2

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО Политехнический институт (филиал) УГТУ - УПИ г. Каменска - Уральского

Кафедра общих и естественнонаучных дисциплин

РЕФЕРАТ на тему:

Элементы специальной теории относительности

Научный руководитель:

Торопов Н.А.

Курс, группа: МТ - 190506

Студент: Соловьев В.В.

Каменск - Уральский

2010

Содержание

Введение

Основная часть.

1. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности

2. Постулаты специальной теории относительности

3. Преобразования Лоренца

4. Следствия из преобразований Лоренца

5. Интервал между событиями

6. Основной закон релятивистской динамики материальной точки

7. Закон взаимосвязи массы и энергии

8. Закон сохранения энергии

9. Границы применимости специальной теории относительности

Заключение

Библиография

Введение

Название “теория относительности” возникло из наименования основного принципа (постулата), положенного Пуанкаре и Эйнштейном в основу из всех теоретических построений новой теории пространства и времени.

Начать рассказ следует с замечательной работы Эйнштейна 1905 года, в которой была сформулирована специальная теория относительности и которая завершила в идейном отношении развитие классической электродинамики. У этой работе, несомненно, были предшественники, среди которых нельзя не упомянуть работы Лоренца и Пуанкаре. В их статьях уже содержались многие элементы специальной теории относительности. Однако ясное понимание, цельная картина физики больших скоростей появились лишь в упомянутой работе Эйнштейна. Не случайно, несмотря на наличие прекрасных современных учебников, ее до сих нор можно рекомендовать для первого знакомства с предметом не только студентам, но и старшеклассникам.

Специальная теория относительности (СТО) - фундаментальная физическая теория пространственно-временных свойств, всех физических процессов.

Основой СТО явились представления о свойствах пространства, времени и движения, разработанные в классической механике Галилеем и Ньютоном, но углублённые и в ряде положений существенно изменённые и дополненные Эйнштейном в связи с теми экспериментальными фактами, которые были обнаружены в физике к концу XIX столетия при изучении электромагнитных явлений.

Целью настоящей работы является рассмотрение основных представлений о специальной теории относительности, существующих в современной физике.

В работу входят следующие разделы: преобразования Галилея, механический принцип относительности, постулаты специальной теории относительности, преобразования Лоренца, следствия из преобразований Лоренца, релятивистский закон сложения скоростей, основной закон релятивистской динамики материальной точки, закон взаимосвязи массы и энергии, закон сохранения энергии, границы применимости классической механики.

Все рассматриваемые в работе разделы соответствуют основным принципам специальной теории относительности.

Для этого необходимо было познакомиться с литературой по данному вопросу.

Для своей работы я использовал материалы: Угаров В. А., Специальная теория относительности, Пустильников И.Г. Угаров В.А. Специальная теория относительности в средней школе. Пособие для учителей. Трофимова Т.И. Курс физики: Учебник для студ. вузов, Трофимова Т.И. Курс физики: Учебное пособие для вузов. - 2-е издание, перераб. и доп., “Принцип относительности” Лоренц, Пуанкаре, Эйнштейн и Минковский, В.Н. Дубровский, Я.А. Смородинский, Е.Л. Сурков, Релятивистский мир. (Библиотечка "Квант", выпуск 34), Э.Тейлор, Дж. Уилер, Физика пространства - времени, И.И. Гольденблат, Парадоксы времени в релятивистской механике, П.В. Елютин, Г.А. Чижов, Словарь-справочник по элементарной физике, А.В.Горелов. Элементы теории относительности - элементарное изложение специальной теории относительности.

1. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности

Если системы отсчета движутся относительно друг друга равномерно и прямолинейно и в одной из них справедливы законы динамики Ньютона, то эти системы являются инерциальными. Установлено также, что во всех инерциальных системах отсчета законы классической динамики имеют одинаковую форму; в этом Суть механического принципа относительности (принципа относительности Галилея).

Для его доказательства рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему К (с координатами х, у, z), которую условно будем считать неподвижной, и систему К' (с координатами х', у', z'), движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно со скоростью u (u = const). Отсчет времени начнем с момента, когда начала координат обеих систем совпадают. Пусть в произвольный момент времени t расположение этих систем друг относительно друга имеет вид, изображенный на рис. 1. Скорость u направлена вдоль 00', рашус-вектор, проведенный из О в О',

r₀ = ut.

Рис.1

Найдем связь между координатами произвольной точки А в обеих системах. Из рис. 1 видно, что

r = r + r = r + ut (1.1)

Уравнение (1.1) можно записать в проекциях на оси координат:

x = x + u_xt,

y = y + u_yt, (1.2)

z = z + u_zt.

Уравнения (1.1) и (1.2) носят название преобразований координат Галилея.

В частном случае, когда система К' движется со скоростью v вдоль положительного направления оси х системы К (в начальный момент времени оси координат совпадают), преобразования координат Галилея имеют вид

x = x + u_xt,

y = y,

z = z.

В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относительного движения систем отсчета, т. е. к преобразованиям (1.2) можно добавить еще одно уравнение:

t = t'. (1.3)

Записанные соотношения справедливы лишь в случае классической механики (U«С), а при скоростях, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются более общими преобразованиями Лоренца.

Продифференцировав выражение (1.1) по времени (с учетом (1.3)), получим уравнение

v=v + u (1.4)

которое представляет собой правило сложения скоростей в классической механике. Ускорение в системе отсчета К таким образом, ускорение точки А системах отсчета К и К', движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, одинаково:

а = а' (1.5)

Следовательно, если на точку А другие тела не действуют (а=0), то, согласно (1.5), и а' = 0, т.е. система К' является инерциальной (точка движется относительно нее равномерно и прямолинейно или покоится).

Таким образом, из соотношения (1.5) вытекает доказательство механического принципа относительности: уравнения динамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не изменяется, т.е. являются инвариантными по отношению к преобразованиям координат. Галилей обратил внимание, что никакими механическими опытами, проведенными данной инерциальной системе отсчета, нельзя установить, покоится ли она или движется равномерно и прямолинейно. Например, сидя в каюте корабля, движущегося равномерно и прямолинейно, мы не можем определить, покоится корабль или движется, не выглянув в окно.

2. Постулаты специальной (частной) теории относительности

Классическая механика Ньютона прекрасно описывает движение макротел, движущихся с малыми скоростями (U<С). Однако в конце XIX в. выяснилось, что выводы классической механики противоречат некоторым опытным данным, в частности при изучении движения быстрых заряженных частиц оказалось, что их движете не подчиняется законам механики. Далее возникли затруднения при попытках применить механику Ньютона к объяснению распространения света. Если источник и приемник света движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, то, согласно классической механике, измеренная скорость должна зависеть от относительной скорости их движения. Американский физик А. Майкельсон (1852--1913) в своем знаменитом опыте в 1881 г., а затем в 1887 г. совместно с Е. Морли (американский физик, 1838--1923) -- опыт Майкельсона -- Морли -- пытался обнаружить движение Земли относительно эфира (эфирный ветер), применяя интерферометр Майкельсона. Обнаружить эфирный ветер Майкельсону не удалось, как, впрочем, не удалось его обнаружить и в других многочисленных опытах. Опыты «упрямо» показывали, что скорости света в двух движущихся друг относительно друга системах равны. Это противоречило правилу сложения скоростей классической механики.

Одновременно было показано противоречие между классической теорией и уравнениями Дж. К. Максвелла (английский физик, 1831 --1879), лежащими в основе понимания света как электромагнитной волны.

Для объяснения этих и некоторых других опытных данных необходимо было создать новую механику, которая, объясняя эти факты, содержала бы ньютоновскую механику как предельный случай для малых скоростей (u<<с). Это и удалось сделать А. Эйнштейну, одному из основателей современной физики, который, по словам В. И. Ленина, является одним «из великих преобразователей естествознания». А. Эйнштейн пришел к выводу о том, что мирового эфира -- особой среды, которая могла бы быть принята в качестве абсолютной системы,-- не существует. Существование постоянной скорости распространения света в вакууме находилось в согласии с уравнениями Максвелла.

Таким образом, А. Эйнштейн заложил основы специальной теории относительности. Эта теория представляет собой современную физическую теорию пространства и времени, в которой, как и в классической ньютоновской механике, предполагается, что время однородно, а пространство однородно и изотропно. Специальная теория относительности часто называется также релятивистской теорией, а специфические явления, описываемые этой теорией,-- релятивистскими эффектами.

В основе специальной теории относительности лежат постулаты Эйнштейна, сформулированные им в 1905 г.

I. Принцип относительности: никакие опыты (механические, электрические, оптические), проведенные внутри данной инерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.

II. Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источник света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Первый постулат Эйнштейна, являясь обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы, утверждает, таким образом, что физические законы инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчета, а уравнения, описывающие эти законы, одинаковы по форме во всех инерциальных системах отсчета. Согласно этому постулату, все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны, т. е. явления (механические, электродинамические, оптические и др.) во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково.

Согласно второму постулату Эйнштейна, постоянство скорости света -- фундаментальное свойство природы, которое констатируется как опытный факт.

Специальная теория относительности потребовала отказа от привычных представлений о пространстве и времени, принятых в классической механике, поскольку они противоречили принципу постоянства скорости света. Потеряло смысл не только абсолютное пространство, но и абсолютное время.

Постулаты Эйнштейна и теория, построенная на их основе, установили новый взгляд на мир и новые пространственно-временные представления, такие, например, как относительность длин и промежутков времени, относительность одновременности событий. Эти и другие следствия из теории Эйнштейна находят надежное экспериментальное подтверждение, являясь тем самым обоснованием постулатов Эйнштейна -- обоснованием специальной теории относительности.

3. Преобразования Лоренца

Анализ явлений в инерциальных системах отсчета, проведенный А. Эйнштейном на основе сформулированных им постулатов, показал, что классические преобразования Галилея несовместимы с ними и, следовательно, должны быть заменены преобразованиями, удовлетворяющими постулатам теории относительности.

Для иллюстрации этого вывода рассмотрим две инерциальные системы отсчета: К (с координатами х, у, z) и К' (с координатами х', у', z'), движущуюся относительно К (вдоль оси х) со скоростью v = const (рис.2). Пусть в начальный момент времени t = t' = 0, когда начала координат О к О' совпадают, излучается световой импульс. Согласно второму постулату Эйнштейна, скорость света в обеих системах одна и та же и равна с. Поэтому если за время t в системе К сигнал дойдет до некоторой точки А (рис.2), пройдя расстояние

x=сt (3.1)

то в системе К' координата светового импульса в момент достижения точки А

x' = ct', (3.2)

где t -- время прохождения светового импульса от начала координат до точки А в системе К'- Вычитая (3.1) из (3.2), получим

x'- x = c(t'-t).

Так как х' не равно х (система К' перемещается по отношению к системе К), то

t = t

т. е. отсчет времени в системах К и К' различен -- отсчет времени имеет относительный характер (в классической физике считается, что время во всех инерциальных системах отсчета течет одинаково, т.е. t = t').

Эйнштейн показал, что в теории относительности классические преобразования Галилея, описывающие переход от одной инерциальнои системы отсчета к другой K K K K

x = x - ut, x = x + ut,

y = y y = y

z = z z = z

t = t t =t

-- заменяются преобразованиями Лоренцa, удовлетворяющими постулатам Эйнштейна (формулы представлены для случая, когда К' движется относительно К со скоростью v вдоль оси х).

Эти преобразования предложены Лоренцом в 1904 г., еще до появления теории относительности, как преобразования, гтносительно которых уравнения Максвелла инвариантны.

Из сравнения приведенных уравнений вытекает, что они симметричны и отличаются лишь знаком при v. Это очевидно, так как если скорость движения системы К' относительно системы К равна v, то скорость движения К относительно К' равна--u.

Из преобразований Лоренца вытекает также, что при малых скоростях (по сравнению со скоростью света), т. е. когда <<1, они переходят в классические преобразования Галилея (в этом заключается суть принципа соответствия), которые являются, следовательно, предельным случаем преобразований Лоренца. При u>c выражения (3.3) для х, t, x', t' теряют физический смысл (становятся мнимыми). Это находится, в свою очередь, в соответствии с тем, что движение со скоростью, большей скорости света в вакууме, невозможно.

Из преобразований Лоренца следует очень важный вывод о том, что как расстояние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, в то время как в рамках преобразований Галилея эти величины считались абсолютными, не изменяющимися при переходе от системы к системе. Кроме того, как пространственные, так и временные преобразования (см. (3.3) не являются независимыми, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени -- пространственные координаты, т. е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Таким образом, теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время.

4. Следствия из преобразований Лоренца

1. Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в системе К в точках с координатами х₁и х₂ в моменты времени t₁ и t₂ происходит два события. В системе К им соответствуют координаты x₁ и x₂ и моменты времени t₁ и t₂. Если события в системе К происходят в одной точке (х₁ =х₂) и являются одновременными (t₁=t₂), то, согласно преобразованиям Лоренца (3.3),

x₁ = x₂, t₁ = t₂

т. е. эти события являются одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета.

Если события в системе К пространственно разобщены (x₁ не равен х₂), но одновременны (t₁=t₂), то в системе K', согласно преобразованиям Лоренца (3.3),

Таким образом, в системе К' эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются и неодновременными. Знак разности t₂'-- t₁' определяется знаком выражения u(x₁--х₂), поэтому в различных точках системы отсчета К' (при разных v) разность t₂ -- t₂ будет различной по величине и может отличаться по знаку. Следовательно, в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Сказанное, однако, не относится к причинно-следственным событиям, так как можно показать, что порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

2. Длительность событий в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точке (с координатой х), покоящейся относительно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показаний часов в Конце и начале события) т = t₂ --t₁, где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность этого же события в системе К

(4.1)

причем началу и концу события, согласно (3.3), соответствуют

(4.2)

Подставляя (4.2) в (4.1), получим

или

(4.3)

Из соотношения (4.3) вытекает, что т<т', т. е. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Этот результат может быть еще истолкован следующим образом: интервал времени т', отсчитанный по часам в системе К', с точки зрения наблюдателя в системе К, продолжительнее интервала т, отсчитанного по его часам. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов, т. е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся. На основании относительности понятий «неподвижная» и «движущаяся» системы соотношения для т и х' обратимы. Из (4.3) следует, что замедление хода часов становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости света в вакууме.

В связи с обнаружением релятивистского эффекта замедления хода часов в свое время возникла проблема «парадокса часов» (иногда рассматривается как «парадокс близнецов»), вызвавшая многочисленные дискуссии. Представим себе, что осуществляется фантастический космический полет к звезде, находящейся на расстоянии 500 световых лет (расстояние, на которое свет от звезды до Земли доходит за 500 лет), со скоростью, близкой к скорости света. По земным часам полет до звезды и обратно продлится 1000 лет, в то время как для системы корабля и космонавта в нем такое же путешествие займет всего 1 год. Таким образом, космонавт возвратится на Землю раз более молодым, чем его брат-близнец, оставшийся на Земле. Это явление, получившее название парадокса близнецов, в действительности парадокса не содержит. Дело в том, что принцип относительности утверждает равноправность не всяких систем отсчета, а только инерциальных. Неправильность рассуждения состоит в том, что системы отсчета, связанные с близнецами,-- не эквивалентны: земная система инерциальна, а корабельная -- не инерциальна, поэтому к ним принцип относительности неприменим.

Релятивистский эффект замедления хода часов является совершенно реальным и получил экспериментальное подтверждение при изучении нестабильных, самопроизвольно распадающихся элементарных частиц в опытах с -мезонами. Среднее время жизни покоящихся -мезонов (по часам, движущимся вместе с ними) т2,2-10^-8 с. Следовательно, -мезоны, образующиеся в верхних слоях атмосферы (на высоте 30 км) и движущихся со скоростью, близкой к скорости света, должны были бы проходить расстояния ст6,6 м, т. е. не могли бы достигать земной поверхности, что противоречит действительности.

3. Длина тел в разных системах отсчета. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х' и покоящийся относительно системы К'. Длина стержня в системе К' будет -- не изменяющиеся со временем t' координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, о в системе отсчета К' стержень покоится. Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он дви жется со скоростью u. Для этого необходимо измерить координаты его концов Х₁ и Х₂ в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность l = x₂-- x₁ и даст длину стержня в системе К

Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Если стержень покоится в системе К, то, определяя его длину в системе К', опять-таки придем к выражению (4.4).

Из выражения (4.4) следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в раз, т. е. так называемое лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Из второго и третьего уравнений преобразований Лоренца (3.3) следует, что

y₂ - y₁ = y₂ - y₁ и z₂ - z₁ = z₂ - z₁

т. е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.

4. Релятивистский закон сложения скоростей. Рассмотрим движение материальной точки в системе К', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоростью u. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами х, у, z, а в системе К' в момент времени f --координатам x', y', z', то представляют собой соответственно проекции на оси x, y, z, и x', y', z' вектора скорости рассматриваемой точки относительно систем К' и K'.

Произведя соответствующие преобразования, получаем релятивистский закон сложения скоростей специальной теории относительности:

Если материальная точка движется параллельно оси х, то скорость и относительно системы К совпадает с и, а скорость и' относительно К' -- с и'_х. Тогда закон сложения скоростей примет вид

Легко убедиться в том, что если скорости u, и' и и малы по сравнению со скоростью света с, то формулы (4.5) и (4.6) переходят в закон сложения скоростей в классической механике (см. (1.4)). Таким образом, законы релятивистской механики в предельном случае для малых, скоростей (по сравнению со скоростью света) переходят в законы классической физики, которая, следовательно, является частным случаем механики Эйнштейна для малых скоростей.

Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму постулату Эйнштейна. Cкорость u' также равна с). Этот результат свидетельствует о том, что релятивистский закон сложения скоростей находится в согласии с постулатами Эйнштейна.

Докажем также, что если складываемые скорости сколь угодно близки к скорости света с, то их результирующая скорость будет всегда меньше или равна с. В качестве примера рассмотрим предельный случай u' = v = c. После подстановки в формулу (4.6) получим u = с. Таким 'образом, при сложении любых скоростей результат не может превысить скорости света с в вакууме. Скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую невозможно превысить. Скорость света в какой-либо среде, равная с/п (п -- абсолютный показатель преломления среды), предельной величиной не является.

5. Интервал между событиями

Преобразования Лоренца и следствия из них приводят к выводу об относительности длин и промежутков времени, значение которых в различных системах отсчета; разное. В то же время относительный характер длин и промежутков времени в теории Эйнштейна означает относительность отдельных компонентов какой-то реальной физической величины, не зависящей от системы отсчета, т. е. являющейся инвариантной по отношению к преобразованиям координат. В четырехмерном пространстве Эйнштейна, в котором каждое событие характеризуется четырьмя координатами (х, у, z, t), такой физической величиной является интервал между двумя событиями:

___________

где -- расстояние между точками обычного трехмерного пространства, в которых эти события произошли. Введя обозначение t₁₂ = t₂ - t₁

получим_________

Покажем, что интервал между двумя событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

Обозначив, выражение (5.1) можно записать в виде

Интервал между теми же событиями в системе К' равен__________

Согласно преобразованиям Лоренца (2.3),

Подставив эти значения в (5.2), после элементарных преобразований получим, что _____________

Обобщая полученные результаты, можно сделать вывод, что интервал, определяя пространственно-временные соотношения между событиями, является инвариантом при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

Теория относительности, таким образом, сформулировала новое представление о пространстве и времени, обобщенное далее в диалектическом материализме. Пространственно-временные отношения являются неабсолютными величинами, как утверждала механика Галилея -- Ньютона, а относительными. Следовательно, представления об абсолютном пространстве и времени являются несостоятельными. Кроме того, инвариантность интервала между двумя событиями свидетельствует о том, что пространство и время органически связаны между собой
и образуют единую форму существования материи -- пространство-время. Пространство и время не существуют вне материи и независимо от нее. Ф. Энгельс подчеркивал, что «обе эти формы существования материи без материи суть ничто, простые представления, абстракции, существующие только в нашей голове» (Маркс К и Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 20. С. 550).

Дальнейшее развитие теории относительности (общая теория относительности, или теория тяготения) показало, что свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения. При переходе к космическим масштабам геометрия пространства-времени не является евклидовой (т. е. не зависящей от размеров области пространства-времени), а изменяется от одной области к другой в зависимости от концентрации масс в этих областях и их движения.

6. Основной закон релятивистской динамики материальной точки

Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина постоянная. Однако в конце XIX столетия на опытах с быстро движущимися электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его движения, а именно возрастает с увеличением скорости по закону

_____________ (6.1)

где то -- масса покоя материальной точки, т. е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой материальная точка находится в покое; с -- скорость света в вакууме; т -- масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v. Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса.

Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид

______________(6.2)

или

______________(6.3)

где

_____________(6.4)

-- релятивистский импульс материальной точки.

Отметим что уравнение (6.3)внешне совпадает с основным уравнением ньютоновской механики. Однако физический смысл его другой: справа стоит производная по времени и от релятивистского импульса, определяемого формулой (6.4). Таким образом, уравнение (6.2) инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой.

В силу однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Часто вообще не оговаривают, что рассматривают релятивистский импульс, так как если тела движутся со скоростями, близкими к С, то можно использовать только релятивистское выражение для импульса.

Анализ формул (6.1), (6.4) и (6.2) показывает, что при скоростях, значительно меньших скорости света, уравнение (6.2) переходит в основной закон классической механики. Следовательно, условием применимости законов классической (ньютоновской) механики является условие u<с. Законы классической механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая v<<c (формально переход осуществляется при с ). Таким образом, классическая механика -- это механика макротел, движущихся с малыми скоростями (по сравнению со скоростью света в вакууме).

Экспериментальное доказательство зависимости массы от скорости (6.1) является подтверждением справедливости специальной теории относительности. В дальнейшем будет показано, что на основании этой зависимости производятся расчеты ускорителей.

7. Закон взаимосвязи массы и энергии

Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы (материальной точки). Раньше было показано, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении:

dТ=dА или dT=F dr. (7.1)

Учитывая, что dr = vdt, и подставив (7.1) выражение (6.2), получим

Преобразовав данное выражение с учетом, что , и формулы (6.1), придем к выражению

_____________________

(7.2) е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы.

Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя то, проинтегрировав (7.2), получим

Т = (m -- m₀) с² , (7.3)

или кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид

______________(7.4)

Выражение (7.4) при скоростях u«c переходит в классическое:

T=m₀u²/2

А. Эйнштейн обобщил положение (7. 2), предположив, что оно справедливое только для кинетической энергии материальной точки, но и для полной энергии, а именно: любое изменение массы m

сопровождается изменением полной энергии материальной точки,

Е=с² m (7.5)

Отсюда А. Эйнштейн пришел к универсальной зависимости между полной энергией тела Е и его массой т:

Е = mс² = (7.6)

Уравнение (7.6), равно как и (7.5), выражает фундаментальный закон природы -- закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме. Отметим, что в полную энергию Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.

Закон (7.6) можно, учитывая выражение (7.3), записать в виде

____________________

откуда следует, что покоящееся тело (Т=0) также обладает энергией

Е₀ = m₀ с²,

называемой энергией покоя. Классическая механика энергию покоя Е₀ не учитывает, считая, что при u = 0 энергия покоящегося тела равна нулю.

8. Закон сохранения энергии

В силу однородности времени в релятивистской механике, как и в классической, выполняется закон сохранения энергии: полная энергия замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Из формул (7.6) и (6.4) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом частицы:

E²=m²c⁴=m₀²c⁴+p²c² (7.7)

Возвращаясь к уравнению (7.6), отметим еще раз, что оно имеет универсальный характер. Оно применимо ко всем формам энергии, т. е. можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она ни была, связана масса

(

m = Е/с² (7.8)

и, наоборот, со всякой массой связана определенная энергия (7.6).

Чтобы охарактеризовать прочность связи и устойчивость системы каких-либо частиц (например, атомного ядра как системы из протонов и нейтронов), рассматривают энергию связи. Энергия связи системы равна работе, которую необходимо затратить, чтобы разложить эту систему на составные части (например, атомное ядро-- на протоны и нейтроны). Энергия связи системы

_________________ (7.9)

где т_0i -- масса покоя i-й частицы в свободном состоянии; Мо -- масса покоя системы, состоящей из п частиц.

Закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии блестяще подтвержден экспериментом о выделении энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергетических эффектов при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.

Рассматривая выводы специальной теории относительности, видим, что она, как, впрочем, и любые крупные открытия, потребовала пересмотра многих установившихся и ставших привычными представлений. Масса тела не остается постоянной величиной, а зависит от скорости тела; длина тел и длительность событий не являются абсолютными величинами, а носят относительный характер; наконец, масса и энергия оказались связанными друг с другом, хотя они и являются качественно различными свойствами материи.

Эту ломку укоренившихся представлений некоторые буржуазные философы пытались использовать для распространения двух разновидностей идеализма: энергетизма и философского релятивизма. Первая из этих теорий рассматривала возможность преобразования массы в энергию и, наоборот, энергии в массу, «доказывая» «эквивалентность материи и энергии». Закон взаимосвязи массы и энергии действительно утверждает, что любые превращения энергии тела сопровождаются изменениями его массы, однако при этом масса не «переходит в энергию». Закон взаимосвязи массы и энергии является подтверждением неразрывности материи и движения -- одного из основных положений диалектического материализма.

Философский релятивизм считает, что наше познание относительно и зависит «от выбора точки зрения наблюдателя». Однако из постулатов и следствий теории Эйнштейна относительность нашего познания не вытекает. Тот факт, что длина тел и длительность событий в разных инерциальных системах отсчета различны, не дает оснований считать, что объективное описание окружающего нас мира невозможно. В. И. Ленин в книге «Материализм и эмпириокритицизм» писал: «Человеческие представления о пространстве и времени относительны, но из этих относительных представлений складывается абсолютная истина, эти относительные представления, развиваясь, идут по линии абсолютной истины, приближаются к ней. Изменчивость человеческих представлений о пространстве и времени так же мало опровергает объективную реальность того и другого, как изменчивость научных знаний о строении и формах движения материи не опровергает объективной реальности внешнего мира» (Полн. собр. соч. Т. 18. С. 181).

Основной вывод теории относительности сводится к тому, что пространство и время органически взаимосвязаны и образуют единую форму существования материи -- пространство-время. Только поэтому пространственно-временной интервал между двумя событиями является абсолютным, в то время как пространственные и временные промежутки между этими событиями относительны. Следовательно, вытекающие из преобразований Лоренца следствия являются выражением объективно существующих пространственно-временных соотношений движущейся материи.

9. Границы применимости специальной теории относительности

Ускорители заряженных частиц. В 9 классе учащиеся ознакомились с принципом работы циклотрона, а в 10 классе при изучении специальной теории относительности ознакомятся с принципом работы синхрофазотрона. Полезно при повторении в 10 классе устройства циклотрона рассчитать частоту обращения частиц по орбитам (и, следовательно, частоту колебаний ускоряющего электрического поля).

Частоту обращения частицы вычисляют следующим образом (расчет ведется для нерелятивистских скоростей).

На частицу с зарядом q действует магнитная сила Лоренца:

______________________

Эта сила сообщает частице центростремительное ускорение, поэтому

______________________

Так как у = соn, получаем:

_______________________

откуда

____________________(8.1)

Замечательно, что угловая частота обращения частицы не зависит от радиуса траектории. Частота ускоряющего поля, следовательно, на все время ускорения должна быть постоянной. Но это верно только для частиц небольших энергий, когда можно пользоваться классическим законом Ньютона. Если же скорости частиц приближаются к релятивистским (а именно для этого и создаются ускорители), то приходится пользоваться релятивистским законом динамики. В силу этого соотношение (8.1) изменяется следующим образом:

______________________

где v -- скорость частицы. А это значит, что частота обращения частицы не остается постоянной. Частоту колебаний ускоряющего поля также нужно изменять, что и осуществляется в синхротронах и синхрофазотронах. Справедливость релятивистских формул подтверждается надежной работой ускорителей.

Ядерная физика. Расчет энергии связи ядер -- одно из важнейших приложений теории относительности. В учебном пособии «Физика-10» приводится график зависимости удельной энергии связи от числа нуклонов в ядре (т. е. от массового числа). Энергию связи определяют по дефекту масс, т. е. разности массы ядра и суммы масс составляющих его нуклонов (взятых в свободном состоянии). Поэтому точное измерение масс ядер приобретает огромное значение в ядерной физике. В связи с этим полезно повторить с учащимися метод измерения масс масс-спектрографами. Учащимся можно сказать, что современные масс-спектрографы обладают колоссальной точностью (порядка одной миллионной), что позволяет измерять дефект масс ядер. Подобные измерения сделаны для всех ядер.

Существование дефекта масс является доказательством справедливости закона пропорциональности массы и энергии. Этот закон служит мощным инструментом при исследовании ядерных превращений. Определяя массы вступивших в реакцию ядер и массы получающихся ядер, можно по их разности найти количество выделяемой (или поглощаемой) энергии. Если сумма масс покоя образующихся продуктов меньше суммы масс исходных продуктов, реакция идет с выделением энергии. Другая формулировка: если исходные ядра имеют меньшую энергию связи, чем вновь образуемые в результате реакции, энергия должна выделяться.

Нужно остановиться на анализе графика удельной энергии связи, задав учащимся вопрос: все ли ядра одинаково прочны? Наличие максимума кривой покажет учащимся, что наиболее прочны ядра со средним числом нуклонов. Например, на один нуклон в ядре урана - 235 приходится энергия связи порядка 7,6 МэВ, в то время как у криптона - 82--8,7 МэВ. Следовательно, ядро урана менее прочно.

Полезно сравнить эти данные с энергией связи валентного электрона в атоме. Так, для ионизации электрона в атоме водорода необходима энергия порядка 10 эВ. Это и есть его энергия связи. Таким образом, энергия связи электронов в атоме в сотни тысяч раз меньше, чем нуклонов в ядре. Из этого сравнения вытекают возможности ядерной энергетики.

Из графика видно, что имеются (в связи с существованием максимума) два пути выделения ядерной энергии: деление тяжелых ядер и синтез легких. Если тяжелое ядро (например, U) распадается на два более легких ядра, то дополнительно выделится на каждый нуклон около 1 МэВ энергии, а всего при делении ядра урана освободится свыше 200 МэВ энергии. Эта энергия выделяется в виде кинетической энергии осколков деления, энергии излучений. Это пример превращения части энергии покоя исходных ядер в другие виды энергии, которые, в свою очередь, поддаются дальнейшим превращениям. Именно на этом и освоено действие атомных электростанций.

Из графика следует еще одна возможность преобразования энергии покоя: соединение легких ядер в более тяжелые (термоядерный синтез -- см. «Физика-10», § 173) приводит к добавочному выделению энергии связи. Приведем в качестве примера реакцию соединения изотопов водорода (дейтерия и трития) с образованием ядра гелия и нейтрона:

Массы ядер (в атомных единицах массы) составляют:

_____________________

Разность между массой исходных и массой конечных продуктов равна m = 2,01470+3,01700--4,0039--1,00898 = 0,019 (а.е.м.). Следовательно, выделяется энергия (1 а. е. м. соответствует 931 МэВ) ДГ-0,019-931 МэВ-17,7 МэВ.

При синтезе 5 г тяжелых изотопов водорода дейтерия и трития (т. е. при образовании одного моля гелия) выделится энергия W = N * W₁ =17,7*6*10²³ МэВ=106*10²³МэВ (N -- число Авогадро).

Еще раз подчеркнем, что эта колоссальная энергия освобождается вместе с пропорциональным выделением массы. Эта масса передается всем материальным объектам, которые поглощают выделенную энергию.

Фотоны в рамках релятивистской механики. Мы видели, что никакая частица, обладающая конечной массой покоя, не может быть разогнана до скорости света в вакууме. Но если какая-то частица движется со скоростью света, то ей приходится «расплачиваться» за это тем, что ее масса покоя равна нулю. Световые кванты -- фотоны и нейтрино -- можно интерпретировать как релятивистские частицы, движущиеся с предельно возможной скоростью передачи сигнала -- с.

Часто возникает вопрос о том, что стало бы с теорией относительности, если бы выяснилось -- это вопрос опыта! -- что существуют сигналы, т. е. взаимодействия, передаваемые со скоростью, большей, чем с. Ответ на этот вопрос довольно прост. Для теории относительности важно лишь наличие предельной скорости передачи взаимодействий, т. е. отсутствие бесконечно быстрых сигналов. И если эта предельная скорость не скорость распространения электромагнитных волн в пустоте, то это не меняет сути теории. Правда, тогда масса покоя фотона будет уже не равна нулю. Но кто же тогда может ответить на вопрос: равна нулю точно масса покоя фотона или нет? Ответ может дать только эксперимент; для нас существенно лишь то, что с доступной в настоящее время точностью масса покоя должна быть принята равной нулю. Именно это и предполагалось во всех наших рассуждениях.

Фотон не обладает массой покоя, но зато обладает энергией и импульсом, что делает его не менее реальной частицей, чем те частицы, которые имеют массу покоя. Энергию фотона определяют не по формулам релятивистской механики; уже из теории фотоэффекта было известно, что энергия фотона

____________________ (8.2)

Фотоны характеризуются также импульсом, величина которого

____________________(8.3)

Существование импульса у электромагнитного поля следует из законов электродинамики. Впервые наличие импульса у света экспериментально доказал русский физик П. Н. Лебедев, открывший и измеривший световое давление.

Легко понять связь между давлением и импульсом: ведь всякая

сила F (а давление измеряется силой, приходящейся на единицу площади) равна:

_____________________(8.4)

Поэтому при поглощении (или отражении) света (если свет несет с собой импульс) изменяется импульс преграды, что и воспринимается как световое давление.

И из электродинамики и из представления о фотонах вытекает, что давление света определяется формулой (для поглощающей стенки)

_______________________ (8.5)

где W -- энергия, приходящаяся на единицу площади в единицу времени. Нетрудно получить выражение (8.5), если считать, что свет состоит из фотонов, и использовать формулу (8.3). Лебедев, экспериментально подтвердивший формулу (8.5), тем самым оправдал представление о фотонах как релятивистских частицах.

Следует в связи с этим привести слова Эйнштейна о роли электромагнитных исследований в развитии специальной теории относительности:

Рис. 3. Схема опыта Комптона: Рис. 4. Диаграмма сложения

И ~ источник монохроматического импульсов при комптоновском рассеянии.

рентгеновского излучения;

Д -- диафрагма; Р '-- рассеивающее вещество;

С -- рентгеновский спектрометр.

«Специальная теория относительности выкристаллизовалась из теории... электромагнитных явлений. Тем самым все опытные данные, подтверждающие эту теорию электромагнитных явлений, подтверждают и теорию относительности» К

Наличие у фотонов энергии и импульса доказано многочисленными экспериментальными исследованиями. Одним из ярких опытных фактов является эффект Комптона, наблюдаемый в области рентгеновского диапазона. В этом явлении фотоны ведут себя как частички, соударяющиеся с электронами подобно биллиардным шарам.

Схема опыта Комптона показана на рисунке 3. С помощью рентгеновского фильтра получают пучок монохроматического рентгеновского излучения. Оно попадает в кусочек вещества, рассеивающего рентгеновские лучи по всем направлениям, подобно тому, как рассеивается свет на частичках пыли или дыма. Однако сравнение с рассеянием света оказывается не очень точным. Дело в том, что частота рассеянного света не отличается от частоты падающего света. При рассеянии же рентгеновских лучей частота оказывается уменьшенной, причем это изменение частоты (или длины волны) зависит от угла рассеяния. В этом изменении частоты (длины волны) и зависимости его от угла рассеяния и состоит сущность эффекта Комптона. Дело выглядит так: на мишень падает монохроматическое излучение, а рассеивается под разными углами излучение разных частот.

Объяснение эффекту можно дать с учетом квантово-релятивистских формул (8.5), (8.7). На рисунке 4 изображена диаграмма, объясняющая процесс рассеяния. Падающий фотон с энергией hv₀ и импульсом «соударяется» с электроном рассеивающего вещества. В результате «столкновения» электрон и фотон (теперь уже рассеянный) разлетаются под некоторым углом 0 друг к другу, в точности так же, как это было бы с биллиардными шариками соответствующих энергий и импульсов. Как и для разлета шаров, необходимо применить законы сохранения энергии и импульса. Рисунок 49 дает диаграмму импульсов в соответствии с законом сохранения импульса.

Применяя законы сохранения энергии и импульса, можно установить связь между изменением длины волны и углом рассеяния ¹:

______________________ (8.6)

Здесь m_о -- масса покоя электрона, и -- соответственно длина волны рассеянного и исходного излучения.

Эффект Комптона интересен не только тем, что доказывает правильность квантовых и релятивистских представлений об электромагнитном поле, но и подобно фотоэффекту убеждает в применимости законов сохранения энергии и импульса в микромире.

На факультативных занятиях полезно остановиться на роли соотношений (8.2) и (8.3) в развитии квантовой теории вещества. В этих соотношениях отчетливо проявляется совокупность как волновых, так и корпускулярных свойств излучения. Действительно, справа формулы содержат волновые, а слева -- корпускулярные характеристики частиц (энергию, импульс).

Французский физик Луи де Бройль высказал в 1923 г. идею о том, что подобное единство на первый взгляд противоположных свойств, присуще не только фотонам, но и другим частицам, например электронам.

Применяя формулу (8.3) и учитывая соотношение получим:

_________________________ (8.7)

Отсюда

____________________________(8.8)

Идея де Бройля заключается в том, что соотношение (8.8) относится не только к фотонам, но характеризует и поведение частиц, обладающих массой покоя: их движение следует сопоставить с распространением некоей волны (это не электромагнитная волна!), длина которой определяется соотношением (8.8). Зная характеристику «волн де Бройля», можно рассчитать интерференционную картину, которая должна получиться при наличии тех или иных преград, щелей, решеток и т. п., а также найти распределение интенсивности этих волн в пространстве. Как же связать поведение частиц с этими рассчитанными картинами интерференции? Вероятность попадания частиц в различные места пространства и определяется интенсивностью волн де Бройля. Например, в те места, где интенсивность равна 0 (области интерференционных минимумов), частицы не попадают, наибольшая вероятность попадания частиц там, где получаются интерференционные максимумы.

На основе таких представлений разработана теория движения микрочастиц -- волновая (или квантовая) механика. Она хорошо объяснила свойства атомов, кристаллов и многое другое. Предсказания волновой механики блестяще подтверждены экспериментально. На рисунке 5 показана схема опыта по дифракции пучка электронов при его прохождении через кристалл и результат дифракции. Отчетливо видны интерференционные максимумы в виде концентрических колец. Нет сомнений, что электроны подчиняются своеобразным законам волн.

Рис.5 Дифракция электронов

Физика элементарных частиц. В 1928 г. английский физик П. Дирак, применяя теорию относительности в волновой механике, создал релятивистскую квантово-механическую теорию электрона. Одним из удивительнейших предсказаний теории Дирака явился вывод о существовании электронного двойника -- позитрона. Позитрон во всем похож на электрон: та же масса покоя т₀, тот же заряд в, однако не отрицательный, а положительный. Еще более поразительным было предсказание возможности превращения электрона и позитрона в совершенно другие частицы -- в гамма-фотоны, а также обратного превращения фотонов в электронно-позитронную пару. Этот вопрос подробно изложен в § 177 пособия «Физика-10». На рисунке 306 учебника показана фотография, полученная с помощью камеры Вильсона при исследовании космических лучей. Эта фотография запечатлела экспериментальное открытие в 1932 г. позитрона: тонкий след, идущий снизу вверх,-- «автограф» позитрона.

Чтобы понять суть того, что произошло в камере Вильсона, надо учесть детали эксперимента: камера помещена в сильное магнитное поле (направленное от читателя перпендикулярно плоскости рисунка); горизонтальная полоса вдоль диаметра -- свинцовая пластинка толщиной 6 мм. По толщине следа можно судить об энергии частиц (чем «жирнее» след, тем больше ионизации производит частица на своем пути и, следовательно, тем большей энергией она обладает). По кривизне траектории можно судить об импульсе частицы (искривление вызвано магнитным полем). Видно, что частица двигалась снизу вверх: в свинцовой пластинке она притормозилась, ее импульс уменьшился, вследствие чего магнитное поле сильнее искривило траекторию частицы после прохождения пластинки (т.е. сверху на фотографии). Зная направление движения частицы (снизу вверх) и направление магнитного полк (от нас), легко установить, что частица имеет положительный заряд. Итак, исследование фотографии следа частицы позволяет определить ее энергию и импульс. Определив энергию и импульс частицы, всегда можно определить ее массу покоя. Масса покоя частицы и ее заряд неопровержимо доказывают, что частица является «положительным электроном» -- позитроном.