Законы квантовой механики

Квантовая механика волновая механика, теория устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, атомных ядер) и их систем (например, кристаллов) а также связь величин, характеризующих частицы и системы, с физическими величинами, непосредственно измеряемыми в макроскопических опытах.

Законы К. м. составляют фундамент изучения строения вещества. Они позволили выяснить строение атомов, установить природу химической связи, объяснить периодическую систему элементов, понять строение ядер атомных, изучать свойства элементарных частиц. Поскольку свойства макроскопических тел определяются движением и взаимодействием частиц, из которых они состоят, законы К. м. лежат в основе понимания большинства макроскопических явлений. К. м. позволила, например, объяснить температурную зависимость и вычислить величину теплоёмкости газов и твёрдых тел, определить строение и понять многие свойства твёрдых тел (металлов, диэлектриков, полупроводников). Только на основе К. м. удалось последовательно объяснить такие явления, как ферромагнетизм, сверхтекучесть, сверхпроводимость, понять природу таких астрофизических объектов, как белые карлики, нейтронные звёзды, выяснить механизм протекания термоядерных реакций в Солнце и звёздах. Существуют также явления (например, Джозефсона эффект), в которых законы К. м. непосредственно проявляются в поведении макроскопических объектов.

Ряд крупнейших технических достижений 20 в. основан по существу на специфических законах К. м. Так, квантово-механические законы лежат в основе работы ядерных реакторов, обусловливают возможность осуществления в земных условиях термоядерных реакций, проявляются в ряде явлений в металлах и полупроводниках, используемых в новейшей технике, и т.д. Фундамент такой бурно развивающейся области физики, как квантовая электроника, составляет квантовомеханическая теория излучения. Законы К. м. используются при целенаправленном поиске и создании новых материалов (особенно магнитных, полупроводниковых и сверхпроводящих). Т. о., К. м. становится в значительной мере «инженерной» наукой, знание которой необходимо не только физикам-исследователям, но и инженерам.

Место квантовой механики среди других наук о движении

В начале 20 в. выяснилось, что классическая механика И. Ньютона имеет ограниченную область применимости и нуждается в обобщении. Во-первых, она не применима при больших скоростях движения тел -- скоростях, сравнимых со скоростью света. Здесь её заменила релятивистская механика, построенная на основе специальной теории относительности А. Эйнштейна (см. Относительности теория). Релятивистская механика включает в себя Ньютонову (нерелятивистскую) механику как частный случай. Ниже термин «классическая механика» будет объединять Ньютонову и релятивистскую механику.

Для классической механики в целом характерно описание частиц путём задания их положения в пространстве (координат) и скоростей и зависимости этих величин от времени. Такому описанию соответствует движение частиц по вполне определенным траекториям. Однако опыт показал, что это описание не всегда справедливо, особенно для частиц с очень малой массой (микрочастиц). В этом состоит второе ограничение применимости механики Ньютона. Более общее описание движения дает К. М., которая включает в себя как частный случай классическую механику. К. м., как и классическая, делится на нерелятивистскую, справедливую в случае малых скоростей, и релятивистскую, удовлетворяющую требованиям специальной теории относительности. В статье изложены основы нерелятивистской К. м. (Однако некоторые общие положения относятся к К. м. в целом. Нерелятивистская К. м. (как и механика Ньютона для своей области применимости) -- вполне законченная и логически непротиворечивая теория, способная в области своей компетентности количественно решать в принципе любую физическую задачу. Релятивистская К. м. не является в такой степени завершенной и свободной от противоречий теорией. Если в нерелятивистской области можно считать, что движение определяется силами, действующими (мгновенно) на расстоянии, то в релятивистской области это несправедливо. Поскольку, согласно теории относительности, взаимодействие передается (распространяется) с конечной скоростью, должен существовать физический агент, переносящий взаимодействие; таким агентом является поле. Трудности релятивистской теории -- это трудности теории поля, с которыми встречается как релятивистская классическая механика, так и релятивистская К. м. В этой статье не будут рассматриваться вопросы релятивистской К. м., связанные с квантовой теорией поля.

Критерий применимости классической механики

Соотношение между Ньютоновой и релятивистской механикой определяется существованием фундаментальной величины -- предельной скорости распространения сигналов, равной скорости света с (с ? 3?10¹⁰ см/сек). Если скорости тел (значительно меньше скорости света (т. е. ?/c ?? 1, так что можно считать с бесконечно большой), то применима Ньютонова механика.

Соотношение между классической механикой и К. м. носит менее наглядный характер. Оно определяется существование другой универсальной мировой постоянной -- постоянной Планка h. Постоянная h (называемая также квантом действия) имеет размерность действия (энергии, умноженной на время) и равно h = 6,662?10-²⁷ эрг?сек. (В теории чаще используется величина h = h/2? = 1,0545919?10-²⁷ эрг?сек, которую также называют постоянной Планка.) Формально критерий применимости классической механики заключается в следующем: если в условиях данной задачи физические величины размерности действия значительно больше h (так что h можно считать очень малой), применима классическая механика. Более подробно этот критерий будет разъяснен при изложении физических основ К. м.

История создания квантовой механики

В начале 20 в. были обнаружены две (казалось, не связанные между собой) группы явлений, свидетельствующих о неприменимости обычной классической теории электромагнитного поля (классической электродинамики) к процессам взаимодействия света с веществом и к процессам, происходящим в атоме. Первая группа явлений была связана с установлением на опыте двойственной природы света (дуализм света); вторая -- с невозможностью объяснить на основе классических представлений устойчивое существование атома, а также спектральные закономерности, открытые при изучении испускания света атомами. Установление связи между этими группами явлений и попытки объяснить их на основе новой теории и привели, в конечном счете, к открытию законов К. м.

Впервые квантовые представления (в т. ч. квантовая постоянная h) были введены в физику в работе М. Планка (1900), посвященной теории теплового излучения (см. Планка закон излучения). Существовавшая к тому времени теория теплового излучения, построенная на основе классической электродинамики и статистической физики, приводила к бессмысленному результату, состоявшему в том, что тепловое (термодинамическое) равновесие между излучением и веществом не может быть достигнуто, т.к. вся энергия рано или поздно должна перейти в излучение. Планк разрешил это противоречие и получил результаты, прекрасно согласующиеся с опытом, на основе чрезвычайно смелой гипотезы. В противоположность классической теории излучения, рассматривающей испускание электромагнитных волн как непрерывный процесс, Планк предположил, что свет испускается определенными порциями энергии -- квантами. Величина такого кванта энергии зависит от частоты света ? и равна E = h?

От этой работы Планка можно проследить две взаимосвязанные линии развития, завершившиеся окончательной формулировкой К. м. в дух ее формах к 1927. Первая начинается с работы Эйнштейна (1905), в которой была дана теория фотоэффекта -- явления вырывания светом электронов из вещества. В развитие идеи Планка Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается дискретными порциями -- квантами излучения, но и распространение света происходит такими квантами, т. е. что дискретность присуща самому свету -- что сам свет состоит из отдельных порций -- световых квантов (которые позднее были названы фотонами). Энергия фотона E связана с частотой колебаний ? волны соотношением Планка E = h?

Дальнейшее доказательство корпускулярного характера света было получено в 1922 А. Комптоном, показавшим экспериментально, что рассеяние света свободными электронами происходит по законам упругого столкновения двух частиц -- фотона и электрона (см. Комптона эффект). Кинематика такого столкновения определяется законами сохранения энергии и импульса, причем фотону наряду с энергией E = h? следует приписать импульс р = h/? = h?/c, где ? -- длина световой волны. Энергия и импульс фотона связаны соотношением E = cp, справедливым в релятивистской механике для частицы с нулевой массой.

Т. о., было доказано экспериментально, что наряду с известными волновыми свойствами (проявляющимися, например, в дифракции света) свет обладает и корпускулярными свойствами: он состоит как бы из частиц -- фотонов. В этом проявляется дуализм света, его сложная корпускулярно-волновая природа. Дуализм содержится уже в формуле E = h?, не позволяющей выбрать какую-либо одну из двух концепций: в левой части равенства энергия E относится к частице, а в правой -- частота ? является характеристикой волны. Возникло формальное логическое противоречие: для объяснения одних явлений необходимо было считать, что свет имеет волновую природу, а для объяснения других -- корпускулярную. По существу разрешение этого противоречия и привело к созданию физических основ К. м.

В 1924 Л. де Бройль, пытаясь найти объяснение постулированным в 1913 Н. Бором условиям квантования атомных орбит (см. ниже), выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно де Бройлю, каждой частице, независимо от ее природы, следует поставить в соответствие волну, длина которой ? связана с импульсом частицы р соотношением

.

По этой гипотезе не только фотоны, но и все «обыкновенные частицы» (электроны, протоны и др.) обладают волновыми свойствами, которые, в частности, должны проявляться в явлении дифракции. В 1927 К. Дэвиссон и Л. Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов. Позднее волновые свойства были обнаружены и у других частиц, и справедливость формулы де Бройля была подтверждена экспериментально (см. Дифракция частиц). В 1926 Э. Шрёдингер предложил уравнение, описывающее поведение таких «волн» во внешних силовых полях. Так возникла волновая механика. Волновое уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерялитивистской К. м. В 1928 П. Дирак сформулировал релятивистское уравнение, описывающее движение электрона во внешнем силовом поле; Дирака уравнение стало одним из основных уравнений релятивистской К. м.

Вторая линия развития начинается с работы Эйнштейна (1907), посвященной теории теплоемкости твердых тел (она также является обобщением гипотезы Планка). Электромагнитное излучение, представляющее собой набор электромагнитных волн различных частот, динамически эквивалентно некоторому набору осцилляторов (колебательных систем). Излучение или поглощение волн эквивалентно возбуждению или затуханию соответствующих осцилляторов. Тот факт, что излучение и поглощение электромагнитного излучения веществом происходят квантами энергии h?. Эйнштейн обобщил эту идею квантования энергии осциллятора электромагнитного поля на осциллятор произвольной природы. Поскольку тепловое движение твердых тел сводится к колебаниям атомов, то и твердое тело динамически эквивалентно набору осцилляторов. Энергия таких осцилляторов тоже квантована, т. е. разность соседних уровней энергии (энергий, которыми может обладать осциллятор) должна равняться h?, где ? -- частота колебаний атомов. Теория Эйнштейна, уточнённая П. Дебаем, М. Борном и Т. Карманом, сыграла выдающуюся роль в развитии теории твёрдых тел.

В 1913 Н. Бор применил идею квантования энергии к теории строения атома, планетарная модель которого следовала из результатов опытов Э. Резерфорда (1911). Согласно этой модели, в центре атома находится положительно заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома; вокруг ядра вращаются по орбитам отрицательно заряженные электроны. Рассмотрение такого движения на основе классических представлений приводило к парадоксальному результату -- невозможности стабильного существования атомов: согласно классической электродинамике, электрон не может устойчиво двигаться по орбите, поскольку вращающийся электрический заряд должен излучать электромагнитные волны и, следовательно, терять энергию; радиус его орбиты должен уменьшаться, и за время порядка 10-⁸ сек электрон должен упасть на ядро. Это означало, что законы классической физики неприменимы к движению электронов в атоме, т.к. атомы существуют и чрезвычайно устойчивы.

Для объяснения устойчивости атомов Бор предположил, что из всех орбит, допускаемых Ньютоновой механикой для движения электрона в электрическом поле атомного ядра, реально осуществляются лишь те, которые удовлетворяют определённым условиям квантования. Т. е. в атоме существуют (как в осцилляторе) дискретные уровни энергии. Эти уровни подчиняются определённой закономерности, выведенной Бором на основе комбинации законов Ньютоновой механики с условиями квантования, требующими, чтобы величина действия для классической орбиты была целым кратным постоянной Планка . Бор постулировал, что, находясь на определённом уровне энергии (т. е. совершая допускаемое условиями квантования орбитальное движение), электрон не излучает световых волн. Излучение происходит лишь при переходе электрона с одной орбиты на другую, т. е. с одного уровня энергии E_i, на другой с меньшей энергией E_k, при этом рождается квант света с энергией, равной разности энергий уровней, между которыми осуществляется переход:

h? = E_i - E_k. (2)

Так возникает линейчатый спектр -- основная особенность атомных спектров, Бор получил правильную формулу для частот спектральных линий атома водорода (и водородоподобных атомов), охватывающую совокупность открытых ранее эмпирических формул (см. Спектральные серии).

Существование уровней энергии в атомах было непосредственно подтверждено Франка -- Герца опытами (1913--14). Было установлено, что электроны, бомбардирующие газ, теряют при столкновении с атомами только определённые порции энергии, равные разности энергетических уровней атома.

Т. о., Н. Бор, используя квантовую постоянную h, отражающую дуализм света, показал, что эта величина определяет также и движение электронов в атоме (и что законы этого движения существенно отличаются от законов классической механики). Этот факт позднее был объяснён на основе универсальности корпускулярно-волнового дуализма, содержащегося в гипотезе де Бройля.

Успех теории Бора, как и предыдущие успехи квантовой теории, был достигнут за счёт нарушения логической цельности теории: с одной стороны, использовалась Ньютонова механика, с другой -- привлекались чуждые ей искусственные правила квантования, к тому же противоречащие классической электродинамике. Кроме того, теория Бора оказалась не в состоянии объяснить движение электронов в сложных атомах (даже в атоме гелия), возникновение молекулярной связи и т.д. «Полуклассическая» теория Бора не могла также ответить на вопрос, как движется электрон при переходе с одного уровня энергии на другой. Дальнейшая напряжённая разработка вопросов теории атома привела к убеждению, что, сохраняя классическую картину движения электрона по орбите, логически стройную теорию построить невозможно. Осознание того факта, что движение электронов в атоме не описывается в терминах (понятиях) классической механики (как движение по определённой траектории), привело к мысли, что вопрос о движении электрона между уровнями несовместим с характером законов, определяющих поведение электронов в атоме, и что необходима новая теория, в которую входили бы только величины, относящиеся к начальному и конечному стационарным состояниям атома. В 1925 В. Гейзенбергу удалось построить такую формальную схему, в которой вместо координат и скоростей электрона фигурировали некие абстрактные алгебраические величины -- матрицы; связь матриц с наблюдаемыми величинами (энергетическими уровнями и интенсивностями квантовых переходов) давалась простыми непротиворечивыми правилами. Работа Гейзенберга была развита М. Борном и П. Иорданом. Так возникла матричная механика. Вскоре после появления уравнения Шрёдингера была показана математическая эквивалентность волновой (основанной на уравнении Шрёдингера) и матричной механики. В 1926 М. Борн дал вероятностную интерпретацию волн де Бройля (см. ниже).

Большую роль в создании К. м. сыграли работы Дирака, относящиеся к этому же времени. Окончательное формирование К. м. как последовательной физической теории с ясными основами и стройным математическим аппаратом произошло после работы Гейзенберга (1927), в которой было сформулировано неопределённостей соотношение -- важнейшее соотношение, освещающее физический смысл уравнений К. м., её связь с классической механикой и другие как принципиальные вопросы, так и качественные результаты К. м. Эта работа была продолжена и обобщена в трудах Бора и Гейзенберга.

Детальный анализ спектров атомов привёл к представлению (введённому впервые Дж. Ю. Уленбеком и С. Гаудсмитом и развитому В. Паули) о том, что электрону, кроме заряда и массы, должна быть приписана ещё одна внутренняя характеристика (квантовое число) -- спин. Важную роль сыграл открытый В. Паули (1925) так называемый принцип запрета (Паули принцип, см. ниже), имеющий фундаментальное значение в теории атома, молекулы, ядра, твёрдого тела.

В течение короткого времени К. м. была с успехом применена к широкому кругу явлений. Были созданы теории атомных спектров, строения молекул, химической связи, периодической системы Д. И. Менделеева, металлической проводимости и ферромагнетизма. Эти и многие др. явления стали (по крайней мере качественно) понятными. Дальнейшее принципиальное развитие квантовой теории связано главным образом с релятивистской К. м. Нерелятивистская К. м. развивалась в основном в направлении охвата разнообразных конкретных задач физики атомов, молекул, твёрдых тел (металлов, полупроводников), плазмы и т.д., а также совершенствования математического аппарата и разработки количественных методов решения различных задач.

Вероятности и волны

Поскольку законы К. м. не обладают той степенью наглядности, которая свойственна законам классической механики, целесообразно проследить линию развития идей, составляющих фундамент К. м., и только после этого сформулировать её основные положения. Выбор фактов, на основе которых строится теория, конечно, не единствен поскольку К. м. описывает широчайший круг явлений и каждое из них способно дать материал для её обоснования. Будем исходить из требований простоты и возможной близости к истории.

Рассмотрим простейший опыт по распространению света (рис. 1). На пути пучка света ставится прозрачная пластинка S. Часть света проходит через пластинку, а часть отражается. Известно, что свет состоит из «частиц» -- фотонов. Что же происходит с отдельным фотоном при попадании на пластинку? Если поставить опыт (например, с пучком света крайне малой интенсивности), в котором можно следить за судьбой каждого фотона, то можно убедиться, что фотон при встрече с пластинкой не расщепляется на два фотона, его индивидуальность как частицы сохраняется (иначе свет менял бы свою частоту, т. е. «цветность»). Оказывается, что некоторые фотоны проходят сквозь пластинку, а некоторые отражаются от нее. В чем причина этого? Может быть, имеется два разных сорта фотонов? Поставим контрольный опыт: внесем такую же пластинку на пути прошедшего света, который должен бы содержать только один из двух «сортов» фотонов. Однако будет наблюдаться та же картина: часть фотонов пройдет вторую пластинку, а часть отразится. Следовательно, одинаковые частицы в одинаковых условиях могут вести себя по-разному. А это означает, что поведение фотона при встрече с пластинкой непредсказуемо однозначно. Детерминизма в том смысле, как это понимается в классической механике, при движении фотонов не существует. Этот вывод является одним из отправных пунктов для устранения противоречия между корпускулярными и волновыми свойствами частиц и построения теории квантовомеханических явлений.

Задача отражения света от прозрачной пластинки не представляет какой-либо трудности для волновой теории: исходя из свойств пластинки, волновая оптика однозначно предсказывает отношение интенсивностей прошедшего и отражённого света. С корпускулярной точки зрения, интенсивность света пропорциональна числу фотонов. Обозначим через N общее число фотонов, через N₁ и N₂ -- число прошедших и число отражённых фотонов (N₁ + N₂ = N). Волновая оптика определяет отношение N₁/N₂, и о поведении одного фотона, естественно, ничего сказать нельзя. Отражение фотона от пластинки или прохождение через неё являются случайными событиями: некоторые фотоны проходят через пластинку, некоторые отражаются от неё, но при большом числе фотонов оказывается, что отношение N₁/N₂ находится в согласии с предсказанием волновой оптики. Количественно закономерности, проявляющиеся при случайных событиях, описываются с помощью понятия вероятности (см. Вероятностей теория). Фотон может с вероятностью ?₁ пройти пластинку и с вероятностью ?₂ отразиться от неё. При общем числе фотонов N в среднем пройдёт пластинку ?₁N частиц, а отразится ?₂N частиц. Если N очень велико, то средние (ожидаемые) значения чисел частиц точно совпадают с истинными (хотя флуктуации существуют, и классическая оптика их учесть не может). Все соотношения оптики могут быть переведены с языка интенсивностей на язык вероятностей и тогда они будут относиться к поведению одного фотона. Вероятность того, что с фотоном произойдёт одно из двух альтернативных (взаимно исключающих) событий -- прохождение или отражение, равна ?₁ + ?₂ = 1. Это закон сложения вероятностей, соответствующий сложению интенсивностей. Вероятность прохождения через две одинаковые пластинки равна ?²₁, а вероятность прохождения через первую и отражения от второй -- ?₁??₂ (это отвечает тому, что на второй пластинке свет, прошедший первую пластинку, разделяется на прошедший и отражённый в том же отношении, как и на первой). Это закон умножения вероятностей (справедливый для независимых событий).

Рассмотренный опыт не специфичен для света. Аналогичные опыты с пучком электронов или др. микрочастиц также показывают непредсказуемость поведения отдельной частицы. Однако не только прямые опыты говорят в пользу того, что и в самом общем случае следует перейти к вероятностному описанию поведения микрочастиц. Теоретически невозможно представить, что одни микрочастицы описываются вероятностно, а другие классически: взаимодействие «классических» частиц с «квантовыми» с необходимостью приводило бы к внесению квантовых неопределённостей и делало бы поведение «классических» частиц также непредсказуемым (в смысле классического детерминизма).

Предсказание вероятностей различных процессов -- такова возможная формулировка задачи К. м., в отличие от задачи классической механики, состоящей в предсказании в принципе только достоверных событий. Конечно, вероятностное описание допустимо и в классической механике. Для получения достоверного предсказания классическая механика нуждается в абсолютно точном задании начальных условий, т. е. положений и скоростей всех образующих систему частиц. Если же начальные условия заданы не точно, а с некоторой степенью неопределённости, то и предсказания будут содержать неопределённости, т. е. носить в той или иной степени вероятностный характер. Примером служит классическая статистическая физика, оперирующая с некоторыми усреднёнными величинами. Поэтому дистанция между строем мысли квантовой и классическая механики была бы не столь велика, если бы основными понятиями К. м. были именно вероятности. Чтобы выяснить радикальное различие между К. м. и классической механикой, несколько усложним рассмотренный выше опыт по отражению света.

Пусть отражённый пучок света (или микрочастиц) при помощи зеркала 3 поворачивается и попадает в ту же область А (например, в тот же детектор, регистрирующий фотоны), что и прошедший пучок (рис. 2). Естественно было бы ожидать, что в этом случае измеренная интенсивность равна сумме интенсивностей прошедшего и отражённого пучков. Но хорошо известно, что это не так: интенсивность в зависимости от расположения зеркала и детектора может меняться в довольно широких пределах и в некоторых случаях (при равной интенсивности прошедшего и отражённого света) даже обращаться в ноль (пучки как бы гасят друг друга). Это -- явление интерференции света. Что же можно сказать о поведении отдельного фотона в интерференционном опыте? Вероятность его попадания в данный детектор существенно перераспределится по сравнению с первым опытом, и не будет равна сумме вероятностей прихода фотона в детектор первым и вторым путями. Следовательно, эти два пути не являются альтернативными (иначе вероятности складывались бы). Отсюда следует, что наличие двух путей прихода фотона от источника к детектору существенным образом влияет на распределение вероятностей, и поэтому нельзя сказать, каким путём прошёл фотон от источника к детектору. Приходится считать, что он одновременно мог придти двумя различными путями.

Необходимо подчеркнуть радикальность возникающих представлений. Действительно, невозможно представить себе движение частицы одновременно по двум путям. К. м. и не ставит такой задачи. Она лишь предсказывает результаты опытов с пучками частиц. Подчеркнём, что в данном случае не высказывается никаких гипотез, а даётся лишь интерпретация волнового опыта с точки зрения корпускулярных представлений. (Напомним, что речь идёт не только о свете, но и о любых пучках частиц, например электронов.) Полученный результат означает невозможность классического описания движения частиц по траекториям, отсутствие наглядности квантового описания.

Попытаемся всё же выяснить, каким путём прошла частица, поставив на возможных её путях детекторы. Естественно, что частица будет зарегистрирована в одном, а не сразу во всех возможных местах. Но как только измерение выделит определённую траекторию частицы, интерференционная картина исчезнет. Распределение вероятностей станет другим. Для возникновения интерференции нужны обе (все) возможные траектории. Т. о., регистрация траектории частицы так изменяет условия, что два пути становятся альтернативными, и в результате получается сложение интенсивностей, которое было бы в случае «классических» частиц, движущихся по определённым траекториям.

Для квантовых явлений очень важно точное описание условий опыта, в которых наблюдается данное явление. В условия, в частности, входят и измерительные приборы. В классической физике предполагается, что роль измерительного прибора может быть в принципе сведена только к регистрации движения и состояние системы при измерении не меняется. В квантовой физике такое предположение несправедливо: измерительный прибор наряду с др. факторами сам участвует в формировании изучаемого на опыте явления, и эту его роль нельзя не учитывать. Роль измерительного прибора в квантовых явлениях была всесторонне проанализирована Н. Бором и В. Гейзенбергом. Она тесно связана с соотношением неопределённостей, которое будет рассмотрено позже.

Внимание к роли измерений не означает, что в К. м. не изучаются физические явления безотносительно к приборам, например свойства частиц «самих по себе». Так, решаемые К. м. задачи об энергетических уровнях атомов, о рассеянии микрочастиц при их столкновениях друг с другом, об интерференционных явлениях -- это задачи о свойствах частиц и их поведении. Роль прибора выступает на первое место тогда, когда ставятся специфические вопросы, некоторые из которых лишены, как выяснилось, смысла (например, вопрос о том, по какой траектории двигался электрон в интерференционном опыте, т.к. либо нет траектории, либо нет интерференции).

Вернёмся к интерференционному опыту. До сих пор было сделано лишь негативное утверждение: частица не движется по определённому пути, и вероятности не складываются. Конструктивное предложение для описания подобной ситуации можно почерпнуть снова из волновой оптики. В оптике каждая волна характеризуется не только интенсивностью, но и фазой (интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды). Совокупность этих двух действительных величин -- амплитуды А и фазы ? -- принято объединять в одно комплексное число, которое называют комплексной амплитудой: ? = Ae^i?. Тогда интенсивность равна I = |?|² = ?*? = A², где ?* -- функция, комплексно сопряжённая с ?. Т. к. непосредственно измеряется именно интенсивность, то для одной волны фаза никак не проявляется. В опыте с прохождением и отражением света ситуация именно такая: имеется две волны ?₁ и ?₂, но одна из них существует только справа, а другая только слева (см. рис. 1); интенсивности этих волн I₁ = A₁², I₂ = A₂², и фазы не фигурируют (поэтому можно было обойтись только интенсивностями). В интерференционном опыте ситуация изменилась: волна ?₂ с помощью зеркала была направлена в область нахождения волны ?₁ (см. рис. 2). Волновое поле в области существования двух волн определяется в оптике с помощью принципа суперпозиции: волны налагаются друг на друга, т. е. складываются с учётом их фаз. Суммарная волна ? имеет комплексную амплитуду, равную сумме комплексных амплитуд обеих волн:

.

Интенсивность суммарной волны зависит от разности фаз ?₁ -- ?₂ (пропорциональной разности хода световых пучков по двум путям):

. (4)

В частности, при A₁ = A₂ и cos (?₁ -- ?₂) = -- 1 |?|² = 0.

В этом примере рассмотрен простейший случай сложения амплитуд. В более общем случае из-за изменения условий (например, из-за свойств зеркала) амплитуды могут изменяться по величине и фазе, так что суммарная волна будет иметь вид

где c₁ и c₂ -- комплексные числа:

, .

Принципиальная суть явления при этом не изменяется. Характер явления не зависит также от общей интенсивности. Если увеличить ? в С раз, то интенсивность увеличится в |С|² раз, т. е. |С|² будет общим множителем в формуле распределения интенсивностей. Число С можно считать как комплексным, так и действительным, физические результаты не содержат фазы числа С -- она произвольна.

Для интерпретации волновых явлений с корпускулярной точки зрения необходимо перенесение принципа суперпозиции в К. м. Поскольку К. м. имеет дело не с интенсивностями, а с вероятностями, следует ввести амплитуду вероятности ? = Ae^i?, полагая (по аналогии с оптическими волнами), что вероятность ? = |c?|² = |c|?*?. Здесь с -- число, называемое нормировочным множителем, который должен быть подобран так, чтобы суммарная вероятность обнаружения частицы во всех возможных местах равнялась 1, т. е.

.

Множитель с определён только по модулю, фаза его произвольна. Нормировочный множитель важен только для определения абсолютной вероятности; относительные вероятности определяются амплитудами вероятности в произвольной нормировке. Амплитуда вероятности называются в К. м. также волновой функцией.

Амплитуды вероятности (как оптические амплитуды) удовлетворяют принципу суперпозиции: если ?₁ и ?₂ -- амплитуды вероятности прохождения частицы соответственно первым и вторым путём, то амплитуда вероятности для случая, когда осуществляются оба пути, должна быть равна ? = ?₁+?₂. Тем самым фраза: «частица прошла двумя путями» приобретает волновой смысл, а вероятность ? = |?₁+?₂|² обнаруживает интерференционные свойства.

Следует подчеркнуть различие в смысле, вкладываемом в принцип суперпозиции в оптике (и др. волновых процессах) и К. м. Сложение (суперпозиция) обычных волн не противоречит наглядным представлениям, т.к. каждая из волн представляет возможный тип колебаний и суперпозиция соответствует сложению этих колебаний в каждой точке. В то же время квантовомеханические амплитуды вероятности описывают альтернативные (с классической точки зрения, исключающие друг друга) движения (например, волны ?₁ и ?₂ соответствуют частицам, приходящим в детектор двумя различными путями). С классической точки зрения, сложение таких движений представляется совершенно непонятным. В этом проявляется отсутствие наглядности квантовомеханического принципа суперпозиции. Избежать формального логического противоречия квантовомеханического принципа суперпозиции (возможность для частицы пройти одновременно двумя путями) позволяет вероятностная интерпретация. Постановка опыта по определению пути частицы (см. выше) приведёт к тому, что с вероятностью |?₁|² частица пройдёт первым и с вероятностью |?₂|² -- вторым путём. Суммарное распределение частиц на экране будет определяться вероятностью |?₁|² + |?₂|², т. е. интерференция исчезнет.

Т. о., рассмотрение интерференционного опыта приводит к следующему выводу. Величиной, описывающей состояние физической системы в К. м., является амплитуда вероятности, или волновая функция, системы. Основная черта такого квантовомеханического описания -- предположение о справедливости принципа суперпозиции состояний.

Принцип суперпозиции -- основной принцип К. м. В общем виде он утверждает, что если в данных условиях возможны различные квантовые состояния частицы (или системы частиц), которым соответствуют волновые функции ?₁, ?₂,..., ?_i,..., то существует и состояние, описываемое волновой функцией

,

где c_i -- произвольные комплексные числа. Если ?_i описывают альтернативные состояния, то |c_i|² определяет вероятность того, что система находится в состоянии с волновой функцией ?_i, и

Волны де Бройля и соотношение неопределённостей. Одна из основных задач К. м. -- нахождение волновой функции, отвечающей данному состоянию изучаемой системы. Рассмотрим решение этой задачи на простейшем (но важном) случае свободно движущейся частицы. Согласно де Бройлю, со свободной частицей, имеющей импульс р связана волна с длиной ? = h/p. Это означает, что волновая функция свободной частицы ?(х) -- волна де Бройля -- должна быть такой функцией координаты х, чтобы при изменении х на ? волновая функция ? возвращалась к прежнему значению. Этим свойством обладает функция e^i2?x/?. Если ввести величину k = 2?/?, называемую волновым числом, то соотношение де Бройля примет вид: . Т. о., если частица имеет определённый импульс р, то её состояние описывается волновой функцией

, (5)

где С -- постоянное комплексное число. Эта волновая функция обладает замечательным свойством: квадрат её модуля |?₁|² не зависит от х, т. е. вероятность нахождения частицы, описываемой такой волновой функцией, в любой точке пространства одинакова. Другими словами, частица со строго определённым импульсом совершенно нелокализована. Конечно, это идеализация -- полностью нелокализованных частиц не существует. Но в той же мере идеализацией является и волна со строго определённой длиной волны, а следовательно, и строгая определённость импульса частицы. Поэтому точнее сказать иначе: чем более определённым является импульс частицы, тем менее определенно её положение (координата). В этом заключается специфический для К. м. принцип неопределённости. Чтобы получить количественное выражение этого принципа -- соотношение неопределённостей, рассмотрим состояние, представляющее собой суперпозицию некоторого (точнее, бесконечно большого) числа де-бройлевских волн с близкими волновыми числами, заключёнными в малом интервале ?k. Получающаяся в результате суперпозиции волновая функция ?(х) (она называется волновым пакетом) имеет такой характер: вблизи некоторого фиксированного значения x₀ все амплитуды сложатся, а вдали от x₀ (|х -- x₀| >> ?) будут гасить друг друга из-за большого разнобоя в фазах. Оказывается, что практически такая волновая функция сосредоточена в области шириной ?х, обратно пропорциональной интервалу ?k, т. е. ?х????1/?k, или (где -- неопределённость импульса частицы). Это соотношение и представляет собой соотношение неопределённостей Гейзенберга.

Математически любую функцию ?(х) можно представить как наложение простых периодических волн -- это известное Фурье преобразование, на основании свойств которого соотношение неопределённостей между ?х и ?k получается математически строго. Точное соотношение имеет вид неравенства ?х?k ? ¹/₂, или

, (6)

причём под неопределённостями ?р и ?х понимаются дисперсии, т. е. среднеквадратичные отклонения импульса и координаты от их средних значений. Физическая интерпретация соотношения (6) заключается в том, что (в противоположность классической механике) не существует такого состояния, в котором координата и импульс частицы имеют одновременно точные значения. Масштаб неопределённостей этих величин задаётся постоянной Планка , в этом заключён важный смысл этой мировой постоянной. Если неопределённости, связанные соотношением Гейзенберга, можно считать в данной задаче малыми и пренебречь ими, то движение частицы будет описываться законами классической механики (как движение по определённой траектории).

Принцип неопределённости является фундаментальным принципом К. м., устанавливающим физическое содержание и структуру её математического аппарата. Кроме этого, он играет большую эвристическую роль, т.к. многие результаты К. м. могут быть получены и поняты на основе комбинации законов классической механики с соотношением неопределённостей. Важным примером является проблема устойчивости атома, о которой говорилось выше. Рассмотрим эту задачу для атома водорода. Пусть электрон движется вокруг ядра (протона) по круговой орбите радиуса r со скоростью ?. По закону Кулона сила притяжения электрона к ядру равна e²/r², где е -- абсолютная величина заряда электрона, а центростремительное ускорение равно ?²/r. По второму закону Ньютона m?²r = e²/r², где m -- масса электрона. Отсюда следует, что радиус орбиты r = е²/m?² может быть сколь угодно малым, если скорость ? достаточно велика. Но в К. м. должно выполняться соотношение неопределённостей. Если допустить неопределённость положения электрона в пределах радиуса его орбиты r, а неопределённость скорости -- в пределах ?, т. е. импульса в пределах ?р = m?, то соотношение неопределённостей примет вид: . Воспользовавшись связью между ? и r, определяемой законом Ньютона, получим и . Следовательно, движение электрона по орбите с радиусом, меньшим см, невозможно, электрон не может упасть на ядро -- атом устойчив. Величина r₀ и является радиусом атома водорода («боровским радиусом»). Ему соответствует максимально возможная энергия связи атома E₀ (равная полной энергии электрона в атоме, т. е. сумме кинетической энергии m?²/2 и потенциальной энергии -- e²/r₀, что составляет E₀ ? -13,6 эв), определяющая его минимальную энергию -- энергию основного состояния.

Т о., квантовомеханические представления впервые дали возможность теоретически оценить размеры атома (выразив его радиус через мировые постоянные , m, е). «Малость» атомных размеров оказалась связанной с тем, что «мала» постоянная .

Примечательно, что современные представления об атомах, обладающих вполне определёнными устойчивыми состояниями, оказываются ближе к представлениям древних атомистов, чем основанная на законах классической механики планетарная модель атома, позволяющая электрону находиться на любых расстояниях от ядра.

Строгое решение задачи о движении электрона в атоме водорода получается из квантовомеханического уравнения движения -- уравнения Шрёдингера (см. ниже); решение уравнения Шрёдингера даёт волновую функцию ?, которая описывает состояние электрона, находящегося в области притяжения ядра. Но и не зная явного вида ?, можно утверждать, что эта волновая функция представляет собой такую суперпозицию волн де Бройля, которая соответствует локализации электрона в области с размером ? r₀ и разбросу по импульсам .

Соотношение неопределённостей позволяет также понять устойчивость молекул и оценить их размеры и минимальную энергию, объясняет существование вещества, которое ни при каких температурах не превращается при нормальном давлении в твёрдое состояние (гелий), даёт качественное представления о структуре и размерах ядра и т.д.

Существование уровней энергии -- характерное квантовое явление, присущее всем физическим системам, не вытекает непосредственно из соотношения неопределённостей. Ниже будет показано, что дискретность уровней энергии связанной системы можно объяснить на основе уравнения Шрёдингера; отметим лишь, что возможные дискретные значения энергии (энергетические уровни) E_n > E₀ соответствуют возбуждённым состояниям квантовомеханической системы (см., например, Атом).

Стационарное уравнение Шрёдингера

Волны де Бройля описывают состояние частицы только в случае свободного движения. Если на частицу действует поле сил с потенциальной энергией V (называемой также потенциалом), зависящей от координат частицы, то волновая функция частицы ? определяется дифференциальным уравнением, которое получается путём следующего обобщения гипотезы де Бройля. Для случая, когда движение частицы с заданной энергией E происходит в одном измерении (вдоль оси х), уравнение,. которому удовлетворяет волна де Бройля (5), может быть записано в виде:

, (*)

где -- импульс свободно движущейся частицы (массы m). Если частица с энергией E движется в потенциальном поле V (x), не зависящем от времени, то квадрат её импульса (определяемый законом сохранения энергии) равен . Простейшим обобщением уравнения (*) является поэтому уравнение

. (7)

Слово «квант» происходит от латинского quantum («сколько, как много») и английского quantum («количество, порция, квант»). «Механикой» издавна принято называть науку о движении материи. Соответственно, термин «квантовая механика» означает науку о движении материи порциями (или, выражаясь современным научным языком науку о движении квантующейся материи). Термин «квант» ввел в обиход немецкий физик Макс Планк (см. Постоянная Планка) для описания взаимодействия света с атомами.

Квантовая механика часто противоречит нашим понятиям о здравом смысле. А всё потому, что здравый смысл подсказывает нам вещи, которые берутся из повседневного опыта, а в своем повседневном опыте нам приходится иметь дело только с крупными объектами и явлениями макромира, а на атомарном и субатомном уровне материальные частицы ведут себя совсем иначе. Принцип неопределенности Гейзенберга как раз и очерчивает смысл этих различий. В макромире мы можем достоверно и однозначно определить местонахождение (пространственные координаты) любого объекта (например, этой книги). Не важно, используем ли мы линейку, радар, сонар, фотометрию или любой другой метод измерения, результаты замеров будут объективными и не зависящими от положения книги (конечно, при условии вашей аккуратности в процессе замера). То есть некоторая неопределенность и неточность возможны -- но лишь в силу ограниченных возможностей измерительных приборов и погрешностей наблюдения. Чтобы получить более точные и достоверные результаты, нам достаточно взять более точный измерительный прибор и постараться воспользоваться им без ошибок.

Теперь если вместо координат книги нам нужно измерить координаты микрочастицы, например электрона, то мы уже не можем пренебречь взаимодействиями между измерительным прибором и объектом измерения. Сила воздействия линейки или другого измерительного прибора на книгу пренебрежимо мала и не сказывается на результатах измерений, но чтобы измерить пространственные координаты электрона, нам нужно запустить в его направлении фотон, другой электрон или другую элементарную частицу сопоставимых с измеряемым электроном энергий и замерить ее отклонение. Но при этом сам электрон, являющийся объектом измерения, в результате взаимодействия с этой частицей изменит свое положение в пространстве. Таким образом, сам акт замера приводит к изменению положения измеряемого объекта, и неточность измерения обусловливается самим фактом проведения измерения, а не степенью точности используемого измерительного прибора. Вот с какой ситуацией мы вынуждены мириться в микромире. Измерение невозможно без взаимодействия, а взаимодействие -- без воздействия на измеряемый объект и, как следствие, искажения результатов измерения.

О результатах этого взаимодействия можно утверждать лишь одно:

неопределенность пространственных координат Ч неопределенность скорости частицы > h/m,

или, говоря математическим языком:

Дx Ч Дv > h/m

где Дx и Дv -- неопределенность пространственного положения и скорости частицы соответственно, h -- постоянная Планка, а m -- масса частицы.

Соответственно, неопределенность возникает при определении пространственных координат не только электрона, но и любой субатомной частицы, да и не только координат, но и других свойств частиц -- таких как скорость. Аналогичным образом определяется и погрешность измерения любой такой пары взаимно увязанных характеристик частиц (пример другой пары -- энергия, излучаемая электроном, и отрезок времени, за который она испускается). То есть если нам, например, удалось с высокой точностью измерили пространственное положение электрона, значит мы в этот же момент времени имеем лишь самое смутное представление о его скорости, и наоборот. Естественно, при реальных измерениях до этих двух крайностей не доходит, и ситуация всегда находится где-то посередине. То есть если нам удалось, например, измерить положение электрона с точностью до 10-⁶ м, значит мы одновременно можем измерить его скорость, в лучшем случае, с точностью до 650 м/с.

Из-за принципа неопределенности описание объектов квантового микромира носит иной характер, нежели привычное описание объектов ньютоновского макромира. Вместо пространственных координат и скорости, которыми мы привыкли описывать механическое движение, например шара по бильярдному столу, в квантовой механике объекты описываются так называемой волновой функцией. Гребень «волны» соответствует максимальной вероятности нахождения частицы в пространстве в момент измерения. Движение такой волны описывается уравнением Шрёдингера, которое и говорит нам о том, как изменяется со временем состояние квантовой системы.

Картина квантовых событий в микромире, рисуемая уравнением Шрёдингера, такова, что частицы уподобляются отдельным приливным волнам, распространяющимся по поверхности океана-пространства. Со временем гребень волны (соответствующий пику вероятности нахождения частицы, например электрона, в пространстве) перемещается в пространстве в соответствии с волновой функцией, являющейся решением этого дифференциального уравнения. Соответственно, то, что нам традиционно представляется частицей, на квантовом уровне проявляет ряд характеристик, свойственных волнам.