Методы определения тока

Задача 1. Методом наложения определить токи во всех ветвях

R1 I1 E1 I2 R2 I4 R4 I3 R3 E I5	Дано: Е=120 В Е1=125 В R1=40 Ом R2=36 Ом R3=60 Ом R4=60 Ом I1, I2, I3, I4, I5

рис.1

Решение:

Проставляем произвольное направление токов в ветвях исходной расчётной цепи (рис.1).Удаляем ЭДС Е и рассчитываем составляющие токов:

R1

I'1

E1 I'2 R2

I'4 R4

I'3 R3 I'5

Находим эквивалентное сопротивление Rэ:

R2,4=( R2 R4)/( R2 +R4)=36*60/(36+60)= 22,5 Ом

Rэ= R2,4 +R1=40+22,5=62,5 Ом

I'3=0 => R3=0;

Находим токи:

I'1= E1 / Rэ=125/62,5=2 А

I'2= (I'1 R4)/( R2 +R4)=2*60/(36+60)=1,25 А

I'5= I'2=1,25 А

I'4= (I'1 R2)/( R2 +R4)=(2*36)/(36+60)=0,75 А

Аналогично удаляя ЭДС E1 , рассчитываем составляющие токов:

R1,4=( R1 R4)/( R1 +R4)=40*60/(40+60)= 24 Ом

R1,4,2=24+36=60 Ом

R1,4,2,3= Rэ= (R3 R1,4,2)/( R3 +R1,4,2)=3600/(60+60)=30 Ом

R1

I''1

I''2 R2

I''4 R4

I''3 R3 E

I''5

Полные токи определяем как алгебраическую сумму токов от каждой ЭДС в отдельности. Составляющие токов, совпадающие с направлением в (рис.1) , берут со знаком <<+>>, несовпадающие <<->>:

I''5= E / Rэ=120/30= 4 А;

I''2= I''5*( R3)/( R3 +R4)= 2,5 А;

I''1= I''2*( R4)/( R1 +R4)= 2,5*60/(60+40)=1,5 А;

I''4= I''2*( R1)/( R1 +R4)= 2,5*40/(60+40)=1 А;

I''3= I''5*( R2)/( R3 +R2)= 4*36/(60+36)=1,5 А;

I1= I'1 -I''1=2-1,5=0,5 А

I2= I'2 -I''2=1,25-2,5=-1,25 А - меняем напр. I2 на противоположное;

I3= I'3 -I''3=0+1,5=1,5А;

I4= I'4 -I''4=0,75+1=1,75 А;

I5= -I'5 +I''5=-1,25+4=2,75 А;

Проверяем баланс мощностей:

РУист. = РУприёмника

I1E1+ I5E= I1 R1 +I2 R2 +I3 R3 +I4 R4;

120*0,5+125*2,75=0,5*0,5*40+1,25*1,25*36+1,5*1,5*60+1,75*1,75*60;

403,75=403,75;

Ответ: I1=0,5 А, I2= 1,25 А, I3= 1,5А, I4=1,75 А, I5=2,75 А.

Задание 2. Определить токи во всех ветвях методом узлового напряжения

а I1 I4 E1 E2 R3 I3 I2 R4 R2 E3 в	Дано: E1=12 В E2=8 В E3=12 В R2=6 Ом R3=60 Ом R4=12 Ом I1, I2, I3, I4 -?

Решение:

Напряжение между двумя узлами расчитывается по формуле:

Uав=(E1g1 +E2g2 +E3g3)/( g1 + g2 + g3 +g4 );

Но так как R1=0, то g1= ?. Поэтому находим Uав по закону Ома для участка цепи , содержащего источник ЭДС.

Uав=E1 - I1 R1= E1=12 В (так как R1=0)

E2= Uав+I2 R2 => I2=(E2 -Uав)/ R2=(8-12)/6=-0,67 А ;

Меняем направление тока I2 на противоположное;

E3= Uав+I3 R3 => I3=(E3 -Uав)/ R3=(12-12)/60=0 А ;

I4= Uав/ R4=12/12=1 А;

Ток I1 определяем по I Закону Кирхгофа:

а) I1+I2 -I4=0 => I1= I4 -I2=1+0,67=1,67 А;

Проверим баланс мощностей:

РУист. = РУприёмника

I1E1- I2E2+ I3E3= I1 R1 +I2 R2 +I3 R3 +I4 R4;

20,04-5,36=2,69+12

14,68=14,69

Ответ: I1=1,67 А, I2= 0,67 А, I3= 0А, I4=1 А.

Задание 3. Определить ток генератора I1 , ток батареи I2, напряжение на зажимах генератора и батареи U ,мощность генератора Р1 и батареи Р2 , потери мощности внутри генератора Р01 и батареи Р02, мощность Р, переданную потребителем. Определить также, происходит заряд или разряд аккумулятора и в каком режиме работает генератор

Rn I + _ E1 E2 I1 I2 R01 R02	Дано: R01=0.25 Ом R02=0.3 Ом E1=60 В E2=50 В I=7 А I2 ,I1,Uab-? Р, Р1 ,Р2,Р01,Р02-?

Решение:a

Перерисовывая схему, получим:

Cоставляем уравнения по I-му и II-му

законам Кирхгофа и находим токи I1 и I2:I1 I1 I1+ I2-I=0; I1

E1-E2= I1R01 -I2R02;

I2= I-I1; I1

E1-E2= I1R01 -(I - I1)*R02;

60-50=0.25 I1-7*0.3+0.3 I1

I1=22 A;

I2=7-22= -15 A;

По закону Ома для участка цепи, содержащего в

источник ЭДС:в

Uab= E1- I1R01 =60-0.25*22=54.5 В;

Rn=Uab/ I=54.5/7=7.785 Ом;

Определяем мощность генератора Р1 и батареи Р2 :

Р1= E1* I1 =60*22=1320 Вт;Р2= E2* I2 =50*15=750 Вт;

Потеря мощности находится по формуле:

Р1= R0* I;

где R0 -внутреннее сопротивление источника.

Р01= R01* I1* I1=121 Вт; Р02= R02* I2* I2=67.5 Вт;

Находим мощность Р , переданную потребителем:

Р= Rn* I=7.785*7*7= 381,465 Вт;

Составляем баланс мощностей:

I1E1- I2E2= I1 R01 +I Rn +I2 R02;

1320-750=121+ 381,495+ 67,5;

570=569.995;

т.к. Uab< E1 , то генератор работает в режиме источника.

т.к. направление E2 и I2 противоположны, аккумулятор разряжается.

Ответ: I1=22 A, I2=15 A; Uab=54.5 В, Р=381,465 Вт, Р1=1320 Вт, Р2=750 Вт, Р01=1320 Вт, Р02=67.5 Вт.

Задание 4. В данной схеме выполнить

1)составить необходимое кол-во ур-й для

E2 расчёта токов общим методом;

2)определить токи методом узловых

R3 потенциалов; R5R23)определить токи методом контурных токов;

R44)в любой ветви определить ток методом

R6 эквивалентного генератора;

5)результаты расчётов свести в таблицу;

6)проверить баланс мощностей;

R1 E17)для любого контура с 2-мя ЭДС начертить

потенциальную диаграмму.

Задание 4.1 Составить необходимое кол-во ур-й для расчёта токов общим методом

Решение: Выбираем положительное направление токов и ообхода. Цепь содержит 4-ре узла. Составляем по I-му закону Кирхгофа 3-ри ур-я:

1) I6+I3 -I1=0;I1= I6 +I3;

2) I1-I4 -I2=0;I2= I6 +I3-I4;

3) I2-I5 -I3=0;I5= I2-I3= I6 -I4;

Оставшиеся ур-я составляем по II-му закону Ктрхгофа для независимых контуров. По II-му закону осталось k-(n-1) ур-й, где k-количество ветвей, n- узлов:

0= I6R6 -I3R3+I5R5;

-E2=I4R4 -I2R2-I5R5;

-E1= -I4R4 -I6R6-I1R1;

Решая данную систему, определяем токи в ветвях:

0= I6R6 -I3R3+I6R5-I4R5;0=15I6-8I3-7I4;

-E2=I4R4 -I6R2-I5R5-I3R2+I4R2;-14= -10I6-5I3+24I4;

-E1= -I4R4 -I6R6-I6R1-I3R1;-20= -14I6-6I3-14I4;

Решив систему с помощью определителя, получим:

I6=0,778 А;I3 =1,339 А;I4=0,0689 А;

Находим все остальные токи:

I1= I6 +I3=0,778+1,339= 2,167 А

I2= I6 +I3-I4=0,778+1,339-0,0689= 2,0481 А

I5= I2-I3= I6 -I4=0,778-0,0689= 0,7091 А

Ответ: I1=2,167 А, I2= 2,0481 А,

I3 =1,339 А, I4=0,0689 А, I5= 0,7091 А,

I6=0,778 А.

Задание 4.2 Определить токи методом узловых потенциалов

Решение:

В данной цепи имеется 4-ре узла. Заземлим узел с большим порядковым номером, то есть 4-й узел и принимаем его потенциал равный нулю. Записываем систему уравнений для оставшихся потенциалов:

ц1G11+ ц2G12+ ц3G13= I11

ц1G21+ ц2G22+ ц3G23= I22

ц1G31+ ц2G32+ ц3G33= I33

где G11, G22, G33- собственные проводимости соответственно 1,2 и 3 узлов:

G11=g1+g3+g6 = 1/ R1+1/ R3+1/ R6=0.125+0.166+0.125=0.416;

G22=g2+g3+g5 = 1/ R2+1/ R3+1/ R5=0.125+0.2+0.143=0.468;

G33=g4+g5+g6 = 1/ R4+1/ R5+1/ R6=0.143+0.0714+0.125=0.3394;

а G12 и G21, G31 и G13, G23 и G32- взаимные проводимости, то есть проводимости ветвей, которые напрямую соединяют два узла( берутся со знаком `-` ):

G12 = G21= -g3= -0.125

G31 = G13= -g6= -0.125

G23 = G32= -g5= -0.143

I11, I22, I33- узловые токи соответственно 1,2 и 3 узлов ( если ЭДС направлена к узлу, то её произведение берут со знаком “+”, от узла - со знаком “-“:

I11=-E1g1= -3.32 A;

I22=E2g2= 2.8 A;

I33=0 A;

Подставляя данные значения в исходную систему уравнений и решая её с помощью матрицы, определяем значения потенциалов:

0.416ц1- 0.125ц2- 0.125ц3= -3.32

-0.125ц1+0.486ц2-0.143ц3= 2.8

-0.125ц1-0.143ц2+0.339ц3= 0

Получим:

ц1=-7.179 В; ц2=3.738 В;ц3= -1.07 В;

Отсюда находим значения токов с помощью формулы:

I=(цa-цb-E)*g;

Участки, где ЭДС совпадают с направлением тока, ЭДС берётся со знаком “+”, нет- с “-“:

I1=(ц1-ц4+E1)*g1=2.128 A;

I2=(ц4-ц2+E2)*g2=2.0524 A;

I3=(ц2-ц1)*g3=1.364 A;

I4=(ц4-ц3)*g4=0.0763 A;

I5=(ц2-ц3)*g5=0.687 A;

I6=(ц3-ц1)*g6=0.763 A;

Ответ: I1=2.128 A, I2=2.0524 A, I3=1.364 A, I4=0,0763 А, I5=0,687 А, I6=0,763 А.

Задание 4.3 Определить токи методом контурных токов

Решение: Предполагаем, что каждый независимый контур схемы имеет свой контурный ток: I11, I22 и I33; так как в данной схеме три контура, то, используя II закон Кирхгофа, получаем следующую систему:

I11R11+ I22R12+ I33R13= E11

I11R21+ I22R22+ I33R23= E22

I11R31+ I22R32+ I33R33= E33

где R11, R22, R33 собственные сопротивления соответственно 1,2 и 3 контуров:

R11= R1+ R4+R6 = 6+14+8=28 Ом;

R22= R2+ R4+R5 = 7+14+5=26 Ом;

R11= R6+ R3+R5= 8+7+8=23 Ом;

R12 и R21, R31 и R13, R23 и R32 - взаимные сопротивления, то есть сопротивления смежных ветвей, принадлежащих 2-м или нескольким контурам, причём :

R12 = R21= - R4= -14 Ом;

R13 = R31= - R6= -8 Ом;

R23= R32= - R5= -7 Ом;

E11, E22 и E33 - контурные ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС соответствующего контура):

E11= -E1= -20 В;

E22= -E2= -14 В;

E11= 0 В;

Подставляя данные значения в исходную систему уравнений и решая её с помощью матрицы, определяем контурные токи:

28I11-14I22-8I33=-24

-14I11+26I22-7I33= -14

-8I11-7I22+23I33= 0

28-14-8-24

А=-1426-7 ;В=-14 ;

-8-7230

Отсюда, I11=-2,132 А, I22= -2,0545 А, I33= -1.367 А; так как ток в ветви, где имеется только один контурный ток (в независимой ветке), равен контурному, то:

I11= I1=2,132 А, I22= I2=2,0545 А, I33= I3=1.367 А;

Токи в смежных ветвях равны алгебраической сумме контурных, протекающих по этой ветке. При этом, произвольно выбрав направление токов в смежной ветви, контурный ток, совпадающий с этим направлением, берётся со знаком “+”, несовпадающий - с “-”:

I4= -I11+ I22=2,132-2,0545 = 0,0775 А;

I5= I33- I22=-1,367+2,0545 = 0,6875 А;

I6= -I11+ I33=2,132-1.367= 0,765А;

Ответ: I1=2.132 A, I2=2.0545 A, I3=1.367 A, I4=0,0775 А, I5=0,6875 А, I6=0,765 А.

Задание 4.4 В любой ветви определить ток методом эквивалентного генератора. Прерывая исходную схему, получаем( при этом разраваем ветвь, содержащую ЭДС E2)

Решение: Рассчитываем ток по формуле:

I2= Uabxx /( R2+ Rвхab);

где Rвхab - входное сопротивление всей схемы по отношению к зажимам; Uabxx - напряжение холостого хода.

Определяем Uabxx по II закону Кирхгофа:

E2= Uabxx -I5'R5 - I4'R4;

(всего два узла: 1и2, остальные оборваны)

Uabxx = E2+I5'R5 + I4'R4;

Для определения тока I4' находим эквивалентное сопротивление:

Rэ'=( R3+ R5) R6/( R3+ R5+ R6)+ R1+R4=5.217+20=25.217 Ом;

Отсюда:

I4' = E1/ Rэ'=20/25.217=0.793 А;

I5'= I4' R6/( R3+ R5+ R6)=0,793*0,348=0,276 А;

Значит

Uabxx = 14+0,793*14+0,276*7=14+11,102+1,932=27,034 В;

Определяем Rвхab : преобразовывая соединения:

R13

R14 R34

R4R5

R14= R4*R1/ R3+ R1+R4=20+84/8=20+10.5=30.5 Ом;

R13= R3*R1/ R4+ R1+R3= 14+3,428=17,428 Ом;

R34= R3*R4/ R1+ R4+R3= 22+18,666=40,666 Ом;

Отсюда Rвхab

Rвхab= [R4*R14/(R4+R14) +R5*R34/(R5+R34)]*R13/[R4*R14/(R4+ R14) + R5*R34/(R5+ R34)+R13]

Rвхab=(427/44.5+284.662/47.666)*17.428/(9.59+5.972+17.428)=8.221;

Следовательно:

I2= 27.034/( 5+ 8.221)=1.983 А;

Ответ: I2=1.983 А.

Задание 4.5

Токи, А	Общий	Узловых потенциалов	Контурных токов	Эквив. генератора
I1	2,167	2,128	2,132
I2	2,0481	2,0524	2,0545	1,983
I3	1,339	1,367	1,367
I4	0,0689	0,0763	0,0775
I5	0,7091	0,687	0,6875
I6	0,778	0,763	0,765

В таблице приведены результаты расчета токов четырьмя методами. Так как значения токов небольшие, то имеется незначительная погрешность.

Задание 4.6

Проверим баланс мощностей для токов, найденных общим методом:

P? источника = P? приёмника;

В любой момент времени сумма мощностей, выделяемая всеми источниками равна сумме мощностей, потребляемой всеми источниками.

E1I1+ E2I2= I1 R1 +I2 R2 +I3 R3+I4 R4+ I5 R5 +I6 R6;

20*2,167+14*2,0481=2,167*6+2,04815+1,339*8+0,0689*14+0,7091*7+0, 778*8

43,34+28,6734=28,176+20,974+14,344+0,0665+3,519+4,843

72,0134=71,935

Вывод: учитывая погрешность, баланс мощностей сходится.

Задание 4.7

Решение:

Заземлим точку (1) данной схемы, принимая потенциал этой точки равный нулю. При этом токораспределение в цепи не изменяется, так как никаких новых ветвей, по которым могли бы протекать токи, не образуются. По второму закону Кирхгофа арифметическая сумма напряжений вдоль замкнутого контура равна нулю. Проставим при этом истинные направления токов. Имеем:

ц1= 0 B;

ц2 = ц1+ E2=0+14=14 B;

ц3 = ц2- I2R2=14-2.0524*5=3.738 B;

ц4 = ц3+ E1=3.738+20=23.738 B;

ц5 = ц4- I1R1=23.738-12.792=10.946 B;

ц1 = ц5- I3R3=10.946 -1.364*8=0 B;