Теория деформирования

33

Теория деформирования

Рассмотрим некоторый объем (элемент) среды, который в момент времени t = t0 занимал в пространстве область V. положение каждой точки этой области определяется радиус-вектором в декартовой системе координат.

Вследствие приложенных внешних воздействий этот объем среды займет в некоторый момент времени t область V'. Точка переместится в точку , положение которой описывается в той же самой системе координат радиусом вектором . Kоординаты i и xi связаны уравнениями:

(1)

.

Эта связь взаимнооднозначная, т.е. Якобиан (преобразования)

.(2)

Это позволяет получить соотношения, обратные к (1)

.(3)

Вектор называется вектором перемещений (смещений) точки p, eго можно записать также в проекциях на оси координат

(4)

Можно определить вектор смещения и по-другому:

,

т.е. через его начало, определенное в текущий момент времени

.

Компоненты вектора смещения выражены через эйлеровы координаты.

Отсюда находим выражение текущей координаты через начальное значение и вектор перемещений

.(5)

Рассмотренное здесь описание поля перемещений проведено в Лагранжевых переменных. Эйлерово описание поля перемещений. Для этого из (4) выразим

(6)

Пример двумерного поля перемещений

(*)

Поле перемещений

имеет вид:

(**)

- в переменных Лагранжа.

Разрешим (*) относительно , получим

компоненты вектора смещения выражены через эйлеровы координаты.

Отсюда уже легко получить вектор перемещений в эйлеровых переменных

(***)

Тензор деформации в Лагранжевых переменных

Рассмотрим две бесконечно близкие точки недеформированного типа и . В результате деформации и связь между координатами

.(7)

Проследим, как изменяется в процессе деформации тела расстояние между близкими точками Р и Q.

До деформации имели:

(8)

После деформации

(9)

Найдем связь между и , учитывая, что известен закон движения

.(10)

Так как мы рассматриваем фиксированный момент времени t = const, то dt = 0 и, следовательно,

(11)

Подставим (11) в (9)

(12)

Вычислим разность квадратов длин ds2 и

(13)

(14)

- тензор деформации Грина.

Используя соотношение , а также

.

Подставим их в (14), получим

(15)

- тензор Грина, выраженный через производные от вектора перемещений.

Необходимо дать вывод тензора деформации в переменных Эйлера, а затем некоторые их свойства и физическую интерпретацию отдельных компонент (см. стр. 19).

Изменение длины и направления линейного элемента.

В результате движения среды происходит ее деформация. В общем случае (возможно ее движение и без деформации как абсолютно твердого тела).

Физический и геометрический смысл компонент тензора деформаций

Рассмотрим некоторые конкретные случаи деформации и их характеристики.

Сдвиг (площадь фигуры не изменена)

Поле смещения имеет вид:

Из рисунка видно, что

.

При такой деформации площадь остается неизменной

Следовательно:

- тензор деформации имеет нули по главной диагонали.

Растяжение по двум осям (форма остается подобной, а площадь фигуры увеличивается)

Такую деформацию можно рассматривать как последовательное растяжение по каждой из осей:

1-й этап

1)

2-й этап

2)

Полная деформация u равна

Тензор деформации:

,

- тензор имеет диагональный вид. Можно выделить шаровую и девиаторную части. Из приведенных примеров следует, что диагональные компоненты тензора деформации характеризуют растяжение элемента среды вдоль соответствующей оси

Недиагональные компоненты - характеризуют сдвиговые деформации элемента среды.

Сдвиг по двум осям

Что происходим с линейным элементом ?

он изменяет длину

поворачивается в пространстве относительно своего первоначального положения

угол между двумя линейными элементами в процессе деформации изменяется, т.е.

тело может перемещаться в пространстве без деформации; при этом длина линейного элемента и угол между элементами остаются без изменения; изменяется лишь ориентация линейного элемента в пространстве.

Оказывается, что первые три свойства полностью определяются компонентами тензора деформации Грина.

1. Относительное удлинение (сокращение) элемента

(1)

> 0 - удлинение, < 0 - сокращение элемента.

Направляющие косинусы элемента равны (см. рис.)

(2)

Рассмотрим выражение

(3)

Подставим сюда из (1) и (2) соотношения

и

Получим

(4)

Преобразуем выражение

В результате из (4) имеем

(5)

или в другой форме

(5*)

лишний корень, т.к. при .

Расписать сумму:

Пример 1: Пусть до деформации элемент , тогда и из (5*) получаем

аналогично

относительное удлинение отрезка, параллельного оси xk после деформации.

Пример 2:

Пусть лежит на биссектрисе угла между осями x1 и x2 в плоскости (x1, x2 )

В этом случае

.

2. Вектор , переходя в результате деформации в новое положение , изменяет свои направляющие косинусы. Обозначим

- направляющие косинусы вектора до деформации

- направляющие косинусы вектора после деформации.

Рассмотрим выражение:

- связь проекций элементов и на ось xi, тогда получим

Отсюда

=.(6)

Связь направляющий косинусов элемента до и после деформации. Учитывая, что

,

получим

=.(6*)

Пример: найдем . Из (6*) находим, что

3. Изменение угла между линейными элементами

Косинус угла между двумя векторами равен:

до деформации

после деформации косинус угла между и равен

.

Используя (6*), преобразуем правую часть этого равенства

.

Окончательно получаем

(7)

Пример:

В начальный момент имеем

откуда

то есть

.

Из формулы (7) получаем

.

Учтем, что

тогда

.

Косинус угла в данном случае пропорционален компоненте тензора деформации. Если , то приближенно .

Описание деформированного состояния в координатах Эйлера

(1)

В качестве независимых переменных берутся координаты Эйлера xi точки P'



- связь между координатами Лагранжа и Эйлера.

Отсюда

.(2)

Подставим (2) в (1) и вычислим

Ввести тензор скоростей деформации.

(3)

- тензор Коши-Альманси.

Выразим тензор Альманси в перемещениях

.(4)

Тензор Альманси также, как и тензор Грина пdxолностью определяет возникающие при деформации:

1) изменение длины линейного элемента

2) поворот элемента

3) изменение угла между двумя линейными элементами.

Мы рассмотрим здесь только изменение длины элемента при деформации

или в другой форме:

.

Относительные удлинения в переменных Эйлера описываются более сложными выражениями.

Тензор Грина и тензор Альманси совпадают с точностью до нелинейных слагаемых, а для малых деформаций, когда нелинейными величинами можно пренебречь, они совпадают, и разница между Эйлеровым и Лагранжевым описаниями пропадает.

Главные оси тензора деформации. Рассмотрим квадратичную форму . Из алгебры известно, что всякую квадратичную форму с постоянными коэффициентами в евклидовом пространстве можно привести к каноническому виду:

в новой ортогональной системе координат. В этом случае тензор деформации имеет диагональный вид

- называются главными значениями тензора деформации, а направления - главными направлениями.

Вычисление главных значений и главных направлений тензора деформации

,

где - главные значения, a - главный вектор,

,

- единичный тензор,

- вековое (характеристическое) уравнение Оно является кубичным полиномом относительно .

.

Пусть - корни кубического полинома (собственные значения матрицы), тогда

Отсюда находим, что инварианты тензора деформации равны

В общем случае, когда тензор не диагональный (в произвольной системе координат), его инварианты равны:

Шаровая и девиаторные части тензора

Тензорная поверхность (поверхность Коши) шарового тензора - (сфера)

Поверхность Коши произвольного тензора - эллипсоид, а - главные полуоси эллипсоида. Если , то тензорная поверхность - эллипсоид вращения.

Пример: Нахождение собственных значений и собственных направлений тензора деформации

Пусть имеем тензор: от описывает деформацию в плоскости x10x2

Найти его главные значения и главные направления.

Вековое уравнение

.

Это не удачный выбор собственных значений, так как в исходном тензоре были деформации в плоскости x10x2 и не затрагивали ось x3.

Система уравнений относительно aj



- произвольная

Компоненты векторов вычисляются с точностью до знаков.

Как выбирать знаки?

a1,2,3 - должны образовывать правую тройку векторов.

Если , то направление является главным и ось xj не преобразуется.

Замечание: Если использовать это правило, то окажется, что мы не удачно расположили главные значения j более удачное расположение собственных значений. В этом случае главные вектора имеют вид: , ,

Изменение объема тела при деформации

Рассмотрим бесконечно малый параллелепипед с ребрами осям xj. Пусть xj - главные оси тензора деформаций. Деформация - трехосное растяжение

отсюда

изменение длины ребра после деформации. См. разобранный выше пример на стр. 14

- объем до деформации

После деформации

Относительное изменение объема равно

- относительное изменение объема тела называется дилатацией.

Бесконечно малая деформация



Величину можно трактовать как половину угла скашивания

относительное изменение объема при деформации.

Теорема Гельмгольца о деформации малой частицы среды

Окрестность точки M0 среды представляет собой прямоугольный параллелепипед при t, а при t + dt - косоугольный параллелепипед. Изменение линейного элемента , состоящего из частиц среды, представлено на рисунке.

Разложение векторов перемещений uP и uQ концов отрезка

- вектор относительного перемещения частицы Q относительно частицы P. При t0 имели линейный элемент . Координаты точек P и Q при t = t0.

(1)

В момент времени эти точки имели текущие координаты

Закон движения точек среды

=(2)

- Проекции линейного отрезка на оси координат , а при эти проекции были равны (4)

Связь между компонентами отрезков и при известном законе движения (2) задается формулой

(5)

Тензор называется тензором дисторсии. Он может быть разложен на симметричную и антисимметричную части

где



- тензор малых деформаций в лагранжевых переменных

- тензор малого поворота в лагранжевых переменных.

Таким образом, имеем

Теорема Гельмгольца (1858 г.)

Общее перемещение деформируемого тела в достаточно малой окрестности каждой его точки можно выразить через смещения и поворот тела как твердого целого и через удлинение (или сокращение) в 3-х взаимно ортогональных направлениях.

Скорость изменения длины отрезка:

(7)

Здесь

- скорость движения полюса (точки Р)

- тензор скоростей деформации

- тензор угловых скоростей.

Относительные перемещения и тензор поворота.

Рассмотрим линейный элемент . После деформации он перейдет в элемент

Вектор называется вектором относительного перемещения частицы, расположенной первоначально в точке Q, относительно частицы, занимавшей положение Р. Связь между компонентами векторов и выражается формулой

,

так как

,

то

преобразуем это выражение к виду



или короче

- тензор вращения Лагранжа описывает вращение тела без деформаций.

Теорема Гельмгольца (1858 г.)

Общее перемещение деформируемого тела в достаточно малой окрестности каждой его точки можно выразить через смещения и поворот тела как твердого целого и через удлинение (или сокращение) в 3-х взаимно ортогональных направлениях.

Рассмотрим изменение линейного элемента среды . После деформации он перейдет в элемент , .

Закон движения частиц среды:

(1)

Связь между элементами dxi и dj

(2)

Тензор дисторсии можно разложить на симметричную и антисимметричную части.

(3)

- тензор деформации Грина;- тензор поворота Лагранжа

Связь между линейными элементами dxi и dj можно теперь представить в виде

(4)

Для малых деформаций и перемещений можно записать

(5)

,kk = 0.

В силу антисимметричности тензор ij задается тремя величинами

12 = -21;13 = -31;23 = -32 ,

которые образуют аксиальный вектор

представление антисимметричного тензора через ротор аксиального вектора.

Линейная скорость изменения отрезка ( - приращения не зависят от времени)

(6)

- скорость движения точки Р (полюса).

Возможна запись вектора в виде градиента скалярного поля Ф:

,

где

- квадратичная форма.

Представление антисимметричного тензора .

Определение аксиального вектора малого поворота



Разложение кососимметричного (антисимметричного) тензора поворота

,

где аксиальный вектор может быть представлен в виде

,

где

Тензор скоростей деформации в переменных Эйлера

Рассмотрим два близких момента времени t и t +t , где

- скорость частицы среды .

Рассмотрим выражение

,

где величина тензора деформации равна

Используя связь uj= vjt, получим

Найдем величину деформации, которую испытывает среда за единицу времени

Вычислим предел

Этот тензор называется Эйлеровым тензором скоростей деформации.

Легко показать (отсюда видно), что тензор скоростей деформации представляет собой материальную производную по времени от тензора линейных деформаций.

Пространственный градиент поля скорости

Пример: (См. Мейз, задачи 4.40)

Дан закон движения сплошной среды:

Найти тензор скоростей деформации lij и сравнить его с при t = 0 и t = 0,5.

Вычислим компоненты вектора смещений

Вычислим компоненты вектора скорости

Производная по времени от лагранжева тензора деформации

Имеем тензор деформации Грина



Вычислим производную по времени

Поле скоростей vn можно считать функцией как лагранжевых, так и эйлеровых координат, т.е.

.

Поэтому

,

следовательно нужно поменять индексы местами