Группа

Студент

Проверил

Содержание

Материальная точка. Система отсчета. Перемещение тела

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в различных системах координат

Свободные колебания

Список используемой литературы

1. Материальная точка. Система отсчета. Перемещение тела

Воображаемая линия, по которой движется материальная точка, называется траекторией. В общем случае траектория - сложная трёхмерная кривая. В частности, она может быть и прямой линией. Тогда для описания движения необходима только одна координатная ось, направленная вдоль траектории движения. Следует иметь ввиду, что форма траектории зависит от выбора системы отсчёта, т.е. форма траектории понятие относительное. Так, траектория концов пропеллера относительно системы отсчёта, связанной с летящим самолётом, является окружностью, а в системе отсчета, связанной с Землёй, - винтовой линией.

Тело, формой и размерами которого в данных условиях можно пренебречь, называется материальной точкой. Это пренебрежение допустимо сделать тогда, когда размеры тела малы по сравнению с расстоянием, которое оно проходит или расстоянием данного тела до других тел. Чтобы описать движение тела, нужно знать его координаты в любой момент времени.

Перемещением называется вектор, проведённый из начального положения материальной точки в конечное. Длину участка, пройденного материальной точкой по траектории, называют путём или длиной пути. Нельзя путать эти понятия, так как перемещение - вектор, а путь - скаляр.

Перемещение - вектор, соединяющий начальную и конечную точки участка траектории, пройденные за время.

Путь - длина участка траектории от начального до конечного перемещения материальной точки. Радиус-вектор - вектор, соединяющий начало координат и точку пространства.

Относительность движения - это перемещение и скорость тела относительно разных систем отсчета различны (например, человек и поезд). Скорость тела относительно неподвижной системы координат равна геометрической сумме скоростей тела относительно подвижной системы и скорости подвижной системы координат относительно неподвижной. (V1 - скорость человека в поезде, V0- скорость поезда, то

V=V1+V0)

Система отсчёта. Механическое движение, как это следует из его определения, является относительным. Поэтому о движении тел можно говоритъ лишь в том случае, когда указана система отсчёта.

Самой простейшей системой отсчета является естественный способ отсчета расстояний, когда за исходную точку принимают точку на известной траектории перемещения (километровый указатель на дороге) (рис.1).

В векторном способе отсчета расстояний положение точки определяют радиус-вектором R (рис.1), проведенным из центра данной системы координат к интересующей точке (используется в навигации, ориентировании и т.д.). Как частный случай векторного способа выделяют способ полярных координат, когда расстояние определяют длинной вектора, а направление - углом между вектором и принятым исходным направлением (полярная ось) (рис.1) (используется в парусном спорте и в спортивном ориентировании). Используя несложные вычисления можно легко переходить от способа прямоугольных координат к полярному и наоборот. Зная координаты точки можно определить вектор и угол:

Рис.1 Способы отсчета расстояний. а) прямоугольных координат, б) естественный, в) векторный, г) полярный

В систему отсчета времени входят определение начала движения и единицы отсчета продолжительности движения. За единицу отсчета времени принимают секунду, минуту, час, долю секунд (0,1; ).)1 и т.д.).

К пространственным характеристикам, определяющим положение тела и его частей в пространстве относят координаты точки - это пространственная мера местоположения точки относительно точки отсчета.

Перемещение тела (точки) - это расстояние по прямой между начальным и конечным положением тела. Линейное перемещение (D S) измеряется в единицах длины (метрах). Угловое перемещение ( Dj ) угол поворота тела или его частей (при вращательных движениях) измеряется в градусах. Элементарное перемещение - это такое перемещение точки, при котором расстояние между конечным и начальным положением тела стремится к нулю ( D S® 0).

2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки в различных системах координат

Из кинематики известно, что движение точки в прямоугольных декартовых координатах задается уравнениями:

(9)

Задачи динамики точки состоят в том, чтобы, зная движение точки, т. е. уравнения (9), определить действующую на точку силу или, наоборот, зная действующие на точку силы, определить закон ее движения, т.е. уравнения (9). Следовательно, для решения задач динамики точки надо иметь уравнения, связывающие координаты х, у,zг этой точки и действующую на нее силу (или силы). Эти уравнения и дает второй закон динамики.

Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием сил

.,

по отношению к инерциальной системе отсчета Охуг. Проектируя обе части равенства (2), т.е. равенства

оси х, у, zг и учитывая, что и т.д., получим

(10)

или, обозначая вторые производные по времени двумя точками,

 (10')

Это и будут искомые уравнения, т.е. дифференциальные уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Так как действующие силы могут зависеть от времени t, от положения точки, т. е. от ее координат х, у,z, и от скорости, т. е. от , , то в общем случае правая часть каждого из уравнений (10) может быть функцией всех этих переменных, т. е. t, х, у, z, одновременно.

Уравнения в проекциях на оси естественного трехгранника. Для получения этих уравнений спроектируем обе части равенства

на оси Mnb, т.е. на касательную М: к траектории точки, главную нормаль Мп, направленную в сторону вогнутости траектории, и бинормаль Mb

Тогда, учитывая, что , , получим

(11)

Уравнения (11), где v=ds!dt, представляют собой дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника.

3. Свободные колебания

В природе, и особенно в технике, чрезвычайно большую роль играют колебательные системы, т.е. те тела и устройства, которые сами по себе способны совершать периодические движения. «Сами по себе» - это значит не будучи принуждаемы к этому действием периодических внешних сил. Такие колебания называются поэтому свободными колебаниями в отличие от вынужденных, протекающих под действием периодически меняющихся внешних сил.

Всем колебательным системам присущ ряд общих свойств:

У каждой колебательной системы есть состояние устойчивого равновесия.

Если колебательную систему вывести из состояния устойчивого равновесия, то появляется сила, возвращающая систему в устойчивое положение.

Возвратившись в устойчивое состояние, колеблющееся тело не может сразу остановиться.

Маятником является всякое тело, подвешенное так, что его центр тяжести находится ниже точки подвеса. Молоток, висящий на гвозде, весы, груз на веревке - все это колебательные системы, подобные маятнику стенных часов.

У всякой системы, способной совершать свободные колебания, имеется устойчивое положение равновесия. У маятника это положение, при котором центр тяжести находится на вертикали под точкой подвеса. Если мы выведем маятник из этого положения или толкнем его, то он начнет колебаться, отклоняясь то в одну сторону, то в другую сторону от положения равновесия. Наибольшее отклонение от положения равновесия, до которого доходит маятник, называется амплитудой колебаний. Амплитуда определяется тем первоначальным отклонением или толчком, которым маятник был приведен в движение. Это свойство - зависимость амплитуды от условий в начале движения - характерно не только для свободных колебаний маятника , но и вообще для свободных колебаний очень многих колебательных систем.

Прикрепим к маятнику волосок и будем двигать под этим волоском закопченную стеклянную пластинку. Если двигать пластинку с постоянной скоростью в направлении, перпендикулярном к плоскости колебаний, то волосок прочертит на пластинки волнистую линию. Мы имеем в этом опыте простейший осциллограф - так называются приборы для записи колебаний. Таким образом волнистая линия представляет собой осциллограмму колебаний маятника.

Амплитуда колебаний изображается на этой осциллограмме отрезком AB, период изображается отрезком CD, равным расстоянию, на которое передвигается пластинка за период маятника.

Так как мы двигаем закопченную пластинку равномерно, то всякое ее перемещение пропорционально времени, в течении которого оно совершалось. Мы можем сказать поэтому, что вдоль оси x в определенном масштабе отложено время. С другой стороны, в направлении, перпендикулярном к x волосок отмечает на пластинке расстояние конца маятника от его положения равновесия, т.е. путь пройденный концом маятника от этого положения.

Как мы знаем, наклон линии на таком графике изображает скорость движения. Через положение равновесия маятник проходит с наибольшей скоростью. Соответственно этому и наклон волнистой линии наибольший в тех точках, где она пересекает ось x. Наоборот, в моменты наибольших отклонений скорость маятника равна нулю. Соответственно этому и волнистая линия в тех точках, где она наиболее удалена от оси x, имеет касательную параллельную x, т.е. наклон равен нулю

Рассмотрим динамику свободных колебаний в идеальных колебательных системах без трения.

Отведем шар пружинного маятника от положения равновесия. В этом случае на шар действует возвращающая сила, направленная в сторону положения равновесия.