Дифракция и интерференция

1. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ

Интерференция -- это оптическое явление взаимного наложения когерентных волн, в результате чего происходит устойчивое пространственное ослабление или усиление интенсивности света в зависимости от фазовых соотношений между этими волнами.

Интерферировать могут только когерентные волны. Когерентными называют такие волны, которые имеют одинаковые частоты (длины волн) и постоянную разность фаз.

Естественные источники света излучают некогерентные волны. Для образования когерентных волн различными методами разделяют волны, идущие от одного точечного источника.

Разность фаз световых волн, распространяющихся в среде, обычно выражают через оптическую разность хода в точке наблюдения. Оптическая разность хода - это разность оптических длин путей двух волн. Оптической длиной пути называется произведение геометрического пути световой волны в среде на ее абсолютный показатель преломления. Итак, оптическая разность хода есть D (дельта) = n * Dr, где n - абсолютный показатель преломления среды, Dr - геометрическая разность хода волн.

Разность фаз колебаний Dф = ф1 - ф2 связана с оптической разностью хода соотношением:

где лямбда - длина волны света в вакууме. В интерференционной картине свет будет максимально усиливаться и ослабляться по интенсивности в тех местах, где оптическая разность налагающихся волн равна соответственно четному и нечетному числу длин полуволн:

где k = 0, ±1, ±2, ... .

Ширина Dx светлой (или темной) интерференционной полосы или расстояние между двумя ближайшими темными (или светлыми) полосами на экране определяется по формуле:

где l - расстояние от экрана до источников света, отстоящих друг от друга на расстояние d (при l >>d).

Интерференция в тонких пленках, наблюдаемая в отраженном свете (световая волна падает перпендикулярно поверхности пластинки), определяется формулами:

1. усиление интенсивности, если

2. ослабление интенсивности, если

где k = 0, 1, 2, ... ; h - толщина пленки.

Интерференционные полосы равной толщины в форме концентрических светлых и темных колец наблюдают (обычно в отраженном свете) с помощью прибора, который представляет собой плосковыпуклую линзу, лежащую выпуклой поверхностью на отражающей плоскости. Если монохроматический свет падает перпендикулярно плоской поверхности линзы, то появляются чередующиеся светлые и темные интерференционные кольца, называемые кольцами Ньютона. Их радиусы определяются формулами:

где k - натуральное число, R - радиус выпуклой поверхности линзы.

2. ПОНЯТИЕ О ДИФРАКЦИИ

Если свет представляет собой волновой процесс, то наряду с интерференцией должна наблюдаться и дифракция света. Ведь дифракция -- огибание волнами краев препятствий -- присуща любому волновому движению. Но наблюдать дифракцию света нелегко. Дело в том, что волны отклоняются от прямолинейного распространения на заметные углы только на препятствиях, размеры которых сравнимы с длиной волны, а длина световой волны очень мала.

Френель Огюстен (1788--1827)-- французский физик. Френель заложил основы волновой оптики. Дополнив принцип Гюйгенса идеей интерференции вторичных волн, он построил количественную теорию дифракции. На основе этого принципа Френель объяснил законы геометрической оптики, в частности прямолинейный характер распространения света в однородной среде. Им создан приближенный метод расчета дифракционной картины, основанный на разделении волновой поверхности на зоны. Поперечность световых волн впервые была доказана Френелем.

Пропуская тонкий пучок света через маленькое отверстие, можно наблюдать нарушение закона прямолинейного распространения света. Светлое пятно против отверстия будет большего размера, чем это следует ожидать при прямолинейном распространении света.

Опыт Юнга

В 1802 г. Т. Юнг, открывший интерференцию света, поставил классический опыт по дифракции (рис. 1). В непрозрачной ширме он проколол булавкой два маленьких отверстия B и С на небольшом расстоянии друг от друга. Эти отверстия освещались узким световым пучком, прошедшим в свою очередь через малое отверстие А в другой ширме. Именно эта деталь, до которой очень трудно было додуматься в то время, решила успех опыта. Интерферируют только когерентные волны. Возникшая в соответствии с принципом Гюйгенса сферическая волна от отверстия А возбуждала в отверстиях В и С когерентные колебания. Вследствие дифракции от отверстий В и С выходили два световых конуса, которые частично перекрывались. В результате интерференции световых волн на экране появлялись чередующиеся светлые и темные полосы. Закрывая одно из отверстий. Юнг обнаруживал, что интерференционные полосы исчезали. Именно с помощью этого опыта впервые Юнгом были измерены длины волн, соответствующие световым лучам разного цвета, причем весьма точно.

Теория Френеля

Исследование дифракции получило свое завершение в работах О. Френеля. Френель не только более детально исследовал различные случаи дифракции на опыте, но и построил количественную теорию дифракции, позволяющую в принципе рассчитать дифракционную картину, возникающую при огибании светом любых препятствий. Им же было впервые объяснено прямолинейное распространение света в однородной среде на основе волновой теории.

Этих успехов Френель добился, объединив принцип Гюйгенса с идеей интерференции вторичных волн. Согласно идее Френеля волновая поверхность в любой момент времени представляет собой не просто огибающую вторичных волн, а результат их интерференции (принцип Гюйгенса -- Френеля).

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля каждую точку волнового фронта можно рассматривать как точечный источник вторичных световых волн, которые распространяются по различным направлениям и проникают, таким образом, в область геометрической тени. Вторичные волны когерентны и за препятствием интерферируют.

Для того чтобы вычислить амплитуду световой волны в любой точке пространства, надо мысленно окружить источник света замкнутой поверхностью. Интерференция волн от вторичных источников, расположенных на этой поверхности, определяет амплитуду в рассматриваемой точке пространства.

Такого рода расчеты позволили понять, каким образом свет от точечного источника, испускающего сферические волны, достигает произвольной точки пространства В (рис. 2).

Если рассмотреть вторичные источники на сферической волновой поверхности радиусом R, то результат интерференции вторичных волн от этих источников в точке В оказывается таким, как если бы лишь вторичные источники на малом сферическом сегменте посылали свет в точку В.

Вторичные волны, испущенные источниками, расположенными на остальной части поверхности, гасят друг друга в результате интерференции. Поэтому все происходит так, как если бы свет распространялся лишь вдоль прямой SB, т. е. Прямолинейно.

Одновременно Френель рассмотрел количественно дифракцию на различного рода препятствиях.

Любопытный случай произошел на заседании Французской академии наук в 1818 г. Один из ученых, присутствовавших на заседании, обратил внимание на то, что из теории Френеля вытекают факты, явно противоречащие здравому смыслу.

При определенных размерах отверстия и определенных расстояниях от отверстия до источника света и экрана в центре светлого пятна должно находиться темное пятнышко.

За маленьким непрозрачным диском, наоборот, должно находиться светлое пятно в центре тени. Каково же было удивление ученых, когда поставленные эксперименты доказали, что так и есть на самом деле.

3. ДИФРАКЦИОННЫЕ КАРТИНЫ ОТ РАЗЛИЧНЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ

Из-за того, что длина световой волны очень мала, угол отклонения света от направления прямолинейного распространения невелик. Поэтому для отчетливого наблюдения дифракции нужно либо использовать очень маленькие препятствия, либо же располагать экран далеко от препятствий. При расстоянии между препятствием и экраном порядка метра размеры препятствии не должны превышать сотых долей миллиметра. Если же расстояние до экрана достигает сотен метров или нескольких километров, то дифракцию можно наблюдать на препятствиях размером в несколько сантиметров и даже метров.

На рисунке 3 показано, как выглядят на фотографиях дифракционные картины от различных препятствий:

а) от тонкой проволочки;

б) от круглого отверстия;

в) от круглого экрана.

Вместо тени от проволочки видна группа светлых и темных полос; в центре дифракционной картины от отверстия появляется темное пятно, окруженное светлыми и темными кольцами (изменяя диаметр отверстия, можно в центре дифракционной картины получить и светлое пятно, окруженное темными и светлыми кольцами); в центре тени, образованной круглым экраном, видно светлое пятнышко, а сама тень окружена темными концентрическими кольцами.

Дифракция света определяет границы применимости геометрической оптики. Огибание светом препятствий налагает предел на разрешающую способность важнейших оптических инструментов - телескопа и микроскопа.

4. ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА

Дифракция широко применяется на практике. Она осуществляется с помощью дифракционной решетки.

Дифракционная решётка - оптический прибор, предназначенный для анализа спектрального состава оптического излучения. Дифракционная решётка состоит из тысяч узких и близко расположенных щелей. Из-за интерференции интенсивность света прошедшего через дифракционную решётку различна в различных направлениях. Имеются выделенные направления в которых световые волны от различных щелей решётки складываются в фазе, многократно усиливая друг друга. При освещении решётки монохроматическим светом на её выходе наблюдаются узкие лучи с большой интенсивностью. Так как направления на интерференционные максимумы зависят от длины волны, белый свет , прошедший через дифракционную решётку, будет расщепляться на множество лучей разного цвета. Таким образом мы можем исследовать спектральный состав света. Выражение для интерференционных максимумов одинаково для пары щелей и дифракционной решётки, но в последнем случае максимум оказывается намного более острым и интенсивным, обеспечивая высокое разрешение в спектроскопических исследованиях. Интенсивность максимумов также оказывается пропорциональной второй степени количества освещаемых щелей (штрихов).

Так как дифракционная решетка представляет собой совокупность большого числа щелей в непрозрачном экране, которые имеют одинаковую ширину и расположены на равных расстояниях друг от друга. Сумма ширины щели a и ширины b непрозрачного промежутка между щелями называется постоянной (или периодом) решетки:

d = a + b.

При нормальном падении света на плоскую дифракционную решетку положение на экране максимумов освещенности определяется по формуле:

d sin ф = k лямда, k = 0, ±1, ±2, ... ,

где d - постоянная решетки, j - угол между нормалью к дифракционной решетке и направлением на дифракционный максимум, k - порядок максимума.

Световые волны являются поперечными, т.е. векторы электрического E и магнитного H полей не только взаимно перпендикулярны, но и оба перпендикулярны к направлению распространения. Если расположить направление распространения в некоторой плоскости, то в световых волнах, излучаемых различными источниками, ориентация векторов E (и, конечно, H) относительно этой плоскости будет различной, не согласованной (случайной). Такой свет называется естественным.

Пропуская его, например, через турмалиновую пластинку, можно выделить волны, в которых вектор E совершает колебания в одной и той же плоскости. Такие волны называются линейно поляризованными. Плоскость, в которой в линейно поляризованной волне лежат векторы E, называется плоскостью колебаний, а плоскость, в которой лежат векторы H, называется плоскостью поляризации.

Естественный свет поляризуется (в основном частично) при отражении от поверхности диэлектриков. Полностью он поляризуется лишь при одном угле падения, определяемом соотношением tg aБ = n21, где n21 - относительный показатель преломления двух сред. Угол aБ называется углом Брюстера, или углом полной поляризации. При падении луча на диэлектрик под углом полной поляризации луч отраженный и луч преломленный взаимно перпендикулярны.

5. КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА И ДИФРАКЦИЯ

Экспериментальное исследование расположения атомов в кристаллах стало возможно лишь после открытия Рентгеном в 1895 рентгеновского излучения. Чтобы проверить, является ли это излучение действительно одним из видов электромагнитного излучения, Лауэ в 1912 посоветовал Фридриху и Книппингу пропустить рентгеновский пучок через кристалл и посмотреть, возникнет ли дифракционная картина. Опыт дал положительный результат.

Рис.1. Волновые фронты различных порядков, которые образуют световые волны, дифрагировавшие на атомах кристалла (показанных жирными точками).

В основе опыта лежала аналогия с хорошо известным явлением дифракции в обычной оптике. Когда пучок света проходит через ряд малых отверстий, отстоящих друг от друга на расстояния, сравнимые с длиной световой волны, на экране наблюдается интерференционная (или, что в данном случае то же, дифракционная) картина из чередующихся светлых и темных областей. Точно так же, когда рентгеновские лучи, длина волны которых сравнима с расстояниями между атомами кристалла, рассеиваются на этих атомах, на фотопластинке возникает дифракционная картина. Суть явления дифракции поясняется на рис. 1, где изображены плоские волны, падающие на ряд рассеивающих центров. Под действием падающего пучка каждый такой центр испускает сферические волны; эти волны интерферируют друг с другом, что приводит к образованию волновых фронтов, распространяющихся не только в направлении первоначального падающего пучка, но и в некоторых других направлениях. Так называемая картина дифракции Лауэ (лауэграмма), полученная при прохождении пучка рентгеновского излучения сквозь тонкую кристаллическую пластинку минерала берилла, представлена на рис. 2. Картина дифракции ясно показывает наличие вращательной оси симметрии 6-го порядка, что характерно для гексагональной кристаллической структуры. Таким образом, эта картина несет важную информацию о структуре кристалла, на котором происходит дифракция, что и было, в частности, предметом изысканий У.Брэгга и его сына У.Брэгга.

На основе явления дифракции рентгеновского излучения отец и сын Брэгги создали необычайно ценный экспериментальный метод рентгеноструктурного анализа кристаллов. Их работы знаменуют собой начало современной физики твердого тела. Соответствующее весьма сложное автоматизированное оборудование стало теперь обычным в лабораториях по физике твердого тела. Благодаря таким рентгеновским установкам и компьютерам определение расположения атомов даже в сложном кристалле стало почти рутинным делом. В 1914 Лауэ был удостоен за свои достижения Нобелевской премии; отец и сын Брэгги разделили такую же награду годом позднее.

Рис. 2. Дифракционная картина Лауэ, обнаружиающая ось симметрии 6-го порядка (полученная пропусканием рентгеновского излучения сквозь тонкий кристалл берилла).

Мощь рентгеноструктурного анализа основана на его высокой избирательности. Например, если монохроматический пучок рентгеновского излучения падает в произвольном направлении на монокристалл, можно наблюдать выходящий (но не дифрагированный) пучок в том же направлении. Дифрагированные пучки возникают лишь при нескольких строго определенных (дискретных) углах падения относительно кристаллографических осей. Это условие лежит в основе метода вращения кристалла, в котором допускается вращение монокристалла относительно определенной оси, причем точно определяются те направления, для которых наблюдается дифракция. В других экспериментах могут использоваться порошкообразные кристаллические образцы и монохроматический пучок; - такой метод носит название Дебая - Шеррера. В этом случае имеется непрерывный спектр ориентаций отдельных кристаллитов, но достаточно интенсивные дифрагированные пучки дают лишь кристаллиты с определенной ориентацией. Порошковый метод не требует выращивания крупных монокристаллов, в чем и состоит его преимущество перед методами Лауэ и вращения кристалла. В методе Лауэ используются монокристалл и пучок рентгеновского излучения, обладающий непрерывным спектром, так что кристалл как бы сам выбирает подходящие длины волн для образования дифракционных картин (рис. 2).

Какого же рода информацию о структуре кристалла может дать рентгеноструктурный анализ? Рентгеновское излучение - это электромагнитные волны, электрические поля которых взаимодействуют с заряженными частицами, а именно с электронами и атомами твердого тела. Поскольку масса электронов значительно меньше массы ядра, рентгеновское излучение эффективно рассеивается только электронами. Таким образом, рентгенограмма дает информацию о распределении электронов. Зная направления, в которых дифрагировало излучение, можно определить тип симметрии кристалла или кристаллический класс (кубический, тетрагональный и т.п.), а также длины сторон элементарной ячейки. По относительной интенсивности дифракционных максимумов можно определить положение атомов в элементарной ячейке. По существу дифракционная картина представляет собой математически преобразованную картину распределения электронов в кристалле - ее так называемый фурье-образ. Следовательно, она несет информацию и о структуре химических связей между атомами. Например, по рентгенограмме можно судить, действительно ли поваренная соль (NaCl) составлена из положительных и отрицательных ионов, а также о том, где находятся электроны в таком веществе, как германий. Наконец, распределение интенсивности в одном дифракционном максимуме дает информацию о размере кристаллитов, а также о несовершенствах (дефектах) решетки, механических напряжениях и других особенностях кристаллической структуры.

Хотя рентгеноструктурный анализ является старейшим методом изучения твердых тел на атомном уровне, он продолжает развиваться и совершенствоваться. Одно из таких усовершенствований состоит в применении электронных ускорителей в качестве мощных источников рентгеновского излучения - синхротронного излучения. Синхротрон - это ускоритель, который обычно используется в ядерной физике для разгона электронов до очень высоких энергий. Электроны создают электромагнитное излучение в диапазоне от ультрафиолетового до рентгеновского излучения. В сочетании с недавно разработанными твердотельными детекторами частиц эти новые источники смогут, как ожидается, дать много новой детальной информации о твердых телах.

В исследованиях в области физики твердого тела используется дифракция не только рентгеновского излучения, но и электронов и нейтронов. Возможность дифракции электронов и нейтронов основана на том, что частица, движущаяся со скоростью v, ведет себя как волна с длиной волны де Бройля l = h/mv, где h - постоянная Планка, m - масса частицы. Поскольку электроны заряжены, они интенсивно взаимодействуют с электронами и ядрами твердого тела. Поэтому, в отличие от рентгеновского излучения, они проникают лишь в тонкий поверхностный слой твердого тела. Но как раз это ограничение делает их весьма подходящими для изучения именно поверхностных свойств твердого тела.

6. ДИФРАКЦИЯ НЕЙТРОНОВ

Нейтроны были открыты в 1932. Четыре года спустя их волновая природа была подтверждена дифракционными экспериментами. Использование нейтронов в качестве средства исследования твердых тел стало возможным после создания ядерных реакторов, в которых, начиная примерно с 1950, создавались плотности потока нейтронов порядка 1012 нейтрон/см2Чс. Современные реакторы обеспечивают потоки, в тысячи раз более интенсивные.

Нейтроны, будучи нейтральными частицами, взаимодействуют только с ядрами твердого тела (по крайней мере, в немагнитных материалах). Это свойство существенно по ряду причин. Поскольку ядра чрезвычайно малы по сравнению с размерами атома, а взаимодействие между ядрами и падающими нейтронами является короткодействующим, нейтронный пучок обладает большой проникающей способностью и может быть использован для исследования кристаллов толщиной до нескольких сантиметров. Кроме того, нейтроны интенсивно рассеиваются ядрами как тяжелых, так и легких элементов. В противоположность этому рентгеновское излучение рассеивается электронами, а потому для него рассеивающая способность атомов увеличивается с возрастанием числа электронов, т.е. атомного номера элемента. Следовательно, положение атомов легких элементов в кристалле можно гораздо точнее определять методом нейтронной, а не рентгеновской дифракции. Это в особенности относится к ядрам атомов водорода, или, что эквивалентно ионам водорода, - протонам. Протоны могут быть обнаружены методом дифракции нейтронов, но не рентгеновского излучения, поскольку они не содержат электронов. Это свойство нейтронов приобретает особое значение при изучении веществ, обладающих водородными связями. Подобные связи возникают не только в неорганических веществах, но и, в частности, в биологических материалах (например, молекулах ДНК).

Нейтронные пучки играют важную роль при изучении твердых тел, поскольку нейтроны и ядра атомов имеют сравнимую массу. Поэтому при нейтронной бомбардировке твердого тела нейтроны могут возбуждать (и поглощать) решеточные волны, т.е. упругие волны, распространяющиеся в системе ядер кристалла. (Звуковая волна тоже является решеточной.) В таких неупругих столкновениях нейтрон теряет (или приобретает) энергию и импульс. Изменения этих величин могут быть измерены; они дают много детальной информации о динамических свойствах твердых тел. Таким образом, эксперименты по рассеянию нейтронов очень важны для исследования колебаний атомов в твердых телах. Наконец, дифракция нейтронов играет важную роль в изучении магнитных материалов. Хотя у нейтронов нет электрического заряда, они имеют дипольный магнитный момент, подобный стрелке компаса.

Поэтому нейтрон способен «видеть» магнитный атом в том смысле, что он взаимодействует с суммарным магнитным моментом всех электронов в атоме. Пучок нейтронов, направляемый на магнитный кристалл, рассеивается ядрами, а также «магнитными» электронами. Эти два вида рассеяния дают информацию о кристаллической и магнитной структуре. Подобные эксперименты позволили обнаружить существование в твердых телах магнитно-упорядоченных структур - от обычной параллельной ориентации магнитных моментов в ферромагнетике (например, в железе) до сложных геликоидальных структур в редкоземельных металлах и их соединениях.

7. ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА

Рассмотрим один из типов дифpакции - дифpакцию Фpаунгофеpа. Это - дифpакция в паpаллельных лучах. Рассмотpим дифpакцию на одной щели. Пусть на узкую щель, пpоделаную в непpозpачном экpане, падает ноpмально к экpану паpаллельный пучок света. Пpоходя щель, свет огибает ее кpая. Это огибание воспpинимается на любых pасстояниях от щели. Мы pассмотpим дифpакцию вдали от экpана, теоpетически - в бесконечности.

На пpактике для pеализации опыта пpибегают к помощи зpительной тpубы, котоpая настpаивается на бесконечность. Схема опыта изобpажена на pис. 1.12. Коллиматоp К пpопускает пучок паpаллельных лучей от источника света А. В тpубу Т под pазными углами к падающему пучку наблюдают свет, пpошедший чеpез щель. Если бы дифpакции не было, то свет пpоходил бы только в напpавлении падающего пучка. Однако пpоисходит огибание светом кpаев щели, и свет наблюдается под углами, отличными от нуля. Более того, наблюдаются полосы интеpфеpенции.

Рассмотpим теоpию этого явления, полагая, что падающий свет монохpоматический. Сpазу же поставим вопpос: под какими углами наблюдаются максимумы и минимумы света? Рассмотpим свет, пpошедший чеpез щель под углом. По отношению к этому углу pазобьем волновую повеpхность, выpезаемую щелью, на полоски с таким pасчетом, чтобы pазность хода между двумя пучками света от соседних полосок pавнялась полволне (/2). Будем опиpаться на пpинцип Гюйгенса, pассматpивая полоски как втоpичные источники света, от котоpых "бегут" полуцилиндpические волны.

Фpенель дополнил пpинцип Гюйгенса пpедположением, что втоpичные волны когеpентны между собой. Этим дополнением и воспользуемся. Заметим, что упомянутые полоски волновой повеpхности называются зонами Фpенеля. Разность хода лучей, поpождаемых двумя соседними зонами Фpенеля, pавняется /2 (по постpоению). Следовательно, по условию минимумов интеpфеpенции они должны гасить дpуг дpуга. Допустим, что угол выбpан таким обpазом, что на щели укладывается четное число зон Фpенеля. Свет от каждой зоны будет погашен светом соседней зоны, и под таким углом в бесконечности должен наблюдаться минимум. Число зон на щели опpеделяется так:

Следовательно, условие минимумов записывается следующим обpазом:

В пpомежутках между минимумами наблюдаются максимумы, весь световой фpонт, наблюдаемый под углом = 0 нужно пpинять за одну зону, и, следовательно, в этом напpавлении наблюдается максимум. Это будет главный, яpкий максимум, на котоpый пpиходится максимум всего света, пpошедшего чеpез щель. Каpтина интеpфеpенции в целом изобpажена на pис. 1.14. Чем больше длина волны, тем дальше отстоят дpуг от дpуга максимумы.

Стало быть, если щель освещать белым светом, то каждый максимум, кpоме главного, pазложится в спектp, в котоpом, начиная от кpасного, будут пpедставлены все цвета pадуги.

Большая часть света, пpошедшего чеpез щель, все же пpиходится на центpальный, главный максимум. Поэтому степень огибания кpаев щели можно оценить по угловой шиpине главного максимума . Если бы не было никакой дифpакции, то угловая шиpина главного максимума pавнялась бы нулю. Обычно углы дифpакции малы, поэтому можно положить, что .

Дифpакция тем яpче выpажена, чем уже щель и чем больше длина волны.

Пpи пpактическом использовании дифpакции света большой интеpес пpедставляет дифpакционная pешетка. Дифpакционной pешеткой называют огpомное множество очень узких штpихов, нанесенных на экpан (pешетка в пpоходящем свете) или на зеpкало (pешетка в отpаженном свете). У хоpоших pешеток число щелей достигает 10 - 10 на сантиметp. Дифpакционная pешетка используется как спектpальный пpибоp и как высокой степени точности измеpитель длины волны света. На дифpакционной pешетке также наблюдается дифpакция Фpаунгофеpа (в паpаллельных лучах). Постановка опыта напоминает ту, котоpая описана выше в случае дифpакции на одной щели. На pешетку падает пучок паpаллельных лучей, и в паpаллельных лучах наблюдаются максимумы дифpакции (также с помощью зpительной тpубы, настpоенной на бесконечность).

Рассмотpим теоpию дифpакционной pешетки в пpоходящем свете. На pис. 1.15 изобpажена схема опыта. Здесь а - шиpина щели, b - пpомежуток между щелями, a+b - пеpиод pешетки. Свет падает пеpпендикуляpно к плоскости pешетки.

Существуют такие углы наблюдения, под котоpыми любые два пучка, пpошедшие чеpез щели pешетки, усиливают дpуг дpуга. Ясно, что под такими углами будут наблюдаться яpкие максимумы интенсивности света. Эти максимумы называются главными. Нетpудно найти условие для наблюдения главных максимумов. Опpеделим pазность хода между двумя соседними пучками. Согласно pис. 1.15 она pавна (a+b)sin.

Если на этой pазности хода укладывается четное число полуволн, то любые два пучка будут усиливать дpуг дpуга. Поэтому условие есть условие главных максимумов. Докажем это. Рассмотpим два пpоизвольных пучка, напpимеp k-й и i-й. Между ними укладывается i-к пеpиодов pешетки. Следовательно, pазность хода между пучками будет pавна (i-k)2m /2. Известно, что четное число, умноженное на любое дpугое целое, есть число четное. В pезультате в соответствии с общим условием интеpфеpенции k-й и i-й пучки усиливают дpуг дpуга.

Кpоме главных, существуют втоpичные максимумы, когда одни пучки усиливают дpуг дpуга, а дpугие гасят. Эти втоpичные максимумы очень слабые и обычно пpосто не пpосматpиваются. Интеpес пpедставляют только главные максимумы, да и то лишь пеpвого поpядка, когда m = 1. Таким обpазом, углы, под котоpыми наблюдают линии спектpа, опpеделяются из условия

Найдем условие всех минимумов. Пpибегнем к пpостому, но нестpогому выводу. Рассмотpим всю pешетку, как одну щель, шиpина котоpой pавна N(a+b), где N - число щелей pешетки. Тогда согласно фоpмуле (1.19) минимумы наблюдались бы под углами, удовлетвоpяющими условию

Условие (1.30) включает в себя и условие главных максимумов, когда k = mN. Если эти значения k исключить, то все дpугие значения k действительно обусловливают минимумы. Это можно было бы стpого доказать. Таким обpазом, между двумя главными максимумами, напpимеp между пеpвым (m = 1) и втоpым (m = 2), укладывается N-1 минимумов, отвечающих значениям k: N+1, N+2,..., N+N-1. Общая каpтина максимумов и минимумов pешетки пpедставлена на pис. 1.16.

Качество pешетки как спектpального пpибоpа опpеделяется двумя величинами: ее диспеpсией и pазpешающей способностью. Диспеpсия хаpактеpизует общую шиpину спектpа и показывает, какой интеpвал углов пpиходится на единичный интеpвал длин волн. Диспеpсия D опpеделяется фоpмулой

Она, как видим, опpеделяется пеpиодом pешетки: чем меньше пеpиод, тем больше диспеpсия.

Разpешающая способность оптического пpибоpа показывает, как хоpошо пpибоp pазделяет мельчайшие детали пpедмета. В случае pешетки под pазpешающей способностью подpазумевается отношение длины волны к pазности длин волн, котоpые pешетка еще способна pазpешить. Считается, что pешетка pазpешает две соседние линии спектpа, если максимум одной из них попадает в ближайший минимум дpугой линии. Рис. 1.17 изобpажает эту кpайнюю ситуацию. Ближайший минимум пеpвого главного максимума для длины волны находится из условия . (1.33)

Пусть пеpвый главный максимум ближайшей линии попадает в этот минимум. Тогда можно записать следующее уpавнение:

Как видим, pазpешающая способность pешетки pавна числу щелей.

Мы pассмотpели дифpакцию на одномеpной pешетке, когда пеpиодичность pешетки наблюдается лишь в одном измеpении. Но можно пpедставить pешетки двухмеpные (напpимеp, две скpещенные одномеpные pешетки) и тpехмеpные. Типичным пpимеpом тpехмеpной pешетки является кpисталл. В нем атомы (пpомежутки между пpосветами) обpазуют тpехмеpную систему. Можно наблюдать дифpакцию света на кpисталлах. Только видимый свет для этой цели не годится, т.к. пеpиод такой pешетки слишком мал (поpядка 10 м). Для этих целей можно использовать pентгеновские лучи.

В каждом кpисталле можно выделить не одну, а несколько пеpиодически pасположенных плоскостей, на котоpых в свою очеpедь в пpавильном поpядке pасполагаются атомы кpисталлической pешетки. На pис. 1.18 пpиведены две такие совокупности (pазумеется, можно найти больше). Рассмотpим одну из них. Рентгеновские лучи пpоникают внутpь кpисталла и отpажаются от каждой плоскости этой совокупности. В таком случае мы получаем множество когеpентных пучков pентгеновских лучей, между котоpыми существует pазность хода. Пучки интеpфеpиpуют между собой подобно тому, как интеpфеpиpуют световые волны на обычной дифpакционной pешетке, пpоходя чеpез щели.

Вся теоpия дифpакции пучков может быть повтоpена. Как и в случае обычной дифpакции, пpи дифpакции pентгеновских лучей на кpисталле обpазуются главные максимумы интенсивности, котоpые могут быть воспpиняты фотопленкой. Эти максимумы имеют вид пятен (а не линий, как в дифpакции на обычной pешетке). Это объясняется тем, что каждая плоскость пpедставляет собой двухмеpную pешетку. Под какими же углами наблюдаются пятна, отвечающие главным максимумам?

Рассмотpим два соседних пучка, как показано на pис. 1.19. Между ними pазность хода лучей pавна 2d sin, где d- межатомное pасстояние.

Как и в случае с обычной pешеткой, можно доказать, что под углом, опpеделяемым данным условием, любые два пучка усиливают дpуг дpуга, т. е. условие есть действительно условие главных максимумов. Оно называется условием Вульфа-Бpегга.

Каждая совокупность пеpиодически pасположенных плоскостей дает свою систему пятен. Расположение пятен на фотопленке полностью опpеделяется pасстоянием между плоскостями d. Анализиpуя общую каpтину пятен-максимумов, можно найти несколько значений d: d1, d2,... По этой совокупности паpаметpов, в свою очеpедь, можно установить тип кpисталлической pешетки и опpеделить для нее pасстояния между атомами. Таким обpазом, дифpакция pентгеновских лучей на кpисталлах дает нам мощный метод опpеделения стpуктуp кpисталлов и вообще молекуляpных систем, в котоpых атомы pасполагаются в пpавильном поpядке. Кpоме кpисталлов к таким системам относятся, напpимеp, сложные молекулы биологических систем, в частности хpомосомы живых клеток. Анализ стpоения кpисталлов с помощью дифpакции pентгеновских лучей составляет целую науку, именуемую pентгено-стpуктуpным анализом.

Дифpакция pентгеновских лучей может быть использована и для pешения дpугой задачи: пpи известном d опpеделить. На таком пpинципе стpоятся pентгеновские спектpогpафы.

8. РЕНТГЕНОСТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ

Рентгеноструктурный анализ это метод исследования строения тел, использующий явление дифракции рентгеновских лучей, метод исследования структуры вещества по распределению в пространстве и интенсивностям рассеянного на анализируемом объекте рентгеновского излучения. Дифракционная картина зависит от длины волны используемых рентгеновских лучей и строения объекта. Для исследования атомной структуры применяют излучение с длиной волны ~1Е, т.е. порядка размеров атома.

Методами рентгеноструктурного анализа изучают металлы, сплавы, минералы, неорганические и органические соединения, полимеры, аморфные материалы, жидкости и газы, молекулы белков, нуклеиновых кислот и т.д. Рентгеноструктурный анализ является основным методом определения структуры кристаллов. При исследовании кристаллов он даёт наибольшую информацию. Это обусловлено тем, что кристаллы обладают строгой периодичностью строения и представляют собой созданною самой природой дифракционную решётку для рентгеновских лучей. Однако он доставляет ценные сведения и при исследовании тел с менее упорядоченной структурой, таких, как жидкости, аморфные тела, жидкие кристаллы, полимеры и другие. На основе многочисленных уже расшифрованных атомных структур может быть решена и обратная задача: по рентгенограмме поликристаллического вещества, например легированной стали, сплава, руды, лунного грунта, может быть установлен кристаллический состав этого вещества, то есть выполнен фазовый анализ.

В ходе рентгеноструктурного анализа исследуемый образец помещают на пути рентгеновских лучей и регистрируют дифракционную картину, возникающую в результате взаимодействия лучей с веществом. На следующем этапе исследования анализируют дифракционную картину и расчётным путём устанавливают взаимное расположение частиц в пространстве, вызвавшее появление данной картины.

Рентгеноструктурный анализ кристаллических веществ распадается на два этапа.

1. Определение размеров элементарной ячейки кристалла, числа частиц (атомов, молекул) в элементарной ячейке и симметрии расположения частиц (так называемой пространственной группы). Эти данные получают путём анализа геометрии расположения дифракционных максимумов.

2. Расчёт электронной плотности внутри элементарной ячейки и определение координат атомов, которые отождествляются с положением максимумов электронной плотности. Эти данные получают анализом интенсивности дифракционных максимумов.

9. МЕТОДЫ РЕНТГЕНОВСКОЙ СЪЁМКИ КРИСТАЛЛОВ

Существуют различные экспериментальные методы получения и регистрации дифракционной картины. В любом случае имеется источник рентгеновского излучения, система для выделения узкого пучка рентгеновских лучей, устройство для закрепления и ориентирования образца в пучке и приёмник рассеянного образцом излучения. Приёмником служит фотоплёнка, либо ионизационные или сцинтилляционные счётчики рентгеновских квантов. Метод регистрации с помощью счётчиков (дифрактометрический) обеспечивает значительно более высокую точность определения интенсивности регистрируемого излучения.

Из условия Вульфа - Брэгга непосредственно следует, что при регистрации дифракционной картины один из двух входящих в него параметров ѕ l -длина волны или q -угол падения, должен быть переменным.

Основными рентгеновской съёмки кристаллов являются: метод Лауэ, метод порошка (метод дебаеграмм), метод вращения и его разновидность - метод качания и различные методы рентгенгониометра.

В методе Лауэ на монокристаллический образец падает пучок немонохроматических («белых») лучей (рис. 4 а). Дифрагируют лишь те лучи, длины волн которых удовлетворяют условию Вульфа - Брэгга. Дифракционные пятна на лауграмме (рис.4 б) располагаются по эллипсам, гиперболам и прямым, обязательно проходящим через пятно от первичного пучка.

Важное свойство лауэграммы состоит в том, что при соответствующей ориентировке кристалла симметрия расположения этих кривых отражает симметрию кристалла. По характеру пятен на лауэграммах можно выявить внутренние напряжения и некоторые другие дефекты кристаллической структуры. Индицирование же отдельных пятен лауэграммы весьма затруднительно. Поэтому метод Лауэ применяют исключительно для нахождения нужной ориентировки кристалла и определения его элементов симметрии. Этим методом проверяют качество моно кристаллов при выборе образца для более полного структурного исследования.

В методе порошка (рис 5.а), так же как и во всех остальных описываемых ниже методах рентгеновской съёмки, используется монохроматическое излучение. Переменным параметром является угол q падения так как в поликристаллическом порошковом образце всегда присутствуют кристаллики любой ориентации по отношению к направлению первичного пучка.

Лучи от всех кристалликов, у которых плоскости с данным межплоскостным расстоянием dhk1 находятся в «отражающем положении», то есть удовлетворяют условию Вульфа - Брэгга, образуют вокруг первичного луча конус с углом растра 4q. Каждому dhk1 соответствует свой дифракционный конус. Пересечение каждого конуса дифрагированных рентгеновских лучей с полоской фотоплёнки, свёрнутой в виде цилиндра, ось которого проходит через образец, приводит к появлению на ней следов, имеющих вид дужек, расположенных симметрично относительно первичного пучка (рис. 5.б). Зная расстояния между симметричными «дугами», можно вычислить соответствующие им межплоскостные расстояния d в кристалле.

Метод порошка наиболее прост и удобен с точки зрения техники экспермента, однако единственная поставляемая им информация - выбор межплоскостных расстояний - позволяе расшифровывать самы простые структуры.

В методе вращения (рис. 6.а) переменным параметром является угол q.

Съёмка производится на цилиндрическую фотоплёнку. В течение всего времени экспозиции кристалл равномерно вращается вокруг свей оси, совпадающей с каким-либо важным кристаллографическим направлением и с осью образуемого планкой цилиндра. Дифракционные лучи идут по образующим конусов, которые при пересечении с плёнкой дают линии, состоящие из пятен (так называемые слоевые линии (рис. 6.б).

Метод вращения даёт экспериментатору более богатую информацию, чем метод порошка. По расстояниям между слоевыми линиями можно рассчитать период решётки в направлении оси вращения кристалла.

В рассматриваемом методе упрощается индицирование пятен рентгенограммы. Так если кристалл вращается вокруг оси с решётки, то все пятна на линии, проходящей через след первичного луча, имеют индексы (h,k,0), на соседних с ней слоевых линиях - соответственно (h,k,1) и (h,k,1Ї) и так далее. Однако и метод вращения не даёт всей возможной информации, так никогда неизвестно, при каком угле поворота кристалла вокруг оси вращения образовалось то или иное дифракционное пятно.

В методе качания, который является разновидностью метода вращения, образец не совершает полного вращения, а «качается» вокруг той же оси в небольшом угловом интервале. Это облегчает индицирование пятен, так как позволяет как бы получать рентгенограмму вращения по частям и определять с точностью до величины интервала качания, под каким углом поворота кристалла к первичному пучку возникли те или иные дифракционные пятна.

Наиболее богатую информацию дают методы рентгеногониометра. Рентгеновский гониометр, прибор, с помощью которого можно одновременно регистрировать направление дифрагированных на исследуемом образце рентгеновских лучей и положение образца в момент возникновения дифракции. Один из них - метод Вайссенберга, является дальнейшим развитием метода вращения. В отличие от последнего, в рентгеногониометре Вайссенберга (рис. 7) все дифракционные конусы, кроме одного, закрываются цилиндрической ширмой, а пятна оставшегося дифракционного конуса (или, что то же, слоевой линии) «разворачиваются» на всю площадь фотоплёнки путём её возвратно-поступательного осевого перемещения синхронно с вращением кристалла. Это позволяет определить, при какой ориентации кристалла возникло каждое пятно вассенбергограммы.