Определение формы свободной поверхности жидкости в равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси цилиндрического сосуда

Массовые (объемные) силы - это силы, пропорциональные массе жидкости или, для однородной жидкости, - ее объему. К ним относятся сила тяжести и сила инерции переносного движения, действующая на жидкость при относительном ее покое в ускоренно движущихся сосудах или при относительном движении жидкости в руслах, перемещающихся с ускорением.

Поверхностные силы непрерывно распределены по поверхности жидкости и при равномерном их распределении пропорциональны площади их поверхности.

Единичная массовая сила - это массовая сила, отнесенная к единице массы и численно равная соответствующему ускорению.

Единичная поверхностная сила -это поверхностная сила, отнесенная к единице массы и называется напряжением поверхностной силы, которая раскладывается на нормальное (р) и касательное напряжения ().

ДF, р ДR

ДS

ДT,

Рис.1

Давление или гидромеханическое давление (в случае покоя - гидростатическое давление) - это нормальное напряжение (р), равное пределу, к которому стремится отношение силы давления ДF к площади ДS, на которую она действует, при уменьшении ДS до нуля, т.е. при стягивании ее к точке.

Касательное напряжение () - равно пределу, к которому стремится отношение силы трения ДT к площади ДS, на которую она действует, при уменьшении ДS до нуля, т.е. при стягивании ее к точке.

Поверхность равного давления или поверхность уровня -это геометрическое место точек, где гидромеханическое давление имеет одно и то же численное значение.

Свободная поверхность жидкости - это поверхность раздела между жидкостью и газом (является поверхностью равного давления).

Внешняя поверхность жидкости - это не только поверхность раздела жидкости с твердыми и газообразными телами, но и поверхность объема жидкости, мысленно выделяемого из общего объема жидкости.

Сила трения в движущейся жидкости определяется согласно гипотезе Ньютона:

,

где - это динамический коэффициент вязкости жидкости, - это градиент скорости движения жидкости в направлении, перпендикулярном движению жидкости.

Рассмотрим силы, действующие на жидкость при разных ситуациях: при состоянии покоя жидкости в не вращающемся сосуде (); при неравномерном движении жидкости во вращающемся сосуде ();

при относительном покое при равномерном движении во вращающемся сосуде, когда силы инерции и силы тяжести есть величины одного порядка ().

при относительном покое при равномерном движении в сосуде, когда численное значение силы инерции жидкости намного больше численного значения силы тяжести жидкости .

При вращении сосуда с жидкостью с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, а также в некоторых случаях в сосуде устанавливается состояние относительного равновесия (покоя) жидкости, т.е. такое состояние, при котором частицы жидкости не перемещаются относительно друг друга и самого сосуда. Таким образом, жидкость и сосуд движутся как одно целое.

Законы относительного равновесия жидкости находят широкое применение в различных областях техники - в металлургии (центробежное литье), в измерительной технике (жидкостные тахометры) и др.

При исследовании относительного равновесия жидкости наряду с установлением закона распределения давления в ней практический интерес представляет определение формы поверхности равного давления, т.е. такой поверхности, все точки которой испытывают одинаковое давление.

Дифференциальное уравнение поверхности равного давления выводится из дифференциального уравнения гидростатики (уравнение Эйлера)

при p=const получается, что dp=0 и выражение в скобках равно нулю.

, (1)

Где X, Y, Z - проекции равнодействующей (результирующей) массовой силы, отнесенной к единице массы жидкости, на соответствующие координатные оси (эти проекции равны соответствующим ускорениям);

dx, dy,dz - приращения (изменение) координат точек, составляющих поверхность равного давления.

В случае относительного равновесия жидкости в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью, на каждую частицу жидкости действуют две массовые силы: сила тяжести и центробежная сила инерции.

Рассмотрим в качестве поверхности равного давления свободную поверхность жидкости, в любой точке которого давление равно атмосферному. Проведем систему координат, вращающуюся вместе с сосудом, через вершину свободной поверхности жидкости (рис.2)

Рис.2

При таком расположении осей проекции ускорений массовых сил, действующих, например, на частицу жидкости М, равны:

гдеx, y - проекции радиуса вращения точки М на координатные оси;

щ - угловая скорость вращения.

Подставив найденные проекции в уравнение (1) и проинтегрировав его, получим:

(2)

Выражение (2) есть уравнение параболоида вращения, сечение которого горизонтальной плоскостью представляет окружность, а вертикальной плоскостью - параболу.

Из выражения (2) видно, что форма параболоида вращения не зависит от рода налитой в сосуд жидкости, ни от формы сосуда.

Описание экспериментальной установки

Рис.3.

Установка для изучения относительного покоя жидкости во вращающемся сосуде типа ГВ2 (рис.3) содержит сосуд 1 с жидкостью (трансформаторным маслом), червячный редуктор 2, блок управления, устройство 3 для измерения ординаты кривой свободной поверхности жидкости и электропривод с элементами коммутации.

Цилиндрический сосуд заполнен на 0,6 своей высоты трансформаторным маслом и приводится во вращение коллекторным электродвигателем 4 через червячный редуктор (с передаточным числом i=14). При равномерном вращении сосуда вокруг вертикальной оси свободная поверхность жидкости в сосуде принимает форму параболоида вращения.

Работа на установке заключается в экспериментальном измерении координат точек кривой свободной поверхности жидкости в диаметральной плоскости сосуда с последующим сопоставлением их с величинами координат, найденными из теоретических зависимостей.

Для измерения вышеуказанных координат предназначено измерительное устройство, содержащее измерительную иглу 5 и каретку 6. При вращении рукоятки 7 каретка, а, следовательно, и измерительная игла, перемещается в горизонтальном направлении.

Отсчет перемещений (в правую или в левую сторону) регистрируется по шкалам. Вертикальное перемещение измерительной иглы осуществляется при вращении рукоятки 8. На поверхности измерительной иглы нанесена шкала, по которой регистрируют вертикальные координаты свободной поверхности жидкости. Точность отсчета вертикальных перемещений не менее 0,5 мм.

Для расширения методических возможностей конструкция установки предусматривает регулирование частоты вращения сосуда с жидкостью в пределах 10…15 рад/с и, как следствие, получение семейства параболических кривых свободной поверхности жидкости.

Измерение частоты вращения производится при помощи электронного тахометра.

На передней панели установки расположены:

тумблер, осуществляющий включение-выключение электропривода установки.

регулятор для изменения частоты вращения сосуда с жидкостью.