и его демонстрацию в физическом эксперименте. С другой стороны, он сознает, что ему недостает теоретических аргументов, чтобы безукоризненно доказать возможность такого отождествления. Здесь Галилею еще мешают усвоенные им принципы античной математики, шире говоря, то понятие науки, которое сложилось в античности и которое не допускает мысли о том, что в собственном смысле достоверно познать мы можем лишь то, что создали сами. Важный шаг на пути к этому поворотному пониманию науки был сделан Декартом. Что же касается Галилея, то ему, подготовившему это новое понимание науки, сделавшему больше, чем кто-либо иной для разрушения старого фундамента научного знания, не удалось философски осмыслить то, что он делал; поэтому, вынужденный мыслить в прежних категориях, он время от времени соглашается с теми, кто не может увидеть в создаваемой им механике строго научной теории. "...Все выдвигаемые вами затруднения и возражения, - отвечает Галилей своим оппонентам, т.е. самому себе, своим собственным сомнениям, - настолько основательны, что устранить их невозможно... Я допускаю, что выводы, сделанные абстрактным путем, видоизменяются в конкретных случаях и настолько искажаются, что ни поперечное движение не будет равномерным, ни ускоренное движение при падении не будет соответствовать выведенной пропорции, ни траектория брошенного тела не будет параболой и т.д."

В этой ситуации Галилею остается апеллировать к авторитету Архимеда, которого он опять-таки пытается истолковывать в нужном для себя смысле. "...Я прошу вас разрешить нашему Автору принимать то, что принималось некоторыми величайшими мужами, хотя и неправильно. Авторитет одного Архимеда должен успокоить в этом отношении кого угодно. В своей "Механике" и книге о квадратуре параболы он принимает как правильный принцип, что коромысло весов является прямой линией, равноудаленной во всех своих точках от общего центра всех тяжелых тел, и что нити, к которым подвешены тяжелые тела, параллельны между собою. Подобные допущения всеми принимались, ибо на практике инструменты и величины, с которыми мы имеем дело, столь ничтожны по сравнению с огромным расстоянием, отделяющим нас от центра земного шара, что мы смело можем принять шестидесятую часть градуса соответствующей весьма большой окружности за прямую линию, а два перпендикуляра, опущенные из ее концов, - за параллельные линии. Если бы в наших практических делах нам следовало считаться с подобными ничтожными величинами, то нам, прежде всего, пришлось бы осудить архитекторов, которые берутся воздвигать при помощи отвеса высокие башни с параллельными стенами... Как Архимед, так и другие ученые исходили в своих рассуждениях из предположения бесконечной удаленности от нас земного центра, а тогда их предпосылки совершенно справедливы и доказательства абсолютно строги".

Последнее замечание неверно: Архимед не исходил из допущения, что центр Земли бесконечно удален от нас; он считал космос (а не только Землю) очень большим, но конечным телом, так же как и Аристотель. А раз так, то и доказательства свои, основанные на показаниях приборов, он никогда не считал "абсолютно строгими". Способ доказывать точность приблизительного знания через допущение бесконечности, по сравнению с которой все конечные величины равны между собой, античной науке чужд. Этот способ доказательства мы впервые встречаем у Николая Кузанского, где он обосновывается философски, а его применение в механике и математике - у Галилея. Ссылку на Архимеда здесь, если быть исторически точным, следовало бы заменить ссылкой на Кузанца.

Таким образом, в вопросе о материи и соотношении математики и физики Галилей сталкивается с теми же трудностями, что и в вопросе о бесконечности и континууме. Попытки разрешить эти трудности предприняли Декарт, Ньютон, Лейбниц и Кант.

6. Парадоксы теоретического мышления Галилея

Мы не можем найти у Галилея систематически продуманной исследовательской программы именно потому, что почти все его важнейшие понятия содержат в себе противоречие.

Рассмотрим с этой точки зрения исходные понятия галилеевской механики и ее методологические принципы.

Начнем с понятия континуума. Здесь Галилей, как мы видели, утверждает, что континуум состоит из неделимых, природа которых парадоксальна: они сами не имеют величины, но из их бесконечного множества составляется любая конечная величина. Тут одно непонятное - лишенная величины составная часть тела - объясняется через другое непонятное: актуально существующее бесконечное множество. Это понятие-парадокс получает название бесконечно малого и играет важную роль как в механике Галилея, так и в его математике. О том, что Галилей хорошо понимал противоречивый характер своего учения о неделимых (бесконечно малых), свидетельствует тот факт, что когда его ученик Кавальери решил на базе этого понятия создать новую геометрию - геометрию неделимых, не кто иной, как сам Галилей, откровенно говорил ему о сомнительности его исходных принципов. Хотя письмо Галилея к Кавальери и не сохранилось, но по некоторым высказываниям самого Галилея и по ответу Кавальери на письмо Галилея можно судить о том, что именно понятие суммы бесконечно малых Галилей считал теоретически несостоятельным. Вот что пишет Кавальери, в сдержанной форме упрекая самого Галилея в противоречивости его понятия неделимых: "Чтобы не казалось, что я не проявил должного почтения к столь великому учителю, я прошу читателя обратить внимание на то, что Галилей в цитированном выше месте придерживается двух предпосылок: что непрерывное состоит из неделимых (в частности, линия - из точек, бесконечных по числу) и что существует линия, бoльшая, чем другая линия... Итак, он признает, что некоторая совокупность бесконечного числа членов может быть больше другой, что не противоречит, но благоприятствует моей точке зрения". Упрек Кавальери Галилею вполне резонен: ведь возражая Кавальери, считавшему, что одно бесконечное может быть больше другого, Галилей писал, что одно бесконечное не может быть больше, меньше или равно другому бесконечному, ибо между ними не существует отношения.

Отсюда видно, что сам Галилей не пришел к определенному и однозначному решению этого вопроса. В этом пункте нельзя не согласиться с выводом С. Я. Лурье, подробно изучавшего диалог Кавальери и Галилея: "...Галилей вообще не выставил никакой связной математической теории неделимых: стоя на атомистической точке зрения (непрерывное состоит из неделимых, линия состоит из точек), он в то же время видел логические несообразности, к которым приводила эта теория; компромисс Кавальери его не удовлетворял, он не хотел понять Кавальери, чувствовал, что математический атомизм необходим для дальнейшего прогресса математики, но не знал, как сделать его теоретически приемлемым".

Однако с помощью этого самого противоречивого понятия "неделимого", или "бесконечно малого", Галилей вводит важную категорию механики - "мгновенную скорость", отменяя тем самым принципы аристотелевской теории движения. При обсуждении вопроса о бесконечной медленности, представляющей собой опять-таки совпадение противоположностей - покоя и движения, аристотелик Симпличио возражает против введения этого понятия, указывая на грозящий здесь парадокс Зенона: "Но если степени все большей и большей медленности бесчисленны, то они никогда не могут быть все исчерпаны. Таким образом, подымающийся камень никогда не пришел бы в состояние покоя, но пребывал бы в бесконечном, постоянно замедляющемся движении, чего, однако, в действительности никогда не бывает". На это Галилей - Сальвиати дает ответ, формулируя ключевое понятие своей динамики - понятие мгновенной скорости: "Это случилось бы, синьор Симпличио, если бы тело двигалось с каждой степенью скорости некоторое определенное время; но оно только проходит через эти степени, не задерживаясь больше, чем на мгновение; а так как в каждом, даже в самом малом промежутке времени содержится бесконечное множество мгновений, то их число является достаточным для соответствия бесконечному множеству уменьшающихся степеней скорости". Галилей здесь опять-таки прибегает к понятию суммы бесконечно большого числа бесконечно малых отрезков времени, которым соответствует сумма бесконечно большого числа "мгновенных скоростей". Но что же такое "мгновенная скорость"? Коль скоро мгновение - это бесконечно малая "доля" времени, то, стало быть, само мгновение - это уже не время; мгновение - это не конечный отрезок времени, каким бы малым он ни был; это нечто среднее между вневременностью и временем, точно так же, как бесконечно малый отрезок пространства не есть ни математическая точка, ни как угодно малый отрезок пространства. "Мгновенная скорость" - это уже не скорость в собственном смысле слова, ибо всякая скорость предполагает движение, а движение может происходить только во времени. Значит, мгновенная скорость - это нечто вроде неподвижного начала движения. По Галилею, всякая скорость складывается из бесконечной суммы мгновенных скоростей, и это обращение к бесконечной сумме представляет собой как бы магическое заклинание, с помощью которого совершается прыжок от вневременных мгновений к времени, от внепространственных неделимых к пространству, от "неподвижных составляющих" движения к самому движению - одним словом, "переход в другой род". Средством этого перехода оказывается дифференциал, ибо именно дифференциалом и является "мгновенная скорость" у Галилея.

С помощью понятия "мгновенной скорости" Галилей решает проблему континуума. Средством решения, как видим, и здесь оказывается обращение к парадоксу, которое - заметим - Галилей, хотя и не без колебаний, позволяет себе, но не терпит у других, например у своего ученика Кавальери. Через понятие бесконечно малого, которое, если говорить строго, не есть ни реальность математическая (по крайней мере в смысле традиционной античной математики), ни реальность физическая, Галилей и осуществляет построение физики на основе математики. С какими противоречиями он при этом постоянно сталкивается, мы уже видели. Именно потому, что в понятии бесконечно малого с самого начала заложено противоречие, это противоречие с неизбежностью воспроизводится на каждом следующем этапе развития галилеевской мысли. Этим объясняется, почему Декарт не мог принять многих утверждений Галилея, в частности его тезиса о переходе падающего тела через все степени медленности. В 1639 г. в письме к Мерсенну Декарт замечает: "Следует знать, что бы ни говорили против этого Галилей и некоторые другие, что тела, начинающие падать или двигаться ...вовсе не проходят через все степени медленности, а имеют с первого момента определенную скорость, которая затем значительно возрастает".

Лейбниц высказывает в адрес Галилея упрек еще более серьезный, имея в виду уже не частный вопрос: он считает, что Галилей не развязал узел парадоксов континуума, а разрубил его. Этот упрек, несомненно, справедлив. Сам Лейбниц считал проблему континуума главной в натурфилософии и посвятил ее решению не меньше сил, чем в свое время Аристотель.